unidad 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales.
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5° Semestre
Asignatura:
Estadística Inferencial II
Profesor:
Lic. Isaac Vázquez Esqueda
Unidad 5
Diseño Experimental con bloques al azar y diseños
factoriales.
Alumna:
Arantza Aquino Prado
Cd. Lázaro Cárdenas, Mich. A 30 de noviembre del 2013.
Instituto Tecnológico De Lázaro Cárdenas
Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de
varios factores sobre una o varias respuestas .Es decir lo que se busca es estudiar
la relación entre factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor como es
esta relación y generar conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que
mejoren el desempeño de proceso.2Estadistica II Diseño factorial
Uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño
factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el
desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales,
es decir, encontrar nuevas condiciones de operación que eliminen o disminuyan
cierto problema de calidad en la variable de salida.
Contenido temático
Unidad 5: Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales.
5.1 Metodología del diseño experimental de bloques al
azar.
5.2 Diseño de experimentos factoriales.
5.3 Diseño factorial 2k
5.4 Diseño de cuadrados latinos.
5.5 Diseño de cuadrados grecolatinos.
5.6 Aplicaciones.
Unidad 5
5.1 METODOLOGÍA DEL DISEÑO EXPERIMENTAL DE BLOQUES AL AZAR.
En muchos problemas de diseño experimental es necesario diseñar el
experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un
factor indeseable. El procedimiento general para el diseño aleatorizado por
bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una réplica
completa del experimento en cada uno de ellos. En cada bloque existen a
observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas
observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque.
Suponga que tiene interés en un solo factor que tiene a niveles, y que el
experimento se efectúa en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con
el modelo estadístico lineal
Donde μ es la media global, iτ es el efecto del i-ésimo tratamiento, jβ es el efecto
del j ésimo bloque y jiε es el término de error aleatorio, el cual se supone que tiene
una distribución normal e independiente con media cero y varianza ().En principio,
los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos.
Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como
desviaciones de la media global.
Modelo Estadístico
Para este diseño el modelo lineal esta dado por
Donde es la media global de los tratamientos, es el efecto
del tratamiento el cual es constante para todas las observaciones
dentro del tratamiento, es el efecto del bloque, es el
término del error aleatorio, el cual se distribuye normal e independiente con media
0 y varianza . Las restricciones del modelo son
Estimación de parámetros
Al aplicar el método de mínimos cuadrados, se obtiene como estimadores de los
parámetros
Tabla Anova - Análisis de Varianza
La tabla de análisis de varianza para este diseño se presenta a continuación:
Tabla 02. Análisis de varianza para un diseño de bloques completos al azar
Causa de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrado
medio
Valor esperado de
cuadrados medios
Tratamient
os
Bloques
Error
Total
Para contrastar las hipótesis de no efectos de tratamientos
Se puede utilizar el cociente
ya que si es cierta y así , lo cual quiere decir
que es un estimador intestado de y como además es también un
estimador de entonces de tienen dos estimadores intestados de y por
tanto su cociente deber ser un valor estadísticamente cercano a 1.
Supuestos del modelo
El residual en un diseño de bloques completos al azar es dado por
Los supuestos del modelo son:
El modelo es aditivo, es decir no existe interacción entre bloques y tratamientos
Las variables aleatorias error se distribuyen normal con media cero
Las variables aleatorias error son no correlacionadas (independientes)
Otra manera de enunciar los supuestos es:
. Los efectos de tratamientos y bloques son aditivos; las respuestas dentro de
los bloques tienen la misma tendencia con respecto a los efectos de los
tratamientos.
Las observaciones en las celdas constituyen muestras aleatorias de
tamaño 1 de cada una de las poblaciones Todas las poblaciones son
normalmente distribuidas,
Las varianzas de cada una de las poblaciones son iguales
Si la primera condición se tiene se dice que los efectos de bloques y tratamientos
no interactúan y una prueba para la no aditividad es debida a Tukey (1949) y
Ascombe.
Validación de los supuestos del modelo
Antes de conocer los métodos de validación de supuestos es importante hacer las
siguientes observaciones:
1. La desviación relativamente grande del supuesto de homogeneidad de
varianzas tiene muy poco efecto sobre el nivel de significancia, aunque este puede
ser mayor que el nivel dado, el poco efecto es debido a que los tratamientos son
igualmente replicados.
2. La no actividad puede ser más seria ya que puede aumentar el estimado del
error experimental (CM resultando en posibles fallas para detectar diferencias
reales de los tratamientos.
