UNIDAD 4 Resueltos Mayo 08

UNIDAD 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EJERCICIOS RESUELTOS

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolvers ejercicios y problemas en los que

apliques las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de

polinomios.

Objetivo 1. Diferenciars monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.

Ejercicios resueltos:

a.) Identifica con una P si la expresin es un polinomio

y con una X si no lo es: 5 661.) x yz

( )

( X )

2.) -x y ( )

( P )

23.) 5 6x x ( )

( P )

2

34.) 4x ya

( )

( X )

3 4

1

25.) a b cx

( )

( P )

b.) Identifica con una M si la expresin es un monomio, con una B si es un binomio y

con una T si es un trinomio:

1.) 7 - 9a b ( )

( B )

32.) -71a ( )

( M )

2 2 23 13.) -5 2

a b a b a b ( )

( T )

2 34.) x y a ( )

( M )

Objetivo 2. Identificars y determinars el grado de un monomio y el de un

polinomio.


Determina el grado de los polinomios:

1.) 3x y

La variable x est elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El

grado del monomio es 4.

2.) 3 27

12c p m

La suma de los exponentes de c, p y m es 3 + 2 + 1.

El grado del monomio es 6.

3.) 4 3P x x x x

El trmino de grado ms alto es el primero, que es de grado 4.

El polinomio es de grado 4.

4.) 5P x

En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero.

El grado es 0.

5.) 4 3 2 4 54 6 4x x x y xy

Los trminos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4, 3,

6 y 6.

El polinomio es de grado 6.

Objetivo 3. Reducirs trminos semejantes en un polinomio.


Reduce los trminos semejantes:

1.) 2x x

2x x = 3x

2.) 1 12 2

a a

1 12 2

a a = a.

3.) 3 2 2 3 2 23 4 3 2x x y xy x yx y x

Agrupando los trminos se obtiene

3 3 2 2 2 23 2 4 3x x x y x y xy xy 3 2 23 4x x y xy

4.) 2 2 2 37 3 2m n m n nm m Reacomodando las variables en los trminos, queda

2 2 2 37 3 2m n m n m n m y agrupando

3 2 2 27 3 2m m n m n nm 3 25 2m m n

5.) 2 22 4 7 12xy xy Quitando parntesis y reagrupando queda

2 22 4 7 12xy xy

2 22 7 4 12xy xy 25 8xy

Objetivo 4. Determinars cundo dos polinomios son iguales.


Identifica, si lo hay, cul polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna

derecha:

2 2 4 5

2 2 3 2 2 2 3

5 4 2 3 7 4 4 3 4

3 2 2 2 2

3 7 3 4 4 4 4 5 2

1.) 3 6 2 6 7

2.) 9 5 4

3.) 6 2 7 3 6 3

4.) 4 5 6 3

5.) 6 6 12 7 6 2

x xy x y y x

x y xy xyz x y xy yx

x y x y x y x y x y

xy xy x y yx x

x y x y x y y x yx

3

4

1

3

Objetivo 5. Recordars el procedimiento general para sumar y restar polinomios.


a) Sumas:

1.) Suma los monomios: 2 2 22 , 5 , 8 , 3 ,xy xy xy xy z .

Solucin: 2 2 22 5 8 3xy xy xy xy z

Se reducen los trminos semejantes:

2 22 8 5 3xy xy z

El resultado final es: 2 210 8xy xy z .

2.) Suma los monomios:

2 2 2 23 32 2 1 1, , , , ,5 4 3 2 10 3x xy y xy x y .

Solucin:

2 2 2 23 32 2 1 15 4 3 2 10 3x xy y xy x y Se reducen los trminos semejantes:

2 23 32 1 2 15 10 4 2 3 3x xy y El resultado es:

2 21 1 110 4 3x xy y .

3.) Suma los polinomios: 2 2 2 2 2 23 5 , 3 5 , 8 2x y xy xy x y xy x y .

Solucin:

2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y Se eliminan parntesis::

2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y

El resultado se obtiene al reducir los trminos semejantes: 2 24 6x y xy .

4.) Suma los polinomios: 2 23 4 , 2 3 2x y xy y x y xy y .

Solucin:

22

3 42 3 2

x y xy yx y xy y

24 2 4 2x y xy y

5.) Suma los polinomios: 2 2 2 24 6 3, 5 2 1, 2 4 12, 4 2x x x x x x x x .

Solucin: 2

2

2

2

4 6 32 5 12 4 12

2 4

x xx xx xx x

23 6x x

b) Restas:

1.) Resta: 4xy , de 2xy .

