Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

7/26/2019 Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

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2013

Gil Sandro Gmez

07/04/2013

Sistemas de Ecuaciones

Diferenciales Lineales


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``Sistemas de Ecuaciones Diferenciales`

Prof. Gil Sandro Gmez 1

Tabla de contenido

5.1 Introduccin ................................................................................................................. 2

5.2 Sistema de primer orden ............................................................................................ 2

5.3 Mtodo de eliminacin ............................................................................................. 2

5.4 Solucin de sistemas de ecuaciones diferenciales aplicando transformada

de Laplace ......................................................................................................................... 5

5.5 Sistemas autnomos ................................................................................................... 8

5.6 Puntos crticos y soluciones de equilibrio .............................................................. 10

5. 7 Mtodos matriciales para resolver sistemas lineales .......................................... 11

5.8 Existencia y unicidad ............................................................................................... 12

5.9 Conjunto fundamental de soluciones ................................................................... 13

5.10 Mtodo para resolver sistemas normales ........................................................... 15

5.11 Sistemas de ecuaciones no homogneos ........................................................ 25

5.12 Mtodos para resolver sistemas de ecuaciones no homogneos................ 26

Bibliografa ........................................................................................................................ 32

Webgrafa ......................................................................................................................... 32


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5.1 IntroduccinLas ecuaciones diferenciales tienen una gran utilidad en ingeniera y en laciencia. La mayora de los problemas no dependen de una ecuacin, sino de unsistema de ecuaciones, que casi siempre, stas son diferenciales. De ah lanecesidad que nos adentremos en el estudio de los sistemas de ecuaciones

diferenciales.

Definicin. Un conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funcionesincgnitas, se llama sistema de ecuaciones diferenciales.

Solucin de un sistema. Una solucin de un sistema de ecuaciones diferencialeses un conjunto de funciones suficientemente diferenciales 1 2( ), ( ),x x y x

3( )z x , etctera, que satisface cada ecuacin del sistema en algn intervalo

comn .I

5.2 Sistema de primer ordenUn sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

' ... ( )

' ... ( )

' ... ( )

n n

n n

n n n nn n n

x a x a x a x f t

x a x a x a x f t

x a x a x a x f t

donde tes la variable independiente y ( ), 1ix x t i n , son n funciones de t(variables dependientes).

5.3 Mtodo de eliminacinLa eliminacin de una incgnita en un sistema de ecuaciones diferencialeslineales se agiliza al escribir una vez ms cada ecuacin del sistema en notacinde operador diferencial.

5.3.1 Procedimiento de eliminacin para sistema de ecuaciones

diferenciales 2x2

Paso 1. Se escribe el sistema en trminos de operadores diferenciales lineales.

Paso 2. Se elimina la variable x , multiplicando la ecuacin (1) del sistema por elcoeficiente de x la ecuacin (2) del sistema y multiplicando la ecuacin (2) porel coeficiente de x de la ecuacin (1), tratando que al multiplicarse ambasecuaciones queden con signos diferentes y as poder eliminarlos realizando lasuma.

Paso 3. La ecuacin factorizada obtenida en el paso (3) se resuelve utilizando laecuacin caracterstica para hallar las races.


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Paso 4. Observando el tipo de races obtenidas en el paso anterior se decide lasolucin complementaria ( )y t que se tendr.

Paso 5. Al realizar de nuevo los pasos (2), (3) y (4) se elimina la variable y y seobtiene ( )x t .

Paso 6. Se eliminan las constantes adicionales sustituyendo las expresiones para( ) ( )x t y y t en una o ambas ecuaciones del sistema.

Paso 7. Se encuentra la solucin del sistema original en funcin de las demsconstantes.

Si el determinante del sistema es cero, se dice que el sistema es degenerado. Unsistema degenerado puede no tener soluciones, o si posee soluciones, staspueden implicar cualquier cantidad de constantes arbitrarias.

Ejemplo 1.Mediante el mtodo de eliminacin halle la solucin del sistema deecuaciones dado, donde la derivacin es con relacin a la variable .t

4

~ (1)

dxx y

dt

dyx y

dt

Primero escribimos el sistema (1) en forma de operadores:

4 0

0

1 4 0

1 0

Dx x y

Dy x y

D x y

x D y

Ahora eliminamos la variable x :

2

2

. ( -1) :

1 4 0

-( -1) ( -1) 1 0

( -1) 1 4 0

( -1) 1 4 0 ( 2 1) 4 0

( 2 5) 0 ~ (3)

Multiplicamos la ec del sistema por D

D x y

D x D D y

D D y y

D D y y D D y y

D D y

Escribimos la ecuacin auxiliar de (3):

2 2 5 0 ~ (4)m m

La solucin de (4) es:


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2

1 2

2 ( 2) 4(5)(1)1 2 1 2 , 1 2

2m i m i m i

De ah que la solucin de (3) viene dada por:

1 2( ) cos2 2 ~ (2)t ty t c e t c e sen t

Retornamos al sistema de ecuaciones (1) para eliminar la variable y :