3. Antes de probar cualquier supuesto se debe asegurar que no existan valores
outlier en los datos. Algunos trabajos han venido desarrollándose para detectar
outlier en clasificaciones a dos vías que incluyen el DBC. Cuando el diseño tiene
residuales con varianza común, como podría ser el caso de diseños balanceado,
la mejor prueba para detectar un solo outlier es basada en el máximo residuo
normalizado (MRN)
Stefansky (1972) describe un método general para calcular valores críticos del
MRN y provee tablas para el caso de dos vías de clasificación con una
observación por celda. Para algunos valores de solamente acotados para
valores críticos pueden ser obtenidos. Esas tablas son reproducidas en Martin
Tablas C- 6a y C- 6b. Las clasificaciones filas y columnas son intercambiables.
El máximo residuo normalizado es dado por:
Donde: y es el mayor residual en valor
absoluto. Si este valor excede el valor crítico de tabla, la observación es declarada
como un outlier potencial. Estas deben ser localizadas y examinadas para buscar
causas asignables. La eliminación arbitraria de valores extremos debe evitarse.
Homogeneidad de varianza
La prueba gráfica de igualdad de varianza es graficar los residuales contra los
valores predichos ( si existe algún patrón especial que
muestre mayor dispersión para un lado de la gráfica se puede decir que no hay
homogeneidad de varianza.
Las pruebas analíticas para igualdad de varianza dadas por el DCA no son
aplicables a bloques ya que no se tienen estimadores independientes de las
varianzas de los tratamientos. Existen algunos procedimientos, pero quizá el más
simple es el desarrollado por Han ( . Esta prueba es especialmente para un
DBC y asume:
Las poblaciones muestreadas sean normalmente distribuidas
Los errores son igualmente correlacionados dentro de los bloques, pero son
independientes entre bloques.
La prueba estadística es:
Donde el estimado de la varianza para el tratamiento es:
Donde es el número de bloques y los son los residuales en el tratamiento .
Note que la varianza no es calculada directamente de los datos, por ello la no
independencia de las varianzas. Observe que para el calculo de la varianza del
tratamiento 1 utiliza a la medias de los bloques, , y para el
tratamiento 2 utiliza también a a la medias de los bloques .
Los valores críticos de la prueba estadística son basados sobre puntos de
porcentaje de la distribución rango estudentizado en vez de la distribución
Fmax.
Se rechaza la hipótesis de homogeneidad de
varianzas si . Los puntos de porcentaje
de han sido tabulados por Harter (1960) y pueden ser obtenidos en la tabla
C-7 de Martin.
Ejemplo
Los datos presentados son tomados de Graybill (1954) de ensayos de variedades
de trigo. Cuatro variedades de trigo crecieron en cada una de trece localidades del
estado de Oklahoma. Las respuestas en bushels por acre, son dadas en la tabla.
variedades
Loc. 1 2 3 4
1 43.60 24.05 19.47 19.41
2 40.40 21.76 16.61 23.84
3 18.08 14.19 16.69 16.08
4 19.57 18.61 17.78 18.29
5 45.20 29.33 20.19 30.08
6 25.87 25.60 23.31 27.04
7 55.20 38.77 21.15 39.95
8 55.32 34.19 18.56 25.12
9 19.79 21.65 23.31 22.45
10 46.24 31.52 22.48 29.28
11 14.88 15.68 19.79 22.56
12 7.52 4.69 20.53 22.08
13 41.17 32.59 29.25 43.95
33.29 24.05 20.70 26.16
Las varianzas muéstrales de los tratamientos son:
Por consiguiente . Tomando
, y el aproximado percentil cinco de . Bajo esta
prueba la hipótesis nula de igualdad de varianzas es rechazada.
La Aditividad del modelo
Este es un problema más serio que la homogeneidad de varianzas. Cuando no
existe aditividad el estimado del error experimental es inflado resultando así un
sesgo negativo para la prueba de tratamientos. Aunque una prueba significante
para tratamientos implicaría diferencias entre las medias de los tratamientos, una
prueba no significativa no necesariamente implica que no hay efecto de las
medias de los tratamientos.
Para detectar la no aditividad gráficamente, se debe realizar un gráfico de
dispersión entre los residuales (eje Y) y los valores predichos (eje X). Una
tendencia cuadrática en el gráfico indica la presencia de no aditividad
transformable, esto es, no aditividad que puede ser removida por la aplicación de
una transformación. Para determinarla naturaleza de la no aditividad, considere el
modelo para el diseño de bloques completos al azar con interacción
Donde es la componente de interacción (no aditividad). Existe aditividad
cuando se cumple que para todo y .
