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MATERIAL DEL ESTUDIANTE PROBLEMARIO DE ÁLGEBRA I
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UNIDAD V
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
RESUMEN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición: Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones en dos o más variables que se resuelven
en forma simultánea y pueden tener una, varias o ninguna solución.
Definición: Un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde todas las ecuaciones del sistema son
ecuaciones lineales.
En el curso se tratarán dos casos particulares:
i. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, llamado Sistema 𝟐 × 𝟐, ii. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, llamado Sistema 𝟑 × 𝟑.
La solución de un Sistema 2 × 2, es una pareja ordenada4 que satisface ambas ecuaciones del sistema.
La solución de un Sistema 3 × 3, es una terna ordenada5 que satisface las tres ecuaciones del sistema.
Tipos de soluciones, Sistemas 2 × 2:
i. Solución única: Cuando las rectas se intersectan (vea Figura I).
ii. No hay solución: Cuando las rectas son paralelas (vea Figura II).
iii. Infinidad de soluciones (muchas soluciones): Cuando las ecuaciones representan a una misma
recta (vea Figura III).
Figura I Figura II Figura III
4 Ejemplos de parejas ordenadas: (𝑥, 𝑦), (𝑎, 𝑏), (𝑚, 𝑛), 𝑒𝑡𝑐. 5 Ejemplos de ternas ordenadas: (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑝, 𝑞, 𝑟), 𝑒𝑡𝑐.
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Los métodos para resolver Sistemas 2 × 2, vistos en clase, son:
1) Método Gráfico
2) Método de Reducción ( de Eliminación o de Suma y Resta)
3) Método de Sustitución
4) Método de Igualación
5) Método por Determinantes (Cramer)
Para el caso de Sistemas 3 × 3, sucede algo análogo. En vez de rectas, en forma gráfica, se consideran
planos, vea las siguientes gráficas en 3 dimensiones.
En las figuras anteriores se muestra el mismo sistema de ecuaciones 3x3 visto desde diferentes ángulos.
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EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
I. SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
A. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método gráfico.
1. {𝑥 = 2
𝑥 + 3𝑦 = 5
2. {𝑦 = −1
3𝑥 + 𝑦 = 2
3. {𝑥 + 2𝑦 = 82𝑥 + 𝑦 = 7
4. {2𝑥 + 3𝑦 = 3
3𝑥 − 2𝑦 = 11
5. {4𝑥 + 5𝑦 = −15
8𝑥 + 10𝑦 = −30
6. {2𝑥 = −32−3𝑦 + 𝑥 = 5
7. {3𝑦 + 3𝑥 = −35 = 4𝑥 + 4𝑦
8. {3𝑥 = 6𝑦 + 18−7𝑦 = 4𝑥 − 9
9. {8𝑥 = −10 + 2𝑦
5𝑥 + 𝑦 = −4
10. {
𝑥
3−
𝑦
6= −
3
202 𝑦
3−
4 𝑥
3=
3
5
B. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de reducción y sustitución.
11. {3𝑎 + 3𝑏 = −3
4𝑎 + 𝑏 = 5
12. {
2
3𝑥 +
1
2𝑦 = 6
1
2𝑥 + 𝑦 = 7
13. {2𝑚 + 9𝑛 = 8
3𝑚 + 10𝑛 = 5
14. {4𝑥 + 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = 7
15. {4𝑥 + 3𝑦 = 106𝑥 + 9𝑦 = 21
16. {2𝑥 − 2𝑦 = −6
𝑥 − 𝑦 = −3
17. {5𝑝 − 4𝑞 = −135𝑝 = −4𝑞 − 7
18. {7 − 3𝑎 − 2𝑏 = 0
4𝑎 + 𝑏 = 8
19. {2𝑥 = 7𝑦 − 26
5𝑥 + 𝑦 = 9
20. {4𝑣 = 3𝑤 − 2
8𝑣 − 10 = −𝑤
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C. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación y determinantes.