Solucin:

2 ( 4 )xy xy

Es decir:

2 4xy xy

Se reducen trminos semejantes y se obtiene:

2xy , que es el resultado final.

2.) Resta: 2 2 2 24 , de 3x y x y .

Solucin:

2 2 2 23 4x y x y Es decir:

2 2 2 23 4x y x y

Se reducen trminos semejantes y se obtiene: 2 27x y , que es el resultado final.

3.) Resta: 2 22 4 4, de 3 4 3x x x x .

Solucin:

2 23 4 3 2 4 4x x x x Es decir:

2 23 4 3 2 4 4x x x x

Se reducen trminos semejantes y se obtiene: 2 7x , que es el resultado final.

4.) Resta: 2 2 2 22 3 4, de 4 5x y y x y xy .

Solucin: 2 2

2 2

4 52 3 4

x y xyx y y

2 2 24 3 1x y xy y

5.) Resta: 2 26 3 4, de 9 3y y y y .

Solucin: 2

2

9 36 3 4

y yy y

215 6 4y y

Objetivo 6. Recordars la multiplicacin de monomios.


Multiplica los monomios que se dan:

1.) 5 4 23 2a b a b

5 4 23 2a b a b 5 2 4 16 2 1a b 7 56a b

2.) 2 3 22xy z x yz

2 3 22xy z x yz 1 3 2 1 1 22x y z 4 3 32x y z

3.) 4 32 4x x

4 32 4x x 4 38x 78x

Objetivo 7. Recordars la regla para la multiplicacin de polinomios por un

monomio.


Efecta los productos indicados:

2 3 21.) 3 por 6 5x x x

2 3 23 6 5x x x 2 3 2 23 6 3 5x x x x 5 418 15x x

22.) por 3 2x x yz

23 2x x yz 23 2x x x yz 2 23 2x xyz

2 4 3 2 3 2 23.) 6 2 por 2a b c a b c ab c

2 4 3 2 3 2 26 2 2a b c a b c ab c 2 4 3 2 2 2 3 2 26 2 2 2a b c ab c a b c ab c 3 6 5 3 5 312 4a b c a b c

Objetivo 8. Recordars el procedimiento general para la multiplicacin de

polinomios por polinomios.


Efecta las multiplicaciones indicadas:

21.) 4 por 3 2x x

24 3 2x x 2 24 3 2 3 2x x x

2 24 3 4 2 3 2x x x x 2 312 8 3 2x x x

3 22 8 3 12x x x

22.) 2 por 4 9 2x x x 24 9 2

2x x

x

28 18 4x x 3 24 9 2x x x

3 24 20 4x x x

2 23.) 5 3 por 5 3xy xy xy xy 2

2

5 35 3

xy xyxy xy

2 3 2 215 9x y x y 2 4 2 325 15x y x y

2 4 2 225 9x y x y

Objetivo 9. Recordars la divisin entre monomios.


Efecta las divisiones indicadas: 3 2 21.) 22 entre 4x y z xyz

3 2

2

224x y zxyz

3 2

2

224

x y zx y z

2112

x yz

5 7 3 22.) 12 entre 3a b ab c

5 7

3 2

123

a bab c

5 7

3 2

12 13

a ba b c

4 4

2

4a bc

3 2 3 2 2 23.) 18 entre 3p r t p r t

3 2 3

2 2 2

183

p r tp r t

3 2 3

2 2 2

183

p r tp r t

6 pt

Objetivo 10. Recordars la regla para la divisin de un polinomio entre un

monomio.


Efecta las divisiones indicadas: 21.) entrea ab a

2a aba 2a ab

a a a b

2 3 2 4 22.) 3 5 entre 3x y a x x

2 3 2 4

2

3 53

x y a xx

2 3 2 4

2 2

3 53 3x y a x

x x

3 2 25

3y a x

2 1 1 23.) 5 6 entrem m m m mx x x x x 2 1 1

2

5 6m m m mm

x x x xx

2 1 12 2 2 2

5 6m m m mm m m m

x x x xx x x x

4 2 35 6x x x x

Objetivo 11. Recordars el procedimiento general para la divisin de

polinomios entre polinomios.


1.) Divide: 2 2 3a a , entre 3a .

a 1 23 2 3a a a

2 3a a

3a

3a

0

2.) Divide: 5 212 5f x x x x , entre 2 2 5g x x x .

