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FRT - UTN MATEMATICA - Trigonometría

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Trigonometría

• ¿Sabías qué …?

• Esquema del Tema

• Introducción, objetivos, conceptos previos

• Contenidos Teóricos

• Mapa Conceptual

• Trabajo Práctico

• Apéndice


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¿Sabías que …

el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier

(1768-1830) fue el descubridor de las aplicaciones

más sorprendentes de las funciones

trigonométricas?.

Utilizó las sumas de estas funciones para describir fenómenos físicos como la

transmisión del sonido y el flujo del calor. Sus investigaciones sobre este último

tema le llevaron a introducir unas series trigonométricas conocidas hoy como Series

de Fourier.

Una aplicación moderna de los descubrimiento de Fourier es la codificación digital

del sonido en los discos compactos (C D).

Fourier quedó huérfano a corta edad, por lo que recibió su educación en

una escuela militar, de donde se convirtió en maestro de matemática cuando tenía

20 años. Más tarde rechazó ser designado profesor de la École Polytechnique para

acompañar a Napoleón en su expedición a Egipto de donde Fourier fue gobernador.

Cuando regresó a Francia empezó a hacer experimentos relacionados con el calor,

pero la Academia francesa no publicó sus primeros trabajos por falta de rigor. Años

más tarde, cuando Fourier fue secretario de la Academia logró publicarlos en la

forma original.

Quizá debido a sus años de estudio sobre el calor y a los años que pasó en el

desierto de Egipto, Fourier estaba obsesionado por mantenerse caliente, usaba

varias ropas encimadas, incluso en el verano, y mantenía sus habitaciones

incómodamente calientes. Evidentemente éstos hábitos, sobrecargaron su corazón y

contribuyeron a su muerte a la edad de 62 años.


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A

El estudio de la TRIGONOMETRÍA abarca dos aspectos:

• Trigonometría Analítica

• Funciones Trigonométricas

El primer aspecto lleva a problemas geométricos en los que se requiere hallar

ángulos y distancias como así también hace referencia a los aspectos algebraicos de

la trigonometría: resolución de identidades trigonométricas y de ecuaciones

trigonométricas.

El segundo aspecto hace referencia al modelado del movimiento periódico, es decir

al estudio de ciertas funciones llamadas trigonométricas.

MODELADO DEL PRIMER ASPECTO

Situación Problemática

Nos encontramos en la margen de un río, por ejemplo en el punto A, y necesitamos

conocer a qué distancia “d” se encuentra un árbol ubicado en la otra orilla, por

ejemplo en el punto C.

¿Cómo podemos hacerlo sin cruzar el río?

C

d

ESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMA


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Clavamos un poste en el lugar donde nos

encontramos, punto A, y otro poste en un punto

cualquiera B (en la misma orilla que A). Con una

ruleta medimos la distancia entre A y B.

En el punto A colocamos un teodolitoi y

dirigiendo la visual primero hacia el

árbol

( C) y luego hacia el poste (B), se mide así

el ángulo A del triángulo ABC.

Luego colocamos el teodolito en el

punto B y medimos de la misma forma

el ángulo B

La longitud AB, medida con la ruleta y los dos ángulos A y B son todo lo que

necesitamos para conocer otros datos del triángulo ABC y por tanto calcular la

distancia desconocida d.

Para resolver matemáticamente se realiza

previamente un esquema, en el plano, de la situación

real.

Y aplicando conceptos y definiciones que se verán a

continuación, se podrá determinar la distancia “d”

B

A

C

B

A

A

B

Cd

C

B

A


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MODELADO DEL SEGUNDO ASPECTO

Pero… la TRIGONOMETRÍA no se limita a la aplicación de resolución de

triángulos a la geometría, astronomía, navegación y agrimensura sino que también

se aplica en física. Así la vemos en el estudio de movimientos ondulatorios,

vibraciones, sonido, corriente alterna, termodinámica, etc. Para lograr esto, se

debe ampliar el concepto de razones trigonométricas al de funciones

trigonométricas.

Situación Problemática

Una fuerte ráfaga de aire impacta sobre un rascacielos, lo que ocasiona que la

construcción se mueva de un lado a otro según un movimiento armónico

amortiguado. La frecuencia de la oscilación es 0,5 ciclos por segundo y la constante

de amortiguamiento es c= 0,9. Calcule una ecuación que describe el movimiento del

rascacielos. (Suponga k = 1 y t = 0 instante cuando la ráfaga de aire golpea al

rascacielos).

