1. Luis Gonzalo Revelo Pabn 75Dpto. de Matemticas - GorettiMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALA raz de una investigacin, en un barrio de Pasto se afirma que: El consumo promedio por familia es de2,5 litros de leche. Con esta informacin se est presentando una gama de posibilidades de consumo deleche, que van desde familias que tienen un consumo superior a 2,5 litros de leche, hasta familias que noconsumen.Para obtener el anterior resultado de que: El consumo promedio por familia es de 2,5 litros de leche, enun barrio de Pasto, se requiere del uso de una medida estadstica denominada Estadgrafos, cuando serefiere a una Muestra, o de Parmetros, cuando el estudio corresponde a una Poblacin.Se consideran cuatro clases de estadgrafos, a saber:1. Estadgrafos de Tendencia Central o de Posicin2. Estadgrafos de Dispersin.3. Estadgrafos de Deformacin o Asimetra4. Estadgrafos de Apuntamiento o kurtosis. 1. ESTADGRAFOS DE TENDENCIA CENTRALEstas medidas indican la posicin de un valor con relacin a la variable o a la posicin de un punto conrelacin a la abscisa.Las medidas de Tendencia Central son: a. La Media; La Media Aritmtica; o Promedio. b. La Media Geomtrica c. La Media Armnica d. La Mediana e. La Moda f. Los Cuartiles, Los Deciles, Los Percentiles.a) LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIODefinicin: Es un valor representativo de un conjunto de datos, que tiende a situarse en la parte centralde un conjunto de datos que se hayan dado, al ser ordenarlos de una manera creciente o decreciente.Los mtodos para calcular la Media o Promedio, se clasifican de dos maneras a saber: - Para datos estadsticos No Agrupados.- Para datos estadsticos Agrupados.I DATOS NO AGRUPADOS: Es aquella informacin estadstica que no se encuentra, en una tabla odistribucin de frecuencias, debido a que el nmero de datos es muy pequeo, generalmente inferior a 30datos.Para calcular el valor Promedio se emplea las siguientes ecuaciones: a) Cuando los datos estadsticos son Sin Repeticin.Dnde : Media o Promedio : Suma de : Variable a estudiar=Datos estadsticos : Nmero total de datos o muestra. b) Cuando los datos estadsticos son Con repeticin o Ponderada Dnde : Media o Promedio : Suma de : Datos repetidos : Variable a estudiar : Nmero total de datos o muestra. : Frecuencia relativa Valor PorcentualPesoEjemplo: (Datos no agrupados- No repetidos) El estudiante ABC en la asignatura de matemticas, enel tercer periodo acadmico tiene las siguientes calificaciones: 3; 2,5; 4,8; 3,7; 4,2. Cul es la calificacinpromedio?

2. Luis Gonzalo Revelo Pabn 76 Dpto. de Matemticas - Goretti.x: calificaciones3,02,54,8=3,74,2Ejemplo: (Datos no agrupados- Repetidos) las edades de diez estudiantes son: 21, 24, 23, 25, 22, 24,23, 21, 20, 21. Cul es la edad Promedio de los diez estudiantes?.x: Edad .f (datos repetidos) .h (Peso o porcentaje) .fx .hx20 1 0,1020 221 3 0,30636,322 1 0,10222,223 2 0,20464,624 2 0,20484,825 1 0,10252,5 1 Mtodo =22,4 aos2 Mtodo. 22,4 aos.Ejemplo: (Datos No agrupados- repetidos). En una empresa hay 20 trabajadores que tienen un salariode $119.000; 50 trabajadores tienen un salario mensual de $300.000 y 10 trabajadores ganan $500.000.Cul es el salario Promedio?.x: Salarios .f (datos repetidos) .h (peso o porcentaje).fx.hx $119.000 20 0,25 $2.380.000 29.750 $300.000 500,625$15.000.000187.500 $500.000 100,125 $5.000.000 62.500 1 Mtodo= $ 279.750 mensuales2 Mtodo. $ 279.750 mensuales 3. Luis Gonzalo Revelo Pabn 77 Dpto. de Matemticas - GorettiII DATOS AGRUPADOS: Es aquella informacin estadstica que se presenta en una Tabla o Distribucinde Frecuencias, debido a que el nmero de datos es muy grande, generalmente igual o mayor a 30 da-tos.En este caso para calcular la Media o Promedio, tenemos las siguientes ecuaciones:Dnde : Media o Promedio : Suma de : Frecuencia Absoluta : Marca de Clase : Nmero total de datos o muestra. : Frecuencia relativa Valor Porcentual Peso.Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribucin de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemticas. Encontrar la calificacin Prome-dio.Calificaciones Marca def h .fx.hxclase(x)2,5 - 2,82,6570,175 18,55 0,463752,9 - 3,23,0570,175 21,35 0,533753,3 - 3,63,4590,225 31,05 0,776253,7 - 4,03,8580,2 30,80 0,774,1 - 4,44,2530,075 12,75 0,318754,5 - 4,84,656 0,15 27,900,6975 Dada la ecuacin: = 3,56O tambin: 3,56TALLERLa siguiente informacin hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. Mara Goretti. 1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,651,791,64 1,72 1,77 1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,781,561,78 1,72 1,63 1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,691,731,74 1,57 1,67 1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,741,591,58 1,75 1,71 1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,691,601,77 1,70 1,55Encontrar 1. Una tabla o distribucin de frecuencias absolutas y relativas. 2. Cul es la estatura promedio del curso? 