21. {𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 2
22. {2𝑥 + 3𝑦 = 3
3𝑥 − 2𝑦 = 11
23. {2𝑥 + 9𝑦 = 8
3𝑥 + 10𝑦 = 5
24. {𝑥 + 3𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 1
25. {4𝑥 + 5𝑦 = 0−2𝑥 − 𝑦 = 3
26. {3𝑥 − 7𝑦 = −2
4𝑥 − 3𝑦 =1
2
27. {5𝑥 = 2𝑦 − 2
4𝑥 = 20 − 2𝑦
28. {−2𝑥 − 4𝑦 = 22−7𝑥 − 5𝑦 = 32
29. {4𝑥 + 10𝑦 = 12−2𝑥 + 2𝑦 = 8
30. {2𝑥 + 5𝑦 = 25
−10𝑥 − 9𝑦 = −77
D. Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva empleando cualquier método.
31. {𝑥+3𝑦
4+
𝑥
6=
−1
12
𝑥 + 4𝑦 = 2
32. {2𝑥+1
5=
𝑦
4
2𝑥 − 3𝑦 = −8
33. {𝑥
2−
𝑥−𝑦
3= −
1
2
𝑥 + 4 = −1
34. {
2(𝑥+4)
2−
𝑦
2=
9
2
𝑥 − 2𝑦 − (𝑥 −2
3) = −
4
3
35. {
2𝑥−1
2−
𝑦−3
3=
11
6−2𝑥
5+
𝑦−1
10= −
5
6
36. {
3𝑥−2𝑦
3+ 4𝑦 =
13
32(−2𝑦+𝑥)
3−
3𝑥
2= −
13
6
37. {
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦=
−2
7
8𝑥+𝑦−1
𝑥−𝑦−2= 2
38. {
5 𝑥−3 𝑦
4+ 3 𝑦 = 7
5 (−4 𝑦+𝑥)
5−
3 𝑥
6= −7
39. {2(𝑥+𝑦)
3− 𝑦 = −3
3(𝑥 − 𝑦 + 5) + 3𝑥 = 12
40. {7𝑥−9𝑦
2−
2𝑥+4
2= −5
2(𝑥 − 1 + 𝑦) = −10
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E. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos métodos diferentes.
41. {𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑦 = 𝑎 − 𝑏
42. {𝑥 − 𝑦 = 𝑎
𝑥 − 2𝑦 = −3𝑎
43. {2𝑥 + 𝑦 = 𝑏 + 2
𝑏𝑥 − 𝑦 = 0
44. {𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 + 𝑏
3𝑏𝑥 − 2𝑎𝑦 = 3𝑎 − 2𝑏
45. {2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎2
𝑥 + 𝑦 = 3𝑎 − 𝑏
46. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐
47. {𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑
48. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2
49. {𝑎𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑏 − 1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎 + 𝑏
50. {
𝑥
𝑎+ 𝑦 = 2𝑏
𝑥
𝑏− 𝑦 = 𝑎 − 𝑏
II. ECUACIONES FRACCIONARIAS QUE PUEDEN HACERSE LINEALES
A. Resuélvase para 𝟏
𝒙 y para
𝟏
𝒚, después para 𝒙 y para 𝒚, los siguientes sistemas.