2 2

.(1) ( -1) y la ecuacion (1) del sist. por -4:

1 1 4 1 0

4 4 1 0

( 2 1) 4 0 ( 2 5) 0 ~ (5)

Multiplicamos la ec del sistema por D

D D x D y

x D y

D D x x D D x

La ecuacin auxiliar de (5) es:

2 2 5 0 ~ (6)m m

Resolviendo (6):

1 2

2 4 20 2 16 2 41 2

2 2 2

1 2 , 1 2

im i

m i m i

Entonces, 3 4( ) cos2 s 2 ~ (3)t tx t c e t c e en t

Ya determinada la solucin ( ( ), ( ))x t y t , buscamos la solucin definitiva

expresando 3 4c y c en funcin de 1 2c y c .

Derivamos (3):

3 3 4 42 cos2 2 2 cos2 2 ~ (4)t t t t

dxc e t c e sen t c e t c e sen t

dt

Sustituimos (2), (3) y (4) en la primera ecuacin del sistema:

3 3 4 4 3 4 1 22 cos 2 2 2 cos 2 2 s 2 2 4 s 2 4 2 ~ (5)t t t t t t t t c e t c e sen t c e t c e sen t c e co t c e sen t c e co t c e sen t

Comparando trminos semejantes en (5), tenemos que:

3 4 4 2

3 4 3 1

2 4~ (6)

2 4

c c c c

c c c c

Resolviendo el sistema (6)


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3 2 4 12 2c cc y c c

Sustituyendo los valores de 3 4c y c en (3), la solucin de (1) es:

2 1

1 2

( ) (2 cos2 2 2 )( ) ( cos2 2 )

t

tx t c t c sen t ey t c t c sen t e

5.4 Solucin de sistemas de ecuaciones diferenciales aplicandotransformada de LaplaceEn algunas ocasiones tenemos que hallar la solucin de un sistema deecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, para esto es ms convenienteauxiliarse de la transformada de Laplace que como lo hicimos en el temaanterior. La ventaja que nos ofrece este mtodo, es que un sistema deecuaciones diferenciales lo convertimos en un sistema de ecuacionesalgebraicas, lo que es ms fcil de encontrar su solucin.

5.5.1 Procedimiento

1. Aplicamos transformada en cada una de las ecuaciones del sistema.2. Sustituimos las condiciones iniciales dadas.3. Reorganizamos el sistema de ecuaciones obtenido en el paso 2 con las

nuevas incgnitas que son las transformadas de cada funcin.4. Usando transformada inversa de Laplace encontramos la solucin del

sistema.

Ejemplo. Usando transformada de Laplace encuentre la solucin del siguientesistema de ecuaciones diferenciales. 3 2 = 4 = 0= 0, 0= 0

1. Procedemos aplicar transformada de Laplace en ambos lados de cadaecuacin del sistema

3 2=4 = ~22. Buscamos la transformada de Laplace de cada funcin de (2): 30 2= 1 14 0 = 1 ~33. Sustituimos las condiciones iniciales en (3) y reorganizamos:


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0 2= 1 14 0 = 1~4De (4) nos queda lo siguiente:

2= 1 14 = 1~54. Sacamos factor comn a y : 1 2= 1 14 1= 1~6

Como podemos observar (6) el sistema de ecuaciones diferenciales ha sidotransformado en un sistema de ecuaciones algebraicas, lo cual es ms sencilloresolver.

5. Encontramos la solucin de (6):= 14 2 1 = 7

= 1 1 2 1 1

7 = 3 1

7

1

= 3 1 7 1 ~7=

1 1 14 1 7 = 4 7 1= 4 7 1 ~86. Aplicamos transformada inversa de Laplace a (7) y (8) para encontrar la

solucin del sistema de ecuaciones diferenciales.

= 3 1 7 1 , = 3 1 7 1~9En la expresin (9) notamos que el lado derecho no se encuentra directamenteen la tabla de transformadas de Laplace, por tanto es necesario ajustarla a lamisma. Esto podemos hacerlo aplicando fracciones parciales, tal como hacamoscuando vimos el tema de transformada inversa de Laplace.

3 1 7 7 = 7 1 ~10


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Desarrollamos a (10) y nos queda que:3 1 = 1 73 1 = 7 7~11De (11) formamos el siguiente sistema de ecuaciones para hallar los valores de, , . = 0 = 0 7 = 3 7 = 1~12Resolviendo a (12) tenemos los siguientes valores para cada variable:

= 12 , =

16 , =

12 , =

16

Sustituimos los valores en (10) y luego vamos a la tabla de transformadas deLaplace.

= 12 7 167 7 7 12 1 16 1 1= 72 767 2 6 ~13

=

4 7 1 = 7 1~14

Multiplicamos a (14) por 7 1: 4= 1 7~15Desarrollamos la expresin (15) para obtener los valores de las variables y luegoconseguir la solucin.