3x 22x x

2 5 4 3 22 5 0 0 12 5x x x x x x x

5 4 32 5x x x

4 3 22 5 12x x x 4 3 22 4 10x x x

3 22 5x x x

3 22 5x x x

0

3.) Divide: 3x xp a a a , entre 1q a a .

2xa 1xa xa

3 2 11 0 0x x x xa a a a a

3 2x xa a

2xa 2 1x xa a

1x xa a 1x xa a

0

4.) Divide: 2 21 5 16 36 6

a ab b , entre 1 13 2

a b

12

a 13

b

2 21 1 1 5 13 2 6 36 6

a b a ab b

21 16 4

a ab

21 19 6

ab b

21 19 6

ab b

0

Objetivo 12. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de

ejercicios algebraicos.


Obtn el resultado de las operaciones indicadas:

2 22 31.) 3 2 3a b ab ab b a ab

ab

2 22 3a b abab

2 3a b

y

3 2 3ab b a ab 2 2 2 26 9 2 6a b a b ab ab

2 2

2 2 2 2

Por tanto:

2 3 3 2 3

2 3 6 9 2 6

a b ab ab b a abab

a b a b a b ab ab

3 3 2 2 2 2

2 2 2 3 2 3

12 18 4 1218 27 6 18

a b a b a b a ba b a b ab ab

3 3 2 2 2 2 2 3 2 312 18 4 30 27 6 18a b a b a b a b a b ab ab

2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2

2.) 3 2 2 4

4 4 2 6 42

a b a ab a b b b ab

a b a a b ab ab ab a b ba b

2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2

Solucin:

3 2 2 4

4 4 2 6 42

a b a ab a b b b ab

a b a a b ab ab ab a b ba b

2 2 2 2 2 23 3 2 2 2 2 3 2

2 4 3 2

4 2 6 4 42

a a b a b ab ab b b

a a b a b a b ab ab ab ba b

Como:

2a 2a b 3ab 22ab 2b 3 3 2 2 2 2 3 22 4 2 6 4 4a b a a b a b a b ab ab ab b

3 22a a b

3 2 2 2 2 3 23 4 2 6 4 4a b a b a b ab ab ab b 3 2 22a b a b

2 2 2 2 3 23 2 2 6 4 4a b a b ab ab ab b 2 23 6a b ab

2 2 3 22 2 4 4a b ab ab b 2 2 32 4a b ab

22 4ab b 22 4ab b

0

2 2 2 2 2 2

3 3 2 2 2 2 3 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

Entonces:

2 4 3 2

4 2 6 4 42

2 4 3 2

3 2 2

a a b a b ab ab b b

a a b a b a b ab ab ab ba b

a a b a b ab ab b b

a a b ab ab b

2 2 2 2 23 5 .a b a b ab ab b

3 2

2 3 2 2

3.)

5 5 22 3 1 2 3 2 4 32

x x xx x x x x x xx

2 3 2

Solucin:Como:

2 3 1 2 3 2x x x x x

2 3 22 3 1 2 3 2x x x x x 3 3x

y:

2x 3x -1

3 22 5 5 2x x x x

3 22x x

23 5 2x x 23 6x x

2x

2x

0

3 22

2 2

entonces:5 5 2 4 3

23 -1 4 3

x x x x xx

x x x x

2 23 -1 4 3x x x x

4x

3 22 3 2 2

3

yqueda:

5 5 22 3 1 2 3 2 4 32

3 4

x x xx x x x x x xx

x x

4 34 3 12x x x

22 3 1 24.)

1xy x y x z x y xy zy

x y z

Solucin:

2 31

xy x yx z

2 3xy x y

2 3xyz xz yz 2 22 3x y x yx

2 22 3 2 3 3x y x xyz xz yz yx x y

2

2 2

2

Por lo que:

2 3 1 2

2 3 2 3 3

2

xy x y x z x y xy zy

x y x xyz xz yz yx x y

x y xy zy

2 2 22 3 2 3 3 2x y x xyz xz yz yx x y x y xy zy

23 2 2 3 3 2x xyz xy xz x y yz

y como:

3x 2yz 5y

21 3 2 2 3 3 2x y z x xyz xy xz x y yz

23 3 3 3x xy xz x

2 5 2xyz xy y yz 2 22 2 2 2xyz y z yz yz

2 25 2 4 2xy y z y yz yz 25 5 5 5xy y yz y

2 2 22 6 9 2 5y z y yz yz y

2

2 2 2

queda:

2 3 1 212 6 9 2 53 2 5

1

xy x y x z x y xy zyx y z

y z y yz yz yx yz yx y z

Objetivo 13. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de problemas

de casos reales.