51. {
1
𝑥+
1
𝑦= 7
3
𝑥+
2
𝑦= 16
52. {
1
𝑥+
1
𝑦=
−7
12
2
𝑥+
1
𝑦= −
11
12
53. {
2
3𝑥+
1
2𝑦= 6
1
2𝑥+
1
𝑦= 7
54. {
3
𝑥−
2
𝑦=
1
2
2
𝑥+
5
𝑦=
23
12
55. {
1
2𝑥−
1
3𝑦= 0
1
𝑥+
2
3𝑦= 8
56. {
1
𝑥+
2
𝑦=
7
6
2
𝑥+
1
𝑦=
4
3
57. {
2
𝑥−
3
𝑦=
−3
2
5
𝑥+
1
𝑦=
23
12
58. {
2
𝑥−
1
𝑦= 1
2
𝑥+
1
𝑦= 11
59. {
5
𝑥+
4
𝑦= 7
7
𝑥−
6
𝑦= 4
60. {
12
𝑥+
5
𝑦= −
13
2
18
𝑥+
7
𝑦= −
19
2
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III. SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
A. Resuelva las ecuaciones siguientes para 𝐱, 𝐲, 𝐳. Cada una por los métodos de reducción
(suma y resta) y determinantes
61. {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 82𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6
62. {
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 73𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = −12𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 6
63. {
𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = −7𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 6
𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 4
64. {
2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 12
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 13
65. {
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 20𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −32𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
66. {5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −4
3𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = −112𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
67. {2𝑥 − 𝑦 = 11
2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = −33𝑥 + 5𝑧 = 17
68. {2𝑥 + 3𝑦 = 9
4𝑥 − 2𝑧 = −2 4𝑦 + 3𝑧 = 25
)
69. {
𝑥 + 4𝑧 = 3𝑦 + 3𝑧 = 9
2𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5
70. {
2𝑥 + 𝑦 = 182𝑦 + 2𝑧 = −2
3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 38
IV. PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS LINEALES 2x2
Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.
PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Las cifras o dígitos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ejemplos: 8 tiene una cifra (un dígito); 35 tiene dos cifras (dos dígitos); 527
tiene tres cifras (tres dígitos)
Estructura de un número, ejemplos:
324 = 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10+4
58 = 5 ∙ 10 + 8
7310 = 7 ∙ 1000 + 3 ∙ 100 + 1 ∙ 10 + 0
71. La suma de dos números es el doble que su diferencia. El número más grande es el doble
del menor más 6.
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72. Un número es 5 unidades mayor que el triple de un segundo número. Encuentra esos
números, si la suma de ellos es de 77 unidades.
73. Un número es 15 unidades mayor que otro. ¿Cuáles son esos números, si su suma es
193?
74. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 7. Cuando los dígitos se
intercambian, el número se incrementa en 27. Hallar el número.
75. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 11, el dígito de las
decenas es menor en 5 que el de las unidades.
PROBLEMAS ACERCA DE PRECIOS
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Ejemplos de precios unitarios (o tasas):
Pago de entrada de un niño, tasa de $1.50 por niño, se representa $1.50
1 niño
Pago por una caja de fresa: tasa de $7 por caja, se representa $7
1 caja
Cálculos con precios unitarios:
Si hay 5 niños el pago por todos es de 5 niños ∙$1.50
1 niño= $7.50
Por 4 cajas de fresa hay que pagar 4 cajas ∙$7
1 caja= $28
76. La cuota de entrada a un parque de diversiones es de $1.50 por niño y $4 por adulto.
Cierto día, 2200 personas entraron al parque, y se recibieron $5,050 de entradas.
¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?
77. En el puesto de un mercado se venden dos variedades de fresas: la estándar y la de lujo.
Una caja estándar de fresas se vende en $7, y una caja de fresas de lujo se vende en $10.
Un día el puesto vende 135 cajas de fresas por un total de $1,110. ¿Cuántas cajas de cada
tipo se vendieron?
78. Un grupo de 6 adultos y 12 niños pagaron en total $900 por sus boletos de viaje. Otro
grupo de 4 adultos y 16 niños pagaron en total también $900. ¿Cuál es el costo de un
boleto para niño, y de un boleto para adulto?
79. Los boletos para un concierto se vendieron en dos días. El viernes se vendieron 200
boletos de la sección A y 350 de la sección B, por $7200. El sábado se vendieron 250
boletos de la sección A y 500 de la sección B, por $9750. ¿Cuál fue el precio de cada tipo
de boleto?
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80. Dos estudiantes tuvieron un ingreso de $690 por concepto de venta de dulces a razón
de $1.50 el paquete y de nueces a razón de $1.00 la bolsa. Originalmente habían gastado
$407.50, pagando el paquete de dulces a $1.00 cada uno y la bolsa de nueces a $0.50
cada una. ¿Cuántos paquetes de dulces y cuántas bolsas de nueces vendieron?
PROBLEMAS ACERCA DE PORCENTAJES Y MEZCLAS:
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas.
