Unidad2 resolucion de triangulos rectangulos gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti

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RAZONES TRIGONOMETRICAS Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en B. Las razones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos que se encuentra en el triángulo rectángulo ABC, son las siguientes: SENO: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual al cateto opuesto del ángu-lo agudo sobre la hipotenusa. Es decir:

Seno A =

y Seno C =

COSENO: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual al cateto adyacente (vecino) del ángulo agudo sobre la hipotenusa. Es decir:

Cos A =

y Cos C =

TANGENTE: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual al cateto opuesto del ángulo agudo sobre el valor del cateto adyacente de dicho ángulo. Es decir:

Tag A =

y Tag C =

COTANGENTE: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual al cateto adya-cente del ángulo agudo sobre el valor del cateto opuesto de dicho ángulo. Es decir:

Cotag A=

y Cotag C=

Por lo tanto: Cotag A =

y Cotag C =

SECANTE: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual a hipotenusa sobre el valor del cateto adyacente del ángulo. Es decir:

Sect A = y Sect C =

Por lo tanto: Sect A =

y Sect C =

COSECANTE: De un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ABC, es igual a hipotenusa sobre el valor del cateto opuesto del ángulo. Es decir:

Cost A = y Cost C =

Por lo tanto: Cost A =

y Cost C =



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TEOREMA DE PITAGORAS El teorema de Pitágoras dice que: “En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.” RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar el valor de cada uno de los tres lados y el va-lor de cada uno de sus tres ángulos. En esta clase de problemas de Resolución de Triángulos Rectángulos siempre dan DOS valores numéricos del triángulo que pueden darse los siguientes casos: 1.- Caso: La hipotenusa y un ángulo agudo 2.- Caso: Un cateto y un ángulo agudo. 3.- Caso: La hipotenusa y un cateto. 4.- Caso: Los dos catetos. Para resolver el triángulo rectángulo se aplica las siguientes relaciones: 1.- Relación entre los lados del triángulo: Para ello se aplica el teorema de Pitágoras. Que dice que: b

2 = a

2 + c

2

2.- Relación entre los ángulos del triángulo: Se debe tener en cuenta que en el triángulo rectán-gulo se cumple que: “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º”. Es decir: A + B + C = 180º

3.- Relación entre los lados y los ángulos: Para ello se aplica las siguientes relaciones trigono-métricas:

Seno A =

y Seno C =

Cos A =

y Cos C =

Tag A=

y Tag C=



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TALLER DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1) Calcule las siguientes razones trigonométricas:

a) Sen 79º 5´ 2´´ b) Cos 3º 45´ c) Tag 24º 43´´ d) Cosec 63º e) Sect 20º 35 f) Cotag 55º 11´ 22´´

2) Calcule el ángulo sabiendo las siguientes razones trigonométricas:

a) Sen = 0, 7436

b) Cos = 0, 4675

c) Tan = 3, 5698

d) Cos = 0,6543

e) Sen = 0,3256

f) Tan = 5, 6482

3) (SIN CALCULADORA CIENTÍFICA) Calcule las restantes razones trigonométricas sabiendo que se conoce:

a) Sen B = 4/5 b) Cos C = 5/13 c) Tang B = 15/8 d) Cosec C = 41/9 e) Sec C = 61/11 f) Cotag B = 35/12

Soluciones

1 a) 1 b) 1c) 1d) 1e) 1f)

0,9819 0,9978 0,4603 1,1223 1,0681 0,6952

2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f)

48º 2´ 20.3´´ 62º 7´ 40´´ 74º 21´ 3´´ 49º 8´ 0,26´´ 19º 0´6,95” 79º 57´ 35´´

3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f)

Seno 12/13 15/17 9/41 60/61 12/37

Coseno 3/5 8/17 40/41 11/61 35/37

Tangente 4/3 12/5 9/40 60/11 12/35

Cosecante 5/4 13/12 17/15 61/60 37/12

Secante 5/3 13/5 17/8 41/40 37/35

Cotangente 3 /4 5/12 8/15 40/9 11/60



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PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo: Dado el siguiente triangulo rectángulo encontrar el valor del lado c.

Como nos dan de información de un ángulo de 42º y la hipotenusa y nos piden encontrar el valor el cateto adya-cente o vecino al ángulo de 42º, entonces la razón trigono-métrica que satisface este problema es el COSENO del ángulo A, que está definido por:

Cos 45º =

remplazamos:

Cos 45º =

C = (11 cmts.).Cos 45º =(11 cts.)(0,7071) C= 7,77 cmts. Ejemplo: dado el siguiente triangulo rectángulo, encontrar la magnitud del ángulo opuesto al cateto que tiene una longitud de 32 cmts, sabiendo que la hipotenusa tiene una longitud de 74 cmts.

