Unidad 4 Poligonales Cerradas

TOPOGRAFÍA (INC 3201) CAPÍTULO IV: POLIGONALES CERRADAS ________________________________________________________________________________________

FGM/fgm 1.-

Unidad IV: POLIGONALES CERRADAS 4.1 Poligonales Cerradas

En las Poligonales Cerradas, a diferencia de las Poligonales Abiertas, estudiadas en el Capítulo anterior, el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal, es decir, es posible determinar el error de cierre y compensar este error.

La solución de una Poligonal Cerrada consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de cada uno de los vértices o estaciones.

En poligonales cerradas y en poligonales abiertas de enlace con control, se realizan las siguientes operaciones: 1. Cálculo y compensación del error de cierre angular. 2. Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los acimutes). 3. Cálculo de las proyecciones de los lados. 4. Cálculo del error de cierre lineal. 5. Compensación del error lineal. 6. Cálculo de las coordenadas de los vértices. Entonces, 1. Cálculo y compensación del error de cierre angular.

En una poligonal cerrada se debe cumplir que la suma de los ángulos internos debe ser:

°⋅−=∠Σ 180)2(int n ó gn 200)2(int ⋅−=∠Σ (Ec. 4.1)

Donde, n : Número de lados

La medición de los ángulos de una poligonal estará afectada por los inevitables errores instrumentales y operacionales, por lo que el error angular vendrá dado por la diferencia entre el valor medido y el valor teórico.

°⋅−−∠Σ= 180)2(int nEa ó gnEa 200)2(int ⋅−−∠Σ= (Ec. 4.2)


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Entonces, se debe proceder a la corrección de los ángulos, repartiendo por igual el

error entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud del ángulo medido.

n

EaCa = (Ec. 4.3)

La corrección también se puede efectuar sobre los acimutes, aplicando una

corrección acumulativa, (múltiplo de la corrección angular), a partir del primer ángulo medido. En otras palabras, el primer acimut se corrige con Ca, el segundo con 2Ca y así sucesivamente, hasta el último acimut que se corrige con nCa. 2. Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los acimutes). Ver Capítulo III 3. Cálculo de las proyecciones de los lados. Ver Capítulo III 4. Cálculo del error de cierre lineal.

En una poligonal cerrada la suma de las proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero.

De igual manera, la suma de las proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero.

Debido a los inevitables errores presentes en la medición de distancias, la condición lineal mencionada nunca se cumple, obteniéndose de esta manera el error de cierre lineal.


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Si hacemos suma de proyecciones a lo largo del eje Norte-Sur tendremos,

)( SNN ∆−∆Σ=∆ε (Ec. 4.4)

de igual manera, sumando proyecciones sobre el eje Este-Oeste, tenemos:

)( OEE ∆−∆Σ=∆ε (Ec. 4.5)

Luego, el error lineal vendrá dado por:

22 ENL ∆+∆= εεε (Ec. 4.6)

Una vez calculado el error lineal, se debe verificar que éste sea menor a la tolerancia lineal, (generalmente especificada de acuerdo al tipo de importancia del trabajo, condiciones topográficas y precisión de los instrumentos de medida).

En algunos casos, la tolerancia lineal se relaciona con la precisión obtenida en el levantamiento definido por la siguiente ecuación.

LP L

Σ=ε

Dónde: P : Precisión de la poligonal. ΣL : Suma de los lados de la poligonal.

El error relativo n, generalmente expresado en términos 1 : n, viene dado por el inverso de P.

Pn

1=

Tolerancia lineal (1 : n)

Tipo de Levantamiento

1 : 800 Levantamiento en terrenos accidentados, para reconocimiento, de poca precisión.

1 : 1000 - 1 : 1500 Levantamiento de poca precisión. Uso de Taquímetro.

1 : 1500 - 1 : 2500 Levantamiento de mediana precisión. Generalmente terrenos rurales.

