CAPACITANCIA

Objetivo

Comprenderá el concepto de capacitancia. Calculará la capacitancia de distribuciones elementales de cargas así como la energía asociada a ellas.

Introducción

Comenzaremos hablando sobre los conceptos de electrostática expuestos en el capítulo 1 y 2, sobre campo eléctrico, potencial eléctrico.

Comportamiento de los materiales conductores, en dispositivos conocidos como capacitores o condensadores.

Introducción

Utilizando los principios de conservación de carga eléctrica y de energía se analizan sistemas de capacitores conectados en serie, paralelo.

Introducción

Consideraremos el comportamiento eléctrico de materiales no conductores o dieléctricos. Se caracteriza a los materiales dieléctricos a través de la polarización eléctrica del material, y se define al vector de desplazamiento eléctrico.

Introducción

La Ley de Gauss para el campo eléctrico es entonces remplazada por la Ley de Gauss para el vector de desplazamiento eléctrico.

Posteriormente, se define a la susceptibilidad eléctrica y a la constante dieléctrica de los materiales.

Introducción

Pasamos a completar el esquema electrostático haciendo un análisis adicional sobre consideraciones de energía electrostática asociada con sistemas de carga en reposo.

Definición

Conocidos también como condensadores son dispositivos electrónicos que permiten almacenar energía eléctrica. En un circuito pueden estar asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo hacen las resistencias.

Capacitor cilíndrico

--------

++++++++

A B

+-

La capacidad de almacenar carga aumenta si se acercan más las placas A y B entre sí o bien, al incrementarse el área de las placas o el voltaje de la batería.

Diseño de un capacitor

Está formado por dos conductores, denominan placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca un dieléctrico que permite aislar las placas entre si. La figura muestra un esquema de un capacitor de placas paralelas, aislado, en este caso, por aire. Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel humedecido con parafina etc.

d

Diseño de un capacitor

• Se pueden construir condensadores de gran capacitancia y poco volumen usando como armaduras hojas metálicas, separadas por un dieléctrico (generalmente papel parafinado), y enrollado, tal como muestra la figura.

Aluminio

Dieléctrico

Simbología de un capacitor

Tal como acontece con los componentes de un circuito, los capacitores poseen su propia representación. Esta es la que indica la figura siguiente.

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a una batería o fuente de poder, una placa al polo negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo

con negativo).

Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)

+ _

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

En esta situación la batería extrae electrones desde una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q , y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se hace referencia al módulo de la carga que adquiere una de las placas.

+Q -Q

La carga neta del capacitor es cero

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

La transferencia de carga va aumentando hasta un límite en el cual la diferencia de potencial entre las placas del capacitor se iguala con la que posee la batería. Esta condición es la que limita el almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el capacitor

+Q -Q

V (volt)

V (volt)

Un capacitor simple como el mostrado en la figura anterior, consta de dos láminas metálicas separadas por un aislante o dieléctrico que puede ser aire, vidrio, mica, aceite o papel encerado.

La capacidad o capacitancia de un capacitor se mide por la cantidad de carga eléctrica que puede almacenar. Para aumentar la capacitancia se hacen las siguientes modificaciones:

Aumento de capacidad:

1.- Disminuir la distancia entre las placas metálicas, de tal manera que al acercarse, la placa positiva provocará que se atraigan más cargas negativas de la batería sobre la placa negativa y por supuesto más cargas positivas sobre la carga positiva.

2.- Aumentar el área de las placas, pues mientras mayor superficie tengan, mayor será su capacidad de almacenamiento.

3.- Aumentar el voltaje de la batería.

Cómo se carga un condensador: Conectando las dos placas a los terminales de una batería.

De esta forma, los portadores de carga se mueven de una placa a otra hasta que se alcanza el equilibrio electrostático. Así, la diferencia de potencial entre las placas es la misma que entre los terminales de la batería.