4 =

7 7~16

Aplicando la teora de la igualdad de polinomios en (16): = 0 = 1 7 = 1 7 = 4~17De la solucin de (17) obtenemos que: = , = , = , = .Sustituyendo cada variable por su valor en (14) obtenemos la segunda solucin.


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= 16 7 1167 7 7 16 1 56 1 1~18Usando la tabla de transformadas de Laplace en (18):

= 16 7 1167 7 56 ~19Las expresiones (13) y (19) son las soluciones del sistema dado.

5.5 Sistemas autnomosDefinicin. Un sistema de ecuaciones diferenciales es autnomo si no dependeexplcitamente de la variable independiente, su forma general (para el caso de

dos ecuaciones de primer orden) ser por tanto:

( , )

~ (7)

( , )

dxf x y

dt

dyg x y

dt

Para los sistemas autnomos es siempre posible aplicar una estrategia deresolucin que consiste en obtener en primer lugar la ecuacin implcita de lasrbitas solucin, de la siguiente manera: Las ecuaciones pueden escribirse de

forma diferencial:

( , )~ (8)

( , )

dxdt

f x y

dydt

g x y

as, se puede eliminar la variable independiente, igualando los primeros miembrosy obtenemos la ecuacin diferencial ordinaria:

~ (9)( , ) ( , )

dx dy

f x y g x y

cuyas curvas solucin son las rbitas del sistema de ecuaciones. Si en la solucingeneral es posible despejar una de las incgnitas, entonces su sustitucin en elsistema original nos proporciona una ecuacin ordinaria y, en definitiva, lassoluciones del sistema.

Si despejamos a

/de la ecuacin (9), tenemos que:


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( , )~ (10)

( , )

dy g x y

dx f x y

Cuando nos referimos a (10), hablamos de la ecuacin en el plano fase. Si enlugar de graficar

o

en funcin del tiempo, graficamos a

contra

obtenemos

el llamado plano de fase o retraso o diagrama de fase como se muestra engrfica 1.


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5.6 Puntos crticos y soluciones de equilibrio

Definicin. Un punto0 0( , )x y donde 0 0( , ) 0f x y y 0 0( , ) 0g x y es un punto crtico

o punto de equilibrio del sistema ( , ), ( , )dx dy

f x y g x ydt dt

y la solucin

constante correspondiente 0 0( ) , ( )x t x y t y es una solucin de equilibrio. El

conjunto de todos los puntos crticos es el conjunto de puntos crticos.

5.6.1 Clasificacin de los puntos crticos

Los puntos crticos de acuerdo a su comportamiento se clasifican en:

a. Estable. Sea1

x un punto crtico de un sistema autnomo y sea ( )x x t la

solucin que satisface la condicin inicial 0(0)x x , donde 0 1x x . Se dice

1x que es un punto crtico estable cuando para cada 0 existe un valor

0 (posiblemente dependiente de) tal que la condicin inicial satisface

0 1 1( ) , 0.x x x t x t Si, adems, 1

0lim ( )t

x t x

siempre que

0 1x x , se llama a 1x un punto crtico asintticamente estable.

b. Inestable. Sea 1x un punto crtico de un sistema autnomo y sea ( )x x t la

solucin que satisface la condicin inicial 0(0)x x , donde 0 1x x . Se dice

1x que es un punto crtico inestable si existe un disco abierto de radio 0

con la propiedad de que, para cualquier 0 , hay una posicin inicial 0x

que satisface 0 1x x , pero la solucin correspondiente ( )x t satisface

1( )x t x para al menos un 0t .


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Fig. 4. Punto estable

5. 7 Mtodos matriciales para resolver sistemas linealesTodo proceso est basado en el aprendizaje significativo, que es quien sustenta la

solucin de problemas. El factor ms importante que influye en el aprendizaje eslo que el alumno ya sabe. La experiencia sobre la cual queremos trabajar esretomar lo que ya se sabe del lgebra Lineal y aplicarlo a la solucin de Sistemasde Ecuaciones Diferenciales y as notarn la utilidad de estos conceptos.

A continuacin expondremos la metodologa e ideas bsicas de cmo resolverestos S.E.D.

Si, denotan, respectivamente, las matrices1 111 12 1

2 221 22 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ... ( )

( ) ( )( ) ( ) ... ( )( ) , ( ) , ( )

( ) ( ) ... ( )( ) ( )

n

n

n n nnn n

x t f ta t a t a t

x t f ta t a t a t X t A t f t

a t a t a t x t f t

Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

111 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

n n

nn n nn n n

dxa t x a t x a t x f t

dt

dxa t x a t x a t x f t dt

dxa t x a t x a t x f t

dt

~ (11)

Puede ser escrito como,


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1 111 12 1 1

2 21 22 2 2 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( )( )

n

n

n n nn nn

x t f ta t a t a t x t

x t a t a t a t x t f t

d

dt

a t a t a t x t x t

~ (12),

( )n

f t

o simplemente ( ) ( ) ( ) ~ (13)dX

A t X t f tdt

, si el sistema (13) es homogneo, (13)

se convierte en ( ) ( ) ~ (14)dX

A t X tdt

.

