UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR MATEMATICA IIFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO II / 2015

UNIDAD II : LA INTEGRAL DEFINIDA

Una interpretación de la integral definida es la geométrica, la cual plantea la integral como el área que se forma arriba del eje y la función, menos el área que se forma debajo del eje y la función.

Ejemplo 1a)

La integral definida de la función , en el intervalo de seria la diferencia del área de la

región y el área de la región en notación matemática es:

En este ejemplo es fácil ver que y que

Por lo tanto

b)

Unidad II La integral definida

La integral definida de la función , en el intervalo de es la diferencia del área de la

región y el área de la región es decir:

Por lo tanto

La integral definida de la función , en el intervalo de es la diferencia del área de la

región y el área de la región es decir:c)

Es fácil ver que y que

Por lo tanto

En conclusión, se tiene que la integral definida nos puede dar cualquier número real.

En el caso que se tuviera mas de una región en la parte superior del eje y mas de una región en parte inferior del eje . Para encontrar la integral se tiene que sumar las áreas de las regiones que están arriba del eje y a ello se tiene que restar la suma de las áreas de las regiones de que se encuentran abajo del eje .

El problema surge cuando la función no es una recta, en el siglo XVIII el matemático alemán Bernhard Riemann hizo una aproximación a la integral definida para ello utilizó rectángulos como lo muestra la figura siguiente:

2

Unidad II La integral definida

Puede observarse que entre mas rectángulos se construyan mas próximos estaremos al valor de integral definida

Ejercicio 1: Utilizando la teoría anterior determine la integral definida de la función de

Solución

3

Unidad II La integral definida

El símbolo matemático para representar la suma es letra griega sigma

Por ejemplo

Haciendo la diferencia de las sumas de las áreas de los rectángulos de arriba del eje y los de abajo del eje resulta lo siguiente:

A la expresión se llama suma de Riemann

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Unidad II La integral definida

Definición de integral definida

Si es una función definida en el intervalo cerrado , entonces la integral definida de

de a , denotada por , esta dada por

Si el límite existe.

Donde: es el límite inferior, y es el límite superior. El símbolo es el signo de

integración

Propiedades de la integral definida

a)

b)

c)

d)

e)

Propiedades de comparación de la integral

a) si

b) si

Primer teorema fundamental del cálculo

Si es continua en , entonces para

En general se tiene que:

Ejercicio 2:Utilizando el primer teorema fundamental del cálculo, determine la derivada de cada una de las funciones siguientes

a)

b)

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Unidad II La integral definida

c)

d)

e)

Segundo teorema fundamental del cálculo

Si es continua en , entonces

Donde es la antiderivada de , es decir, una función tal que

Ejercicio 3: Evaluar cada una de las integrales siguientes:

a)

b)

c)

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Unidad II La integral definida

d)

e)

f)

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Unidad II La integral definida

Integrales impropias

Se dice que una integral es impropia, cuando el intervalo de integración es infinito o cuando el integrando se hace infinito en uno o más valores del intervalo de integración.

Intervalo infinitoExisten 3 casos:

1) , si el límite existe.

2) , si el límite existe.

3) ,

Si en los casos anteriores los límites existen, se dice que las integrales impropias son convergentes. Si no existen, se dice que son divergentes.

Integrando se hace infinito en uno o más valores del intervalo de integración

Existen 3 casos:

1) Si se indefine para (en el límite superior)

2) Si se indefine para (límite inferior)

3) Si se indefine para un valor intermedio

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Unidad II La integral definida

Observación: Puede haber una combinación de todos los casos.

Ejercicio 4: Calcular las siguientes integrales

a)

b)

9

Unidad II La integral definida

c)

d)

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