TUKEY(1949a), desarrolló una prueba de un solo grado de libertad para
determinar si existe el efecto de interacción, asumiendo un modelo de la forma
Es decir, este procedimiento supone que la forma de interacción es
particularmente simple o sea
Donde es una constante desconocida.
Note que cada celda contiene exactamente observaciones que en el caso de
bloques completos es una. Si se define la interacción de esta forma, puede usarse
el método de regresión para probar la significancia de este término, al probar la
hipótesis .
La tabla de ANOVA es dada por:
Causa de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
C.M
Tratamientos t-1 SC
Bloques b-1 SC
Residual (t-1)(b-1)
Error (t-1)(b-1)-1 SC
No aditividad 1 SC
TOTAL N-1
Acombe (1961) propuso una prueba general que puede ser usada para cualquier
modelo lineal, incluyendo modelos de regresión
Donde es dado en la instrucción
Utilizando SAS
Data TRIGO;
Input LOC VAR Y;
Cards;
;
PROC GLM;
CLASS Bloque Ttos;
MODEL Y= Bloque Ttos;
OUTPUT OUT= VALIDA PREDICTED (o P)=PRE RESIDUAL (o R)= RES;
DATA NUEVO;
SET VALIDA;
Y2= PRE*PRE;
Z= RES*Y2;
DROP PRE RES;/*excluye las variables PRE y RES*/
PROC MEANS DATA= NUEVO SUM;
VAR Z;
PROC ANOVA;
CLASS Bloque Ttos;
MODEL Y2=Bloque Ttos/SS1;
RUN;
El numerador de la suma de cuadrados de la no aditividad es el cuadrado del total
de SUM de Z = 15957.55 y el denominador es la Suma de cuadrados del error
para el ANOVA obtenido en la instrucción MODEL Y2=Bloque Ttos/SS1 dado por
SC = 265419.94079804. Luego la suma de cuadrados de no aditividad es
dado por
Causa de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrado
medio
F Valor p
Tratamientos 3 1106.6 368.9 6.55 0.001
Bloques 12 3118.2 259.8 4.62 0.000
Residual 36 2026.91 56.3
Error* 35
No aditividad 1 SC
TOTAL 51 6251.6
Donde
La hipótesis a probar es
La hipótesis de aditividad es rechazada al nivel 5%.
Ejercicio
Suponga la siguiente tabla de un BC
Tratamientos
Bloques
1
2
3
A
4
4
2
B
7
4
5
C
4
4
2
Qué hacer si no se cumple el supuesto de aditividad
Cuando no se cumple del supuesto de aditividad se pueden presentar los
siguientes problemas: si el investigador quiere comparar y hacer recomendaciones
sobre los tratamientos, la presencia de interacción entre los bloques y los
tratamientos implica que tales comparaciones no son la misma para todos los
bloques. Por consiguiente hacer comparaciones de la manera usual; por medio
de las medias de tratamientos , puede representar una idea equivocada.
También, como lo mostró Kempthorne (1952, Sección 8.3), con la no aditividad no
es posible obtener un ``razonable'' error estándar para la comparación de los
tratamientos. Y finalmente, la no aditividad en una tabla a dos vías puede ser
debida a interacción o a la no homogeneidad de varianzas.
La no aditividad puede conllevar a diferentes acciones dependiendo de la forma de
construcción de los bloques: aquellos construidos de manera ``natural''
dividendo las unidades experimentales heterogéneas existentes en grupos
homogéneos y aquellos donde los bloques son introducidos por el
investigador en la forma de factores de bloqueo, principalmente para ampliar las
inferencias acerca de los tratamientos. Como una ilustración del primer caso
puede ser que las unidades experimentales sean las hojas de las plantas y que las
plantas sean los bloques. El segundo caso puede ser representado como por un
experimento con plantas como unidades experimentales y los bloques las
diferentes variedades de plantas.
En el primer caso claramente cualquier intento por explicar o modelar la no
aditividad no es de valor con respecto a la comparación de los tratamientos. En
vez de esto se puede remover tal no aditividad a través de una transformación
disponible usando los métodos de transformación. En este caso es útil realizar un
gráfico del valor absoluto de los residuales contra las
observaciones para tener alguna idea sobre la transformación apropiada de los
datos.
En el segundo caso puede ser muy importante modelar la posible no aditividad
como un significado de la interpretación diferencial de los efectos de tratamientos.
