Unidad 2. Aplicaciones de La Integración

Clculo integral

Unidad 2. Aplicaciones de la integracin

Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas

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Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en Matemticas

Programa de la asignatura:

Clculo Integral


Clculo integral



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ndice UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN ................................................................................. 3

Propsito de la unidad ........................................................................................................................ 3

Competencia especfica ...................................................................................................................... 3

Presentacin de la unidad ................................................................................................................... 3

Actividad 1. Aplicaciones de la Integracin ......................................................................................... 3

rea entre curvas ................................................................................................................................ 4

REA ENTRE CURVAS MEDIANTE APROXIMACIN ....................................................................................................... 4

REA ENTRE CURVAS MEDIANTE INTEGRACIN .......................................................................................................... 6

Actividad 2. rea entre curvas ............................................................................................................ 8

Volmenes........................................................................................................................................... 8

VOLUMEN DE UN SLIDO ...................................................................................................................................... 8

VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN .............................................................................................................. 12

VOLMENES DE CASCARONES CILNDRICOS ............................................................................................................. 14

Actividad 3. Slidos de revolucin .................................................................................................... 17

Valor promedio de una funcin ........................................................................................................ 17

VALOR PROMEDIO ............................................................................................................................................. 17

TEOREMA DEL VALOR MEDIO ............................................................................................................................... 18

Actividad 4. Valor medio de una funcin .......................................................................................... 19

Evidencia de aprendizaje. Aproximacin e integracin de volumen ................................................ 19

Consideraciones especficas de la unidad ......................................................................................... 19

Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 20

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UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN

Propsito de la unidad

Al terminar la unidad contars con las herramientas necesarias para hallar reas entre

curvas o regiones, obtendrs la capacidad necesaria para calcular el volumen de slidos

mediante integracin.

Incluso, sers capaz de calcular volmenes mediante cascarones cilndricos y obtendrs

el conocimiento para aplicar la integracin para encontrar el valor promedio de una

funcin y valor medio de una funcin.

Competencia especfica

Analizar problemas modelo para calcular reas entre curvas, volmenes, as como el

valor promedio de una funcin mediante el uso de aproximaciones con base en

definiciones, mtodos y teoremas.

Presentacin de la unidad

En esta unidad trataremos el caso de cmo calcular reas limitadas por dos funciones,

veremos que estos mtodos tienen mucho que ver con el primer captulo, donde

analizamos la suma de Riemann para integracin de ciertas reas. De manera anloga

utilizaremos el concepto de sumas de Riemann para llegar a la integral definida, til para

calcular el rea entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo [a, b].

Veremos tambin los mtodos de integracin para calcular volmenes de slidos. Para

ello revisaremos el concepto de volumen, que nos ser de gran utilidad para tener la idea

intuitiva de lo que es volumen. Calcularemos volmenes usando los mtodos de slido de

revolucin y el mtodo de clculo de volmenes mediante cascarones esfricos.

Por otra parte, comprenderemos lo que es un valor medio de una funcin y el valor

promedio de una funcin.

Actividad 1. Aplicaciones de la Integracin

En esta actividad, es necesario que revises diversas aplicaciones sobre la integracin, los posibles problemas que se pueden resolver con estos conocimientos y el impacto que tiene en diversas reas del conocimiento. Para ello es necesario que atiendas las

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indicaciones del docente mediante el foro de planeacin didctica, as como representar tus conclusiones en el foro de la actividad. Revisa el documento de actividades, donde se brinda ms informacin sobre la actividad

rea entre curvas

Para hallar el rea delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura siguiente,

usaremos los conocimientos adquiridos en las secciones previas. Usaremos el concepto

de sumas de Riemann para calcular reas.

rea entre curvas mediante aproximacin

En la figura de arriba observamos que tenemos un rea S delimitada por dos funciones

)(xfy y )(xgy , delimitadas por las rectas verticales x=a y x=b. En principio estamos

considerando que las funciones son continuas en el intervalo cerrado [a, b].

Nuestra intencin es hallar el rea S y para ello haremos un procedimiento anlogo al que

vimos al principio de la unidad uno.

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Para calcular el rea de la regin S consideremos que incrustamos rectngulos cuyas

bases son del tamao de x y alturas )()( ** iii xgxfh . As que tenemos rectangulitos

de rea xha ii .

Nota: Recuerda que es indiferente cmo elijamos los puntos muestra, ya que

pueden ser los del lado izquierdo, derecho o central. En este caso, tomaremos los

del lado derecho ii xx * .

