UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC
Transcript of UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC
UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC
Tema 4.1.
Circuitos de primer orden
1
Elementos pasivos: Condensador
Elemento que almacena energía en forma de carga eléctrica, proporcional a la tensión entre sus extremos.
Compuesto por dos placas conductoras separadas por un material aislante.
C = capacidad
Unidades: Faradios [F]
1F=1C/1V
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝐴𝐵
𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑣𝐴𝐵(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝑣𝐴𝐵 𝑡0 +1
𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡𝑡
𝑡0
C
A B
I
C
2
Comportamiento de C en continua
En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.
En un condensador, i(t) = C∙dvAB(t)/dt = C∙0 = 0
i(t)=0 -> El condensador equivale a un circuito abierto.
Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen los condensadores por circuitos abiertos:
+
- 5V
2KΩ
6KΩ 5mF +
- 5V
2KΩ
6KΩ
3
Tipos de condensadores
4
¿Dónde hay condensadores?
Flash
Vehículo eléctrico
Equipo corrección factor potencia Circuito electrónico
5
Elementos pasivos: Bobina
Elemento que almacena energía magnética.
Compuesto por un hilo conductor devanado en forma helicoidal.
L = inductancia.
Unidades: Henrios [H].
𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑡0 +1
𝐿 𝑣𝐴𝐵 𝑡 𝑑𝑡𝑡
𝑡0
L
A B
I
L
I
6
Comportamiento de L en continua
En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.
En una bobina, vAB(t) = L∙di(t)/dt = L∙0 = 0
vAB(t)=0 -> La bobina equivale a un cortocircuito.
Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos :
+
- 5V 6KΩ +
- 5V
10mH
6KΩ
7
Tipos de bobinas
8
¿Dónde hay bobinas?
Ferrita (interferencias)
Transformador
Circuito electrónico
Cocina inducción
Motor eléctrico
9
Principio de dualidad
Bobinas y condensadores son elementos duales.
Su modelo matemático coincide con sólo cambiar C por L y V por I: Condensador: i(t) = C∙dv(t)/dt
Bobina: v(t) = L∙di(t)/dt
En DC, un condensador es un circuito abierto.
En DC, una bobina es un cortocircuito.
10
Asociación de bobinas en serie
Elementos en serie:
Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.
Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.
L1 L2 A B C
Leq A C
Las inductancias en serie se suman.
Leq = L1 + L2
11
Asociación de bobinas en paralelo
Elementos en paralelo:
Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.
En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
A
L1 L2
B
Leq
A
B
𝟏
𝐋𝐞𝐪=𝟏
𝐋𝟏+𝟏
𝐋𝟐
Los inversos de las inductancias en paralelo se suman.
12
Asociación de condensadores en serie
Elementos en serie:
Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.
Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.
C1 C2 A B C
Ceq A C
Los inversos de las capacidades en serie se suman.
𝟏
𝐂𝐞𝐪=𝟏
𝐂𝟏+𝟏
𝐂𝟐
13
Asociación de condensadores en paralelo
Elementos en paralelo:
Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.
En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
Las capacidades en paralelo se suman.
C1 C2
A
B
Ceq
A
B
Ceq = C1 + C2
14
Régimen permanente vs. transitorio
Régimen permanente o estacionario: es la respuesta de un circuito para tiempos que tienden a ∞.
Régimen permanente en DC: las tensiones y corrientes son constantes.
Régimen permanente en AC: las tensiones y corrientes son funciones cosenoidales.
15
Régimen permanente vs. transitorio
Régimen transitorio: es la respuesta de un circuito para tiempos pequeños.
Sólo estudiaremos Régimen transitorio en DC.
Dos tipos de circuitos:
Circuitos de primer orden
Circuitos de segundo orden
16
Circuitos de primer orden Características
Su comportamiento se representa por una ecuación diferencial de primer orden.
Los circuitos de primer orden se pueden reducir a:
+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
Is
R C
CIRCUITO RC
17
Circuitos de primer orden Características
Cualquier circuito con una sola bobina o un solo condensador es un circuito de primer orden, basta hacer los equivalentes de Thevenin o Norton para el resto del circuito:
L ? C ?
