UNIDAD II control avanzado.pdf

8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf

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Instituto Tecnolgicode Tuxtla Gutirrez

Ingeniera Mecnica

CONTROL AUTOMTICO

UNIDAD 2

ANALISIS DE ESTABILIDAD

Ing. Samuel Gmez Peate


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UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD

INTRODUCCIN: Concepto de estabilidad.

Muchos sistemas fsicos son intrnsecamente inestables en lazo abierto e

incluso muchos sistemas se disean para sean inestables en lazo abierto.

Definicin: Un sistema estable es un sistema dinmico con una respuesta

acotadapara una entrada acotada.


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En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de

estabilidad puede definirse en funcin de la localizacin de los polos de la

funcin de transferencia de lazo cerrado. Esta funcin se escribe como

()() = + = + = + 2 ++ donde

0 es la ecuacin caracterstica cuyas races son los polos del

sistema de lazo cerrado.


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La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando

0) es:

=

+ =

1 +

dondey son constantes que dependen de , , , y .Con el objeto de obtener una respuesta limitada,los polos del sistema de lazo

cerrado deben estar en la parte izquierda del plano .


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Por esto, una condicin necesaria y suficiente para que un sistema derealimentacin sea estable es que todos los polos de la funcin detransferencia del sistema tengan partes reales negativas.


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Respuesta al impulso de un sistema estable


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Respuesta impulso de un sistema estable.


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SISTEMA CRITICAMENTE ESTABLE

Si la ecuacin caracterstica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje) con el resto de las races en el lado izquierdo del plano, la salida enestado estacionario tendr oscilaciones mantenidas para una entrada

limitada, a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual est limitada)

cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las races del eje.Para este caso la salida esta sin acotar y al sistema se le denominamarginalmente estable o crticamente estable.


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Por ejemplo: Si la ecuacin caracterstica de un sistema en lazo cerrado es:

+ 10 + 16 0Se dice que el sistema es marginalmente estable.

Ya que, si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia

4, la salida

esta sin acotar.

Veamos las siguientes graficas:


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Respuesta al impulso de unsistema marginalmente estable


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Respuesta de un sistema crticamente establea una entrada sinusoidal de frecuencia 7


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Respuesta de un sistema crticamente establea una entrada sinusoidal de frecuencia 4.


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SISTEMA INESTABLE

Para un sistema inestable, la ecuacin caracterstica tieneal menos una raz en

el lado derecho del plano

oraces en

repetidas; para este caso la salida

est sin acotar para cualquier entrada.


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CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Maxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la

estabilidad de los sistemas dinmicos. A finales de la dcada de 1800, A .

Hurwitz y E. J. Routh publicaron por separado un mtodo para investigar la

estabilidad de un sistema lineal.

El mtodo de la estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al

problema de la estabilidad considerando la ecuacin caracterstica del

sistema, que en funcin de la variable de Laplace se escribe como

+ + + + 0


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El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes

de la ecuacin caracterstica+ + + + 0en una lista como sigue:


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Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue.

donde

1

y as sucesivamente.


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CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de races de()con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signode la

primera columna de la lista

Para un sistema estable, este criterio requiere que no haya cambios de signo en

la primera columna. Este requisito es tanto necesario como suficiente.


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Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de la

lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente, puesto querequieren modificaciones adecuadas del procedimiento de clculo de la lista.

1) Ningn elemento en la primera columna es cero

2) Hay un cero en la primera columna, pero otros elementos de la fila que

contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero.

3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que

contienen al cero tambin son iguales a cero. (todo una fila es cero)

4) Como el tercer caso, pero con races repetidas sobre el eje.


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CASO 1: Ningn elemento en la primera columna es cero

Ejemplo: Sistema de segundo orden.

La ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es

+

+

El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como:

0 0donde: 1 0 (0)


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0 0

El requisito para que un sistema estable de segundo orden es

simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos

sean negativos.


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Ejercicio:Sistema de tercer orden

El polinomio caracterstico de un sistema de tercer orden es

+ + + a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitzb) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema

sea estable.

c) Analizar el siguiente polinomio caracterstico y determinar si esestable o inestable. + + 2 + 24


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CASO 2: Hay un cero en la primera columna, con algunos elementosdiferentes de cero.

Si nicamente un elemento del arreglo en la primara columna es cero,

este puede reemplazarse por un nmero pequeo positivo,

, que se

permite que tienda cero despus de completar el arreglo.

Por ejemplo, considrese el siguiente polinomio caracterstico:

+ 2

+ 2

+ 4

+ 11 + 10


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Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz :

12 2411100

121 22 4 1 4 2 (2)2 0

121 112 10 1 10 2 (11)2 6


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120246 11100

Por lo tanto

,

12

246

111000


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12 46

2 6 (4)

12 10 0 2 0 (10)

1 2 112 4 10 6 0 10 0

0 0

1

12

61210

10 12 612

10+ 7212


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10+ 12

12 10

+ 7212 6

1 2 112 4 10 6 0 10 06 0 0 0 06 106 10

Resultado:


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1 2 112 4 10 6 0 10 06 0 010 0 0

Hay dos cambios de signo debido a .Por lo tanto el sistema es inestabley dos races caen en la parte derecha del plano

.

Utilizando Matlab se tiene que los polos son:

0.8950 + j 1.4561

0.8950 j 1.4561

-1.2407 + j 1.0375

-1.2407 - j 1.0375

-1.3087


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CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila

tambin son cero.

Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila est

constituida por un solo elemento que es cero. Esta condicin se presenta

cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan

simtricamente respecto al origen del plano. Por tanto, el caso 3 ocurrecuando se encuentran factores como + 0 + .Este problema s evita utilizando elpolinomio auxiliar,(), que precedeinmediatamente al elemento cero en el arreglo de Routh-Hurwitz. El orden

del polinomio auxiliar siempre es par e indica el nmero de pares de

races simtricas.