La relación ente la carga y el potencial es una característica propia de cada condensador, por lo que se define la Capacidad del condensador como:

Vq

C Unidades en el S.I.: Faradio (F)

La cantidad de carga Q que puede ser almacenada por un capacitor a un voltaje dado es proporcional a la capacitancia C y al voltaje V de donde:

Q = CV.

Al despejar C de la fórmula anterior se obtiene la ecuación que permite definir la unidad de capacitancia:

C = Q V

Donde: C = capacitancia del capacitor en faradios (F). Q = carga almacenada por el capacitor en coulombs

(C). V = diferencia de potencial entre las placas del

capacitor en volts (V). A la unidad de capacitancia se le ha dado el nombre

de farad o faradio (F) en honor de Michael Faraday (1791-1867), físico y químico inglés, pionero del estudio de la electricidad.

Por definición: un capacitor tiene la capacitancia de un farad cuando al almacenar la carga de un coulomb su potencial aumenta un volt: Un farad = un coulomb un volt

Debido a que el farad es una unidad muy grande, en la práctica se utilizan submúltiplos de ella:

milifarad (mF = 1 x 10-3 F), equivalente a la milésima parte del farad.

microfarad (μF = 1 x 10-6 F), que es la millonésima parte del farad.

nanofarad (nF = 1 x 10-9 F) picofarad (pF = 1 x 10-12 F), que es la billonésima

parte del farad.

3.3 Cálculo de potencial eléctrico en diferentes configuraciones.

Se puede demostrar usando la ley de Gauss que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es:

d

AC 0

0 : permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4K y por tanto posee un valor igual a 8.85 X 10ˉ¹² C2/Nm2

Área entre placas

Separación entre placas

Cálculo de potencial eléctrico en diferentes configuraciones.

• Como la longitud “L” de las placas conductoras en comparación con la distancia “d” que las separa, es muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un campo electrostático uniforme.

Bajo estas condiciones el campoPosee un valor que depende del

Voltaje entre las placas y la Separación entre las mismas, es decir:

d

VE 0

0

E0

1.- Condensador de placas planoparalelas

TIPOS DE CONDENSADORES

Suponiendo cada placa como un plano infinito, el campo eléctrico creado por cada placa es s/2eo, luego el campo total entre las placas es

CteA

qEoo

La capacidad seráA d q

qVqC

o

/

yA d qd EV

o

d A

C o

Cuando de desea calcular la capacitancia de un capacitor de placas paralelas se utiliza la siguiente expresión matemática:

C = ε A d Donde C = capacitancia en farads (F). ε= constante que depende del medio aislante y

recibe el nombre de permitividad en F/m. A = área de una de las placas paralelas en metros

cuadrados (m2). d= distancia entre las placas en metros (m).

La constante ε llamada permeabilidad eléctrica o simplemente permitividad del medio aislante, es igual al producto de la constante de permitividad del vacío εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, y εr o sea, la permitividad relativa o coeficiente dieléctrico del medio aislante. Por lo tanto:

ε = εo εr. Los valores de la permitividad relativa o coeficiente

dieléctrico (εr) de algunas sustancias aislantes se dan en el cuadro siguiente. Finalmente cabe señalar que las unidades de la permeabilidad eléctrica o permitivad ε son F/m equivalente a C2/Nm2 igual que las unidades de εo.

Líneas de campo eléctrico entre las placas de un condensador

2.- Condensador cilíndrico: Se compone de un alambre de radio a y una corteza cilíndrica de radio b concéntrica con el alambre.

b

ardEV Siendo E el campo eléctrico en

la zona entre los dos conductores. Podemos calcular esta campo eléctrico aplicando el Teorema de Gauss.

o

qsdE

int

o

qrL E

int2rL

q Eo

2

b

a

b

adr ErdEV

ab

Lq

rdr

Lq V

o

b

ao

ln22

)/ln(

2abL

Vq

C o

Cuanto mayor es la longitud del cilindro más carga es capaz de acumular

+ ++

++

+

++

+

+

+ + ++

+

++

+

++

+

++

--

- -- --

-

--

-

-

E

a

b

3.- Condensador esférico: Se compone de una esfera conductora interior de radio R1 y una corteza esférica concéntrica de radio R2.