Ya hemos definido las dimensiones de nuestros rectangulitos, entonces, as podemos

definir nuestra suma de Riemann como:

n

i

ii

n

i

i xxgxfxhA1

**

1

aproximada )()(

El rea aproximada es la suma de las reas de todos los rectngulos inscritos entre las

dos funciones:

n

i

ii xxgxfA1

**

aproximada )()(

Finalmente, arribamos a que el rea S delimitada por las dos funciones est expresada

como un lmite, cuando n .

n

i

iin

xxgxfA1

** )()(lim

Esta expresin la podemos reescribir como

n

i

in

xhA1

lim , representa que vamos a

realizar la suma de todos los rectangulitos pequeos incrustados dentro de la regin S. Al

mismo tiempo hacemos cada vez ms delgados nuestros rectangulitos, de modo que el

lmite de la suma se aproxima al rea real de la regin S.

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rea entre curvas mediante integracin

Ahora que sabemos que el rea de la regin S es una

aproximacin de rectngulos inscritos

infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera,

es el lmite de las sumas de las reas de los

rectngulos infinitamente delgados. Este lmite se

expresa como:

n

i

iin

xxgxfA1

** )()(lim

Teniendo un poco de imaginacin, podemos darnos cuenta de que el lmite de esta suma

es la integral definida de gf .

Por lo tanto, el rea A de la regin limitada por las grficas )(xfy , )(xgy y las rectas

verticales en x=a y x=b, considerando que f y g son continuas, adems de que gf

para cualquier valor de x en el intervalo [a, b] es:

b

aii dxxgxfA )()(

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Es evidente de la figura que se cumple lo siguiente:

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

xgxfA

)()(

)()(

)( de

debajo rea

)( de

debajo rea

Ejemplo

Hallar el rea limitada por 22 xy , y por xy , acotada por las rectas verticales x=0

y x=1.

Solucin

En la figura de arriba se muestra la regin limitada por ambas grficas. Usamos la frmula

b

adxxgxfA )()( para calcular el rea e identificamos los trminos. 2)( 2 xxf ;

xxg )( ; a=0 y b=1.

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El rea del triangulo representativo es:

xxxxxgxfA )()2()()( 2 El rea de la regin est dada como:

6

172

2

1

3

12

232

)()2()()(

1

0

231

0

2

1

0

2

xxx

dxxx

dxxxdxxgxfAb

a

Finalmente, tenemos que el rea encerrada es:

6

17A

Actividad 2. rea entre curvas

En esta actividad, resolvers ejercicios sobre reas entre curvas, el cual es necesario que revises los temas de reas sobre curvas, as como los mtodos que se presentan para resolver los ejemplos, es importante que solicites al docente que enve diversos recursos para fortalecer estos temas y tengas herramientas para resolverlo. Revisa el documento de actividades donde el docente te brindar los lineamientos sobre la actividad.

Volmenes

Posiblemente, alguna vez te hayas hecho preguntas como:

Con qu formula clculo el volumen una botella de refresco, de vino o incluso el de una

olla de barro?,

Cmo clculo el volumen de una figura irregular?

Pues, en esta seccin, daremos respuesta a estas inquietudes.

En esta seccin encontrars diferentes mtodos de integracin para calcular volmenes

de ciertos slidos.

Volumen de un slido

La pregunta inicial en esta seccin es sabes qu es volumen?

El volumen lo podemos definir como el espacio encerrado por varias superficies. Por

ejemplo, en una caja, el espacio que est encerrado por las seis superficies planas

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corresponde al volumen encerrado por dicha figura. La manera de calcular el volumen es

multiplicar el rea de la base l por su altura h. Por lo tanto el volumen es hlV .

Otro ejemplo es cuando se desea calcular el volumen de un tonel de forma cilndrica para

saber su capacidad. La manera de hacerlo es multiplicar el rea de su base 2r por su

altura h. El rea de la base es el rea de un crculo 2r .

En este caso, el espacio est limitado por dos superficies planas (tapaderas) y una

superficie cilndrica que es una superficie curva que rodea el espacio geomtrico buscado.

El volumen es hrV 2 .

Lo anterior lo podemos aplicar de manera muy prctica para figuras geomtricas

conocidas; sin embargo, para slidos o cuerpos volumtricos que no tengan formas bien

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definidas (como los de abajo), lo que haremos es incrustar pequeos cilindros dentro del

slido de cierta anchura. Con lo cual realizamos la suma de Riemann, se aplica el lmite y

obtendremos una integral definida. De esta manera seremos capaces de hallar volmenes

a slidos de diferentes formas.