18
Circuitos de primer orden Características
Si hay varias bobinas o varios condensadores pero se pueden reducir a un solo elemento por agrupaciones serie o paralelo estamos en el mismo caso.
Si en el circuito hay simultáneamente bobinas y condensadores, el circuito NO es de primer orden.
19
Ecuación diferencial de primer orden Circuitos RL y RC
Ecuación de malla:
−Vs + VR + VL=0
−VS + i · R + Ldi
dt= 0
di
dt+R
L· i =
VSL
Ecuación de nodo:
−IS + i1 + i2=0
−IS +v
R+ C
dv
dt= 0
dv
dt+1
RC· v =
ISC
+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
i
Solución: i(t)
Is
R
C
CIRCUITO RC
i1 i2
v
Solución: v(t)
20
Ecuación diferencial de primer orden
Ecuación de malla:
−Vs + VR + VL=0
−VS + i · R + Ldi
dt= 0
di
dt+R
L· i =
VSL
Ecuación de nodo:
−IS + i1 + i2=0
−IS +v
R+ C
dv
dt= 0
dv
dt+1
RC· v =
ISC
dx(t)
dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
21
Ecuación diferencial de primer orden Solución general
Ecuación diferencial:
dx(t)
dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏
Solución:
x t =𝑏
𝑎+ 𝑘 · e−𝑎t
o a, b, k son constantes
o x(t) es la variable; para el circuito RL es la corriente de malla i(t) y para el circuito RC es la tensión de nodo v(t).
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
x 0 =𝑏
𝑎+ 𝑘
𝑘 = x 0 −𝑏
𝑎
22
Ecuación diferencial de primer orden Circuito RL
Ecuación diferencial: di
dt+R
L· i =
VSL
Solución:
i t =VSR+ k · e−
RLt
o VS, R, L son datos del circuito
o i(t) es la corriente de malla del circuito RL
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
k = i 0 −VSR
23
Ecuación diferencial de primer orden Circuito RC
Ecuación diferencial: dv
dt+1
RC· v =
ISC
Solución:
v t = IS · R + k · e−1RCt
o VS, R, C son datos del circuito
o v(t) es la tensión de nodo del circuito RC
o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:
k = v 0 − IS · R
24
Ecuación diferencial de primer orden Representación gráfica de x(t)
25
• En el gráfico, la constante de tiempo τ es el instante de tiempo en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de x(t).
• En el circuito RL, τ=L/R, y en el circuito RC, τ=RC. Las unidades de τ son segundos.
Métodos de resolución de problemas
Método de la ecuación diferencial o método de reducción.
Método paso por paso
26
Método de la ecuación diferencial
Caso: circuitos con bobinas
27
+
-
R
L VS
CIRCUITO RL
i
di
dt+R
L· i =
VSL
i t =VSR+ k · e−
RLt
• el valor de k se obtiene
aplicando C.I.:
k = i 0 −VSR
1) Reducir a: 2) Encontrar i(t):
3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de i(t)
Método de la ecuación diferencial
Caso: circuitos con condensadores
28
dv
dt+1
RC· v =
ISC
v t = IS · R + k · e−1RCt
• el valor de k se obtiene
aplicando C.I.: k = v 0 − IS · R
1) Reducir a: 2) Encontrar v(t):
Is
R
C
CIRCUITO RC
i1 i2
v
3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de v(t)
Método de la ecuación diferencial ¿Por qué se trabaja con i(t) para las bobinas y con v(t)
para los condensadores?
29
Porque es más fácil aplicar C.I.
En las bobinas, la i no varía bruscamente:
i(0-)=i(0+) v(0-)≠v(0+)
En los condensadores, la v no varía bruscamente:
v(0-)=v(0+) i(0-)≠i(0+)
0- = antes del cambio 0+ = después del cambio
t t
i(t) v(t)
t t
v(t) i(t)
Método de la ecuación diferencial Ejemplo (1)
El interruptor ha estado en la posición 1 por largo tiempo, en t=0 el interruptor se mueve a la posición 2. Calculad la corriente i(t) por la resistencia R2, para t>0.
VS=12V, R1=6kΩ, R2=3kΩ, C=100μF
30