Si suponemos que la esfera interior tiene carga negativa y la corteza está cargada positivamente, el campo eléctrico entre ambas, a una distancia r, será el de una carga puntual colocada en el centro.

2

1

2

1

2

1 21

122

R

R

R

R

R

R RR

RRkqdr

r

qkdr ErdEV

12

21

12

21 4)( RR

RRRRk

RRC o

2R Si Se define la capacidad de un condensador esférico aislado como

RC o4

-q

+q

R1R2

Ejemplo

1.- Se conecta un capacitor a una batería de 300V. Suponga que la carga transferida a las placas del capacitor es 1.2 X 10-3 C. Determine la capacitancia cuando el dieléctrico usado es aire.

Resp. Aplicando C = Q/V

C = 4 X10-6 F = 4F

Habitualmente V se escribe como V y vice-versa

Ejemplo

2.- Determinar el área de las placas de un capacitor de placas paralelas de 1 F, sabiendo que ellas estás separadas 1 mm.

0 = 8.85 X 10-12 C2/ Nm2

d = 1 X10-3 m

C = 1 F

2812

3

0

1011085.8

)101)(1(mX

XXdC

A

Esto corresponde a un cuadrado de 10 Km por lado. Por eso los capacitores de uso común son del orden del picofaradio (110-12 F)

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Como se vio, la capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la separación entre ellas, pero también puede aumentarse si además entre las armaduras de él se coloca un dieléctrico o aislador. El dieléctrico se afecta por el campo eléctrico del capacitor, ocasionando que aquel se polarice, como indica la figura.

Ep

Dieléctrico

E0

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Esto provoca que en el dieléctrico se forme un campo Ep en dirección opuesta al que genera el capacitor. Por consiguiente el campo neto es la suma de ambos: E T = E0 -E p . En este proceso la carga Q acumulada en las placas no se afecta

ET = E0 -EP

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Recuerde que V0 = E0d. Como la diferencia de potencial es función del campo dentro del capacitor y de la separación entre las placas se obtiene que, la nueva diferencia de potencial disminuye, esto es: V= ET d, porque el campo disminuye. Es decir que: V V0 .

La nueva capacitancia es C = Q/ V

13V 9VSin dieléctrico Con dieléctrico

C0 Q C Q

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Se demuestra que V = V0 / kd donde kd 1. Luego la capacitancia puede expresarse como:

C = K d Q / V0

Es decir, C = k d C0. A su vez esta ecuación puede escribirse en término del área de las placas y de la distancia d entre ellas, tal como sigue:

d

AkC d 0

K d se conoce como la constante del dieléctrico

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Para variar la capacidad de un condensador, se pueden poner materiales con distintas constantes dieléctricas entre sus placas. La constante dieléctrica del vació es 1; la de un conductor perfecto sería infinita.

Otra utilidad de los dieléctricos, y especialmente los sólidos, es que permiten colocar las placas muy cerca sin peligro de que se toquen y se descarguen, lo cual permite aumentar aún más la capacitancia del condensador.

Los capacitores utilizados en los circuitos eléctricos son de diversas clases, formas y tamaños. Uno de los más usados en los aparatos de radio o en el sistema de encendido de los automóviles es el llamado capacitor de papel, el cual consta de dos bandas largas de laminillas de estaño separadas por una tira de papel delgado recubierto de parafina.

También se empapa con parafina al conjunto formado por las laminillas de metal y el papel, esto a su vez se enrrolla con otra cinta de papel con parafina y se guarda en una pequeña unidad compacta. Cada laminilla de estaño se convierte en una de las placas del capacitor y el papel realiza la función de ser un aislante o dieléctrico.

