7/24/2019 Unidad 3 Calculo

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Unidad 3: Funciones Vectoriales De

Una Variable Real

Funciones vectoriales de una variable real

Usualmente cualquier vector adquiere la forma general F=A + B + C . Cuando los valoresde A, B y C dependen de un solo factor, sea t, entonces la ecuacin puede ser escritacomo Ft! = "t! + yt! + #t!

Un vector de esta forma es llamado funcin vectorial de una variable real,porque el valordel vector depende de una sola variable, aqu$ esta variable es t. %l valor de la funcinvariar& con cada cambio en el valor de t.

'os valores de "t!, yt! y #t! se llaman componentes o funciones componentes de Ft!.Algunas propiedades de la funcin principal del vector depender&n de las funciones

componentes.

( ) *i todas las funciones componentes de una funcin vectorial Ft!son continuas, sloentonces la funcin Ft! es continua. araencontrar la derivada de una funcin dada,necesitamos encontrar la derivada de los componentes individuales.

Esto es, para F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

%emplo- F t! = ti+sint + et/

Entonces, F (t) = 9t2i+cost j + etk

A medida que los valores de 0t1 cambien, los componentes formar&n una curva en un plano2, que ser& el lugar de los puntos "t!, yt! e #t!. %sto se ilustra con la siguiente figura3

%n la figura anterior, a medida que cambia el valor de t en Ft!, podemos obtenerdiferentes valores para los vectores, los cuales son representados como "t!, yt!, #t!!.

Una funcin valorada vectorial de dos dimensiones, esto es, una funcin vectorial de una

variable, se denota como f- 4 45. or eemplo, para alg6n n6mero real, sea /, una

funcin vectorial de una variable en dos dimensiones puede ser escrita como f/! = 5/,3/!.Aqu$, en lugar del 5 puede utili#arse otra constante.

Una funcin vectorial de dos dimensiones toma un plano y los vectores unitarios quedenotan el plano son y . %sto significa que el rango de tal funcin es bidimensional.

Un concepto interesante en relacin a las funciones vectoriales es que incluso un vectormultidimensional puede ser transformado en un vector de dos dimensiones. *upongamosuna funcin f", y, #!. Una manera de convertirla en una funcin de dos dimensiones es "

7 y, "558 #!. %sto en cualquier caso no la convertir$a en una funcin de una variable.

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Una funcin vectorial de una variable tiene su dominio sobre el conunto completo de losn6meros reales, esto es, 4. *in embargo, no ocurre lo mismo en el caso de todas lasfunciones. 9uc:as de las funciones tienen su dominio limitado a slo unos pocosn6meros reales. or tanto, el dominio de estas funciones se escribe como,

f- * 4 45

Aqu$ f es la funcin dada, y * representa el dominio de la funcin, la cual es unsubconunto de los n6meros reales. or eemplo, sabemos que el dominio de la funcinlog son todos los n6meros reales mayores que cero, por consiguiente, el dominio de lafuncin log"! + " ser$a * = = ;, !.

3.1 Definicion De Funcion Vectorial De Una

Variable

2efinicin de Funciones

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Un punto digno de mencin es que el dominio de la funcin vectorial es la interseccin delos dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango dela funcin vectorial.

2espus de :aber le$do la definicin de una funcin valorada vectorial, es importantesaber, por qu surgi la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando yaten$amos otras funciones con nosotros Una funcin vectorial representa principalmenteuna funcin que var$a con respecto al tiempo.

omemos el eemplo de una abea. 'a trayectoria que esta tra#a mientras vuela puede serdescrita en trminos de variables de " e y en un espacio tridimensional, pero esta nonosproveer$a ninguna informacin con respecto al tiempo de vuelo. %n otras palabras, talfuncin solo nos dar$a informacin sobre el camino recorrido por la abea.

As$ que imaginemos que la abea comen# su vuelo en la posicin r>. or tanto el vector

de posicin que describe la posicin de inicio de la abea puede ser representado como,

A:ora, despus de un tiempo esta abea se detiene en la posicin r5 sobre el plano "3y.%n consecuencia, podemos utili#ar otro vector para representar la posicin final de laabea como,

%ntonces, el camino recorrido por esta abea ser$a una serie de vectores que comien#anen r> y terminan en r5. %stos vectores son los vectores de posicin, que representan slola punta de la flec:a del vector en el diagrama anterior. @ a medida que pasa el tiempo,los vectores cambian de r> a r5.

Aqu$ los vectoresr> y r5 son iguales, de :ec:o el vector r>cambia con el tiempo paratomar la posicin de r5. %s por esto que una funcin vectorial puede ser escrita como,

%s decir, todos los componentes de la presente funcin son funciones del tiempo, dadoque var$an con el tiempo.