Significado de multiplicar por una fracción o decimal. 1
2∙ 8 quiere decir, la mitad de ocho,
1
2∙ 8 = 4 (compruébalo en tu calculadora)
1
5∙ 20 quiere decir, la quinta parte de veinte,
1
5∙ 20 =
20
5= 4
3
4∙ 20 quiere decir, las tres cuartas partes de veinte,
3
4∙ 20 =
20
4∙ 3 = 5 ∙ 3 = 15
1
10∙ 450 quiere decir, la décima parte de 450,
1
10∙ 450 =
450
10= 45
0.1 ∙ 450 también quiere decir, la décima parte de 450, 0.1 ∙ 450 =450
10= 45
(compruébalo en tu calculadora) 15
100∙ 300, quiere decir, quince centésimos de 300, o quince porciento de 300,
300
100∙ 15 = 45
0.15 ∙ 300, también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere
decir quince porciento de 300.
Otra manera de representar es 15% ∙ 300 = 45. (15
100= 0.15 = 15%).
En general, se tiene la relación a% ∙ b = c, en la cual, si se conocen dos
cantidades se conoce la tercera.
Si se conocen b, c entonces a% =c
b .
Si se conocen a%, c entonces b =c
a%.
81. Como producto de dos inversiones una persona recibe anualmente $302.55.Una de las
inversiones produce 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Si las inversiones se
intercambiaran una por otra ganaría $280.90. ¿A cuánto asciende cada inversión?
82. Un tabernero eleva la cantidad de alcohol de un licor, que contiene 10% de alcohol,
añadiendo una solución de 70% de alcohol, el resultado en un licor que tiene una
concentración de 16%, llena 1000 botellas de a litro. ¿Cuántos litros de licor (10%) y
cuántos de solución de alcohol (70%) usó?
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83. Un químico tiene dos contenedores grandes para soluciones de ácido sulfúrico, cada
contenedor tiene una concentración diferente de ácido. Se mezclan 300 ml de la primera
solución y 600 ml de la segunda y se obtiene una mezcla que es de 15% de ácido, pero si
se mezclan 100 ml de la primera con 500 ml de la segunda da una concentración de
12.5 % de ácido sulfúrico. ¿Cuáles son las concentraciones de los contenedores
originales?
84. Se mezclaron dos tipos de solución; una al 15% de ácido y la otra al 8% de ácido, para
producir 40 litros de solución al 10.8% de ácido. ¿Cuántos litros de cada tipo de solución
se usaron?
85. Un comerciante mezcla tabaco de cierta calidad y precio de $28 por kilogramo con otro
de precio $36 por kilogramo y obtiene 100 kilogramos de una mezcla que vende a $31.20
por kilogramo. ¿Cuánto usó de cada clase de tabaco?
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
Si 𝑑 es la distancia, 𝑣 es la velocidad (o tasa) y 𝑡 es el tiempo, con sus unidades
consistentes, es decir, si la velocidad son 𝑘𝑚
ℎ la distancia debe estar en 𝑘𝑚 y el
tiempo en ℎ.
La relación entre estos tres conceptos es: 𝑑 = 𝑣𝑡 o 𝑣 =𝑑
𝑡 o 𝑡 =
𝑑
𝑣, siempre que
sea posible hay que trabajar con la primera (sin denominador).
Si la velocidad de un avión sin viento es 𝑣𝑎 y tiene un viento en contra 𝑣𝑣, la
velocidad del avión será 𝑣𝑎 − 𝑣𝑣, si tiene el viento a favor 𝑣𝑎 + 𝑣𝑣
86. Dos aeropuertos, A y B, están a 1,800 km uno de otro y B está situado al este de A. Un
avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en 41
2 horas. Si durante todo el viaje
estuvo soplando viento del oeste a velocidad constante, encontrar la velocidad del avión
en el aire en reposo y la velocidad del viento.
87. Un piloto voló una avioneta entre dos poblaciones, separadas por 180 millas, como el
viento estuvo en contra, tardó 2 horas. De regreso, el viento estuvo soplando a la misma
velocidad, así que el viaje le tomó sólo 1.2 horas, ¿cuál sería la velocidad de la avioneta
sin viento, y cuál fue la velocidad del viento?