Constante dieléctricas de algunos materiales

Material Constante Material Constante Vacío 1 Caucho 6,7 Aire 1,00059 Nylon 3,4 Baquelita 4,9 Papel 3,7 Cuarzo 3,78 Titanio 233 Mica 5,6 Agua 80 Poliestireno 2,56 aceite 2,5 Teflón 2,1 Porcelana 6.5

Ejemplo

1.- Dos láminas cuadradas de estaño de 30 cm de lado están adheridas a las caras opuestas de una lámina de mica de 0.1 mm de espesor con una permitividad relativa de 5.6 ¿cuál es el valor de la capacitancia?

Datos Fórmula l = 30 cm = 0.3 m C = ε A d = 0.1 mm d εr = 5.6 εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, C= ?

Ejemplo: Solución

Solución: Cálculo de la permitividad ε de la mica: ε = εo εr ε = 8.85 x 10-12 C2/Nm2 x 5.6 = 49.56 x 10-12 F/m. Cálculo de cualquiera de las dos placas: A = l2 = (0.3 m)2 =0.09 m2. Conversión de unidades: Como 1 m = 1 x 103 mm. 0.1 mm x 1 m =1 x 10-4 m. 1 x 103 mm.

Sustitución y resultado: C = 49.56 x 10-12 F/m.x 0.09 m2.

1 x 10-4 m. C = 446 x 10-10 F = 0.0446 μF.

Ejemplo

2.- Las placas de un capacitor tienen una separación de 5 mm en el aire. Calcular su capacitancia si cada placa rectangular mide 15 cm x 20 cm.

Datos Fórmula d = 5 mm C = ε A A = 0.15 m x 0.20 m d εr = 1 εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, C = ?

Solución: como la permitividad relativa para el aire prácticamente puede ser considerada igual a uno, el valor de la permitividad ε del aire es igual a la permitividad en en vacío εo, es decir:

εaire = εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2

Cálculo del área de una de las placas: A = 0.15 m x 0.20 m = 0.03 m2. Conversión de unidades: 5 mm x 1 m = 5 x 10-3 m 1 x 103 mm Sustitución y resultado: C = 8.85 x 10-12 F/m x 0.03 m2. 5 x 10-3 m C = 5.31 x 10-11 F = 53.1 pF.

Energía en un capacitor

Cuando un condensador se descarga, se produce un flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva hasta que se igualen las cargas y desaparezca la diferencia de potencial. El transporte de esas cargas , implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación de energía eléctrica. La expresión general para la energía almacenada en un capacitor es:

2

VQU c

2

2VCU c

C

QU c 2

2

Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas

De acuerdo a los datos

Puede expresarse también así

La transferencia de una carga extra dq’, requiere un trabajo extra que vendrá dado por:

''

')( dqCqdqtVdW

El proceso termina cuando toda la carga ha sido transferida y el sistema queda en equilibrio. El trabajo desarrollado en este proceso será

q

dqCqdWW

0'

'

Este trabajo coincide con la energía eléctrica almacenada en el condensador, luego

C

qU

2

2

1

También se puede escribir como:

2

2

1CVU qVU

21o

Ejemplo

7.- Un condensador plano cargado pero desconectado de la batería tiene una capacidad de 9 F y entre sus armaduras hay una diferncia de potencial de 200 V. ¿ Qué energía se liberará en la descarga del capacitor?

Resp. U c = Q V/2

Q = C V = 1,810-3 C

UC = 0,18 j

Los capacitores tienen muchos usos en los circuitos de corriente alterna, en los circuitos de radio y en el encendido de la mayoría de los automóviles.