Ejemplo. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no homogneo, escrbalo enforma matricial. = 2 5 2= 4 3 10En su forma matricial puede ser escrito como:

= 2 54 3 210 = 2 54 3 10 210 , = Definicin.Un vector solucin en un intervalo es cualquier matriz columna

=

cuyos elementos son diferenciables, y tal que satisface el sistema

(13) en el intervalo.

El problema con valores inicialespara el sistema normal (11) es el problema dedeterminar una funcin vectorial diferenciable que satisfaga el sistema en elintervalo y que adems, satisfaga la condicin inicial = , donde es unpunto dado de y = ,,..,,es un vector dado.5.8 Existencia y unicidadTeorema 1. Sean y continuas en un intervalo abierto que contiene alpunto

. Entonces, cualquier eleccin del vector

= ,, , ,, existe una

nica solucin en todo el intervalo del problema con valores iniciales


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= , = .Ms adelante veremos un conjunto de vectores soluciones linealmentedependiente e independiente de un sistema homogneo.

Definicin. Sea , , , un conjunto de vectores solucin del sistemahomogneo (14) en el intervalo . Decimos que el conjunto es linealmentedependienteen el intervalo si existen constantes ,, , , no todas nulas, talesque = 0para todo del intervalo. Si el conjunto de vectoresno es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmenteindependiente.

Wronskiano

Definicin. El Wronskiano de funciones vectoriales =(,, , ,) , , = ,, , ,

se define como la funcin con valores

reales.

[,, , ]=, ,, , , , , , ,.Si , , , son soluciones linealmente independientes en para el sistemahomogneo = , donde es una matriz de funciones continuas,entonces el Wronskiano

nunca se anula en

. En caso que ste sea igual a

cero, las soluciones son linealmente dependientes.

5.9 Conjunto fundamental de solucionesDefinicin. Si , , , es un conjunto cualquiera de soluciones de vectoressolucin linealmente independiente del sistema homogneo (14) en el intervalo ,entonces es un conjunto fundamental de solucionesen el intervalo.

5.9.1 Representacin de soluciones

5.9.1.1 Caso homogneo

Teorema 2. Sean

, , , soluciones linealmente independientes del

sistema homogneo = ~14en el intervalo , donde es una funcin matricial , continuas en .Entonces, toda solucin de (14) en se puede expresar en la forma:= ~15,donde , , son constantes.Considerando los vectores de un conjunto fundamental de soluciones y

formamos las columnas de una matriz la siguiente manera,


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= , , , , ,,, , ,~16,

entonces denomina matriz fundamental de (14). La podemos utilizar paraexpresar la solucin general (15) como= ~17,donde = , , es un vector constante arbitrario. Dado que eldeterminante nunca se anula en , esto implica de acuerdo a la teora delas matrices quetiene inversa para cada en .Ejemplo. Determine si el conjunto es un conjunto fundamental de solucionespara el sistema dado. Si la respuesta es afirmativa, halle la solucin general.

= , 3, = 2 13 2~ en (,-)Primero analicemos si es un conjunto linealmente independiente

= 3 = 3 = 3 1 = 2Como el determinante es diferente de cero, decimos que es un conjuntolinealmente independiente.

Comprobemos si cada vector columna es una solucin del sistema dado.= 2 13 2 = 2 3 2 = ~2Hagamos el anlisis para el segundo vector columna, tambin.

= 2 13 2 3 = 2 33 6 = 3~3Si observamos los resultados (2) y (3), podemos decir que estos vectores satisfacen

el sistema.La matriz fundamental para el sistema es:

= 3~4La solucin de (1) viene expresada por

= = 3


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5.9.1.2 Caso no homogneo

Teorema 3. Sea xuna solucin particular del sistema no homogneo

= ~18

en el intervalo y sea , , un conjunto fundamental de soluciones en para el sistema homogneo = . Entonces toda solucin de (18) en sepuede expresar en la forma= ~19,donde , , son constantes.La expresin (19) es la solucin general de (18). Esta solucin general puedeexpresarse tambin como

= ,

donde es una matriz fundamental para el

sistema homogneo y es un vector constante arbitrario.5.10 Mtodo para resolver sistemas normales1. Para determinar una solucin general del sistema homogneo =:

a. Determine un conjunto fundamental de soluciones , , que constade soluciones linealmente independientes del sistema homogneo.

b. Forme la combinacin lineal = = ,donde

= , , es cualquier vector constante y

= , ,

es una matriz fundamental para obtener una solucin general.2. Para determinar una solucin general del sistema no homogneo= :a. Determine una solucin particular xdel sistema homogneo.b. Forme la solucin general con la suma de la solucin particular y la

solucin complementaria, obtenida en el paso 1. = .5.10.1 Mtodo de los valores propios para resolver sistemas de ecuaciones

homogneos

Antes de iniciar el desarrollo del mtodo, debemos recordar algunos conceptosbsicos del lgebra Lineal, tales como:

Valor propio. Sea una matriz de tamao . El nmero es un valor propiodesi se verifica que = ~5,Vector propio. El vector no nulo que satisface la ecuacin (5) se llama vectorpropio de

asociado al valor propio

.