Como se tiene conocido el cateto opuesto al án-gulo agudo A y la hipotenusa, entonces la relación trigonométrica que satisface este problema es SENO del ángulo A, que está definido por:

Sen A=

remplazamos

Sen A =

Sen A = 0,4324 multiplicamos ambos miembros por sen

-1 así:

Sen-1

Sen A = Sen-1

(0,4324) A = Sen

-1(04324)

A= 25,6199º =25º 37´ 11,88” A= 25º 37´ 11,88” CASO 1: Se conoce la hipotenusa y el valor de un ángulo agudo. Resolver el siguiente triangulo rectángulo donde b= 45 m y el ángulo A = 22º

1.-) De la relación entre los ángulos se tiene que:

+ + = 180º

= 180º - -

= 180º - 90º - 22º

= 68º 2.-) De la relación entre los lados y los ángulos se tiene que:

Sen 68º=

entonces c = (45m)(Sen 48º) = 41,72 m

Cos 68º=

entonces a = (45m)(Cos 48º) = 16,85 m

O también aplicamos la relación seno y coseno al ángulo A, así:



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Sen 22º=

entonces a = (45m)(Sen 22º) = 16,85 m

Cos 22º=

entonces c = (45m)(Cos 22º) = 41,72 m

CASO 2: Se conoce el valor de un cateto y el valor de un ángulo agudo.

Resolver el siguiente triangulo rectángulo, donde = 37º y a= 5,2 m

1. De la relación entre los ángulos se tiene que:

+ + = 180º

= 180º - -

= 180º - 90º - 37º

= 53º 2.- ) De la relación entre los lados y los ángulos se tiene que:

Tang 37º =

entonces: c =

c =

= 6,9 m

Tang 53º =

entonces: c = a tang 53º

.c = (5,2 m)tang 53º = 6,9 m

Sen 37º=

entonces b =

= 8,64

3.-) Otra forma seria aplicando la relación con los lados así: .b

2 = a

2 + c

2

.b2= (5,2 m)

2 + (6,9m)

2

.b2 = 27,04 m

2 + 47,61 m

2 = 74,65 m

2

.b2 = 74,65 m

2

.b = √ = 8,64 m

CASO 3: Se conoce el valor de la hipotenusa y el valor de un cateto Resolver el siguiente triangulo rectángulo, donde b= 415 m y a= 280 m

1.-) Aplicamos la relación entre los lados, mediante el teo-rema de Pitágoras así: .b

2 = a

2 + c

2

c2= b

2 - a

2

c =√

c=√

c=√ c= 306,30 m

2.-) Aplicamos la relación entre los lados y los ángulos

Sen A =



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Sen A = 0,67469 Sen

-1. Sen A = Sen

-1 (0,67469)

A = Sen-1

(0,67469) A = 42,4300º A = 42º 25´ 48” 3.-) De la Relación entre los ángulos, se tiene que:

+ + = 180º

= 180º - -

= 180º - 90º - 42º 25´ 48”

= 47º 34´ 12” CASO 4: Se conocen los valores de los dos catetos. Resolver el siguiente triangulo rectángulo, donde a= 33 m y c = 21 m

1.-) Aplicamos la relación entre los lados, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras. b

2 = a

2 + c

2

b = √

b = √

b = √ b = 39,11 m

2.-) Aplicamos la relación entre ángulos y lados del triángulo así:

.tang A =

.tang A = 1,571428 .tang

-1.tang A = tang

-1(1,571428)

A = tan-1

(1,571428) A = 57,5287º A = 57º 31´ 43,32”

3.) Aplicamos la relación entre los ángulos, así: + + = 180º

= 180º - -

= 180º - 90º - 57º 31´ 43,32”

= 32º 28´ 16,68” Ejemplo: Una persona tiene una estatura de 1,70 m y observa el punto más alto de una estatua elevando la vista un ángulo de 59º 34`. Si esta persona está ubicada a 12 m del pie de la perpendicular bajada desde la estatua. ¿Cuál es la altura de la estatua medida desde la superficie de la tierra?



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.tang 59º 34’ =

entonces X = (12 m) tang 59º 34’

X = 20,42 m Por lo tanto: La altura de la estatua = X + altura de la persona La altura de la estatua = 20,42m + 1,70m = 22,12 m Ejemplo: En el centro de un lago artificial de forma circular sale un chorro de agua. Desde la orilla del lago se observa el punto más alto del chorro de agua con un ángulo de eleva-ción de 38º y si nos alejamos 15 m de la misma orilla, se observa el punto más alto del chorro de agua con un ángulo de 24º. ¿Cuál es la altura del chorro de agua?, ¿Cuánto mide el diámetro del lago?

Del triángulo ABC se tiene que tang 24º=

entonces a= (15m + r).tang 24º….(1)

Del triángulo DBC se tiene que tang 38º =

entonces a= r tang 38º……………(2).