)tcos(.ctke)t(g π=


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TRIGONOMETRÍA

proviene del griego Trigonom: triángulo y Metron : medida.

“Medida del triángulo”

Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRÍA estudia: las relaciones entre los lados y los

ángulos de triángulos.

como así también las propiedades y las aplicaciones de las funciones

trigonométricas de ángulos

El estudio del tema abarca :

- Trigonometría Plana, que se ocupa de triángulos contenidos en un plano,

- Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos

que forman parte de la superficie de una esfera.

A

B

C

a

b

c

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN


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En la vida diaria ¿empleamos trigonometría?

Con frecuencia nos encontramos con situaciones como:

- determinar a qué distancia del piso está la

ventana de un edificio.

- determinar la altura de un muro

- determinar el peso que

soportan los tirantes de la

cubierta

- calcular la resultante de un sistema de fuerzas

F1

F2

F3

F4

60º 50º


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En todas los casos, para dar solución a las situaciones planteadas, aplicamos

TRIGONOMETRÍA

Entonces:

En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRÍA

PLANA.

OBJETIVOS

� Comprender la importancia de las razones trigonométricas y su aplicación

� Profundizar el conocimiento y el cálculo de razones trigonométricas

� Calcular las razones trigonométricas de ciertos ángulos

� Adquirir habilidad de resolver los distintos casos de triángulos rectángulos

� Adquirir habilidad de resolver los distintos casos de resolución de

triángulos no rectángulo ú oblicuángulos

� Resolver situaciones problemáticas: cálculo de tensiones de puntales,

cubiertas de techos inclinados, pendiente de cañerías de instalaciones

complementarias, etc.

Para abordar el tema Trigonometría, se deben repasar los siguientes conceptos:

CONCEPTOS PREVIOS

- Triángulos:

clasificación, propiedades, semejanza de triángulos, superficie de

triángulos.

- Teorema de Pitágoras:

enunciado, expresión y aplicaciones

- Ecuaciones: despejar incógnitas.

Trigonometría es la parte de las matemáticas elementales puras,

que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionando

sus lados y sus ángulos


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ANGULOS

Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta

desde una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es

llamado vértice del ángulo

Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la

semirrecta en posición inicial y final respectivamente.

Denotaremos con QOP al ángulo, o con

cualquier letra griega, por ejemplo θ ,

O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y

final respectivamente.

La medida del ángulo QOP es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice

requerida para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario

a las agujas del reloj. Es en definitiva cuánto se “abre” el ángulo.

P

Q

O θ

CONTENIDOS TEÓRICOSCONTENIDOS TEÓRICOSCONTENIDOS TEÓRICOSCONTENIDOS TEÓRICOS


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Ángulos especiales

llano Angulo llano un de mitad

:recto Angulo llano unveces dos

:giro un de Ángulo

agudo convexo Angulo obtuso convexo Angulo cóncavo Angulo

Sistemas de medición

La medida de un ángulo se expresa en:

- Grados sexagesimales:

''35'20º30=α → Sistema Sexagesimal

- Radianes:

radó 28,6rad. 2 == βπβ → Sistema Circular

- Grados centesimales

cº100=δ → Sistema Centesimal

Los sistemas de medición de ángulos más usados son Sexagesimal y Circular.


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Sistema Sexagesimal

La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los

submúltiplos son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su

anterior.

MEDIDAS DE ÁNGULOS Equivalencias

Unidad

grado 1º = 180llano 1 1º = 60 ’ = 3600 ’’

minutos 1’60

º1= 1’ = 60’’

Submúltiplos

segundos

1’’ 60

'1= 1’’=

De la definición de grado se deduce que:

1 llano = 180º

1 recto =90º

1 giro = 360º

Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa

• Expresar el ángulo en grados:

• Expresar el ángulo θ = 18, 29º en grados, minutos y segundos

separamos la parte entera de la

decimal de 18,29º

18,29º= 18º + 0,29º

usando proporcionalidad directa

calculamos cuántos minutos son

0,29º

1º_________ 60’

0,29º_______ x= 0,29.60 =

0,29º=17,4’


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r s

αααα

Sistema Circular y Longitud de Arco

En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian.

Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier

circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemosαal ángulo , r al radio

de la circunferencia y s al arco determinado por el ángulo

Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que

determina un arco de circunferencia cuya longitud

es igual al radio de la circunferencia.

