Unidad Virtual- UPCI FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL CURSO: ANALISIS MATEMATICO II DOCENTE: FREDDY...
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Unidad Virtual- UPCI
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALCURSO: ANALISIS MATEMATICO IIDOCENTE: FREDDY ANDIA HERRERA
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Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
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Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:
Longitud de arco
La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.
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Longitudes de arco(EJEMPLO)
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Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
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EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenxxudxdu
dxxsendv )(xv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
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SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
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EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x 2
2xuxdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
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dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
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Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
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Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
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EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
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Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan
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GRACIAS POR SU ATENCION
Unidad Virtual- UPCI