Por ejemplo, en el preciso instante que se abre un circuito, con frecuencia los electrones siguen fluyendo como lo hacían inmediatamente antes de abrirlo. Esta pequeña corriente que continúa brevemente después de abrir el circuito logra atravesar el espacio entre los conductores del interruptor si no se encuentran muy separados.

Debido a lo anterior, la descarga producida calienta y descarga las partes del interruptor. Existen dispositivos, como los empleados en el sistema de encendido de los automóviles, denominados platinos, los cuales se pueden abrir y cerrar varios cientos de veces por segundo, de manera que si no se impide el fenómeno antes descrito se deberían cambiar constantemente.

Así pues, cuando se abre el interruptor, los electrones que podrían provocar una descarga entre los platinos de contacto cargan al capacitor, y si en éste llega a existir una diferencia de potencial muy grande, capaz de producir una pequeña chispa, las puntas están lo suficientemente separadas para no producir descarga eléctrica alguna.

Los capacitores también se utilizan en algunas cámaras fotográficas en las cuales una lámpara electrónica utiliza un capacitor para almacenar la energía de una batería. Al cerrar el fotógrafo el interruptor, el capacitor se descarga por medio del foco eléctrónico que tiene instalado, así, se convierte en luz y calor la energía almacenada.

Conexión de capacitores en serie y en paralelo.

Al igual que las resistencias eléctricas, los capacitores también pueden conectarse en serie y en paralelo como se ven en las figuras siguientes, con la diferencia de que las dos ecuaciones para los capacitores son las contrarias de las utilizadas para las resistencias en serie y en paralelo.

Capacitor en serie

+-

C1 C2 C3

- + - + - +

Capacitores conectados en serie al estar la placa positiva de uno

Unida a la negativa del otro.

Fórmulas capacitores en serie

Las ecuaciones empleadas para calcular las capacitancia equivalente de las conexiones en serie son:

1 = 1 + 1 + 1 + … 1

Ce C1 C2 C3 Cn

QT = Q1 = Q2 = Q3 =… Qn Q = CV

VT = V1 + V2 + V3 +… Vn

Capacitor en paraleloC1

- +

C2- +

C3

- +

- +

Conexión de capacitores en paralelo al unirse las placas positivas de Los capacitores en un punto y las negativas en otro.

Fórmulas de capacitores en paralelo

Las ecuaciones empleadas para calcular la capacitancia equivalente de las conexiones en paralelo son:

Ce = C1 + C2 + C3 + … + Cn

VT = V1 = V2 = V3 =… Vn V = Q C QT = Q1 + Q2 + Q3 +…+ Qn

Resolución de problemas de capacitores conectados en serie y en paralelo.

1.- Tres capacitores de 3, 6, y 8 pF se conectan primero en serie y luego en paralelo. Calcular la capacitancia equivalente en cada caso.

Solución: Conexión en serie: 1 = 1 + 1 + 1 = 0.333 + 0.166 + 0.125 Ce 3 6 8 1 = 0.624 Ce Ce = 1 = 1.6 pF 0.624 Conexión en paralelo: Ce = 3 + 6 + 8 = 17 pF.

2.- Tres capacitores de 2, 7 y 12 pF se conectan en serie a una batería de 30 V. Calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La carga depositada en cada capacitor. C) La diferencia de potencial en cada capacitor.

Solución: 1 = 1 + 1 + 1 = 0.5 + 0.143 + 0.083 Ce 2 7 12 1 = 0.726 Ce Ce = 1 = 1.38 pF. 0.726 B) Como la conexión es en serie, la carga depositada en cada

capacitor es la misma y equivale a: Q = CV = 1.38 x 10-12 F x 30 V = 41.4 x 10-12 C o 41.4 pC.

La diferencia de potencial en cada capacitor será de: V1 = Q/C1 = 41.4 x 10-12 C = 20.7 V 2 x 10-12 F V2 = Q/C2 = 41.4 x 10-12 C = 5.9 V 7 x 10-12 F V3 = Q/C3 = 41.4 x 10-12 C = 3.4 V 12 x 10-12 F El voltaje total suministrado V, es igual a la suma de

V1+ V2 + V3 = 20.7 V + 5.9 + 3.4 = 30 V.

