Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

19

PRODUCTOS NOTABLES. Producto notable significa "un resultado notable o especial de una cierta multiplicación". Los productos notables son reglas que se las utiliza para obtener el resultado de algunas multiplicaciones de factores de una forma rápida, sin necesidad de realizar la operación. La aplicación de estas reglas simplifica y sistematiza la resolución de mu-chas multiplicaciones habituales. Los principales PRODUCTOS NOTABLES son los siguientes: El cuadrado de la suma de dos términos. (! + !)! El cuadrado de la diferencia de dos términos. (! − !)! El producto de dos binomios conjugados. (! + !)(! − !) El cubo de la suma de dos términos. (! + !)! El cubo de la diferencia de dos términos. (! − !)! 1. EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. (! + !)! El binomio (! + !)!, se lee: “El cuadrado de la suma de dos términos” y significa que se tiene que multiplicar dos veces la base (a + b), es decir: (! + !)! = (! + !)(! + !). Al realizar la multiplicación de estos dos factores se obtiene como resultado: (! + !)! = !! + 2!" + !! De donde se obtiene la siguiente regla: “El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo termino, más el cuadrado del segundo término”. Ejemplo: Desarrollar el binomio: (2! + 3!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (2!)! = 4!! * Más el doble producto del primero por el segundo termino, 2 2! 3! = 12!" * Más el cuadrado del segundo término. (3!)! = 9!! Por lo tanto (2! + 3!)! = 4!! + 12!" + 9!! Ejemplo: Desarrollar el binomio: (4!! + 3!!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (4!!)! = 16!! * Más el doble producto del primero por el segundo termino, 2 4!! 3!! = 24!!!! * Más el cuadrado del segundo término. (3!!)! = 9!!" Por lo tanto (4!! + 3!!)! = 16!! + 24!!!! + 9!!" Ejemplo: Desarrollar el binomio: (3!! + 5!!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (3!!)! = 9!! * Más el doble producto del primero por el segundo termino, 2(3!!) 5!! = 30!!!! * Más el cuadrado del segundo término. (5!!)! = 25!!" Por lo tanto (3!! + 5!!)! = 9!! + 30!!!! + 25!!" 2. EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. (! − !)! El binomio (! − !)!, se lee: “El cuadrado de la diferencia de dos términos” y significa que se tiene que multiplicar dos veces la base (a - b), es decir: (! − !)! = (! − !)(! − !). Si se realiza la multiplicación de estos dos factores se obtiene como resultado: (! − !)! = !! − 2!" + !! De donde se obtiene la siguiente regla: “El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo termino, más el cuadrado del segun-do término”.

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

20

Ejemplo: Desarrollar el binomio: (3! − 7!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (3!)! = 9!! * Menos el doble producto del primero por el segundo termino, −2 3! 7! = −42!" * Más el cuadrado del segundo término. (7!)! = 49!! Por lo tanto: (3! − 7!)! = !9!! − 42!" + 49!! Ejemplo: Desarrollar el binomio: (7!! − 5!!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (7!!)! = 49!! * Menos el doble producto del primero por el segundo termino, −2 7!! 5!! = −70!!!! * Más el cuadrado del segundo término. (5!!)! = 25!! Por lo tanto (3! − 7!)! = 49!! − 70!!!! + 25!! Ejemplo: Desarrollar el binomio: (8!! − 6!!)! Solución: * Al cuadrado del primer término, (8!!)! = 64!! * Menos el doble producto del primero por el segundo termino, −2 8!! 6!! = −96!!!! * Más el cuadrado del segundo término. (6!!)! = 36!!" Por lo tanto (8!! − 6!!)! = 64!! − 96!!!! + 36!!" TALLER Desarrollar los siguientes cuadrados de la suma de dos cantidades.

1. (! + 3)! 2. (5 + !)! 3. (6! + !)! 4. (10 + 3!)! 5. (! + 4!)! 6. (5! + 3!)! 7. (2! + 3!)! 8. (4!! + 3!!)! 9. (2!! + 5!!)! 10. (5!! + 2!!)! 11. (7!! + 6!!!)! 12. (2!! + 8!!)! 13. (4!! + 9!!!)! 14. (3!! + 3!!)! 15. (5!! + 10!!!)!