La ecuacin (5) que nos permiti definir los conceptos de valor propio y vectorpropio puede escribirse como


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= 0~6,con lo que los valores propios, si existen, son los vectores no nulos solucin delsistema lineal homogneo

= 0~7.Este sistema tiene una solucin distinta a la trivial, si y slo si, la matriz no esinvertible, o equivalente si det = 0~8.La ecuacin (8) recibe el nombre de ecuacin caractersticade la Matriz .Definicin. Se llama polinomio caracterstico de una matriz cuadrada alpolinomio

= det ~9.Definicin. Llamamos multiplicidad algebraica de un valor propio, a lamultiplicidad como raz del polinomio caracterstico, es decir, el nmero de vecesque aparece como raz de dicho polinomio.

Subespacio propio. Sea un valor propio de una matriz detamao . Sellama subespacio propio de asociado a al subespacio vectorial

= =

: = .

A la dimensin del subespacio propio se le conoce como multiplicidadgeomtricade .El subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a yadems, al vector nulo.

Ejemplo. Encuentre los valores y vectores propios de la Matriz . =4 4

2 3

Escribimos el polinomio caracterstico:= det = 00 4 52 3= 4 52 3= 4 3 10 = 2Igualamos a cero el polinomio caracterstico para hallar los valores propios de . 2 = 0, ecuacin caracterstica asociada a la matriz dada.La solucin de la ecuacin la tenemos mediante factorizacin:

2 = 2 1= 0


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Los valores propios son:

= 2

= 1Calculamos los vectores propios para cada valor propio determinado. = 2 2 52 5 =002 5 = 0

2 5 = 0

=52 = 2, = 5Esto implica que el vector propio asociado a = 2es:=()Hallamos el vector propio para

= 1:

5 52 2 =00 5 52 2=005 5 = 02 2 = 0La solucin del sistema es: = para = 1 = 1,entonces el vector propio es:

=11Teorema 4. Independencia Lineal de Vectores propios.

Si , , son valores propios distintos para la matriz y es un vector propioasociado a , entonces ,, , son linealmente independientes.Matriz real simtrica. Una matriz real

de dimensin

es simtrica si se

cumple que

= .


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Ejemplo. Analice si la siguiente matriz es simtrica.

= 2 7 17 2 71 7 2

La transpuesta de la matriz dada es:

= 2 7 17 2 71 7 2Como= , entonceses simtrica.Nota: Si la matriz real

es simtrica, sabemos que tiene

vectores propios

linealmente independientes.Si una matrizno es simtrica, es posible que tenga un valor propio repetido peroque no tenga dos vectores propios correspondientes linealmente independientes.Valores propios distintos

Corolario 1. Si la matriz tiene valores propios distintos , , y es unvector propio asociado a , entonces

{

, ,

}

es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogneox= Ax~8.Teorema 5. Solucin general de un sistema homogneo

Si , , valores propios reales y diferentes de la matriz de coeficientes delsistema homogneo (8), y sean , , los vectores propios correspondientes.Entonces, la solucin general de (8) en el intervalo ,est dada por

X = Ke Ke~9.

Ejemplo. Encuentre la solucin general del sistema de ecuaciones dado.= 2 = 4 3 ~101. Escribimos el sistema en forma matricial:=1 2

4 3 ~11

2. Determinemos los valores propios asociados a la matriz de coeficientesconstantes.


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Para determinar los valores propios, debemos hallar el polinomiocaracterstico asociado, el cual viene dado por

= det = 1 2

4 3 =1 3 42=

4 5~12

Igualamos (12) cero: 4 5 = 0~13Resolviendo la ecuacin (13) tenemos que los valores de son: = 5 = 1

3. Calculamos los vectores propios asociados a cada valor propio del paso(2).

Vector propio para = 5 = 4 24 2 = 00~14

Resolviendo el sistema (14): 4 2 = 0

4 2 = 0

= 2para = 1, tenemos que: =()Ahora calculamos el vector propio para = 1:

2 24 4 = 00~152 2 = 04 4 = 0La solucin del sistema nos dice que

= , para

= 1, entonces

= 114. Dado que tenemos calculado los vectores propios de la matriz de

coeficientes constantes del sistema, podemos escribir la solucin generalusando la ecuacin (9):= 12 11


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Valores propios repetidos

Vamos analizar cuando no todos los valores propios son diferentes, es decir, quealgunos valores propios son repetidos.

Si es un entero positivo y es un factor de la ecuacin caracterstica de, mientras que +no es un factor, entonces se dice que es un valorpropio de multiplicidad . A continuacin estudiaremos los siguientes casos:i. Para algunas matrices es posible encontrar vectores propios

linealmente independientes , , que corresponden a un valorpropio de multiplicidad . En este caso, la solucin general delsistema contiene la combinacin lineal ~16.

ii. Si slo hay un vector propio que corresponde al valor propio

de

multiplicidad , entonces siempre se puede determinar solucioneslinealmente independientes de la forma= = ...