1.) En una comisin del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los del

PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que los del

PAN Cuntos diputados forman la comisin?

Solucin:

La informacin del enunciado establece que el nmero de los diputados de los

diferentes partidos es:

1PRD PRI2

PRI PAN 8 PRI 8 PAN

1PT PAN2

Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores

queda

1 1PRD PRI PAN PT PRI 8 PAN PAN PAN2 2

1 18 PAN 8 PAN PAN+ PAN2 2

1 14 PAN 8-PAN PAN PAN2 2

8 4 12 La comisin tiene 12 miembros.

2.) Una persona camina a un ritmo de 2 kilmetros por hora al subir una cuesta y al de 4

kilmetros por hora al bajarla. Cul es la velocidad media para el recorrido total?

Solucin:

Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/2; mientras que el

tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total ser:

T42LL

4

3L

Como el recorrido total es de 2L , la velocidad media es:

2

mLV

T

2

34

LL

8 2.6663

km/h

3.) El depsito del anticongelante de un autobs contiene 8 litros de una mezcla de 60% de

agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales

requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. Qu cantidad de la mezcla

actual deber desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la

cantidad requerida?

Solucin:

La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros:

0.4 8 3.2 litros;

La cantidad que debe tener la nueva composicin es:

0.6 8 4.8 litros.

Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se debe aadir una cantidad igual de x

litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden

0.4x litros del mismo anticongelante.

Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la expresin:

3.2 0.4 4.8x x o bien

1 0.4 4.8 3.2x

0.6 1.6x

x 666.26.06.1 litros

4.) Un padre al morir dej establecido que el hijo mayor recibira $100,000 ms la quinta

parte del resto. El siguiente recibira $200,000 ms la quinta parte del nuevo resto. Y en

la misma forma cada hijo ira recibiendo $100,000 ms que el anterior y la quinta parte

del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se asegur que todos

recibieran la misma cantidad. Cuntos herederos haba y qu cantidad recibi cada

uno?

Solucin:

Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibi

5000,100000,100 H

El segundo hijo recibi $200,000 ms la quinta parte de lo que quedaba despus de que

el primero recibi su parte y de los 200,000 que le correspondan a l:

000,200

500,100000,100

51000,200 HH

Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para

obtener el valor de H:

5000,100000,100 H

000,200

500,100000,100

51000,200 HH

Despus de hacer las operaciones queda

000,40000,425

000,205

000,200000,205

000,100 HHH

y, al despejar

000,20000,100000,40000,4000,20000,20025

H

000,600,1000,6425

HH

Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibi la misma cantidad,

eran 4 hijos y cada uno recibi $400,000.

5.) La edad de Juan es el doble de la que tena Pedro cuando Juan tena la que

ahora tiene Pedro. En total suman 49 aos. Cules son sus edades?

Solucin:

Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad

actual de Pedro ser 49 x .

La expresin algebraica sobre la comparacin de las edades: la edad actual de Juan es

el doble de la que Pedro tena cuando Juan tena la que tiene ahora Pedro se obtiene

como sigue:

Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es

49x x .

En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro: 49 x ; al restar a

sta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tena Pedro cuando

Juan tena 49 x y, como la edad actual de Juan es el doble de sta entonces:

2 49 49x x x x

2 49 49x x x x

2 49 2 49x x x

2 98 3x x

196 6x x

7 196x

28x

Y la edad de Pedro es: 49 28 21

6.) Encuentra tres nmeros enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6

fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un nmero entero.

Solucin:

Sean 1x , x y 1x los tres nmeros enteros consecutivos que se buscan. Las 6 fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son:

1 1 1 1, , , , ,1 1 1 1

x x x x x xx x x x x x

Y la suma de las seis fracciones ser:

1 1 1 11 1 1 1

x x x x x xx x x x x x

2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)

( 1)( 1)x x x x x x x x x x x x

x x x

)1)(1(1221 232323232323

xxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

)1(6

2

3

xxx

162

2

xx

Ahora bien, 2x y 2 1x son nmeros primos entre s porque difieren en una unidad,

por lo tanto esta fraccin ser un nmero entero slo si 2 1x divide a 6, lo que ocurre

para 2x , por lo tanto, los tres nmeros buscados son: 1 1x ; 2x ; 1 3x .

UNIDAD 4 Resueltos Mayo 08

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