88. Un piloto vuela 1760 kilómetros hacia el norte y luego regresa a su punto de partida.
Durante todo el viaje sopló viento del norte con velocidad constante. Determínese la
velocidad del avión, relativa al aire y la velocidad del viento, sabiendo que en el viaje de
ida empleó cuatro horas veinticuatro minutos y en .el viaje de regreso tan sólo cuatro
horas.
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89. Para su rutina de ejercicio, Cynthia anda media hora en bicicleta y luego media hora en
patines. Cynthia anda en bicicleta a una velocidad que es dos veces la velocidad a la que
anda en patines. Si la distancia total cubierta es de 12 km, determina la velocidad a la
que ella anda en bicicleta y a la que anda en patines.
90. Una tripulación rema 28 km en 13
4 horas río abajo y 24 km en 3 horas río arriba. Hallar
la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.
PROBLEMAS DE TRABAJO
Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas
En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una
hora, por ejemplo si una pared se pinta en 11 horas, se pinta a una tasa de 1
11
de pared cada hora, en 8 horas se pinta 8 ∙1
11=
8
11 de pared. Si una alberca se
llena con una bomba en 7 horas, se llena a una tasa de 1
7 de alberca por hora,
en 3 horas se tiene 3 ∙1
7=
3
7 de alberca llena. Establecidas las fracciones, la
suma debe ser uno, para el trabajo completo o para la alberca llena.
91. Un agricultor con un tractor grande y su ayudante con un tractor chico pueden arar
juntos un terreno en 51
3 horas, también pueden arar el campo si el agricultor trabaja 6
horas solo y luego el ayudante trabaja solo durante 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán el
terreno trabajando solos sin ayuda?
92. Dos hermanos cortan el césped de un cierto terreno en 2 2/9 horas. En una ocasión el
hermano mayor trabaja solo durante 3 horas y luego el otro hermano termina el trabajo
en 1 ¼ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada muchacho hacer todo el trabajo él solo?
93. Un chofer y su ayudante pueden descargar un tráiler juntos en 2 horas, si el ayudante
trabaja sólo durante 3 horas, el chofer puede terminar de descargar, sólo, en 11
2 horas.
¿Qué tiempo emplearían en descargar el tráiler cada uno sólo?
94. Alicia y Beatriz trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en este tiempo la mitad
del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Alicia trabajó
sola durante dos horas, luego se le unió Beatriz y juntas terminaron en cuatro horas más.
¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola ese trabajo?
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95. Si una bomba A trabaja durante 8 minutos y otra bomba B durante 15 minutos, pueden
llenar una alberca. Además, si la bomba A trabaja 12 minutos y la bomba B 10 minutos,
también pueden llenar la alberca. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada bomba llenar la
alberca?
V. PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS LINEALES DE 3X3
Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.
96. CULTIVO DE BACTERIAS. Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas por
I, II y III) en un tubo de ensayo, donde serán alimentadas con tres diferentes fuentes
alimenticias (A, B y C). Cada día 400 unidades de A, 600 de B y 600 de C se colocan en el
tubo de ensayo, y cada bacteria consume cierto número de unidades de cada alimento
por día, como se muestra en la tabla. ¿Cuantas bacterias de cada cepa pueden coexistir
en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento?
CEPA BACTERIANA I CEPA BACTERIANA II CEPA BACTERIANA III
Alimento A 1 2 0
Alimento B 2 1 1
Alimento C 1 1 2
97. NUTRICIÓN. Un médico recomienda que su paciente tome diariamente 50 mg de
niacina, de riboflavina y de tiamina, para aliviar una deficiencia vitamínica. En su maletín
de medicinas en casa, el paciente encuentra tres marcas de píldoras de vita- mina. Las
cantidades de las vitaminas relevantes por píldora se dan en la tabla siguiente. ¿Cuántas
píldoras de cada tipo debe tomar a diario para obtener 50 mg de cada vitamina?
