Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

REDUCCIÓN DE ORDEN

Introducción

La solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden

es una combinación lineal y=c1y1+c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I.

En algunas ocasiones, es posible reducir la ecuación diferencial a una ED de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene una solución conocida y1. Una segunda solución y2 es evidente después de resolver la ED de primer orden.

0012

2

2 yxadxdyxa

dxydxa )()()(

Casos en los que es posible la reducción de orden

Existen dos casos en los que es posible reducir el orden de una ED lineal ordinaria de orden dos:Si en la ED no aparece explícitamente la

variable dependiente “y”.Si en la ED no aparece explícitamente la

variable independiente “x”.

CASO 1: En la ED no aparece la variable dependiente “y”

Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial

mediante el cambio de variable:

0012

2

2 yxadxdyxa

dxydxa )()()(

zyzy

CASO 2: En la ED no aparece la variable dependiente “x”

Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial

mediante el cambio de variable:

Esto último en virtud de que:

0012

2

2 yxadxdyxa

dxydxa )()()(

dydzzyzy

zdydz

dxdy

dydz

dxdz

dxydy

)(

Problemas

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:

01

01

2

yyy

yyx

)(

)(

Caso general

Supónga que la ED ordinaria de segundo orden se divide entre a2(x), a fin de escribirla en la forma estándar y´´+P(x)y´+Q(x)y=0, donde P(x) y Q(X) son continuas en algún intervalo I. Suponga además que y1(x) es una solución conocida de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 en I y que y1(x) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

0012

2

2 yxadxdyxa

dxydxa )()()(

Caso general…

Si se define y=u(x)y1(x), se deduce que:

y´=uy´1+ y1u´, y´´=uy´´1 +2y´1u´+y1u´´

Con ello:

Esto significa que se deben tener

Donde se permite que w=u´.La última ecuación es lineal y separable.

02 11111 uPyyuyQyyPyuQyyPyCero

)(][

0202 1111 wPyywyóuPyyuy )()(

02 11 wPyywy )(

Caso general…

Al realizar la separación de variables y la integración tenemos:

Resolvemos esta última ecuación con w=u´, y se integra de nuevo.

Pdx

ecwyócPdxwy

Pdxdxyy

wdw

wPyywy

12

12

1

1

11

02

02

ln

´)(

Caso general…

Así:

Al elegir c1=1 y c2=0, se encuentra de y=u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 es:

NOTA:y1 y y2 son soluciones linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.

221

1 cdxyecu

Pdx

dxyexyy

Pdx

21

12 )(

Problema

Si la función y=x2 es una solución de la ecuación diferencial:

Obtenga la solución general (por el principio de superposición) para la ecuación diferencial en el intervalo (0,+Inf).

0432 yyxyx