1 : 2500 - 1 : 5000 Levantamiento urbano o rural, de mediana a alta precisión. Uso de Estación Total.

1 : 10000 Levantamiento Geodésico. Uso de GPS.

Tabla 4.1: Valores guía de Tolerancia lineal en Levantamientos Topográficos.


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5. Compensación del error lineal.

El método, propuesto por Nathaniel Bowditch, es uno de los métodos más utilizados. El método asume que:

- Los ángulos y las distancias son medidos con igual precisión. - El error ocurre en proporción directa a la distancia. - Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.

Matemáticamente tenemos,

i

i

i LL

NCN ⋅

Σ

∆−=ε

(Ec. 4.7)

i

i

i LL

ECE ⋅

Σ

∆−=ε

(Ec. 4.8)

Donde, CNi : Corrección sobre la Proyección Norte – Sur, del lado i. CEi : Corrección sobre la Proyección Este – Oeste, del lado i. Li : Longitud del lado i.

Para calcular las Proyecciones compensadas, se tiene:

iCNNN +∆=∆ ' iCNSS +∆−=∆ '

iCEEE +∆=∆ ' iCEOO +∆−=∆ ' (Ecs. 4.9)

6. Cálculo de las coordenadas de los vértices. Ver Capítulo III.


FGM/fgm 5.-

7. Compensación de Cotas. Para Estación:

La Cota de una Estación se calcula como sigue:

DVHJHIanteriorEstaciónCotaEstaciónCota +−+= (Ec. 4.10)

Donde,

)( VCotgDHDV ∠⋅= (Ec. 4.11)

Para Punto Radiado:

La Cota de un punto radiado se calcula como sigue:

DVHJHIradiósequeladesdeEstaciónCotaPuntoCota +−+= (Ec. 4.12)

Donde,

)( VCotgDHDV ∠⋅= (Ec. 4.13)

Habiendo calculado, las cotas, se puede observar si se debe realizar una corrección

de éstas o no. La cota inicial debe ser igual a la cota final, de lo contrario se deberá proceder a la compensación de cotas.

Luego, el error será:

finalCotainicialCotaECOTA −= (Ec. 4.14)

Entonces, la Cota compensada será:

DiD

ECotaCompensadaCota

TOTAL

COTA ⋅

+= (Ec.4.15)

Donde, DTOTAL : Distancia total recorrida. Di : Distancia acumulada.


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Ejemplo:

Siguiendo el Procedimiento descrito anteriormente, calcule las coordenadas de la Poligonal Cerrada: BASE DE MEDICIÓN= (200,00; 300,00; 50,00) OBS: La Estación total, trabaja los ángulos en GRADIANES.

Est. Punto Acimut (φ)

∠ V D. horizontal (DH)

H. Instrum. (HI)

H. Jalón (HJ)

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 1,532 1,532

A1 A0 303,2851 100,7845 101,43 1,370 1,370

A2 185,4052 98,3296 92,59

A2 A1 385,4052 101,6704 92,59 1,460 1,460

A3 269,5109 97,4880 98,28

A3 A2 69,5109 102,5120 98,28 1,520 1,520

A4 347,7363 101,5765 124,35

A4 A3 147,7363 98,4235 124,35 1,51 1,51

A0 50,0461 103,4042 79,03

A0 A4 250,0461 96,5958 79,03 1,45 1,45

A1 103,2839 99,2155 101,27


FGM/fgm 7.-

Solución: 1. Cálculo y compensación del error de cierre angular.

gnEa 200)2(int ⋅−−∠Σ=

Ángulos interiores: Ángulo 1: 200 – (185,4052 – 103,2851) = 117,8799g Ángulo 2: 400 – (200 – 185,4052) – 269,5109 = 115,8943g Ángulo 3: 69,5109 + 400 – 347,7363 = 121,7746g Ángulo 4: 147,7363 – 50,0461 = 97,6902g Ángulo 0: 200 – (103,2839 – 50,0461) = 146,7622g


FGM/fgm 8.-

Entonces,

gggggg 0012,6007622,1466902,977746,1218943,1158799,117int =++++=∠Σ

Por lo tanto, el error angular será:

ggggggnEa 0012,06000012,600200)25(0012,600200)2(int =−=⋅−−=⋅−−∠Σ=

Luego, la compensación queda como sigue:

gg

n

EaCa 00024,0

5

0012,0===

Para compensar el error, se puede utilizar compensar el ángulo o el acimut.