Desarrollar los siguientes cuadrados de la diferencia de dos cantidades.

1. (2! − 3)! 2. (5! − !)! 3. (6! − 4!)! 4. (10! − 3!)! 5. (3! − 4!)! 6. (5! − 10!)! 7. (2! − 13!)! 8. (4!! − 5!!)! 9. (3!! − 5!!)! 10. (5!! − 4!!)! 11. (3!! − 6!!!)! 12. (4!! − 8!!)! 13. (4!! − 5!!!)! 14. (8!! − 3!!)! 15. (5!! − !!!)!

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

21

3. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS: (! + !)(! − !) A la expresión algebraica (! + !)(! − !), se llama “Producto de dos binomios Conjugados” o también se denomi-na el “Producto de la Suma por la Diferencia de dos Términos”. La característica fundamental de los Binomios Conjugados, es que tienen los mismos términos, pero se diferencian porque uno de sus términos en uno cualquiera de sus factores ya sea el primero o segundo factor tiene un termino con signo contrario u opuesto. Es decir: (a + b) (a – b). Por ejemplo:

Para resolver El producto de dos binomios conjugados se aplica la siguiente regla: “El producto de dos Bino-mios Conjugados es igual al cuadrado de los primeros términos, menos el cuadrado de los segundos tér-minos.” Es decir: ! + ! ! − ! = !! − !!. Ejemplo: Resolver ! + 3 ! − 3 Solución: Cuadrado de los primeros términos: !! Menos el Cuadrado de los segundos términos : −3! = −9 Luego ! + 3 ! − 3 = !!! − 3! !!!!!!!!!!!!!!! ! + 3 ! − 3 = !!! − 9 Ejemplo: Resolver ! + 5 ! − 5 Solución: Cuadrado de los primeros términos: !! Menos el Cuadrado de los segundos términos : −5! = −25 Luego ! + 5 ! − 5 = !!! − 5! !!!!!!!!!!!!!!! ! + 5 ! − 5 = !!! − 25 TALLER Encontrar el producto de los binomios conjugados propuestos:

1. (! + !)(! − !) 2. (! + !)(! − !) 3. (3! + 4!)(3! − 4!) 4. (5! + 6!)(5! − 6!) 5. (7! + 8!)(7! − 8!) 6. (4! + 5!)(4! − 5!) 7. (3! + 9!)(3! − 9!) 8. (11! + 2!)(11! − 2!) 9. (3!! + !!)(3!! − !!) 10. (!! + !!)(!! − !!) 11. (4!! + 5!!)(4!! − 5!!) 12. (2!! + !!)(2!! − !!) 13. (5!! + 4!!)(5!! − 4!!) 14. (3!! + 7!!)(3!! − 7!!) 15. (9!! + 2!!)(9!! − 2!!) 16. (3!!! + 5!!!)(3!!! − 5!!!)

4. EL CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS El binomio (! + !)!, se lee: “El cubo de la suma de dos términos “ y significa que se tiene que multiplicar tres ve-ces la base (a + b), es decir: (! + !)! = (! + !)(! + !)(! + !). Al realizar la multiplicación de estos tres factores se obtiene como resultado: (! + !)! = !! + 3!!! + 3!"! + !! De donde se obtiene la siguiente regla: “El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer tér-mino más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo termino, más el triple produc-to del primer término por el cuadrado del segundo termino, más el cubo del segundo término”.

Binomio Propuesto Binomio Conjugado (h + g) (h - g)

(2xy + z) (2xy – z) (xy + z) (xy - z) (!! + 4) (!! − 4)