=

!

!

donde son vectores columnas.Valor propio de multiplicidad dos.

Si la matriz del sistema = es simtrica y tiene elementos reales, es posibledeterminar vectores propios linealmente independientes, , , , . Lasolucin general viene dada de acuerdo al teorema 5, no importa que los valorespropios sean repetidos.

Segunda solucin. Asumamos que

es un valor propio de multiplicidad dos y

que slo hay un vector propio asociado con l. Se puede determinar unasegunda solucin de la forma = ~17,en donde = y =

.Si sustituimos (17) en el sistema

= , encontramos que los valores de

y

Deben satisfacer las siguientes relaciones:


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= ~18 = ~19La ecuacin (18) nos dice que

debe ser un vector caracterstico de

asociado

. Al resolver las ecuaciones (18) y (19), encontramos respectivamente las

soluciones:= y, porque con la solucin de (19) obtenemos el vector .Valor propio de multiplicidad tres.

Cuando la matriz de coeficientes tiene slo un vector propio relacionado conde multiplicidad tres, se puede encontrar una segunda solucin con (17) y unatercera solucin de la forma

= ~20,donde = , = =.Al sustituir (20) en el sistema = , se determina que los vectores columnas , ydeben satisfacer = ~21 = ~22

= ~23La solucin de (21), (22) y (23) respectivamente nos permiten formar las solucionesde , y .Ejemplo. Determine la solucin del siguiente sistema de ecuaciones.= 3 =

=

a). Primero expresamos el sistema dado en forma matricial:= = 3 1 11 1 11 1 1

~2b). Escribimos la ecuacin caracterstica del sistema

det = 0


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3 1 11 1 11 1 1 1 0 00 1 00 0 1 = 0

3 1 11 1 11 1 1 = 0~3

C). El polinomio caracterstico viene dado por el clculo de (3):= 5 8 4~4d). Procedemos a determinar los valores propios de :

Para encontrar los valores propios de , calculamos los ceros (4), stos pueden serdeterminado usando un programa o manualmente aplicando el teorema deRuffini, tambin puedes factorizar el polinomio caracterstico.

Factorizando tenemos que 1 2= 0, de ah que los factores delpolinomio son: = 1y = 2, el segundo valor propio es de multiplicidad dos.Calculamos el vector propio para = 1

2 1 11 0 11 1 0 =

000~5Escribimos (5) en su forma normal:

2 = 0 = 0= 0 ~6Resolvemos (6) para obtener el vector propio asociado a = 1:= , para = 1, entonces = 1y = , esto implica que = 1De ah que el vector = 11

1

Ahora procedemos a buscar el vector asociado al valor propio = 2, que es demultiplicidad dos. Como la matriz tiene un vector de multiplicidad dos. Tenemosque investigar si la matriz es simtrica, porque de serlo, nos garantiza que tiene vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio = 2.La matriz del sistema no es simtrica, esto nos obliga a utilizar las ecuaciones(18) y (19).

Ahora calculamos el vector propio asociado a = 21 1 11 1 11 1 1 = 000~7


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Expresemos (7) en su forma normal: = 0 = 0 = 0

~8Resolviendo (8) mediante el mtodo de Gauss nos queda: = 0 = , si = 1 y = 0, pues el vector propio es:

= 110Usando la ecuacin (19) calculamos el tercer vector propio:

1 1 11 1 11 1 1

= 110~9

Como podemos darnos cuenta, en (9) existe una combinacin lineal entre losvectores de las filas 1 y 2. Analicemos el tercer regln para determinar el ltimovector. = 0 = , hagamos = 0, as que =

Si = 1, tenemos que = 1.

= 101Ya tenemos calculado los tres vectores, por tanto podemos escribir la solucin delsistema.

= 111 110

110 101

Valores propios complejos

Hasta hace poco habamos venido estudiando el tema de los valores y vectorespropios, stos eran reales. En algunas ocasiones cuando formamos el polinomiocaracterstico nos encontramos que la solucin viene dada por valorescomplejos. De acuerdo a lo que aprendimos en nuestro curso de MatemticaBsica las races complejas vienen en parejas, es decir; ella y su conjugada.

Teorema 6. Soluciones con valores propios complejos

Sea una matriz real del sistema de ecuaciones homogneo = x~14, yun vector propio correspondiente al valor propio complejo = , donde,

. Dos soluciones de (14) vienen dada por

y

.


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Ejemplo. Halle la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales homogneas.= 6 = 5 2Lo primero que haremos es escribir el sistema en forma matricial:

= 6 15 2 ~2Escribimos la ecuacin caracterstica del sistema

6 15 2

1 00 1

= 0 6 15 2

= 0El polinomio caracterstico es: = 8 17Buscamos los ceros del polinomio caracterstico: 8 17 = 0Los ceros son: = 4 y = 4 .Los valores propios son complejos, como podemos observar. Procedemos abuscar los vectores propios complejos asociados.