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Para ilustrar este mtodo, se considera un sistema de tercer orden con un

polinomio caracterstico:

+ 2+ 4 + donde es una ganancia ajustable del lazo. El arreglo es entonces:

1 42 8 2 0

0Por tanto, para un sistema estable, se requiere que:0 < < 8


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Cuando 8, se tienen dos races en el eje y un caso de estabilidadmarginal. Obsrvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando

8.

El polinomio auxiliar(), es la ecuacin de la fila que precede a la de ceros.En este caso la ecuacin de la fila que precede a la de ceros es la que seobtiene de la fila. Recurdese que esta fila contiene los coeficientes depotencias pares de , y, por tanto, en este caso se tiene

2+ 2+8 2 + 2 ( 2)Por tanto cuando 8, los factores del polinomio caracterstico son

( + 2) + 2 ( 2)La respuesta del caso marginal es una oscilacin inaceptable.


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TAREA1:

1. Considrese el control de un brazo robtico. Existen alrededor de un milln

de robots en servicio en todo el mundo. El robot que se muestra en la figuraes un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy flexibles con

controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser inestables y

oscilatorios. Con esta condicin, se tiene el polinomio caracterstico:

+ + 4+ 24+ 3 + 63Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no

estable.


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3. Considere el sistema representado en forma de variables de estado.

+ + donde

0 1 00 0 1

,

001

,

1 0 0,

0a) Cul es la funcin de transferencia del sistema?b) para qu valores de , el sistema es estable?


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ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

En la prctica el desempeo de un sistema se mide ms realsticamente por

sus caractersticas en el dominio del tiempo. Esto contrasta con el anlisis y

diseo de sistemas de comunicacin para los cuales la respuesta en frecuencia

es de mayor importancia, ya que la mayora de las seales a ser procesadas son

de tipo sinusoidal o estn compuestas por componentes sinusoidales.

La respuesta en el tiempo de un sistema es normalmente ms difcil de

determinar analticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En

mtodos de diseo no hay mtodo unificado para llegar a un sistema diseado

que cumpla con las especificaciones de desempeo en el dominio del tiempo.Por otra parte en el dominio de la frecuencia se tiene un conjunto de

mtodos grficos que no est limitado a sistemas de bajo orden.


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DEFINICION:

La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del

sistema en el estado estacionario a una seal sinusoidal de entrada.

La sinusoide es una seal de entrada nica, y la seal de salida resultante paraun sistema lineal, al igual que las seales a travs del sistema, es sinusoidal en elestado estacionario; difiere de la forma de onda de entrada solamente en amplitudy ngulo de fase.


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Se considera el sistema ()con . Se tiene que latransformada de Laplace de

()es:

+ y

()() ()=( + )donde se supone que son polos distintos. Entonces, fracciones parciales,se tiene:

+ ++ + + + +


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Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene:

++ + + +donde y son constantes que dependen del problema. Si el sistema esestable, entonces todos los

tienen parte real distinta de cero y positiva y

lim lim + + Porque cada termino exponencial

decae a cero cuando

.


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En el lmite para

, se obtiene, para

(estado estacionario),

+ + 1 () ( + )

()( + )donde ().


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Por lo tanto la seal de salida en estado estacionario depende solo de la

magnitud y de la fase de () a una frecuenciaespecifica.


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GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

La funcin de transferencia de un sistema puede escribirse en eldominio de la frecuencia por la relacin. ()= + ()

donde: () y ()Alternativamente, la funcin de transferencia puede representarse por una

magnitud () y una fase () como: ()() () ()() + ()


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La representacin grfica de la respuesta en frecuencia del sistema() sepuede utilizar:

()= + () (8.8)

(8.9)


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La representacin grfica polar de la repuesta en frecuencia se obtiene

utilizando la ecuacin (8.8), como se muestra en la figura 8.1, las

coordenadas de la grfica polar son las partes real e imaginaria de().

ReG(j)=R()

ImG(j)=X()

0

Fig 8.1 Plano polar


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EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro

En la Figura 8.2 se muestra un filtro simple. Su funcin de transferenciaes

()() 1 +1


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Y la funcin de transferencia sinusoidal en estado estacionario es:

1 + 1 1+ 1donde

1Entonces la grfica polar se obtiene mediante la relacin

) + (1 + 1


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11 +1 +Parte real en rojo

Parte imaginaria en azul

El primer paso consiste en determinar

()y

()en las dos frecuencias,

0 y .En 0, se tiene que 1 y 0.En

, se tiene que

0y

0.

Estos dos puntos se muestran en la Figura 8.3


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Adems, en esta figura se muestra el lugar geomtrico de las partes real eimaginaria, y fcilmente se demuestra que es un crculo con centro en(1/2,0).


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ESTABILIDAD RELATIVA: Margen de ganancia y margen de fase


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MARGEN DE GANANCIA

El cruce de fase.Un cruce de fase sobre la traza de()es un punto en elcual la traza se intersecta con el eje real negativo.

Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase

es la

freuencia en el cruce de la fase, o donde Margen de ganancia:es la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se pueden

aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.


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MARGEN DE FASE

Cruce de ganancia:El cruce de ganancia es un punto sobre la traza

()en el

cual la magnitud de () es igual a 1.Frecuencia del cruce de ganancia:La frecuencia del cruce de ganancia,es lafrecuencia de

()en el cruce de ganancia o donde

() 1Margen de fase (PM):se define como el ngulo en grados que la traza

()se

debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por punto1, 0 .


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ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE


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