Unidad 2 Metodos Numericos

7/30/2019 Unidad 2 Metodos Numericos

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Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos

Ing. En Sistemas Computacionales

Nombre del Alumno: SANCHEZ LAGUNES DEYSY

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

Semestre: 4 Grupo: A

Nombre del Docente: De la cruz Tadeo Nila candelaria

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

Unidad 2: Mtodos numricos.


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INDICE

Introduccin...1

2.1Mtodos de intervalo.2

2.2Mtodo de biseccin.......2

2.3Mtodo e aproximacionessucesivas.....4

2.4Mtodos de interpolacin......5

2.5Aplicaciones..6

Conclusin..9


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INTRODUCION

Esta unidad trata de los mtodos de intervalo se dice que los mtodos de

intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del

cambio de signo de una funcin en inmediaciones de una raz.

Su nombre se debe a que necesitan como mnimo dos valores que formen un

intervalo que encierre la raz. El mtodo de biseccin es uno de los mtodos ms

sencillos y de fcil intuicin para resolver ecuaciones en una variable este es

basado en el teorema de los valores intermedios. Las aproximaciones sucesivas

es uno de los procedimientos ms importantes y ms sencillos de codificar, la

interpolacin obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un

conjunto discreto de puntos.


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2.1 Mtodos de Intervalos

Los mtodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente

en el hecho del cambio de signo de una funcin en inmediaciones de una raz.

Se llaman mtodos de los intervalos porque se necesitan como mnimo dos

valores que forman un intervalo que encierra la raz.

Se observa como la funcin cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raz c

.Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la funcin pasa del cuadrante

positivo al negativo de x. En algunos casos, que se vern ms adelante esto no

ocurre as, por ahora se asumir como se ha mostrado. Los mtodos abiertos

utilizan estos cambios de signo para poder ubicar en la raz (punto c), pero es

necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]).

De igual manera sucede cuando la funcin pasa por el punto e, el cambio ocurre

de -f(x) a + f(x), para hallar la raz el mtodo necesita un intervalo como el [d,f].

Los mtodos de Intervalos que se vern en la ctedra son:

a. Mtodo Grfico

b. Mtodo de Biseccin

2.2 Mtodo de biseccin.

Este es uno de los mtodos ms sencillos y de fcil intuicin para resolver

ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios

(TVI), el cual establece que toda funcin continua fes un intervalo cerrado [a,b].

Toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor

entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de

que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sera un valor intermedio

entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe unp en [a,b] que cumple f(p)=0. De

esta forma, se asegura la existencia de al menos una solucin de la

ecuacin f(a)=0.


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El mtodo consiste en lo siguiente: de antemano, debe existir seguridad sobre la

continuidad de la funcin f(x) en el intervalo [a,b]. A continuacin se verifica

que . Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evala f(m) si

ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raz buscada. En caso de que

no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b). Se redefine el

intervalo [a, b] como [a, m] [m, b] segn se haya determinado en cul de estos

intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se contina

sucesivamente encerrando la solucin en un intervalo cada vez ms pequeo,

hasta alcanzar la precisin deseada. En la siguiente figura se ilustra el

procedimiento descrito.

El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es

mucho ms seguro para garantizar la convergencia. Si fes una funcin

continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este mtodo converge a la

raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

En la n-sima iteracin. La biseccin converge linealmente, por lo cual es un poco

lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran ms de una raz en el intervalo entonces el mtodo sigue siendo

convergente pero no resulta tan fcil caracterizar hacia qu raz converge el

mtodo.
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton


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2.3 Mtodo de aproximaciones sucesivas

El mtodo de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos ms

importantes y ms sencillos de codificar. Supongamos la ecuacin

Donde f(x) es una funcin continua que se desea determinar sus races reales. Se

sustituye f(x) por la ecuacin equivalente

Se estima el valor aproximado de la razx0, y se sustituye en el segundo miembro

de la ecuacin para obtenerx1.

Poniendo x1 como argumento de , obtendremos un nuevo nmero x2, y as

sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la frmula.

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un lmite, la solucin es

El mtodo de iteracin se explica geomtricamente mediante el grfico de la

figura. Se dibuja la curva , y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La

abscisa del punto de interseccin es la raz buscada.