Buscamos el vector propio para

= 4

2 15 2 = 00Escribimos el sistema en su forma normal para hallar los valores de y .2 = 05 2 = 0De la primera ecuacin del sistema tenemos que:

=2 , si = 1 =2 El vector propio asociado a = 4 es: = 12 i

Para = 4 , tenemos que:

2 1

5 2 =

00

De ah que, 2 = 0


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5 2 = 0De la primera ecuacin del sistema tenemos que:

= 2 , para

= 1 = 2

Entonces, el vector propio que es el conjugado de viene dado por: = 12 La solucin es: = ( )+ ( +)Teorema 7. Soluciones reales que corresponden a un valor propio complejo

Sea = un valor propio complejo de la matriz de coeficientes en elsistema homogneo (14) y sean

y

los vectores columnas. Entonces la

solucin viene dada por = = ~Son soluciones linealmente independiente de (14) en ,.Las matrices y se forman por lo comn por = y = .Ejemplo. Escriba la solucin del ejemplo anterior como una solucin real quepertenece a un valor propio complejo.

Como el valor propio es = 4 y el vector propio asociado = ( )podemos construir la solucin sabiendo que= y = .Ahora construimos las matrices:

= 12 = 01Entonces la solucin viene expresa como:

= [() ( )] [( ) ()]5.11 Sistemas de ecuaciones no homogneosHasta el momento habamos estudiado solo sistemas de ecuacioneshomogneos, ahora analizaremos sistemas no homogneos. Un sistema deecuaciones es no homogneo cuando tiene la forma = ~20.No se pueden confundir los trminos autnomo y no autnomo con homogneoy no homogneo. Un sistema puede ser autnomo y no homogneosimultneamente.


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Las tcnicas que utilizamos para resolver ecuaciones no homogneas de ordensuperior pueden aplicarse para los sistemas, la nica diferencia es que para lossistemas es un poco ms laborioso el proceso. Esto nos dice que podemos usarcoeficientes indeterminados y variacin de parmetros.

5.12 Mtodos para resolver sistemas de ecuaciones no homogneos5.12.1 Mtodo de Coeficientes Indeterminados

Recordamos cuando estudiamos las ecuaciones diferenciales no homogneasque este mtodo solo poda ser usado si era un polinomio, una funcinexponencial, una funcin seno o coseno, una constante o una combinacin finitade ellas.

El procedimiento para ser aplicado a los sistemas sigue la misma mecnica quepara las ecuaciones diferenciales no homogneas, esto lo confirmaremos en elejemplo siguiente.

Ejemplo 5. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

= 1 33 1 2 5Para hallar la solucin del sistema, tenemos que hallar la solucin del sistema deecuaciones homogneo asociado mediante el uso de los valores propios.

= 1 33 1

~5La ecuacin caracterstica asociada a (2) es: = 1 33 1 1 00 1 = 00

1 33 1 = 00~3Calculamos el determinante de (3):

2 8 = 0~4

El polinomio caracterstico de (4) es:= 2 8~5Factorizando hallamos los ceros de (5): 4 2= 0 = 4, = 2Ya podemos calcular los valores propios de (3).

Comencemos para = 41 4 33 1 4 = 00


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3 33 3 = 00~6Tomando en consideracin que la matriz es una matriz simtrica, laindependencia lineal est garantizada.

Busquemos el vector asociado a = 43 33 3 = 00~7Resolviendo (7) nos encontramos que:= , hagamos = 1, entonces = 1.Pues el vector es:

= 11Ahora vamos a calcular el segundo vector asociado a = 2:

3 33 3 = 00~8Revolviendo (8) tenemos que:

3 3= 0 = , asumamos que = 1, entonces, = 1. = 11La solucin del sistema homogneo es:

= 11 11 Como tenemos la solucin del sistema homogneo asociado, podemosencontrar la solucin particular.

El viene dado por: = ~9Si (9) es una solucin de (1), tiene que satisfacer el sistema dado.

2 = 1 33 1 2 5~10Realizamos las operaciones indicadas en (10):


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2 = 33 33 33 2 5~11Igualamos al vector nulo la ec. (11):

33 33 33 2 5 2 = 00~12De (12) tenemos:

3 3 3 2 23 3 3 2 5 = 00~13Por nuestro estudio de lgebra Lineal sabemos que dos matrices son iguales, sicada uno de sus elementos son iguales, este concepto vamos a aplicarlo pararesolver (13).

2 = 03 = 0 , 3 2= 03 2 1 = 0 3 = 03 5 = 0 ~14Resolviendo (14) tenemos que:

= 14, =34 , =14 , = 14 , = 2, =34 ~15Sustituyendo (15) en (9):

= 1434 14 14 234La solucin general viene dada por: =

= 11 11 1434

14 14 234

5.11.2 El mtodo de Variacin de Parmetros

Por nuestro estudio de ecuaciones diferenciales lineales no homogneas,sabemos que para encontrar la solucin general de la misma debemosdeterminar una solucin particular. sta se puede hallarse usando variacin deparmetros.

