UNIDAD 2:

PORCENTAJES Y APLICACIONES

1. PORCENTAJES

En nuestra vida diaria nos encontramos ensituaciones en las oímos que “un productotiene una rebaja del 30%” , el ITBM aplicable ala factura de la luz es del 7%, …

Ambas expresiones definen el porcentaje, esdecir, el número de partes referidas de las 100iguales en las que se puede dividir unacantidad. En este caso, el precio del artículo osu importe, que constituye una rebajaofrecida. En el caso de ITBM, supone unsobrecoste al importe de la luz.

Matemáticamente hablando, un porcentaje se puedeconcebir como una proporción, como una razón cuyoconsecuente es 100.

1.1 UN PORCENTAJE INDICA UNA PROPORCIÓN

Cuando decimos que el 40% de la juventud secomunica a través de redes sociales, estamosdiciendo que de cada 100 chicos utilizan lasredes sociales para comunicarse entre ellosunos 40.

Total 100 200 300 50 25 350 …

40% 40 80 120 20 10 ? …

Si observamos la tabla vemos que se trata deuna proporcionalidad directa.

Entonces, si un 40% de la juventud usa las redessociales para comunicarse, de 350 chicos¿cuántos las usarán?

Total 40%100 ---------- 40 100/350 = 40/x350 ---------- x x = 350 . 40/100 = 140

chicos.

Para calcular un determinadotanto por ciento de unacantidad , se multiplica el tantopor la cantidad y el resultado sedivide entre 100

5% de 100 = 5 . 100/100 = 5

1.2 UN PORCENTAJE ES UNA FRACCIÓN

Coger el 40% de una cantidad es lo mismo quedividir esa cantidad en 100 partes y tomar 40,es decir, tomar la fracción 40/100

Así, en el ejemplo anterior:

40% de 350 = 40/100 de 350 = 40 . 350/100 =140 chicos

Un porcentaje se puedecalcular como la fracción deuna cantidad

5% de 100 = 5/100 de 100 = 5 . 100/100 = 5

1.3 UN PORCENTAJE SE ASOCIA A UN NÚMERODECIMAL

Un porcentaje se puede expresar como unafracción, como vimos en el apartado anterior.A su vez, una fracción se puede expresar enforma de un número decimal, permitiéndonoscalcular los porcentajes de una forma rápida ysencilla:

Para calcular un porcentaje utilizando el número decimal querepresenta lo que hacemos es: multiplicar el tanto por cientoexpresado en forma decimal por la cantidad total.

2. PROBLEMAS CON PORCENTAJES

En los porcentajes aparecen tres cantidadesrelacionadas , que son:

Al resolver problemas con porcentajes, engeneral, conocemos dos de esas cantidades y loque queremos es calcular la otra

2.1 CONOCEMOS EL TOTAL Y UNA PARTE,CALCULAR EL PORCENTAJE

El tanto por ciento se calcula dividiendo lacantidad parcial entre la cantidad total; elresultado de esta división será el tanto porciento expresado como decimal. Paraexpresarlo en porcentaje multiplicamos por100.

Ejemplo: Un jugador de baloncesto encestó 15de 25 tiros libres en un entrenamiento. ¿Cuáles su porcentaje de aciertos?

Cantidad total = 25 Porcentaje = cantidad parcial/cantidad total =Cantidad parcial = 15 15/25 = 0,6 . 100 = 60%

2.2 CONOCEMOS EL PORCENTAJE Y EL TOTAL.CALCULAR UNA PARTELa cantidad parcial se calcula multiplicando lacantidad total por el tanto por ciento expresadocomo decimal.

Ejemplo: un jugador de baloncesto en unentrenamiento, de 25 tiros libres acertó el60%. ¿Qué cantidad de tiros encestó?