Al igualar las ecuaciones uno (1) y dos (2) se tiene que: (15m + r).tang 24º = r tang 38º (15m)tang 24º + r.tang 24º = r tang 38º (15m) tang 24º = r tang 38º - r.tang 24º (15m) tang 24º = r (tang 38º - tang 24º)

.r=

.r =

= 19,87m



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Por lo tanto el diámetro del lago es igual a = 2r= 2(19,87m) = 39,74 m Ahora la altura del chorro de la fuente será igual a: Solución 1 a= (15m + r).tang 24º….(1) .a= (15m + 19,87m).tang 24º .a= 15,52 m Solución 2 a= r tang 38º……………(2). .a= (19,87m) tang 38º = 15,52 m Ejemplo Dos personas se encuentran en una playa y observan un globo que se encuentra ubicado en el cielo. La distancia entre las dos personas es de 350 m. La primera persona observa el globo con un ángulo de elevación de 54º y la segunda persona observa al globo con un ángulo de elevación de 37º. ¿A qué altura se encuentra el globo con relación a la playa?

Del triángulo ADC se tiene que tang 54º=

entonces h= x.tang 54º….(1)

Del triángulo BDC se tiene que tang 37º =

entonces h= (350m-x).tang37º …(2)

Al igualar las ecuaciones uno (1) y dos (2) se tiene que: x.tang 54º = (350m-x).tang37º x.tang 54º = (350m) tang 37º - x.tang 37º x.tang 54º + x.tang 37º = (350m) tang 37º x (.tang 54º + tang 37º) = (350m)tang 37º

.x=

.x =

= 123,82m



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Ahora la altura del globo con relación a la línea horizontal de la playa será igual a: Solución 1 h= x.tang 54º……………………...(1) .h = (123,82m).tang 54º .h= 170,42 m Solución 2 h= (350m-x).tang37º …………….(2) .h = (350m - 123,82m).tang 37º .h = 170,42 m. TALLER DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1) Resuelva los siguientes triángulos rectángulos: a) A = 90º B = 30º a = 20 cm Solución: C = 60º b = 10 cm c = 17,32 cm b) A = 90º B = 40º 36´ b = 7,8 cm Solución: C = 49º 24´ a = 11,99 cm c = 9,1 cm c) A = 90º B = 72º 28´34´´ c = 3,5 cm Solución: C = 17º 31´26´´ a = 11,62 cm b = 11,08 cm d) A = 90º a = 12 cm b = 4 cm Solución: B = 19º 28´16´´ C = 70º 31´ 44´´ c = 11,31 cm e) A = 90º b = 4,6 cm c = 5,7 cm Solución: B = 38º 54´15´´ C = 51º 5´ 45´´ a = 7,32 cm 2) Si se apoya una escalera de 5 m de longitud sobre una pared, formando un ángulo de 40º 37´48´´ ¿a qué altura se llega con la escalera? ¿Cuánto se separa el pie de la escalera de la pa-red? Solución: altura = 3,26 m distancia a la pared = 3,79 m 3) Una torre de 20 m de altura proyecta una sombra de 25 m. Calcula la inclinación de los rayos solares con relación a la sombra. Solución: a = 38º 39´ 35´´ 4) Calcula la longitud de la sombra proyectada por una persona que mide 1,85 m cuando el Sol se eleva sobre el horizonte 40º. Solución: sombra = 2,20 cm 5) Una cinta transportadora mide 7 m y debe elevar los objetos transportados hasta una altura de 3 m. ¿Qué inclinación debe tener la cinta transportadora? Solución: a = 25º 22´ 37´´ 6*) Una persona que mide 1,70 m ve el punto más alto de una estatua elevando la vista 59º 34´´ Si está situado a 12 m del pie de la estatua, ¿qué altura tiene la estatua?. Solución: altura de la estatua = 22,12 m 7) Para ver un barco, desde un acantilado de 34 m de altura, se debe bajar la mirada 42º 28´19´´ ¿A qué distancia de la costa está el barco? Solución: distancia = 37,14 m 8) La anchura de mi calle es de 20 mts. Desde la azotea de mi edificio, cuya altura es de 40 mts observo la azotea del edificio que tengo al frente elevando la vista 26º. ¿Qué altura tiene ese edifi-cio? Solución: altura = 49,75 m 9*) En el centro de un lago artificial, de forma circular, sale un chorro de agua. Desde el borde del lago se observa el punto más alto del chorro con un ángulo de 38º,alejándonos 15 m se observa el punto más alto del chorro con un ángulo de 24º.¿Cuál es la altura del chorro? ¿Cuánto mide el diámetro del lago? solución: altura del chorro = 15,52 m; diámetro del lago = 39,74 m 10*) Dos personas están en una playa y ven un globo situado entre ellos. La distancia entre las dos personas es de 350 m. Una persona ve el globo elevando la vista 54º y la otra persona debe elevar la vista 37º ¿A qué altura está el globo? solución: altura globo = 170,44 m

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