Un ejemplo tpico es la de encontrar la raz de la ecuacin

Para encontrar la raz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro

del intervalo (0,

luego, desde este punto, se traza una lnea horizontal hasta que se alcanza la

recta bisectriz, este punto tendr por abscisax1.


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Se traza de nuevo, una lnea vertical hasta encontrar a la curva, y otra lnea

horizontal hasta encontrar la lnea recta, el punto de interseccin tiene de abscisa

x2 , y as sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesin x1, x2,

x3... tiende hacia la raz de la ecuacin buscada.

Tal como nos sugiere la representacin grfica de la funcin en la figura, la raz

buscada est en el intervalo 0

x0, en dicho intervalo y aplicamos la frmula (1), su codificacin no presenta

grandes dificultades.

double x=0.5;

while(true){

x=Math.cos(x);

}

2.4 Mtodos de Interpolacin.

En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se denomina interpolacin a la

obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de

puntos.

En ingeniera y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto nmero depuntos obtenidos pormuestreo o a partir de un experimento y pretender construir

una funcin que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolacin es la aproximacin

de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo

clculo resulta costoso, podemos partir de un cierto nmero de sus valores e

interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple. En general, por

supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funcin obtenida quesi evalusemos la funcin original, si bien dependiendo de las caractersticas del

problema y del mtodo de interpolacin usado la ganancia en eficiencia puede

compensar el error cometido.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreohttp://es.wikipedia.org/wiki/Experimentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Experimentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una

funcin f que verifique

a la que se denomina funcin interpolante de dichos puntos. A los puntosxk se les llama nodos.

Algunas formas de interpolacin que se utilizan con frecuencia son

la interpolacin lineal, la interpolacin polinmica (de la cual la anterior es un

caso particular), la interpolacin por medio de spline o la interpolacin

polinmica de Hermite.

En general, en la interpolacin lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb),

para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente frmula:

La interpolacin lineal es rpida y sencilla, pero no muy precisa.

2.5 Aplicaciones

METODO DE BISECCION EN LENGUAJE DE PROGRAMACION

El procedimiento biseccin puede utilizarse para resolver muchos tipos de

problemas. Por ejemplo, para resolver ecuaciones de una variable sin tener que

despejar, para encontrar la raz cuadrada de 2,

haz "x biseccion [[x] :x * :x - 2] 0 2

escribe :x

1.41421356145293

escribe :x * :x

1.99999999739737
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Splinehttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Hermitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Hermitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Hermitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Hermitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Splinehttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_lineal


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para encontrar las races de un polinomio: f(x) = x5 + x4 - 3 x3 - 2

haz "f [[x] :x*:x*:x*:x*:x + :x*:x*:x*:x - 3*:x*:x*:x - 2]

borrapantalla

graflineas [] recorrido :f dominio [-2.5 2 100]

escribe biseccin :f -2.5 -2

-2.25364402215928

escribe biseccion :f -2 0

-0.862353793345392

escribe biseccion :f 0 2

1.46975488495082

escribe formatonumero (invoca :f -2.25364402215928) 10 100.0000000192

escribe formatonumero (invoca :f -0.862353793345392) 10 10

0.0000000049

escribe formatonumero (invoca :f 1.46975488495082) 10 10

0.0000000107

APLICACION DE METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

public abstract class Ecuacion {protected static final double ERROR=0.001;

public double raiz(double x0){

double x1;

while(true){

x1=f(x0);

if(Math.abs(x1-x0)


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abstract public double f(double x);

}

public class Funcion1 extends Ecuacion{

public double f(double x){return Math.cos(x);

}

}

public class Funcion2 extends Ecuacion{

public double f(double x){

return Math.pow(x+1, 1.0/3);

}}


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CONCLUSIN

Los mtodos de interpolacin utilizan una propiedad muy importante que

consistente en el hecho del cambio de signo de una funcin en inmediaciones de

una raz. Existen diferentes tipos de mtodos de los cuales podemos hacer uso enla vida cotidiana o en diferentes reas, el mtodo de biseccin unas de sus

aplicaciones es en la programacin ya que es un mtodo muy sencillo que se basa

en el teorema de los valores intermedios tambin estn los mtodos de

interpolacin y de aproximaciones sucesivas que uno como ingeniero en sistemas

lo puede aplicar en sus reas de trabajo.


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Bibliografa .

Steven Chapra y R. P. Canale, Mtodos numricos para ingenieros,

McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed.

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