Unidad ii guia de ecuciones diferenciales ordinarias uts
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PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
ECUACIONES DIFERENCIALES: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden es:
0,, dyyxNdxyxM
Por ejemplo:
1) 02
1
dydxxy
2) 0422 dyydxx
3) 01
11
dy
xdxe x
y
4) 0 dyyxdxxy
Una ecuación diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma diferencial y
una ecuación en la forma diferencial se puede escribir en la forma estándar.
Por ejemplo:
1) Dada la ecuación en forma estándar ,2
yx
yx
dx
dy
escribirla en forma
diferencial.
Solución:
0 2
22
dxyxdyyx
dxyxdyyxyx
yx
dx
dy
2) Dada la ecuación diferencial ,0422 dyydxx escribirla en forma
estándar.
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Solución:
4
404
2
2
2222
y
x
dx
dy
dxxdyydyydxx
MÉTODO DE VARIABLE SEPARABLE
Una ecuación diferencial, de primer orden, es separable si tiene la forma
,0 dyyBdxxA donde xA depende solo de x
y yB depende solo de ,y
o si es posible conseguir una expresión D (que dependa de ,x
de y o de ambas) tal
que al multiplicarla por la ecuación diferencial dada se obtenga una ecuación diferencial
de la forma .0 dyyBdxxA
Ejemplos:
1) 02 dyysenxdx es separable ya que tiene la forma
,0 dyyBdxxA con senxxA y .2yyB
2) 01
ydydxx
es separable ya que tiene la forma ,0 dyyBdxxA
con x
xA1
y .yyB
3) 011 22 xdydxxy no tiene la forma ,0 dyyBdxxA sin
embargo si multiplicamos por 1
12 yx
obtenemos la ecuación diferencial
01
112
2
dyy
dxx
x que tiene la forma ,0 dyyBdxxA con
x
xxA
12
y
.1
12
y
yB
Por tanto la ecuación diferencial
011 22 xdydxxy es separable
.
4) 01 dyedxxysen xyno es separable ya que no tiene la forma
,0 dyyBdxxA y es imposible conseguir una expresión tal que al
multiplicarla por la ecuación diferencial se convierta a dicha forma.
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV
La solución general de la ecuación diferencial separable de primer orden
0 dyyBdxxA es
(I)cdyyBdxxA
Donde c es una constante arbitraria.
PROBLEMAS CON VALOR INICIAL
La solución del problema de valor inicial ,0 dyyBdxxA 00 yxy puede
obtenerse usando I y después aplicar las condiciones iniciales para calcular .c
Como alternativa la solución puede obtenerse de
)( 0
00
IIdyyBdxxA
y
y
x
x
Ejemplos:
1. Resolver .02 dyyxdx
Solución:
02 dyyxdx es separable ya que tiene la forma ,0 dyyBdxxA con
xxA y .2yyB
Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada por I :
y-c
x
cy
-x
cdyyxdx
32
32
32
32
2
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV
y-kx
yc-x
y-cx
3
2
3
2
32
2
3
32
3
23
2. Resolver .1 2xey
Solución:
Sea ,1 2xedx
dy luego:
011 22 dydxedxedy xx
La cual es una ecuación diferencial separable ya que tiene la forma
,0 dyyBdxxA con xexA 21 y .1yB Ahora según I :
cexy
cyex
cdydxe
x
x
x
2
2
2
2
1
2
1
11
Prueba:
xx eycexy 22 12
1
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV
DEFINICIÓN EQUIVALENTE: Sea h(x)g(y)
f(y,x)dx
dy es una ecuación diferencial de
variable separable si la función yxf , se puede escribir como el producto de dos
funciones ,ygxh entonces: Idxxhyg
dy )(
)(
Ejercicios:
1. Probar que la ecuación diferencial1
22
y
xyx
dx
dy tiene la solución implicita
cx
yyy
2
)2ln(5622
22
.
2. Resolver 02 324 dyeydxxy x
Solución: cyy
exe xx 3
33
3
21
9
1
3
1
3. Resolver 21;3
4
y
x
x
dx
dy
Solución: 3
2ln1
xxy
MÉTODO DE LAS ECUACIONES EXACTAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma diferencial es exacta si:
x
N
y
M
Ejemplos:
1. La ecuación diferencial 03 32 dyxyydxx con yxyxM 23, y
3, xyyxN cumple que:
222 3133 xxyy
xy
M
223 330 xxxx
yxx
N
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Así tenemos que
x
Nx
y
M
23
Por tanto la ecuación diferencial es exacta.
2. La ecuación diferencial 05 2 ydyxxydx con xyyxM 5, y
yxyxN 2, cumple que:
xxyy
xy
M5155
xyxyxx
yx
N222
Así tenemos que
x
Nxyx
y
M
25
Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.