En efecto, en este caso las interacciones entre bloques y tratamientos pueden ser
más importantes que los mismos efectos de tratamientos. Se puede sugerir
entonces que en lo posible se utilice un diseño diferente como el diseño de
bloques generalizado.
5.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS FACTORIALES.
En cualquier experimento diseñado, es siempre importante examinar los residuos
y verificar si se violan las suposiciones básicas (Normalidad, Independencia,
Aditivita e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados.
Los valores de los residuos del diseño aleatorizado por bloques completos se
obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los
estimados
El análisis de varianza del modelo supone que las observaciones están
distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada
tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el
análisis de los residuos.
La suposición de normalidad puede verificarse mediante la construcción de una
gráfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan
en una tabla de distribución de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa
acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad
normal. Si la suposición es válida los puntos tenderán a agruparse sobre una línea
recta que pasa por el punto medio.
Así, por ejemplo, si el diseño experimental es bloques al azar, el modelo es:
yij = µ + τi + βj + ǫij
Respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto de bloque + error
Si se trata de un diseño factorial, los tratamientos se forman combinando los
niveles de los factores en estudio, de manera que el efecto del tratamiento τi se
considera a su vez compuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.
Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene:
τi = τkl = αk + γl + ξkl
Tratamiento = factor A + factor B + interacción AB
Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y l suponiendo que el
factor A tiene K niveles y el factor B L:
i k l
1 1 1
2 1 2
3 1 3
.. .. ..
t K L
Y el modelo resultante es: yklj = µ + αk + γl + ξkl + βj + ǫklj
Es poco usual tener diseños experimentales muy complicados en los
experimentos factoriales, ya que se discuta el análisis y la interpretación.
Las ventajas de los experimentos factoriales son:
1. Economía en el material experimental al obtener información sobre varios
factores sin aumentar el tamaño del experimento. Todas las u.e.se utilizan para la
evaluación de los efectos.
2. Se amplía la base de la inferencia en relación a un factor, ya que se estudia en
las diferentes condiciones representadas por los niveles de otros factores. Se
amplía el rango de validez del experimento.
3. Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual
se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores.
Una desventaja de los experimentos factoriales es que requiere un gran número
de u. E., sobre todo cuando se prueban muchos factores o muchos niveles de
algunos factores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos.
(Factoriales fraccionales)
Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B con b niveles, en diseño
completamente al azar. (Factorial a × b completo, balanceado, efectos fijos)
Sea yijk la respuesta para la k-ésimau.e. del nivel i de A y j de B.
yijk = µ + τi + βj + γij + ǫijk
i = 1,. . ., a j = 1, . . ., b k = 1, . . ., n
Las hipótesis que se prueban son:
H01 :γij = 0 ∀i, j
H02 :τi + ¯γi. = 0 ∀ i
H03 : βj + ¯γ.j = 0 ∀ j
Tipo de Temperatura (F)
Material 15 70 125
1 130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
2 150 188 136 122 25 70
159 126 106 115 58 45
3 138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
El ingeniero quiere contestar las siguientes preguntas:
1. Qué efectos producen el material y la temperatura en la vida de la batería?
2. Existe un material que produzca uniformemente más larga vida a la batería sin
importar la temperatura? diseño completamente al azar, experimento balanceado,
completo, factores fijos.
Una observación por celda
Suponga un experimento con dos factores A con a niveles y B con b niveles y una
sola repetición en cada celda (tratamiento).
El modelo con interacción es:
yij = µ + τi + βj + (τβ)ij + ǫiji = 1, . . ., a j = 1, . . ., b
F.V. g.l. E(CM)
A a − 1 σ2 + bθ2ª
B b − 1 σ2 + aθ2b
AB (a − 1)(b − 1) σ2 + θ2ab
Error 0 σ2
Total ab − 1
σ2 no se puede estimar, por lo tanto no hay prueba para los efectos principales a
menos que no haya interacción, y entonces el modelo es
yij = µ + τi + βj + ǫij
ESTE ES EL CASO DE BLOQUES AL AZAR.
El Diseño Factorial General. Balanceado
El diseño factorial de dos factores se puede generalizar atener p factores:
A con a niveles
B con b niveles
..............
En general, habrá abc · · · n observaciones si hay n repeticionesdel experimento
completo.
Debe haber por lo menos 2 repeticiones (n ≥ 2) para podercalcular σˆ2 si todas las
posibles interacciones están incluidas en el modelo.