La tcnica de variacin de parmetros puede ser usada en los sistemas deecuaciones diferenciales lineales no homogneos. La aplicacin de variacin deparmetros para determinar la solucin particular de un sistema de ecuacionesdiferenciales es un poco ms laborioso que cuando lo aplicamos a una ecuacinlineal.


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Para la utilizacin del mtodo se debe tener un conocimiento previo de como secalcular la inversa de una matriz, multiplicar dos matrices y que es una matriz nosingular. Para no tener ningn problema, vamos a decir cuando una matriz es nosingular. Una matriz es no singular si el valor de su determinante es diferente decero.

Sea una matriz fundamental para el sistema homogneo= ~24,donde las entradas de pueden ser cualesquiera funciones continuas de .Como una solucin general de (6) viene dada por , siendo un vectorconstante 1, buscamos una solucin particular para el sistema no homogneo= ~25de la forma

= ~26Aplicando la regla de la derivada de un producto a (26) tenemos:= ~27Al derivar (26) es necesario mantener el orden de los factores, porque sonmatrices y en el producto de las matrices no se cumple siempre la leyconmutativa.

Sustituyendo (26) y (27) en (25) obtenemos = ~28Como satisface a (24), la ec. (28) se transforma en: = ~29De ah, = ~30Multiplicamos por ambos lados de (30):= ~31Pues nos queda:

= 1~32Integramos a (32), entonces

= 1~33


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Como= , concluimos que = 1~34.Ya que hemos calculado la solucin complementaria y la particular, podemosescribir la solucin general de (25):

= 1 ~35.Como advertimos cuando estudibamos el mtodo de variacin de parmetrospara ecuaciones lineales no homogneas, que al realizar la integral en (33) noera necesario usar la constante de integracin.

Ejemplo.Determina la solucin del siguiente sistema de ecuaciones diferencialesdado.

= 2 41 2 4ln ~36

Primero encontramos la solucin de la ecuacin homognea asociada a (36).

= 2 41 2 ~37Buscamos los valores propios y vectores propios correspondientes a (37).

2 41 2

1 00 1

= 00

~38Realizando la operacin indicada en (38):2 41 2 = 00~39Calculamos el determinante de (39) y obtenemos la ecuacin caracterstica.

2 41 2 = 0~40El valor del determinante da como resultado la ecuacin:

= 0~41Buscamos los ceros de la ecuacin (41, que son los valores propios del sistema:= 0, = 0Los valores propios son repetidos.

Calculamos el primer vector propio, el correspondiente a = 0.2 41 2 = 00~42

Desarrollamos a (42):


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2 4= 0 2= 0 ~43Ahora buscamos la solucin de (43) para obtener el valor propio asociado.

De la segunda ecuacin de (4) obtenemos que: = 2 si = 1, entonces= 2. Hemos calculamos el primer vector propio: = 21~44Nos corresponde hallar el segundo vector propio.

2 41 2 = 21~45Es importante recordar que (45) no fue igualado a cero, porque los valorespropios eran repetidos y la matriz no es simtrica.

Desarrollamos a (45) y luego determinamos los valores de las variables.2 4= 2 2= 1 ~46De la solucin de (46) se tiene que: = 1 = 0.

= 10~47

Usando a (44) y (47) podemos formar la solucin de la ecuacin homogneaasociada.

= 21 21 10 ~48La matriz fundamental del sistema es:

= 2 2 11 ~49Para poder encontrar la solucin particular es necesario saber si la matrizfundamental del sistema admite inversa. Para eso solo tenemos que determinar siel determinante de (49) es diferente de cero.

||= 2 2 11 = 1,como el valor del determinante es -1, la matriz fundamental admite inversa y es:

= 2 11 2 ~50


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Para determinar la solucin particular usamos la frmula (34) del apartado 4.10.

= 2 2 11

2 11 2

4 ln

= 2 2 11 4ln 2 4 2 ~51

Procedemos a resolver el integral en (51).

= 2 2 11 2 ln 2 4 4 2ln ~52Realizamos el producto matricial indicado en (52) y obtenemos la solucin

particular. = 4 2 2 82 2 2 ln 2 ~53La solucin general es la suma de (48) y (53).

= 21 21 10 4 2 2 82 2 2 ln 2Nota: es necesario que el estudiante revise sus conocimientos de lgebra Lineal.

Bibliografa1. Kolman, B. y Hill. D, lgebra Lineal, octava edicin, Pearson, Mxico, 2006.2. Edwards, C. y Penny, D. (2009). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con

Valores en la Frontera (4taedicin). Mxico: Pretince Hall.3. Nagle, K., Saff, E. y Snider, A. (2005). Ecuaciones Diferenciales y Problemas

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Webgrafa

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Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

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