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

22

Ejemplo: Desarrollar (2!! + 4)! (2!! + 4)! = (2!!)! + 3(2!!)! 4 + 3(2!!)(4)! + (4)! (2!! + 4)! = 2!!! + 3 2!!! 4 + 3 2!! (4!) + (4!) (2!! + 4)! = 8!! + 3 4!! 4 + 3 2!! 16 + 64 (2!! + 4)! = 8!! + 48!! + 96!! + 64 Ejemplo: Desarrollar (3!! + !!)! (3!! + !!)! = (3!!)! + 3(3!!)! !! + 3(3!!)(!!)! + (!!)! (3!! + !!)! = (3!!!") + 3 3!!! !! + 3 3!! (!!") + (!!") (3!! + !!)! = 27!!" + 3 9!! !! + 3 3!! !!" + (!!") (3!! + !!)! = 27!!" + 27!!!! + 9!!!!" + !!" Ejemplo: Desarrollar (2!! + 3!!)! (2!! + 3!!)! = (2!!)! + 3(2!!)! 3!! + 3(2!!)(3!!)! + (3!!)! (2!! + 3!!)! = (2!!!) + 3 2!!! 3!! + 3 2!! (3!!!) + (3!!!) (2!! + 3!!)! = 8!! + 3 4!! 3!! + 3 2!! 9!! + (27!!) (2!! + 3!!)! = 8!! + 36!!!! + 54!!!! + 27!! TALLER Desarrollar los siguientes cubos de la suma de dos términos.

1. (! + 2)! 2. (! + 3)! 3. (! + 5)! 4. (! + 2!)! 5. (! + 3!)! 6. (2! + 4!)! 7. (3! + !)! 8. (4! + 2!!)! 9. (2!! + !!)! 10. (!! + 2!!)! 11. (!! + !!)! 12. (2!! + !!)! 13. (!! + 4!!)! 14. (!! + 5!!)! 15. (3!! + !!)!

5. EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS. El binomio (! − !)!, se lee: “El cubo de la diferencia de dos términos “ y significa que se tiene que multiplicar tres veces la base (a - b), es decir: (! − !)! = (! − !)(! − !)(! − !). Al realizar la multiplicación de estos tres factores se obtiene como resultado: (! − !)! = !! − 3!!! + 3!"! − !! De donde se obtiene la siguiente regla: “El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo termino, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo termino, menos el cubo del segundo término”. Ejemplo: Desarrollar (!! − 4)! (!! − 4)! = (!!)! − 3(!!)! 4 + 3(!!)(4)! − (4)! (!! − 4)! = !! − 3 !! 4 + 3 !! 16 − 64 (!! − 4)! = !! − 12!! + 48!! − 64 Ejemplo: Desarrollar (3!! − !!)! (3!! − !!)! = (3!!)! − 3(3!!)! !! + 3(3!!)(!!)! − (!!)! 3!! − !!)! = (3!!! − 3 3!!! !! + 3 3!! !!" − (!!") (3!! − !!)! = 27!! − 3 9!! !! + 3 3!! !!" − (!!")

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

23

(3!! − !!)! = 27!! − 27!!!! + 9!!!!" − !!" Ejemplo: Desarrollar (2!! − 3!!)! (2!! − 3!!)! = (2!!)! − 3(2!!)! 3!! + 3(2!!)(3!!)! − (3!!)! 2!! − 3!!)! = (2!!! − 3 2!!! 3!! + 3 2!! 3!!! − (3!!!) (2!! − 3!!)! = 8!! − 3 4!! 3!! + 3 2!! 9!! − (27!!) (2!! − 3!!)! = 8!! − 36!!!! + 54!!!! − 27!! TALLER Desarrollar los siguientes cubos de la suma de dos términos.

1. (4! − 2)! 2. (3! − 3)! 3. (4! − 5)! 4. (3! − 2!)! 5. (5! − 3!)! 6. (! − 4!)! 7. (! − !)! 8. (4! − !!)! 9. (2!! − 7!!)! 10. (!! − !!)! 11. (4!! − !!)! 12. (2!! − 5!!)! 13. (!! − 3!!)! 14. (4!! − 5!!)! 15. (3!! − 2!!)!

RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTO NOTABLE ECUACIÓN El Cuadrado de la Suma de dos Términos (! + !)! = !! + 2!" + !! El Cuadrado de la Diferencia de dos Términos (! − !)! = !! − 2!" + !! El Producto de dos Binomios Conjugados ! + ! ! − ! = !! − !! El Cubo de la Suma de dos Términos (! + !)! = !! + 3!!! + 3!"! + !! El Cubo de la Diferencia de dos Términos (! − !)! = !! − 3!!! + 3!"! − !!