Vitamax Vitron VitaPlus
Niacina (mg) 5 10 15
Rivoflavina (mg) 15 20 0
Tiamina (mg) 10 10 10
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98. DISTANCIA, VELOCIDAD Y TIEMPO. Amanda, Bryce y Corey entran a una competencia en
la que deben correr, nadar y andar en bicicleta en una ruta marcada. Sus magnitudes de
velocidad promedio se dan en la siguiente tabla. Corey termina primero con un tiempo
total de 1h 45 min. Amanda llega en segundo lugar con un tiempo de 2h 30 min. Bryce
termina al último con un tiempo de 3 h. Encuentre la distancia (en millas) para cada parte
de la carrera.
Promedio de velocidad (mi/h)
CORRER NADAR BICICLETA
Amanda 10 4 20
Bryce 7 1/2 6 15
Corey 15 3 40
99. ELECTRICIDAD. Mediante el uso de las Leyes de Kirchhoff, se
puede demostrar que las corrientes I1, I2 e I3 que pasan por las
tres ramas del circuito de la figura satisfacen el sistema lineal
dado. Resuelva el sistema para hallar el valor de I1, I2 e I3.
{
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 06𝐼1 − 8𝐼2 = 4
8𝐼2 + 4𝐼3 = 5
100. CORRIENTES ELÉCTRICAS. En la figura se muestra el diagrama de un circuito eléctrico que
contiene tres resistores, una batería de 6 volts y una batería de 12 volts. Se puede
demostrar, usando las Leyes de Kirchhoff, que las tres corrientes, I1, I2 e I3 son
soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
{
𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0𝑅1𝐼1 + 𝑅2𝐼2 = 6
𝑅2𝐼2 + 𝑅3𝐼3 = 12
Encuentre las tres corrientes si:
a. R1 = R2 = R3=3 ohms.
b. R1 = 4 ohms, R2 = 1 ohm y R3 = 4 ohms.
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101. GASOLINA. Una gasolinera vende tres tipos de gasolina: Regular en $3.00 el galón,
Performance Plus en $3.20 el galón y Premium en $3.30 el galón. En un día particular se
vendieron 6500 galones de gasolina para un total de $20,050. Se vendieron tres veces
más galones de gasolina Regular que de Premium. ¿Cuántos galones de cada tipo de
gasolina se vendieron ese día?
102. AGRICULTURA. Un agricultor tiene 1200 acres de tierras en las que produce maíz, trigo y
frijol de soya. Cuesta $45 por acre producir maíz, $60 producir trigo y $50 producir frijol
de soya. Debido a la demanda del
mercado, el agricultor producirá el
doble de acres de trigo que de maíz.
Ha asignado $63,750 para el costo de
producir sus cosechas. ¿Cuántos acres
de cada cultivo debe plantar?
103. AJUSTE DE CURVAS I. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:
A(−2,0), B(0,2) y C(−4,2). Es preciso aclarar que una circunferencia tiene la ecuación
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y que el sistema de ecuaciones que resuelven este problema
se pueden generar sustituyendo las componentes de cada punto en esta expresión.
Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes D, E y F, grafica la ecuación
resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para corroborar tus
resultados.
104. AJUSTE DE CURVAS II. Encuentra la ecuación de la parábola vertical que pasa por los
puntos: A(1, −1), B(2,3) y C(3,15). Recuerda que una parábola vertical tiene la
ecuación y = ax2 + bx + c y que el sistema de ecuaciones que resuelven este problema
se puede generar sustituyendo las componentes de cada punto en esta expresión.
Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes a, b y c, grafica la ecuación
resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para corroborar tus
resultados.
105. LLENAR UNA PISCINA. Una piscina puede ser llenada por tres tubos, A, B y C. El tubo A
por sí solo puede llenar la piscina en 8 horas. Si los tubos A y C se usan juntos, la piscina
se puede llenar en 6 horas; si el B y el C se usan juntos, tardan 10 horas. ¿Cuánto tiempo
tarda en llenarse la piscina si se usan los tres tubos?