Para medir cualquier otro ángulo, usando como

unidad de medida el radian, se debe contar la cantidad de veces que el arco

determinado en la circunferencia lo contiene al radio de la circunferencia

separamos la parte entera de la

decimal de 17,4’

17,4’ = 17’ + 0,4’

usando proporcionalidad directa

calculamos cuántos segundos son

0,4’

Así obtenemos:

18,29º = 18º 17’ 24’’

1’_________ 60’’

0,4’_______ x= 0,4.60= 24´´

rradian1

r


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En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que

α = 3 radianes = 3 rad.

Responde: ¿Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la

medida del ángulo cambia?

El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite

operar con los números Reales abstractos.-

Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes de los siguientes modos:

usando la abreviatura rad o no

rad 2,5=α o 5,2=α , rad3π

=β o 3π

=β

Relación entre arco, radio y ángulo

En una circunferencia de radio “ r ”, la longitud “s” de un arco que subtiende un

ángulo central de α radianes es:

α= .rs o rs

=α

r r

r α


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EJEMPLO

En el parque 9 de Julio se construirá un cantero circular de 8m de radio. En un sector

del mismo se plantará una especie de rosas que necesita ser protegida, en su borde

externo, con alambrado. Determine la cantidad de alambre que se necesita si el

sector a bordear abarcará un ángulo de 45º.

De acuerdo a la relación “arco, ángulo, radio”:

][28,6

][.24

.8;.

ms

mmsrs

=

=== ππα

Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas

De la definición de radian y de grado se desprende que:

1 giro = π2 rad = 360º

1 llano = π rad = 180º

1 recto =2π

rad = 90º

Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad

directa:

Sistema Sexagesimal a Circular

180º ______________ π rad

αº ______________ x rad

Sistema Circular a Sistema Sexagesimal

π rad ______________ 180º

α rad ______________ x º

4

πα

8m r Datos

==


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De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes:

en grados en radianes

1º 0.0175

30º

6π

45º

4π

57,296º 1

60º

3π

270º

2π3

EJEMPLOS

Ejemplo 1) Exprese el ángulo α = 70° 10' 40 '' en el sistema circular :

- la medida del ángulo en grados:

º178,70º

3600

40º

60

10º70''40'10º70 =

+

+==α

- la equivalencia

360 ° ------------- 2π rad x = 70,178° . 2 π = 0,389 π rad = 1,22 rad..

70,178 ° ----------- x 360°

Ejemplo. 2).- Exprese el ángulo β = 2 rad. en el sistema sexagesimal.

2 π --------- 360° x = 2 rad . 360º = 114º35’30” 2 ------- x 2π rad Ejemplo 3). Exprese el ángulo θ = 2 rad. en sistema sexagesimal:

6,28 rad -------- 360° 115ºrad 6,28

360º 2radx ==

2 rad. ---------- x


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B

A C

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Antes de definir las seis razones vamos a nombrar los elementos de un triángulo

rectángulo.

Se define RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de un ángulo agudo en un triángulo

rectángulo a los siguientes cocientes

hipotenusaopuesto cateto

C sen = opuesto cateto

hipotenusa C cosec =

hipotenusaadyacente cateto

C cos = adyacente cateto

hipotenusa C sec =

adyacente catetoopuesto cateto

C tg = opuesto cateto

adyacente cateto C cotg =

Cateto opuesto es el cateto que está

enfrentado al ángulo agudo considerado.

El otro cateto se denomina cateto adyacente.

cateto hipotenusa cateto

Hipotenusa es el lado del triángulo que está

enfrentado al ángulo recto.

Los otros dos lados se denominan catetos.

B cateto opuesto a α αααα A C cateto adyacente a α

B

c a

A b C


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De la definición se desprende que:

Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se

desprende que, en un triángulo rectángulo, para cualquiera de sus ángulos agudos se

cumple que

EJEMPLO Determine las razones

trigonométricas correspondientes al

ángulo β del triángulo rectángulo

que se indica.

De acuerdo a datos gráficos:

- cateto opuesto: b = 4 unidades

- cateto adyacente: c = 3 unidades

- hipotenusa: a = no conocemos su dimensión

Aplicamos el Teorema de Pitágoras.

5 a 25 4 3 a 22 =→=+=

Las razones trigonométricas son:

54

hipotenusaopuestocat

βsen == y entonces 45

βeccos =

53

hipotenusaadyacente cat

βcos == y entonces 35

βsec =

34

adyacente cat opuesto cat

β tg == Y entonces 43

β cotg =

1

0

2

3

4

1 2 -3 -2 -1

a

C

A B

b

c

β

tgCC

CC

1cot,

cos

1sec,

Csen

1 C cosec ===

1cosecC1 Csen 0 >⇒<<1secC1 C cos0 >⇒<<0cotgC0 C tg >⇒>

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