Una ecuación diferencial 0,, dyyxNdxyxM
es exacta si existe una función
yxg , tal que:
)( ,
)( ,
,
)( ,
,
IIIcyxg
IIy
yxgyxN
Ix
yxgyxM
Donde c es una constante arbitraria.
El método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas consiste en conseguir la
función yxg , que satisfaga las condiciones III , y .III
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Para conseguir la función yxg , integramos I respecto a ,x manteniendo a y
como constante o integramos II respecto a ,y manteniendo a x como constante.
Veamos el siguiente ejemplo: Resolver 0346524 2 dyyxydxxy
Solución:
Sean 524, xyyxM y 2346, yxyyxN .
Luego, como:
404524
yx
yy
yy
M
4040346 2
y
xx
xy
xx
N
Es decir:
x
N
y
M
4
Entonces la ecuación diferencial es exacta.
Hagamos:
)( ,
)( ,
346
)( ,
524
2
IIIcyxg
IIy
yxgyxy
Ix
yxgxy
Donde c es una constante arbitraria.
Ahora, integrando I con respecto a x (manteniendo a y como constante) se tiene
que:
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA IV
IVyhxxxyx,yg
yhxx
xyx,yg
dxxdxdxyx,yg
dxxdxydxx,yg
dxxyx,yg
54
52
24
524
524
524
2
2
Donde yh corresponde a la constante de integración, que en este caso puede
depender de la variable ,y que se mantuvo constante.
Derivando IV con respecto a ,y se tiene que:
Vyh
dy
dx
y
x,yg
yhdy
dy
yx
y
x,yg
yhy
xy
xy
xyyy
x,yg
yhxxxyyy
x,yg
4
004
54
54
2
2
Sustituyendo II en V tenemos que:
PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA IV
23464 yxyyhdy
dx
Con lo cual
VIcyyyh
cyy
yh
dyyydyyh
dyyyydh
dyyyydh
yyyhdy
d
xyxyyhdy
d
3
33
26
36
36
36
36
4346
1
32
1
32
2
2
2
2
2
Sustituyendo III y VI en IV se tiene que:
354 1
322 cyyxxxyc
De aquí que:
354 322 yyxxxyk
Es solución de la ecuación diferencial dada.
Ejercicio: Probarlo
PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejercicios:
1. Resolver 02cos2cos 22 dyyxyxxedxxyye yy
Solución: kyxysene y 22
2. Resolver 20;01cos 22 ydyxydxxyxsenx
Solución: 41 222 xsenyxy
MÉTODO PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma estándar es homogénea si:
Rtyxftytxf ,,
Ejemplos:
1. Sea x
xyy
luego tomamos la función
x
xyyxf
,
Ahora bien, como
yxftytxf
x
xytytxf
tx
xyttytxf
tx
txtytytxf
,,
,
,
,
Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.
PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA IV
2. Sea ,
2
22
y
xsenyx
xyey
y
x
tomando la función
y
xsenyx
xyeyxf
y
x
22
2,
Ahora bien, como
yxftytxf
y
xsenyx
xyetytxf
y
xsenyxt
xyettytxf
y
xsenytxt
xyettytxf
ty
txsentytx
etytxtytxf
y
x
y
x
y
x
ty
tx
,,
2,
2,
2,
2,
22
222
2
2222
2
22
Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.
3. Sea 2
2
x
yxy
luego tomamos la función
2
2
,x
yxyxf
Ahora bien, como
PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA IV
yxftytxf
tx
ytxtytxf
xt
ytxttytxf
xt
tyxttytxf
tx
tytxtytxf
,,
,
,
,
,
2
2
22
2
22
22
2
2
Tenemos que la ecuación diferencial no es homogénea.
Observación: únicamente en el contexto de las ecuaciones diferenciales de primer
orden la palabra homogénea tiene el significado definido anteriormente, ya que este
término tiene un significado completamente distinto en la estructura general de las
ecuaciones diferenciales.
Para resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas se sustituye xvy y su correspondiente derivada:
dx
dvxv
dx
dy
Cuando al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se aplica el
método alterno.
