UNIDAD 4

A)- Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.

2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

Actividad 2CSe dispone de tres comprimidos cuyo contenido en vitaminas A,B y C son los mostrados en la siguiente tabla.

%vit A %vit B %vit CCompr 1 2 3 0Compr 2 3 0 2Compr 3 0 1 2

Si diariamente se debe ingerir un 19% de vitamina A, un 21% de vitamina B y 18% de vitamina C. ¿Cuántos comprimidos diarios de cada tipo se debe consumir?

Nos damos cuenta que vamos a tener 3 variables.X= cantidad de comprimido 1 a ingeriry= cantidad de comprimido 2 a ingerirZ= cantidad de comprimido 3 a ingerir

1)- Escriba su forma matricial AX=B

AX=B [2 3 03 0 10 2 2 ]∗[ xyz ]=[192118 ]

2)- Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

[230] . X+[302] .Y +[012] .Z=[192118]Resulta que el vector B es combinación lineal de los vectores columna de A.También se dice que B pertenece al espacio generado por los vectores columna de la matriz A. B ∈ Gen { A1 ,… An }donde A sub i denota la columna i de A, porque B se lo obtiene como suma de múltiplos escalares de las columnas de A.Donde el primer vector contiene el porcentaje de vitaminas del comprimido 1, el segundo vector el porcentaje de vitaminas del comprimido 2, el tercer vector el porcentaje de vitaminas del comprimido 3 y el vector de la extrema derecha (4) el porcentaje que se debe tomar diario de cada vitamina.

3)- Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

S=(536)

Base de vectores.

V 1[2[100]+3[010 ]+0[001] ]V 2[3[100]+0 [010]+2[001 ]]

V3[0[100]+1[010]+2[001] ]4)- Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[000] pertenece al espacio generado por las columnas de A, ya que es nulo (cualquiera de los

vectores multiplicado por un escalar)

[532] Pertenece ya que es la suma de la columna 1, mas la columna 2.

[242 ]Pertenece ya que es la suma de la columna 1, mas la columna 3.

5)-Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[008] NO pertenece al espacio generado por las columnas de A, ya que no podes obtenerlo

multiplicando ninguno por un escalar, ni sumando vectores que si pertenecen, ni combinando estas dos operaciones.

B)- Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

ENUNCIADOUn adulto debe ingerir diariamente un 19% de vitamina A, un 21% de vitamina B y 18% de vitamina C. Se dispone de tres tipos de comprimidos cuyo contenido en vitaminas A, B y C son los mostrados en la siguiente tabla. ¿Cuántos comprimidos diarios de cada tipo deberá consumir?

%VIT A %VIT B

% VIT C % Otros componentes

Compr. I 20 30 0 50

Compr. II 30 0 20 50

Compr. III 0 10 20 70

porcentaje de vitamina A, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir en el dia = %19vitA :

20x + 30y + 0 = 19

porcentaje de vitamina B, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir en el dia = %21vitB :

30x + 0y + 10z = 21

porcentaje de vitamina C, a partir de los 3 comprimidos, que debemos ingerir en el dia = %18vitC :

0x + 20y + 20z = 18

1)- Escriba su forma matricial AX=B.

[20 30 030 0 100 20 20] [

XYZ ]=[192118]

2)- Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

[20300 ] . X+[30020] . Y +[ 01020 ] .Z=[192118]El primer vector contiene el porcentaje de vitaminas del comprimido 1, el segundo vector el porcentaje de vitaminas del comprimido 2, el tercer vector el porcentaje de vitaminas del comprimido 3 y el vector de la extrema derecha (4) el porcentaje que se debe tomar diario de cada vitamina.

3)- Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

S=(0.50.30.6) Al ser un único vector no debo hallar base

4)- Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[503020] Pertenece ya que es la suma de la columna 1, mas la columna 2.

[000] pertenece al espacio generado por las columnas de A, ya que es nulo (cualquiera de los

vectores multiplicado por un escalar)

5)-Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[ 8110] NO pertenece al espacio generado por las columnas de A, ya que no podes obtenerlo

multiplicando ninguno por un escalar, ni sumando vectores que si pertenecen, ni combinando estas dos operaciones.

C)-Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices, y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:

1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.

T=[ 1 0K 1]¿

2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.

T: R2−−→R2

Espacio de salida R^2. Espacio de llegada R^2

3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.

[XY ]

4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.

[ X12

X+Y ]5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

S=[1K01 ] (K =0.75)

2)-Espacio de salida R^2. Espacio de llegada R^2

[XY ]−−→[1 34

0 1 ] .[XY ]=[X+ 34

Y

0 X+Y ]S: R2−−→R2

3)- Vector en espacio de salida : [XY ]

4)- Vector en espacio de llegada: [X+ 34

Y

Y ]6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que

identificaremos por .S o T

[1 0121 ] .[XY ]=[ X

12

X+Y ][1 34

0 1 ]∗[ X12

X+Y ]=[ 118 +34

12

+1 ]=[ 118 X +34

Y

12

X +1Y ] Espacio de salida R^2. Espacio de llegada R^2

[UV ]−−→[ 118 U +34

V

12

U +1V ]salida :[UV ]

Vector en el espacio de llegada : [ 118 U +34

V

12

U +1V ]7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que

identificaremos por T o S .

[1 34

0 1 ] .[XY ]=[1 x +34

Y

0 x +1Y ][1 0121 ]∗[1 x +3

4Y

0 x +1Y ]=[1 x +34

Y

12

x +118

Y ][UV ]*[1 +34

0 +1 ]=

[1U +34

V

0U +1V ]Vector en espacio de salida: [UV ]

Vector en espacio de llegada: [1U +34

V

0U +1V ]8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

T= [1 0121 ]

[ xy ]— →[ 1 0−12

1]* [ xy ]=[ 1 x +0 y−12

x +1 y ]Espacio de salida : R^2 . Espacio de llegada R^2

Vector en el espacio de salida : [ xy ]Vector en espacio de llegada : [ x ¿− 1

2x + y ]

D)- Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):

Matriz A= [1 0 01 2 00 2 2 ]

a) El vector genérico TX.T: R3−→ R3

[XYZ ]−→[1 0 01 2 00 2 2]∗[XYZ ]=[1x +0 y +0 z

1x +2 y +0 z0 x +2 y +2 z ]=[

xx+2 y2 y+2 z ]

b) El núcleo de esta TL. NuT=(X € R3|AX=0)

[1 0 01 2 00 2 2 ]∗[X

YZ ]=[000]

Si el determinante no es 0 admite una sola solucion X = 0

Si la matriz A tiene inversa X = 0

C)-

det ([1 0 01 2 00 2 2]−k .[1 0 0

0 1 00 0 1])=0Det ¿det ([1−k 0 0

1 2−k 00 2 2−k ])=0−k 3+5∗k 2−8∗k+4

por ende tenemos como raíces a =+1, +2, +2

d) Una base de los auto vectores asociados a cada auto valor. Además:

Para K = 1

( A−1. I ) x=0[1 0 01 2 00 2 2 ]−[1 0 0

0 1 00 0 1]=[0 0 0

1 1 00 2 1]

Gen {[ 12−121

]=por auto valor K=1

Para valor K = 2

( A−2. I ) x=0[1 0 01 2 00 2 2 ]−[2 0 0

0 2 00 0 2]=[−1 0 0

1 0 00 2 0 ]

Gen {[000]=por auto valor K=2

e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.

f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?

A=P.D.P−1

A no es diagonalizable ya que el determinante de P = 0

h) Plantee la transformación inversa

A=[1 0 01 2 00 2 2]