En este caso, la corrección se realizará sobre los acimutes, se efectúa aplicando una corrección acumulativa, (múltiplo de la corrección angular), a partir del primer ángulo medido. En otras palabras, el primer acimut se corrige con Ca, el segundo con 2Ca y así sucesivamente, hasta el último acimut que se corrige con nCa. Compensación de acimutes

Est. Punto Acimut (φ)

Ca Acimut Comp. (φ)

A0 A1 103,2851 103,2851

A1 A0 303,2851

A2 185,4052 0,00024 185,4054

A2 A1 385,4052

A3 269,5109 0,00048 269,5114

A3 A2 69,5109

A4 347,7363 0,00072 347,7370

A4 A3 147,7363

A0 50,0461 0,00096 50,0471

A0 A4 250,0461

A1 103,2839 0,00120 103,2851


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2. Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los acimutes).

Al igual como se mencionó en el Capítulo III, este punto debe ser realizado solo si se trabaja con Taquímetro; debido a que en este ejemplo se entregan los acimutes proporcionados por la Estación Total, este paso no debe ser considerado. 3. Cálculo de las proyecciones de los lados.

Utilizando las fórmulas establecidas para el cálculo de las proyecciones de los lados se tiene que: (ver Capítulo III)

Proyecciones

Est. Punto Acimut Comp.

(φ)

∠ V D. horizontal (DH)

ΔN ΔS ΔE ΔO

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 0,000 5,232 101,295 0,000

A1 A0 100,7845 101,43

A2 185,4054 98,3296 92,59 0,000 90,168 21,041 0,000

A2 A1 101,6704 92,59

A3 269,5114 97,4880 98,28 0,000 45,289 0,000 87,223

A3 A2 102,5120 98,28

A4 347,7370 101,5765 124,35 84,748 0,000 0,000 90,998

A4 A3 98,4235 124,35

A0 50,0471 103,4042 79,03 55,841 0,000 55,924 0,000

A0 A4 96,5958 79,03

A1 103,2851 99,2155 101,27

4. Cálculo del error de cierre lineal.

Utilizando las ecuaciones 4.4, 4.5 y 4.6; se tiene que:

099,0688,140590,140)289,45168,90232,5(841,55748,84)( −=−=++−+=∆−∆Σ=∆ SNNε

039,0221,178260,178)998,90223,87(924,55041,21295,101)( =−=+−++=∆−∆Σ=∆ OEEε


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Luego, el error lineal será:

mENL 106,0)039,0()099,0( 2222 =+−=∆+∆= εεε

Por tanto, la precisión de nuestra poligonal será:

mL 68,49503,7935,12428,9859,9243,101 =++++=Σ

0002,068,495

106,0==

Σ=

LP Lε

Y el error relativo:

5000002,0

11===

Pn

Entonces, la tolerancia lineal es 1 : n = 1 : 5000; permitida para Levantamiento urbano o rural, de mediana a alta precisión, con uso de Estación Total. 5. Compensación del error lineal.

Utilizando las ecuaciones 4.7 y 4.8; se tiene que: Por ejemplo, para A0

020,043,10168,495

099,0=⋅

−−=⋅

Σ

∆−= i

i

i LL

NCN

ε

008,043,10168,495

039,0−=⋅

−=⋅

Σ

∆−= i

i

i LL

ECE

ε

Los cálculos para A1, A2, A3 y A4 se resumen en la siguiente Tabla.