Tres factores
El modelo para un factorial de tres factores en diseño completamente al azar:
yijkl = µ+τi+βj +γk+(τβ)ij +(τγ)ik+(βγ)jk+(τβγ)ijk+ǫijkl
i = 1,. . ., a; j = 1, . . ., b; k = 1, . . ., c; l = 1, . . ., n
Ejemplo:
Se desea obtener más uniformidad en el llenado de botellas de refresco. La
máquina de llenado teóricamente llena cada botella a la altura correcta, pero en la
práctica hay variación, y
la embotelladora desea entender mejor las fuentes de esta variabilidad para
eventualmente reducirla.
El ingenio de procesos puede controlar tres factores durante el proceso de
llenado:
El % de carbonato (A), la presión del llenado (B) y las botellas llenadas por minuto
(velocidad de la línea) (C).
5.3 DISEÑO FACTORIAL 2^k
En ocasiones, cuando se utiliza un diseño aleatorizado por bloques completos,
alguna de las observaciones en uno de los bloques puede faltar. Esto sucede
debido algún descuido o error, o por razones fuera del control del experimentador,
como sería el caso de la pérdida de alguna unidad experimental. Una observación
faltante introduce un nuevo problema en el análisis, ya que los tratamientos dejan
de ser ortogonales a los bloques.
En otras palabras, cada tratamiento no ocurre en cada bloque. Existen dos formas
generales de resolver el problema de los valores faltantes. La primera es un
análisis aproximado en el que se estima la observación faltante. A continuación se
efectúa el análisis de varianza usual como si la observación estimada fuera un
dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es un
análisis exacto usando la prueba de significancia de regresión general.
Suponga que falta la observación correspondiente al tratamiento i y al bloque j.
Esta observación se representa mediante x el gran total con una observación
faltante se representará mediante y los totales del tratamiento y del bloque con un
dato faltante como y, respectivamente. Supongamos, además, que para estimar la
observación faltante se elige x, de manera que tenga una contribución mínima a la
suma de cuadrados del error. Como la suma de cuadrados del error está dada en
donde R incluye todos los términos que no contienen a x. Al derivar la SCE con
respecto a x e igualar a cero se obtiene
Como un estimador para la observación faltante.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un
cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto
principalporque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por
ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A
podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y
segundo nivel de ese factor. Numéricamente
212
3020
2
5240A
Tabla 1 Un experimento factorial
En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la
respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:
11
2
4020
2
5230B
Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser
modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden
expresarse de muchas formas.
En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta
entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros
factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por
ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.
Tabla 2. Un experimento factorial con interacción
En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:
A = 50 - 20 = 30
Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
A = 12 - 40 = 28
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el
efecto de A depende del nivel elegido de B.
20 40
50 12
B1 B2
A1
A2
Factor B
Factor A
20 40
50 12
B1 B2
A1
A2
Factor B
Factor A
Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de
la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos
niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente,
paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar,
en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.
Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones
En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que
existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para
analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a
menudo, es engañosa.
Figura 2 Un experimento factorial con interacciones
Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos
principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de
A de los datos de la Tabla 2 es:
12
4020
2
1250A
10
20
30
40
50
60
A1 A2
B1
B2
B1
B2
Resp
uesta
Factor A
10
20
30
40
50
60
A1 A2
B1
B2
B1
B2
Resp
uesta
Factor A
10
20
30
40
50
60
A1 A2
B1
B2
B1
B2
Resp
uesta
Factor A
10
20
30
40
50
60
A1 A2
B1
B2
B1
B2
Resp
uesta
Factor A
El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un
efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles
diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto,
pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la
interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a
menudo el significado de los efectos principales.
Ventajas de los diseños factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos
que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se
representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores
puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto
de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error
experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada
combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores
usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un total de seis
observaciones.
Tabla 3 El método de un factor a la vez
Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.
Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.
Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede
estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.
A1B1 A1B2
A2B1 12
B1 B2
A1
A2
Factor B
Factor A
A1B1 A1B2
A2B1 12
B1 B2
A1
A2
Factor B
Factor A
Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en
diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son
válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.
2. Diseño factorial de dos factores
El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada
uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22.
Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.
Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto
que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el
tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el
factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor
B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo
o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o
repite”) tres veces, y los datos son como sigue:
En la figura 4 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de
tratamiento para este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina
minúscula. De este modo, “A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al
efecto del factor “B”, y “AB” se refiere a la interacción entre AB. En el diseño 22 los
niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A
y B. Así – en el eje B representa el nivel bajo de catalizador mientras que + denota
el nivel alto.