Cantidad total = 25 Porcentaje como decimal = 60% = 60/100 =Porcentaje aciertos = 60% 0,60

Cantidad parcial = 0,60 . 25 = 15 tiros

2.3 CONOCEMOS EL PORCENTAJE Y UNA PARTE.CALCULAMOS EL TOTALLa cantidad total se calcula dividiendo la cantidad

parcial entre el tanto por ciento expresado comodecimal.

Ejemplo, un jugador de baloncesto en unentrenamiento de tiros libres encestó 15, quesupuso un 60% del total. ¿Qué cantidad totalde tiros libres efectuó?

Cantidad parcial = 15 Porcentaje como decimal = 60/100 = 0,60Porcentaje aciertos = 60% Cantidad total = 15/0,60 = 25 tiros libres

Ten siempre en cuenta la regla detres para resolver los problemas.Este método es una de lasherramientas matemáticas másutilizadas en la vida cotidiana

ACTIVIDADES ________________________________

1. Quedan 10 huevos en el frigorífico y cojosiete para hacer la comida ¿Qué porcentajehe cogido?

2. Salí de casa con $20 y gasté $13. ¿Quéporcentaje de dinero gasté?

3. Al calcular el 20% sobre una cantidad, seobtuvieron $24. ¿Cuál es la cantidad total?

4. Calcular el 40% sobre una cantidad de $380.

5. En una empresa trabajan 125 personas; deellas, 80 son mujeres. ¿Cuáles son losporcentajes de hombres y mujeres en estaempresa?

6. Un equipo de fútbol, en la temporada pasada,perdió 16 partidos y empató 8 de los 32 quejugó. ¿Qué porcentaje de partidos ganó?¿Qué significa este resultado?

7. De la población gallega en el año 2008, que esde 2.783.100 personas, el 34,18% sonextranjeros. ¿Cuántas personas son?

3. AUMENTO PORCENTUAL

Muchas veces, los aumentos se dan en forma deporcentajes; son los llamados AUMENTOSPORCENTUALES: los impuestos, las tasas, lassubidas salariales, las subidas de precios,…Veamos como son los cálculos en estos casos:

El aumento porcentual de una cantidad inicial eslo que aumenta esa cantidad según unporcentaje.

Ejemplo:

Compramos ropa por valor de $60. El ITBM esdel 7%. ¿Cuánto pagamos en total?

_______________________________________

El 7% de ITBM hace que de cada $100 gastados,pagamos 7 de impuestos.

PRECIO FINAL = PRECIO ROPA + IVA

ITBM = 7% de 60 = 7 . 60/100 = $4,20

Precio final = $60 + $4,20 = $64,20 quetendremos que pagar por la ropa

(El aumento porcentual de una cantidad inicial es lo que aumentala cantidad inicial según un porcentaje t%Cantidad final = (cantidad inicial) . ((100 + t) % expresado como

número decimal)Ejemplo, Antón ganaba $1.200. A partir de este mes le subieronun 5% al sueldo. ¿Cuánto gana ahora Antón?

Sueldo final = $1.200 . 1,05 = $1.260

4. DISMINUCIÓN PORCENTUAL

La disminución porcentual de una cantidadinicial es lo que disminuye esa cantidad segúnun porcentaje t%

Es igual que el aumento porcentual, pero ahorahay que restar el porcentaje calculado de lacantidad inicial

Ejemplo, En una tienda un producto marca$128, pero tiene una rebaja del 30%. ¿Cuántotengo que pagar por ese producto?

La rebaja del 30% hace que por cada $100 delproducto paguemos $70 con la rebaja.

Precio final = Precio inicial – disminución por la rebaja

Disminución por la rebaja = 30% de 128 =

30/100 . 128 = 30 . 128/100 = $38,40.

Precio final= 128 – 38,40 = $89,60 tengo quepagar

La disminución porcentual de una cantidad inicial es lo quedisminuye la cantidad inicial según un porcentaje t%.