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Para el cálculo de Proyecciones compensadas se deben utilizar las ecuaciones 4.9;

los resultados se resumen en la siguiente Tabla:

Proyecciones Proyecciones compensadas

Est. Pto. D.horiz. (DH)

ΔN ΔS ΔE ΔO CNi CEi ΔN’ ΔS’ ΔE’ ΔO’

A0 A1 101,43 0,000 5,232 101,295 0,000 0,020 -0,008 0,000 5,211 101,287 0,000

A1 A0 101,43

A2 92,59 0,000 90,168 21,041 0,000 0,018 -0,007 0,000 90,149 21,034 0,000

A2 A1 92,59

A3 98,28 0,000 45,289 0,000 87,223 0,020 -0,008 0,000 45,269 0,000 87,231

A3 A2 98,28

A4 124,35 84,748 0,000 0,000 90,998 0,025 -0,010 84,773 0,000 0,000 91,008

A4 A3 124,35

A0 79,03 55,841 0,000 55,924 0,000 0,016 -0,006 55,857 0,000 55,918 0,000

A0 A4 79,03

A1 101,27

Nota:

Si realizan los cálculos paso a paso, podrán notar que las Proyecciones Sur y Oeste, al igual que en el Capítulo III, son menores a cero o negativas; sin embargo el signo se utiliza para el cálculo de la compensación y en la NO en la Tabla resumen. 6. Cálculo de las coordenadas de los vértices.

Para el cálculo de las coordenadas se utilizan las expresiones vistas en el Capítulo III, pero utilizando las Proyecciones compensadas.

Se debe poner atención con lo mencionado en la Nota anterior; pues por ejemplo si en la Tabla resumen se antepone el signo negativo a las proyecciones Sur y Oeste las ecuaciones para el cálculo de coordenadas (que utilizan las proyecciones Sur y Oeste) cambiarían de signo de – a +.

')( NNCoordenadaN ∆+=

')( SNCoordenadaN ∆−=

')( EECoordenadaE ∆+=

')( OECoordenadaE ∆−=


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Proyecciones Coordenadas

Est. Pto. Acimut Comp.

(φ)

∠ V D.horiz. (DH)

ΔN’ ΔS’ ΔE’ ΔO’ N E COTA

A0 300,00 200,00 50,00

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 0,000 5,211 101,287 0,000 294,789 301,287 51,250

A1 A0 100,7845 101,43 51,250

A2 185,4054 98,3296 92,59 0,000 90,149 21,034 0,000 204,640 322,321 53,680

A2 A1 101,6704 92,59 53,680

A3 269,5114 97,4880 98,28 0,000 45,269 0,000 87,231 159,370 235,090 57,560

A3 A2 102,5120 98,28 57,560

A4 347,7370 101,5765 124,35 84,773 0,000 0,000 91,008 244,143 144,082 54,480

A4 A3 98,4235 124,35 54,480

A0 50,0471 103,4042 79,03 55,857 0,000 55,918 0,000 300,000 200,000 50,250

A0 A4 96,5958 79,03

A1 103,2851 99,2155 101,27

7. Compensación de cotas

Ahora, desarrollando nuestro ejemplo tenemos:

250,0250,50000,50 −=−=COTAE

Luego, desarrollando nos queda;

EST. PTO. AZIMUT (g) < V (g) D.HZ. (m) D. acum. (m) H.INST. (m) H.JALÓN (m) COTA COTA comp.