Combinación de
tratamientos
Replica
I II III Total
A baja, B baja 28 25 27 80
A alta, B baja 36 32 32 100
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por
letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el
nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos esta
representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que
la ausencia de esta ultima representa el nivel inferior del factor.
Así
“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en
el nivel superior y B en el nivel inferior;
“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el
superior, y
“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.
Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel
inferior.
El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta
producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los
niveles del otro factor.
Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan
para representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos
correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras
que el nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades
se obtiene:
(1)baab2n
1(1)abab
2n
1A
A baja, B alta 18 19 23 60
A alta, B alta 31 30 29 90
El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A
(esto es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n
obteniéndose:
(1)a-bab
2n
1(1)baab
2n
1B
El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el
efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así:
(b)a(1)ab
2n
1(1)abab
2n
1AB
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B
en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A.
Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El
efecto de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos
combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto
que es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A
que se encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la
mitad izquierda (o Y A). Esto es,
AYAYA
2n
(1)b
2n
aab
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
-bajo (15%)
+alto (20%)
Concentracion de reactivo A
Cant
idad
de
cata
lizad
or B
b = 60(18+19+23) ab = 90(31+30+19)
(1) = 80(28+25+27) a = 100(36+32+32)
Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
Alto (2 sacos) +
bajo (1 saco) -
-bajo (15%)
+alto (20%)
Concentracion de reactivo A
Cant
idad
de
cata
lizad
or B
b = 60(18+19+23) ab = 90(31+30+19)
(1) = 80(28+25+27) a = 100(36+32+32)
Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall
(1)baab
2n
1
Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la
diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte
superior del cuadrado (Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de
tratamientos en la parte inferior ( Y B-), o
BYBYB
2n
(1)a
2n
bab
(1)abab
2n
1
Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de
tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos
el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a
derecha (a y b), o
2n
ba
2n
(1)abAB
ba(1)ab
2n
1
Con los datos que aparecen en la figura 1, las estimaciones de los efectos
promedio son:
8.33806010090
2(3)
1A
5.00801006090
2(3)
1B
1.67601008090
2(3)
1AB
El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A
del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B
(catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador
agregada al proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de
interacciones es pequeño comparado con los dos efectos principales.
En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la
dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es
probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de
varianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos
métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.
Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera
ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,
(1)baabContrasteA
Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera
ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB.
Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de
cualquiera de ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación:
aa
2cin
2a1ciyi.SSc .
Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al
contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones
de cada total del contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del
mismo. En consecuencia, se obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB
sean:
4*n
2ba(1)ab
SS
4*n
2(1)abab
SS
4*n
2(1)baab
SS
AB
B
A
Con los datos de la figura 1, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando
las ecuaciones anteriores, obteniéndose:
8.33
4(3)
210
SS
75.00
4(3)
230
SS
208.33
4(3)
250
SS
AB
B
A
La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:
21i
21j
n1k
4n
...2
Yijk
2YSST
En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error,
con 4(n-1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante.
323.009075.009398.00
4(3)
2Y2
1i
2
1j
3
1k
2ijkYESS
ABSSBSSASSTSSESS
31.348.3375.00208.33323.00
El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos
principales son significativos al 1%.
A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el
orden (1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se
utiliza es posible apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para
estimar los efectos son
Efectos (1) a b Ab
A:
B:
AB:
-1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 3.1 es la siguiente:
Fuente de
variación SS G.L. MS Fo
A
B
AB
Error
Total
208.33
75.00
8.33
31.34
323.00
1
1
1
8
11
208.33
75.00
8.33
3.92
53.15a
19.13a
2.13
a significativo al 1%
Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22
Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción
son iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos
principales. Los coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede
usar una tabla de signos positivos y negativos como la mostrada en la de signos
algebraicos para determinar el signo apropiado de cada combinación de
tratamientos. En el encabezado de las columnas de tabla y se encuentran los
efectos principales (A y B), la interacción AB, e I, que representa el total el total o
el promedio de todo el experimento. Se observa que la columna encabezada por I
se compone de solo de signos positivos. Los renglones corresponden a las
combinaciones de tratamientos.
Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se
multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente
combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A
es –(1) + a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación.
(1)baab
2n
1(1)abab
2n
1A
Combinación
De
Tratamientos
Efecto Factorial
I A B AB
(1)
a
b
ab
+ - - +
+ + - -
+ - + -
+ + + +
Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o
conjuntos de tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor
B,dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del
experimento contiene todas las combinaciones de tratamiento ab. En general, hay
nrepeticiones.
