Unidad 3 anualidades y gradientes

Finanzas del ProyectoUnidad 3 Anualidades y Gradientes

Carlos Mario Morales C

Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017

Concepto de anualidad

Tipos de anualidad

Anualidad - valor presente

Anualidad – pagos a partir del valor presente

Anualidad - valor futuro

Anualidad – pagos a partir del valor Futuro

Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor Presente

Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor futuro

Anualidad - Tasa de interés a partir del VP o VF

Anualidades anticipadas

Anualidades anticipadas – Valor presente

Anualidades anticipadas – Valor futuro


Anualidad diferidas – valor presente

Anualidad diferida – valor futuro

Anualidad perpetua – valor presente

Gradiente: definición

Gradiente aritmético – Valor presente

Gradiente aritmético – valor futuro

Gradiente aritmético infinito

Gradiente geométrico – Valor presente

Gradiente geométrico – Valor futuro

Gradiente geométrico infinito.


Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de

calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se

hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o

decrecientes

Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor

actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de

operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.


Serie de pagos de una operación financiera que cumple

con las siguientes condiciones:

1. Pagos de igual valor

2. Intervalos de pago iguales

3. La misma tasa de Interés para todos los pagos

4. Número de pagos igual número de periodos

AnualidadesConcepto


1 2 …. n0

VP = ¿?

A

AnualidadesModelo: Valor presente de una serie de pagos

𝑉𝑃 = 𝐴 1 − (1 + 𝑖 −𝑛

𝑖; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C


1 2 …. n0

VP

A = ¿?

AnualidadesModelo: Pagos a partir del Valor Presente

De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴.

𝐴 = 𝑉𝑃𝑖

1 − (1 + 𝑖 −𝑛


1 2 …. n0

VF = ¿?

A

AnualidadesModelo: Valor Futuro a partir de una serie de pagos

Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo.

𝑉𝐹 = 𝐴(1 + 𝑖 𝑛−1

𝑖𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0


1 2 …. n0

VF

A = ¿?

AnualidadesModelo: Pagos a partir del Valor Futuro

𝐴 = 𝑉𝐹𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.


1 2 …. n = ¿?0

VP

A

AnualidadesModelo: Número de Pagos a partir del Valor Presente

𝑛 = log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃

log 1 + 𝑖


1 2 …. n = ¿?0

VF

A

AnualidadesModelo: Número de Pagos a partir del Valor Futuro

𝑛 =𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴

𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖


AnualidadesModelo: Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro

1 2 …. n0

VP

A

𝑖 = ¿?

Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir:

el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de

pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a

partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de

ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución

analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de

tanteo y error

La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:

1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la

ecuación.

2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se

disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se

aumenta la tasa y se vuelve a calcular

3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro

menor, suficientemente aproximados a los valores de la

igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por

interpolación

𝑉𝑃 = 𝐴1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

𝑉𝐹 = 𝐴(1 + 𝑖 𝑛−1

𝑖


Anualidades Anticipadas

En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de

cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de

seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades

anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que

se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se

comparan las anualidades vencidas y anticipadas

0

1 2 3 n-2 n-1 n

Anualidad Vencida

2 31 n-1 n

Anualidad Anticipada


Anualidades AnticipadasModelo: Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados

𝑉𝑃 = 𝐴 1 + 1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1

𝑖

0

𝑉𝑃 = ¿?

2 31 n-1 n

A


Anualidades AnticipadasModelo: Valor futuro de una serie de pagos anticipados

𝑉𝐹 = 𝐴1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖1 + 𝑖

0

𝑉𝐹 = ¿?

2 31 n-1 n

A


Anualidades Diferidas

1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

A

𝑽𝑷

𝒊

0

Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente

después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los

pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en

estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este

tipo de actividades.



Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de

la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando

para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor presente

en el periodo 0.

Modelo: Valor Presente de una serie de pagos diferidos

1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

A

𝑽𝑷

𝒊

0



Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la

anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para

ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor futuro en el

periodo n.

Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos diferidos

1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

A

𝑽𝑭 = ?

𝒊

0


Anualidades PerpetuasModelo: Valor Presente de una serie de pagos perpetuo

1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞

A

𝑽𝑷

i

0

Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con

exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos

matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de

una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito

𝑉𝑃 =𝐴

𝑖; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0


Gradientes Definición

Serie de pagos que cumplen con las siguientes

condiciones:

Los pagos cumplen con una ley de formación

Los pagos se efectúan a iguales intervalos de

tiempo

Todos los pagos se calculan a la misma tasa

de interés

El número de pagos es igual al número de

periodos

0 1 2 3 n…

A

𝑉𝑃

𝑖


Gradientes Ley de formación

La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un

sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas

son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar

cuotas crecientes o decrecientes

Creciente

Decreciente

Aritmético

Creciente

Decreciente

Geométrico

Creciente

Decreciente

Otros


Gradiente Aritmético

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌

𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌

𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,

más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,

negativa lo cual genera cuotas decrecientes

Ley de formación

𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

………………………

𝐴𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜


Gradiente aritmético Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente

𝑉𝑃 = 𝐴1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖+

𝐾

𝑖

1 − (1 + 𝑖 −𝑛

𝑖−

𝑛

1 + 𝑖 𝑛

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌

𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌

𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌


Gradiente aritmético Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes aritméticamente

𝑉𝐹 = 𝐴1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖+

𝐾

𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖− 𝑛

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑭

𝒊

𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌

𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌

𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌


Gradiente aritmético Modelo: Valor presente de una serie de pagos infinitos crecientes aritméticamente

𝑉𝑃 =𝐴

𝑖+

𝐾

𝑖2

Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor

presente, como equivalente de dichos pagos.

∞0 1 2 3 n-2 n-1 …

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨 + 𝒌𝑨 + 𝟐𝒌

𝑨 + (𝒏− 𝟑 𝒌

𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌


Gradiente Geométrico

Ley de formación

𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜

𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟑 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

………………………

𝐴𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨(𝟏 + 𝑮

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una

constante, así como se indica


Gradiente Geométrico Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes geométricamente

𝐕𝐏

=𝑨

𝐺 − 𝑖

1 + 𝐺 𝑛

1 + 𝑖 𝑛− 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖

=𝑛𝐴

1 + 𝑖𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨(𝟏 + 𝑮

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏


Gradiente Geométrico Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes geométricamente

𝑽𝑭

=𝐀

𝐺 − 𝑖1 + 𝐺 𝑛 − 1 + 𝑖 𝑛 ; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖

=𝑛A

1 + 𝑖 −𝑛+1 ; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨

𝑽𝑭

𝒊

𝑨(𝟏 + 𝑮

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏


Gradiente Geométrico Modelo: Valor Presente de una serie de pagos infinito crecientes geométricamente

𝐕𝐏

=𝐴1

𝑖 − 𝐺; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖

= ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖∞0 1 2 3 n-1 n ….

𝑨

𝑽𝑷

𝒊

𝑨(𝟏 + 𝑮

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐

𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

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