A0 50,000

A0 A1 103,2851 99,2155 101,43 101,43 1,532 1,532 51,250 51,199

A1 A0 303,2851 100,7845 101,43 1,370 1,370 51,250

A2 185,4052 98,3296 92,59 194,02 53,680 53,582

A2 A1 385,4052 101,6704 92,59 1,460 1,460 53,680

A3 269,5109 97,4880 98,28 292,3 57,560 57,413

A3 A2 69,5109 102,5120 98,28 1,520 1,520 57,560

A4 347,7363 101,5765 124,35 416,65 54,480 54,270

A4 A3 147,7363 98,4235 124,35 1,51 1,51 54,480

A0 50,0461 103,4042 79,03 495,68 50,250 50,000

A0 A1 250,0461 96,5958 79,03 1,45 1,45A4 103,2839 99,2155 101,27

Σ 495,68

DATOS TERRENO

Por ejemplo, Si calculamos para A1, tenemos:

199,5143,10168,495

250,0250,51 =⋅

−+=⋅

+= Di

D

ECotaCompensadaCota

TOTAL

COTA


FGM/fgm 13.-

4.2 Triangulación

Hasta la introducción de la Estación Total, con lo que se hizo posible la medición de distancias en forma rápida y precisa, la triangulación constituía uno de los métodos más importantes para el control de levantamientos de grandes áreas con vegetación abundante o de topografía muy accidentada; en el apoyo terrestre para levantamientos fotogramétricos; y en el control para el replanteo de obras tales como puentes, túneles, etc.

El uso de estos instrumentos ha incrementado de tal forma la precisión obtenida en poligonales, que actualmente las poligonales están siendo usadas en el establecimiento y densificación de redes de control.

La triangulación es un procedimiento útil en el control de replanteo de obras, ya que proporciona métodos efectivos en el control de la precisión obtenida en los levantamientos topográficos, sin embargo, los métodos para compensación de triangulaciones no se abordará en este curso, estando el Alumno capacitado para realizar un estudio independiente si lo requiere. Hoy en día, existen numerosos programas que realizan este proceso en forma automática. Se abordará el uso de un Software que incluye Procesos de Triangulación, en el Capítulo IX_Topografía Automatizada.

A modo general, se puede decir que la triangulación consiste en formar figuras triangulares en las cuales es necesario medir, con precisión, todos los ángulos de una red de triángulos y dos de sus lados. Luego, a partir de estas mediciones aplicando el teorema del seno, se pueden calcular los demás lados, comprobando la precisión obtenida por comparación del último lado calculado con el valor medido en terreno.


FGM/fgm 14.-

Una red de triangulación está formada por una serie de triángulos consecutivos

unidos entre sí por un lado común, como se muestra en la Figura 4.1.

Figura 4.1: Triangulación

4.3 Radiación

Este método se apoya en una poligonal base previamente levantada a partir de cuyos vértices se hacen radiaciones a fin de determinar la ubicación de los puntos de relleno y de detalles.

Los equipos utilizados para levantamiento por radiación son el Teodolito y mira vertical o Estación total y prisma.

Cuando se usa Estación total con prisma, el Procedimiento es el mismo realizado en una Poligonal Abierta o Cerrada.

Si se considera Radiación apoyada sobre una Poligonal Cerrada, se deben compensar solo los puntos de la Poligonal.

En la Figura 4.2 se representa un levantamiento por radiación con apoyo en una Poligonal Cerrada.


FGM/fgm 15.-

Figura 4.2: Radiación

Para el Procedimiento con Radiación se debe considerar lo siguiente:

- Se compensa SOLO la poligonal según lo indicado en el ejemplo anterior. - La Estación Total, desplegará en pantalla los datos: Acimut, Ángulo vertical y

Distancia horizontal, para cada punto. - Las proyecciones y coordenadas se calculan con las ecuaciones indicadas en el

Capítulo III. Sin embargo, se debe tener en cuenta que las coordenadas de los puntos radiados dependerán de la Estación desde la cual se tomaron.

Por ejemplo, si la estación A1 tiene coordenadas 294,768; 301,295; 51,250, los

puntos del 1 al 10 deberán estar referidos a ésta estación.

Entonces, si por ejemplo, el punto 1 tiene proyecciones Sur 5,234 y Este 20,400; las coordenadas quedarán:

534,289234,5768,294)( =−=∆−= SNCoordenadaN

695,321400,20295,301)( =+=∆+= EECoordenadaE

Unidad 4 Poligonales Cerradas

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