5.4 DISEÑO DE CUADROS LATINOS.
Un diseño cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un
cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas
contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra
aparece una sola vez en cada renglón y columna. El diseño cuadrado latino se usa
para eliminar dos fuentes de variabilidad problemáticas; en otras palabras, permite
analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. A continuación se
presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos.
En donde:
Kjiy= observación correspondiente al i-ésimo renglón, la k-ésima columna y el j-
ésimo tratamiento
Μ= la media general
Iα= es el i-ésimo efecto de renglón
Jτ= es el j-ésimo efecto de tratamiento
Kβ= es el k-ésimo efecto de la columna
Kjiε= es el error aleatorio
El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interacción entre
los renglones, las columnas y los tratamientos. Sólo dos de los subíndices i, j y k
se requieren para especificar una observación en particular porque únicamente
hay una observación en cada celda.
El análisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de
las observaciones en sus componentes de renglón, columna, tratamiento y error
Cuyos grados de libertad.
Bajo la suposición de que el error aleatorio se distribuye en forma normal e
independiente, cada una de las sumas de cuadrados es al dividir entre, variables
aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada.
Los diseños en cuadrados latinos son apropiados cuando es necesario controlar
dos fuentes de variabilidad. En dichos diseños el número de niveles del factor
principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de
bloque o factores secundarios y además hay que suponer que no existe
interacción entre ninguna pareja de factores.
Supongamos que el número de niveles de cada uno de los factores es K. El
diseño en cuadrado latino utiliza K2bloques, cada uno de estos bloques
corresponde a una de las posibles combinaciones de niveles de los dos factores
de control. En cada bloque se aplica un solo tratamiento de manera que cada
tratamiento debe aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de
control.
Si consideramos una tabla de doble entrada donde las filas y las columnas
representan cada uno de los dos factores de bloque y las celdillas los niveles del
factor principal o tratamientos, el requerimiento anterior supone que cada
tratamiento debe aparecer una vez y sólo una en cada fila y en cada columna.
Recibe el nombre de cuadrado latino de orden K a una disposición en filas y
columnas de K letras latinas, de tal forma que cada letra aparece una sola vez en
cada Fila y en cada columna.
A continuación vamos a dar una forma simple de construcción de cuadrados
latinos.
Se parte de una primera Fila con las letras latinas ordenadas alfabéticamente
Columna1 Columna 2 Columna 3 · · · Columna k
Fila 1 A B C · · · K
Laposición (construcción por permutación cíclica), el cuadrado así obtenido es un
cuadrado latino estándar. Un cuadrado latino se denomina estándar cuando las
letras de la primera
Fila y la primera columna están ordenadas alfabéticamente. A parte de los
cuadrados latinos así obtenidos existen otros cuadrados latinos diferentes,
estándares y no estándares. En el
Apéndice B se muestran algunos cuadrados latinos estándares para los órdenes
3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
El procedimiento para construir un diseño en cuadrado latino es el siguiente:
1) Se elige aleatoriamente un cuadrado latino de los disponibles.
2) Se asigna aleatoriamente el orden de las filas y columnas.
3) Se asignan aleatoriamente los tres factores a las filas, columnas y letras,
respectivamente.
Ilustremos este procedimiento con el ejemplo del rendimiento de la semilla de
trigo. Al plantear este experimento se pensó que podría conseguirse mayor
precisión si se controlaba la variabilidad introducida por los tipos de abono e
insecticida. El instituto de experimentación agrícola está interesado en estudiar 4
tipos de semilla de trigo, (s1, s2, s3, s4) y decide realizar el experimento utilizando
un diseño en cuadrado latino. Para ello selecciona 4 niveles para cada una de las
variables de bloque: abono, (a1, a2, a3, a4), e insecticida, (i1, i2, i3, i4).
La selección de uno de los cuadrados se hace al azar. Supongamos que el
cuadrado latino elegido es el siguiente
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
A continuación, se asigna también al azar, el orden de las filas y las columnas.
Supongamos que el orden seleccionado para las filas sea (2, 3, 1, 4), entonces el
cuadrado latino anterior se convierte en
B A D C
C D A B
A B C D
D C B A
Se vuelven a generar otros 4 números aleatorios que se idéntica con el orden de
las columnas de este último cuadrado. Supongamos que los números obtenidos
son (4, 3, 1, 2), obteniéndose el siguiente cuadrado latino
C D B A
B A C D
D C A B
A B D C
Por último, se asignan al azar las filas, las columnas y las letras latinas a los tres
factores. Por ejemplo, supongamos que las filas, las columnas y las letras se
asignan, respectivamente, a los tipos de insecticidas, semillas y abonos, de tal
forma que el diseño resultante es
Table 5-1.