Con esto se puede hacer una estimacin del volumen del slido, simplemente realizando

la suma de todos los cilindros delgados que estn dentro de la regin a calcular. Claro

est, si aplicamos el lmite cuando el nmero de cilindros va en aumento, llegaremos al

valor exacto del volumen de la regin interna del cuerpo S.

*

Para calcular el volumen de este cuerpo, lo primero que haremos es calcular el rea de la

seccin transversal )( *ixA de S para multiplicarlos por una anchura x , esto est

representado en la figura de arriba del lado derecho. Obtenemos cilindros pequeos con

reas cuyas bases miden )( *ixA y altura x o, como dicen, tenemos rebanadas del

cuerpo de altura x con bases cuyas reas miden )( *ixA .

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Realizando la suma de todos los volmenes de las rebanadas, tendremos el volumen

aproximado del slido. Ahora bien, si aplicamos el lmite cuando n , es decir,

aumentamos el nmero de cilindros o rebanadas dentro del slido al mismo tiempo que

disminuyen su achura, tenemos que

xxAV in

)(lim * . Aplicando el concepto de

integral definida tenemos el siguiente enunciado:

Definicin de volumen

Sea un slido limitado por x=a y x=b. Si el rea de su seccin transversal de S se

encuentra en el plano Px, que pasa por x y es perpendicular al eje x, es A(x), donde A es

una funcin continua, entonces el volumen de S es:

b

ai

ndxxAxxAV )()(lim *

Ejemplo

Vamos a demostrar que el volumen de una esfera es 3

3

4rV

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Solucin

Consideremos que la esfera est centrada en el origen. El plano Px secciona a la esfera en

un crculo de radio 22 xry , es fcil identificar esto por el teorema de Pitgoras. Se

tiene entonces que el rea de la seccin transversal est dada por:

)()( 222 xryxA

Usando la definicin de volumen

3

33

0

32

0

22

22

3

4

32

32

parfuncion unaser por 2

)()(

r

rr

xxr

dxxr

dxxrdxxAV

r

r

r

r

r

r

Volmenes de slidos de revolucin

Los slidos de revolucin son comunes en ingeniera y en todo tipo de objetos de uso

cotidiano. Ejemplos de estos son los embudos, ruedas, discos, pldoras, botellas y

pistones, entre otros.

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Si una regin plana se hace girar en torno a una recta, el slido resultante es un slido de

revolucin y a esta recta se le llama eje de revolucin o eje de giro.

La frmula para hallar el volumen de un slido de revolucin es la misma frmula anterior.

b

adxxAV )(

Slo hay que hallar el rea de la seccin transversal A(x) o A(y).

Si la seccin transversal es un disco, primero buscamos el radio del disco en trminos de

x o y, segn el eje de giro x o y. As que el rea es:

2radio)(A

Si la seccin transversal es un anillo o arandela, necesitamos saber el radio interior y el

radio exterior como se muestra en la figura siguiente.

Para calcular el rea de la arandela, restamos el rea exterior menos el rea interior del

disco.

Lo que queda como 22 interior) radio(exterior) radio( A

Lo anterior lo podemos enunciar de la siguiente manera:

b

adxxgxfV 22 )()(

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Donde 22 )()( xgxf representa la diferencia de regiones acotadas por el radio exterior

)(xf y el radio interior )(xg .

Ejemplo

Calcular el volumen del slido al girar la regin acotada por las grficas de xy e

2xy alrededor del eje x.

En este caso hay que identificar el radio interno y externo. Los lmites son x=0, y x=1

xxf )( radio exterior

2)( xxg radio interior

Se sustituye en la frmula para volumen

10

3

52)(

)()()()(

1

0

521

0

4

1

0

22222

xxdxxx

dxxxdxxgxfVb

a

En este caso, el eje de revolucin fue x y se ha integrado con respecto a x. En el caso que

el eje de giro sea y hay que integrar con respecto a y.

Volmenes de cascarones cilndricos

Veremos cmo calcular el volumen cuando se trata de cascarones, tomando de la

analoga que una naranja tiene una cscara. Prcticamente, lo que queremos es hallar el

volumen de la cscara sin considerar el ncleo.

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El mtodo de los cascarones cilndricos que enunciaremos a continuacin, surge de la

necesidad de resolver problemas que se complican con el mtodo de la seccin anterior.

Por ejemplo, para calcular el volumen del slido que se obtiene al girar alrededor del eje y

la regin que limitan 322 xxy y 0y . La regin limitada es la siguiente.

Si rebanamos perpendicularmente al eje y, obtenemos un anillo o arandela; sin embargo,

la situacin se complica al tratar de calcular el radio interior y el radio exterior de la

arandela, tendramos que resolver la ecuacin cbica 322 xxy para escribir x en

trminos de y.