MÉTODO ALTERNO DE SOLUCIÓN
En este caso se transforma la ecuación diferencial en
yxfdy
dx
,
1
Y se sustituye yux y su correspondiente derivada: dy
duyu
dy
dx
PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo: Resolver x
xyy
Solución:
Como ya probamos que la ecuación diferencial es homogénea sustituimos xvy y su
correspondiente derivada:
dx
dvxv
dx
dyy
Y tenemos que:
01
1
1
1
1
dvdxx
dxx
dv
dx
dvx
vdx
dvxv
x
vx
dx
dvxv
x
xxv
dx
dvxv
Ahora, aplicando la solución a esta ecuación diferencial separable tenemos:
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA IV
kxv
-ckkxv
cvx
cdvdxx
ln
ln donde lnln
ln
1
Y como xvy entonces x
yv y así:
kxxy
kxx
y
ln
ln
Ejercicio: Comprobar
Ejercicios:
1. Resolver 0222 dyxyxdxyx
Solución: kyxe x
y2
2. Resolver
2
2
2
2
2
2
222 2
2
y
x
y
x
y
x
exeyy
xyey
Solución: ceyy
x
2
2
1
PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA IV
MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE
Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función determinada
se convierte en exacta.
Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial ordinaria 0cos3 43 dyyxdxsenyxx
yxy
Mcos3 3
yxx
Ncos4 3
No es exacta pues ,x
N
y
M
pero al multiplicarla por la función
x
1 resulta:
0cos1
31 43 dyyx
xdxsenyxx
x
0cos31 32 dyyxdxsenyx
Y tenemos que:
yxy
Mcos3 2
yxx
Ncos3 2
Que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado anteriormente.
El problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta por
ella se transforma en una exacta.
Denotemos la función buscada por y multipliquemos la EDO por ella:
0),(),( dyyxNdxyxM
Para que sea exacta debe cumplir:
PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA IV
dx
N
y
M
x
NN
xy
MM
y
Supongamos primero que )(x sólo depende de x.
x
NN
xy
M
Factorizando )(x
N
x
N
y
M
x
x
N
y
M
xN
Resulta una EDO de variables separables porque N
x
N
y
M
sólo depende de x,
dxN
x
N
y
M
x e
dxN
x
N
y
M
xN
x
N
y
M
d
)(
ln
PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Suponemos ahora que sólo depende de y, entonces la ecuación
xxyy NNMM
Se transforma en:
dyM
MN
dy
d
NMMdy
d
yx
xy
Que es una EDO de variables separables porque M
MN yx sólo depende de y,
dyM
MNd yx
dy
M
MN yx
e
Resumen: Método del Factor Integrante:
NxMy
dyyxNdxyxM
0,,
1. 1 Si N
NM xy depende sólo de x entonces es factor integrante
1.2 Si M
MN yx depende sólo de y entonces es factor integrante
2.1
dx
N
NM xy
ex)( 2.2
dx
M
MN yx
ey)(
3. Multiplicar la EDO por
4. Resolver la EDO exacta
PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA IV
Ejemplo: Resuelve 02 22 dyxyxdxyx
Como:
1yM 12 xyN x
Entonces tenemos que:
2
lnln2
2
22
1
2
1
1222121
2
xeee
xxyx
xy
xyx
xy
xyx
xy
N
NM
xxdx
x
xy
Luego:
02
01
21
22
2
22
2
2
2
2
2
dyx
x
x
yxdx
x
y
x
x
dyxyxx
dxyxx
Y tenemos que:
2
1
xM y 2
1
xN x
Ejercicio: Resolver esta ecuación diferencial.
Ejercicios:
1. Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante
a) 02322 223 dyxyxydxyy
b) 012
dyxydx
x
yx
PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA IV
c) 02 22 dyxdxxyy
d) 022 dyyxdxyx
e) 02 2 xdydxyxy
f) 042 xdydxysenxx
2. Resolver:
a) 03 22 dyxyxdxyx
b) 032 22 dyxydxxy
c) 02422 22 dyxxydxxyy
d) 04 xdydxyxx
e) 02 22 dyxdxxyy
f) 01
312 223
dy
yyxdxxy
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede expresar
en la forma:
nyxQyxPdx
dy
Donde xP y xQ son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.
Dividiendo la ecuación diferencial por ny nos queda que:
xQyxPyy nn 1
Tomando el cambio de variable nyv 1
y derivando ´)1(´ yynv n , se tiene:
´1
´yy
n
v n
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA IV
xQvxPn
v
1
´ xQnvxPnv 11
Que es una ecuación lineal.
Ejemplo: Resuelve 3
2
55 xyyy y como n = 3 el cambio de variable sería:
231 yyvy entonces la ecuación se transforma en:
)2
5(2)5(2 xvv
xvv 510
xdx
eex 1010
)(
cxdxee
xv x
x 5
1)( 10
10
cee
x
exv xx
x)
100
1
10(5
1)( 1010
10
xe
cxxv
1050
1
2)(
Regresando a la variable original:
xe
cxy
10
2
50
1
2
Ejercicios:
1. 32 yey
dx
dy x
2. 2/1252
yxx
y
dx
dy
3. 03 x
yxy
dx
dy
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-
IPB.