Cantidad final = Cantidad inicial . (100 – t) % expresado como número decimal

Ejemplo, Antón paga por el seguro a todo riesgo de suautomóvil $1.200. Por no tener accidentes, el seguro le haceuna rebaja del 18% para el próximo año. ¿Cuál es el importeque tendrá que pagar?Importe: 1.200 . 0,82 = $984

Actividades______________________________

1.El ICB subió en el último año un 4,3%. Si haceun año gastaba $350 en comida cada mes,¿cuánto tendré que gastar este año?

2. Estoy pagando $800 por la hipoteca cada mesEl dólar subió un 2,1%. ¿Cuánto tengo quepagar ahora?

3. Un litro de gasolina costaba $1,20 y el preciobajó un 4% ¿Cuánto cuesta 1 litro de gasolinaahora?

5. CÁLCULO DIRECTO DE PORCENTAJESSENCILLOS

Algunos porcentajes son muy fáciles de calcular.Fíjate en los siguientes ejemplos:

50%. Justo la mitadde la cantidad

25%. La cuarta partede la cantidad, asiquecon dividir entre 4 yaestá la cantidad

20%. Es la quintaparte de lacantidad:dividimos entre 5

10%. Dividimos lacantidad entre 10

Actividades _____________________________

1.El mes pasado el número de parados aumentóun 18%. Si hace un mes había 2.050.000parados. ¿Cuántos habrá ahora?

2. La matrícula en la Universidad bajó, concarácter general, un 8%. Si el curso pasadohabía 25.000 alumnos matriculados. ¡Cuántoshabrá este curso?

3. Por conducir y hablar por el móvil a la vez, mepusieron una multa de $200. Me olvidépagarla y ahora tengo que pagar un recargodel 20% ¿Cuánto tengo que pagar?

6. INTERESES BANCARIOS

Se denominan intereses los

beneficios que producen el dinero

prestado.

Ese beneficio es directamente

proporcional a la cantidad prestada y al

tiempo que dure el préstamo.

El tanto por ciento del beneficio anual se denomina interés (i)

El capital ( C ), colocado al i anual durante x años produce un

beneficio B.

Si queremos calcular el beneficio B, que produce un capital ( C )

colocado a un interés (i) durante x años, podemos utilizar una regla

de 3 compuesta

Ejemplo________________________________

Un banco ofrece un interés del 4%. ¿Qué beneficio obtendremossi depositamos la cantidad de $750 durante un periodo de 3años?

INTERÉS …. i = 4%

CAPITAL …. C = $750

DURACIÓN …. t =3 años

750 . 4 . 3/100 = $90

Por lo tanto, podemos decir que, $750 colocados al 4% durante 3años producen $90.

ACTIVIDADES ____________________________

1. En el instituto de Víctor hay 800 alumnos de loscuáles 250 están en 2º de la ESO. ¿Qué porcentajede alumnos están en 2º de la ESO? ¿Qué porcentajede alumnos están en el resto de los cursos?

2. Calcula:

a) 17% de 300 c) 150% de 20

b) 34% de 500 d) 3% de 220

3. De un trayecto de 150 Km ya he recorrido el 20%¿Cuántos km he recorrido? ¿Cuántos me quedan?

4. Un lector de MP3 cuesta $70 pero está rebajado un20%. ¿Cuánto dinero descuentan? ¿Cuál es suprecio definitivo?

5. Una empresa trabaja con dos productos diferentes con unosingresos totales de 250.000€ mensuales ¿Qué cantidad recibepor uno de los productos, sabiendo que dedica a este un 35%del total de la producción?

6. Todos los libros de una librería tienen un descuento del 15%

¿ Cuánto pagaré por un libro que está marcado con un precio de$20?

7. Un embalse que tiene una capacidad de 130 hm3 seencuentra al 65% de su capacidad ¿Qué porcentaje de agua seha consumido? ¿Cuántos hm3 quedan?

8. Al comprar un mueble de $150 me añadieron el 7% de ITBM yposteriormente, me rebajaron un 5% por montarlo yo.Finalmente ¿cuánto debo pagar?

9. Calcula: a) 5% de 1.200