UNIDAD III.Solución de Sistemas de

Ecuaciones Lineales

Alumno:Santos, Carlos.

C.I.V Nº 20.015.249Análisis Numérico (SAIA-B)

Barquisimeto, Diciembre del 2016.

Universidad Fermín ToroVice Rectorado Académico

Facultad de IngenieríaEscuela Mantenimiento Mecánico

Sistema de Ecuaciones

LinealesUna ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de

variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no

se escribe).

Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema

cartesiano.

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado,

en otras palabras a, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas

entre sí, ni en el denominador.

Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas

representan una recta en el plano cartesiano.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Representación gráfica de la recta en el plano−x + 2y = 3

Pasos para resolver una ecuación

Se reducen términos semejantes cuando es posible.

1.-2.-3.-4.-

Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación y se simplifica.

Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

Se hace la transposición de términos.

x + 2 = 3Ejemplo:Primer

miembroSegundo miembro

Solución de Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Eliminación Gaussiana

Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.1.-2.- 3.-

Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él.

 Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero.

También llamado Algoritmo de Gauss, propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta ésta, se procede

por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Consta de los siguientes pasos:

4.-

Cubrir el renglón y la columna de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería tener forma de escalón.5.

-Comenzando con el último renglón no cero avanzar hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes.

Eliminación Gaussiana

Eliminación GaussianaEjemplo:

Método Gauss-Jordan

Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.1.-2.- 3.-

Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa. 

Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.

Consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones de

este método, es mayor en un 50% al del método de Gauss.

Pasos de este método:

4.-

Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

Ejemplo:

Método Gauss-Jordan

Descomposición LU

Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U.1.

-2.-

Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho b. Primero se genera un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.

Se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la Matriz Triangular Inferior y U la Matriz

Triangular Superior con todos los elementos de la diagonal principal

iguales a 1.

Consta de los siguientes pasos:

Ejemplo:

Descomposición LU

Factorización De Cholesky

Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz

triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva

definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con

una pequeña variación.

Factorización De Cholesky

Ejemplo:

Factorización de QR, Householder

La Factorización QR Dada una matriz cuadrada y no singular A de orden n x n, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R tal que A = QR; esta es llamada la factorización QR de A. Si la matriz A no es cuadrada y de orden m x n con m mayor que n entonces:

donde R1 es una matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una matriz de ceros de orden (m-n) x n.

Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces A = QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m.

Existen tres métodos de obtener la factorización QR y uno de ellos es Transformaciones Householder.

Factorización de QR, Householder

Transformaciones Householder y la factorización QR

Una matriz de la forma:

es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz identidad y u es un vector no nulo.

Propiedades de la matriz H: a) |Hx|2=|x|2 para todo vector x. Es decir, la

matriz Householder no cambia la longitud del vector.

b) H es una matriz ortogonal.c) H2= Id) Det(H)=-1.

Solución de Sistemas Lineales

utilizando Métodos

Iterativos

Método Jacobi

Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx, donde x es el vector de incógnitas.

1.-2.-3.-

Se itera en el ciclo que cambia la aproximación xi+1 = c + Bxi

Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por x0

Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con

tantas incógnitas como ecuaciones.

Método JacobiA = D + L

+ UEjemplo: Matriz A

D: matriz diagonalL: matriz triangular inferiorU: matriz triangular superior

A = b D = b + (L + U) = b

Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto

que después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un margen de error tan pequeño como

se desee.

La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.

Método Gauss Seidel

La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos

sistemas dominantes diagonalmente.

Ejemplo:

Método Gauss Seidel

Gracias…

“Mejor que de nuestro juicio,

debemos fiarnos del cálculo algebraico”

Leonhard Euler