3.- Un capacitor cuyo valor es de 40 μF, se conecta a una diferencia de potencial de 120 volts. Expresar la carga almacenada en coulombs y a cuántos electrones equivale:

Datos Fórmula C = 40 μF Q = CV V = 120 V Q = ? Sustitución y resultado: Q = 40 x 10-6 F x 120 V Q = 4800 x 10-6 C conversión de unidades: 4800 x 10-6 C x 6.24 x 1018 electrones = 29.9 x 1015 electrones. 1 C

4.- Tres capacitores están conectados en paralelo a una diferencia de potencial de 120 volts y sus valores son C1 = 6 μF, C2 = 8 μF y C3 = 12 μF calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La diferencia de potencial en cada capacitor. c) La carga depositada en cada capacitor. d) La carga total almacenada por los capacitores.

Solución: a) Ce = C1 + C2 + C3 = 6 + 8 + 12 = 26 μF.

b) La diferencia de potencial en cada capacitor es igual cuando la conexión es en paralelo y puesto que están conectados directamente a la fuente de 120 V, en cada capacitor, el voltaje es el mismo, es decir 120 V.

c) La carga depositada en cada capacitor equivale a: Q1 = C1V = 6 x 10-6 F x 120 V = 720 x 10-6 C ó 720

μC.

Q2 = C2V = 8 x 10-6 F x 120 V = 960 x 10-6 C ó 960 μC.

Q3 = C3V = 12 x 10-6 F x 120 V = 1440 x 10-6 C ó 1440 μC.

d) La carga total almacenada por los tres capacitores es: Q = Q1 + Q2 + Q3.

Q = (720 + 960 + 1440) x 10-6 C = 3120 x 10-6 C o 3120 μC. Nota: esta cantidad de carga será la misma que

obtendremos al multiplicar la capacitancia equivalente por el voltaje que suministra la batería:

Q = Ce V = 26 x 10-6 F x 120 V = 3120 x 10-6 C o 3120 μC.

5.- De acuerdo con el siguiente arreglo de capacitores mostrados en la figura siguiente. Calcular: a) la capacitancia equivalente del circuito en paralelo. b) la capacitancia total equivalente del circuito. c) El voltaje existente en cada capacitor.

+-

+-

C1 = 2 pF

+-

C2 = 4 pFC3 = 5 pF

60 V

Solución: a) La capacitancia equivalente del circuito en

paralelo es: Ce = C1 + C2. Ce = 2 pF + 4 pF = 6 pF. La capacitancia total del circuito la calculamos

considerando el valor de la capacitancia equivalente del circuito en paralelo (Cp) como una conexión en serie con el capacitor C3.

1 = 1 + 1 = 0.166 + 0.2 = 0.366 CT 6 5 CT = 1 = 2.73 pF.

0.366

c) Como nuestro arreglo de capacitores se ha reducido a un circuito de dos capacitores conectados en serie, la carga depositada en cada uno de ellos es la misma y equivale a:

Q = CTV = 2.73 X 10-12 F X 60 V = 163.8 X 10-12 C O 163.8 pC.

Para calcular la diferencia de potencial en cada capacitor, tenemos que en C1 y C2, será el mismo valor por estar en paralelo y equivale a:

Vp = Q = 163.8 X 10-12 C = 27.3 Volts. Cp 6 x 10-12 F

En el capacitor C3 el voltaje es: V3 = Q = 163.8 X 10-12 C = 32.7 Volts. C3 5 x 10-12 F

Tipos de capacitores

Existen diversos condensadores, algunos denominados polarizados, variables, pasante electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha centrado el estudio en los Condensadores no polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.

Simbología para diversos capacitores