Semillas
Insecticidess1 s2 s3 s4
i1 a3 a4 a2 a1
i2 a2 a1 a3 a4
i3 a4 a3 a1 a2
i4 a1 a2 a4 a3
Por convenio, se suele situar el factor principal, en este caso el tipo de semilla, en
las
Celdillas. Reordenando el diseño anterior se obtiene la siguiente tabla:7.2 Diseños
en cuadrados latinos 5
Tabla 5-2.
Abonos
Insecticidas a1 a2 a3 a4
i1 s4 s3 s1 s2
i2 s2 s1 s3 s4
i3 s3 s4 s2 s1
i4 s1 s2 s4 s3
En resumen, podemos decir que un diseño en cuadrado latino tiene las siguientes
características:
1o) Se controlan tres fuentes de variabilidad, un factor principal y dos factores de
bloque.
2o) Cada uno de los factores tiene el mismo número de niveles, K.
3o) Cada nivel del factor principal aparece una vez en cada fila y una vez en cada
columna.
4o) No hay interacción entre los factores.
5.5 DISEÑO DE CUADROS GRECOLATINOS.
Consideremos un cuadrado latino p × p al que se le sobrepone un segundo
cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los
dos son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra
griega aparece solamente una vez con cada letra latina.
El diseño cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemáticamente
tres fuentes extrañas devariabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un
análisis por bloques en tres direcciones. El diseño permite analizar cuatro factores
(renglón columna, letra griega y letra latina), cada uno con p niveles, usando
solamente p2 ensayos. Los cuadrados grecolatinos existen para toda excepto para
p = 6.
En donde:
lkjiy la observación que corresponde al renglón i, la columna k, la letra latina j y la
letra griega k.
μ= La media general
iθ= Es el efecto del i-ésimo renglón
jτ= Es el j-ésimo efecto de tratamiento de las letras latinas
kω= Es el k-ésimo efecto de tratamiento de las letras griegas
lψ= Es el efecto de la columna l
lkjiε= Es la componente del error aleatorio
Sólo dos de los cuatro subíndices son necesarios para identificar completamente
cualquier observación.
El análisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino. El factor
representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y
los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en
cada renglón, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto la suma de
cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la
letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hipótesis nulas
de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la
letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la
media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error
Los cuadrados greco-latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados
latinos del mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras
latinas el otro con letras griegas. Dos cuadrados reciben el nombre de ortogonales
si, al superponerlos, cada letra latina y griega aparecen juntas una sola vez en el
cuadrado resultante.
En el Apéndice C se muestra una tabla de cuadrados latinos que dan lugar, por
superposición de dos de ellos, a cuadrados greco-latinos. Notamos que no es
posible formar cuadrados greco-latinos de orden 6. La Tabla 5-8 ilustra un
cuadrado greco-latino para K = 4
Tabla 5-8.
Cuadrado greco-latino
A α B β C γ D δ
D γ C δ B α A β
B δ A γ D β C α
C β D α A δ B γ
Planteamiento del modelo
En un diseño en cuadrado greco-latino la variable respuesta yij(hp) viene descrita
por la siguiente ecuación
yij(hp) = µ + τi + βj + γh + δp + ǫij(hp)
i = 1, 2 . . . , K
j = 1, 2 . . . , K
h = 1, 2 . . . , K
p = 1, 2 . . . , K , (8.1)
Donde
µ es un efecto constante, común a todas las unidades. τi es el efecto producido
por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están sujetos a la restricción
iτi = 0.
Βj es el efecto producido por el j-ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos
están sujetos a la restricción
jβj = 0.
Γh es el efecto producido por el h-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos efectos
están sujetos a la restricción
hγh = 0.
δp es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos
efectos están sujetos a la restricción
p δp = 0.
Ǫ ij(hp) son variables aleatorias independientes con distribución N(0, σ).
La notación yij(hp) indica que los niveles i y j determinan los niveles h y p para un
cuadrado greco-latino especificado. Es decir, los subíndices h y p toman valores
que dependen de la celdilla (i, j).
Se utiliza la siguiente notación:
N = K2 es el número total de observaciones.
El total y el promedio de todas las observaciones.