UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS3.1 Variable aleatoriaEn algunos casos la descripcin de los resultados posibles no es suficiente. Se desea resumir el resultado de un experimento aleatorio en un solo nmero. Se llamavariable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral S un nmero real x.El conjunto de nmeros posibles de una variable aleatoria se llama Recorrido de X se denota Rx. El valor medido de la variable aleatoria se denota por una letra minscula x.Tipos de variable aleatoria: Variable Aleatoria Discreta, si sus valores forman un conjunto finito o contablemente infinito que se limitan a puntos discretos. Variable Aleatoria Continua, si su conjunto posible de valores abarca todo un intervalo en R sea finito o infinito.3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas (VAD)La funcin de masa de probabilidad o distribucin de probabilidad de una variable discreta X es la funcin p(x)=P(X=x)=f(x)=F(X=x).La funcin de masa de probabilidad puede representarse por medio de un histograma cuando los posibles valores estn espaciados uniformemente.3.3 Funcin de distribucin acumuladaLa funcin de distribucin acumulada F(x) de una VAD X con distribucin de probabilidad p(x) se define por

Para cualquier xR, donde F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X sea a lo sumo x.3.4 Valor esperado y varianza de variable aleatoria discretaLa esperanza, valor esperado o media de x es La varianza de X es La desviacin estndar es

Teorema, Propiedades de la media y la varianzaPara cualquier VA X y constantes a y b cualesquiera.i) E(aX+b)=aE(X)+bii) V(aX+b)=V(X)

3.3 Distribucin de probabilidad binomialLavariable aleatoria binomial (VAB),X, expresa elnmero de xitos obtenidosen cada prueba del experimento.Un experimento sigue el modelo de ladistribucin binomial si:- En cada prueba del experimento slo son posiblesdos resultados: el suceso A (xito) y su contrarioA.- Laprobabilidad del suceso A es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra..- Elresultadoobtenido en cada prueba esindependientede los resultados obtenidos anteriormente.Llamaremos parmetro a la cantidad de la cual depende la distribucin de probabilidad.Ladistribucin binomialse suele representar porB(n, p).n es el nmero de pruebasde que consta el experimento.p es la probabilidad de xito.Lavariable binomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores x=0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Escribimos para indicar que X es la VAB basada en n ensayos de probabilidad con p de xito.REGLA: si el muestreo es sin reemplazo de una poblacin tamao N y n0.05N el experimento se considera binomial.Teorema, Media y VarianzaSi entonces ; ;

3.6 Distribucin hipergeometrica Variable aleatoria hipergeometrica y su distribucin Es unadistribucindiscreta relacionada conmuestreos aleatoriosy sin reemplazo. En el muestreo sin reemplazo, las extracciones no son independientes.Distribucin hipergeometrica Un conjunto de N objetos contiene k objetos clasificados como xitos, se selecciona una muestra de tamao n al azar menor que N. Entonces

Teorema, Media y VarianzaSi , entonces ;