Para calcular el volumen del cuerpo de una figura como la de abajo, se tiene que hacer

girar alrededor del eje y la regin debajo de la curva )(xfy desde a hasta b:

b

adxxxfV )(2 donde ba 0

Ejemplo

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En este ejemplo hay que calcular el volumen del slido que se obtiene girando la regin

limitada por 322 xxy y 0y alrededor del eje y.

Solucin

Miremos el dibujo siguiente que corresponde a las dos funciones, del diagrama

identificamos un cascarn que tiene radio x, circunferencia xy 2 y altura

322)( xxxf

El volumen para este cascarn es:

5

16

5

3282

5

1

2

12

)2(2

)2(2)(2

2

0

54

43

32

xx

dxxx

dxxxxdxxxfV

b

a

b

a

b

a

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Actividad 3. Slidos de revolucin

En esta actividad, resolvers ejercicios sobre volmenes de revolucin y cascarones cilndircos. Para eso revisa el documento de actividades y espera las indicaciones de tu docente para realizar la actividad.

Valor promedio de una funcin

En esta seccin veremos cmo calcular el promedio de una cantidad infinita de nmeros,

en tales casos se ven involucrados hechos para calcular la temperatura promedio durante

el da, si hay una cantidad infinita de medidas del termmetro. Hablando de manera

general, veremos cmo calcular el valor promedio de una funcin, tambin cmo calcular

el valor medio. Finalmente conoceremos el teorema de valor medio.

Valor promedio

La definicin es muy sencilla, as que no nos extenderemos mucho. Si tienes una funcin

)(xf como la que muestra la siguiente grfica, es posible encontrar su valor promedio.

Veamos.

El valor promedio de una funcin )(xf en un intervalo cerrado [a, b] est definido como:

b

adxxf

abf )(

1prom

Revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Calculemos el valor promedio de la funcin 21)( xxf en el intervalo [-1, 2].

Solucin

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Identificamos el intervalo para el cual se quiere calcular el promedio, 1a y b=2. Los

sustituimos en la definicin.

2

33

1

)1()1(2

1)(

1

2

1

3

2

1

2

prom

xx

dxxdxxfab

fb

a

Hemos calculado el valor medio de la funcin 21)( xxf . El resultado es 2.

Teorema del valor medio

Ahora quiz te surja la siguiente duda.

Hay algn nmero, c, tal que f sea exactamente igual al valor promedio de una funcin,

prom)( fcf ?

Segn el siguiente teorema, resulta que s:

Teorema del valor medio para las integrales. Si tenemos una funcin continua en un

intervalo cerrado [a, b], existe un nmero tal que cumple:

))(()( abcfdxxfb

a

La figura de arriba muestra que cuando las funciones son positivas, hay un nmero c tal

que el rectngulo de base es ab y altura f(c), tiene la misma rea que la regin bajo la

grfica de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo

Como ejemplo consideremos la funcin 21)( xxf continua en el intervalo [-1, 2].

El teorema de valor medio para las integrales dice que existe un nmero tal que:

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)1(2)()1(2

1

2 cfdxx

Sabemos que prom)( fcf , y del problema de la seccin anterior se tiene que

2)( prom fcf

Por lo tanto, si despejamos la funcin 21)(2 ccf , se tiene que hay dos nmeros que

satisfacen la relacin prom)( fcf en el intervalo [-1,2].

Actividad 4. Valor medio de una funcin

Esta actividad podrs determinar el valor promedio de una funcin, para ello revisa el documento de actividades donde el docente te dar las indicaciones sobre la actividad. .

Evidencia de aprendizaje. Aproximacin e integracin de volumen

En esta actividad, es la suma de todas las actividades de la unidad, donde podrs demostrar lo aprendido durante toda la unidad, y que se relaciona directamente con el problema prototpico que se plantea en la informacin general de la asignatura. Espera las indicaciones de tu docente sobre la forma de la realizacin de la actividad.

Consideraciones especficas de la unidad

En esta seccin requerimos el siguiente material:

Calculadora.

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Tablas de integracin. Existen libros en las bibliotecas que podras utilizar o bien

adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para

evaluar las integrales.

Es necesario que repases las frmulas para encontrar reas de figuras

geomtricas planas y volumtricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

lgebra

Geometra analtica

Clculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. Espaa: Revert

Larson, R. E. (2005). Clculo. Mxico: McGraw Hill.

Leithold, L. (2009). El Clculo. Mxico: Oxford University Press

Stewart, James. (2008). Clculo. Trascendentes tempranas. Mxico: Cengage Learning.

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