4. Luis Gonzalo Revelo Pabn 78Dpto. de Matemticas - GorettiLA MEDIANA ( )Definicin: La mediana es un valor nico, que se encuentra en la parte central de un conjunto de datosestadsticos; don de la mitad (50%) de los elementos se encuentran por encima del valor de la Mediana yla otra mitad (50%) de los elementos se encuentran por debajo del valor de la Mediana.I CLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOSPara encontrar la Mediana de un conjunto de datos estadsticos que no se encuentran en una tabla odistribucin de frecuencias, se procede de la siguiente manera:Primero: Se arregla u organiza los datos estadsticos, de una manera ascendente o descenden-te.Segundo: a) S el nmero de datos de la informacin estadstica (N) es un IMPAR, entonces laMediana ser igual a: ().b) S el nmero de datos (N) es un nmero PAR, entonces la Mediana ser igual al valor Pro-medio ( de los dos datos centrales (de la mitad) del arreglo ascendente o descendente de los datosestadsticos.Ejemplo: (Datos No agrupados Par). Las calificaciones de un estudiante en un periodo acadmicoson: 5, 4,2; 3; 3,5; 4,8; 3,5..1 Paso: La informacin estadstica se la arregla de una manera ascendente o descendente. As:.2. Paso: Como el nmero de elementos del arreglo es Par (N=6), entonces la Mediana es igual al prome-dio de los dos elementos centrales del arreglo ascendente o descendente. Es decir:== 3,85Ejemplo: (Datos No agrupados - impar). Los precios de un producto, tomados en diferentes almacenesde la ciudad son los siguientes: $230, $235, $240, $228, $236. Cul es el precio mediano?.1 Paso: La informacin estadstica se la arregla de una manera ascendente o descendente. As:.2. Paso: Como el arreglo es Impar (N=5), entonces la Mediana es igual a: () ()(..II CLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOSPara calcular la Mediana para datos que se encuentran en una Tabla o Distribucin de frecuencias, seefecta los siguientes pasos:1 paso: Se determina la Clase Mediana, que ser aquella que alcanza por primera vez la mitadde la informacin estadstica (50% o n/2), al sumar las frecuencias absolutas de arriba hacia aba-jo que se encuentran en una tabla o distribucin de frecuencias. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabn 79Dpto. de Matemticas - Goretti2 paso: La Mediana se la obtiene aplicando la siguiente ecuacin: ( ()Dnde:: Mediana. : Limite Real Inferior del intervalo o clase mediana. : Nmero total de datos. : Frecuencia Absoluta del intervalo o CLASE MEDIANA( : Suma de todas las frecuencias absolutas anteriores a la frecuencia absoluta de la clase media-na : Tamao o amplitud del intervalo de clase. Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribucin de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemticas. Encontrar la calificacin Media-na. CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMTICAS DE UN CURSO DE LA I.E.M MARA GORETTI. CalificacionesCalificaciones f F Reales 2,5 - 2,82,45 - 2,85 77 ( 2,9 - 3,22,85 - 3,25 7 14Clase Mediana3,3 - 3,63,25 - 3,65 9 23 3,7 - 4,03,65 - 4,05 8 314,1 - 4,44,05 - 4,45 3 34 4,5 - 4,84,45 - 4,85 6 40Dada la ecuacin: ( () ( ) () ( ) Significa que el 50% de los estudiantes del curso (20 estudiantes) tienen una calificacin supe-rior a la calificacin mediana de 3,51 y que el otro 50% (20 estudiantes), tienen una calificacininferior a 3,51.TALLERLa siguiente informacin hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. Mara Goretti. 1,801,75 1,66 1,711,551,65 1,791,64 1,72 1,77 1,661,73 1,56 1,631,721,78 1,561,78 1,72 1,63 1,741,78 1,68 1,621,571,69 1,731,74 1,57 1,67 1,681,61 1,64 1,771,771,74 1,591,58 1,75 1,71 1,761,60 1,59 1,791,761,69 1,601,77 1,70 1,55 6. Luis Gonzalo Revelo Pabn 80 Dpto. de Matemticas - GorettiEncontrar 1. Una tabla o distribucin de frecuencias absolutas y relativas. 2. Cul es la estatura mediana del curso?LA MODA (Definicin: La Moda es el valor que ms se repite de un conjunto de datos estadsticos, que no se en-cuentran en una tabla o distribucin de frecuencias.Definicin: La Moda es la mxima frecuencia absoluta, de un conjunto de datos estadsticos, que seencuentran en una tabla o distribucin de frecuencias.La Moda en los datos agrupados, como en los datos no agrupados, NO puede existir y se presentara estecaso cuando todos los datos o los intervalos de clase poseen una igual frecuencia.La Moda tambin puede existir y puede ser de dos formas a saber: a) UNIMODAL, este caso se presentacuando el conjunto de datos o un intervalo de clase poseen una sola moda, b) BIMODAL, este caso sepresenta cuando el conjunto de datos tienen dos modas o cuando en los intervalos de clase de una distri-bucin de frecuencias existen dos intervalos de clase que tienen las mximas frecuencias absolutas.I DATOS NO AGRUPADOSLa Moda en los datos no agrupados, es el valor que ms se repite.Ejemplo: (Datos no agrupados). Los precios de un producto ABC, en diferentes almacenes de la ciu-dad son los siguientes: $240, $241, $250, $239, $251. Hallar el precio Modal? .x: PrecioFrecuencia absoluta (f)$239 1$240 1$241 1$250 1$251 1Solucin: No existe Moda, ya que cada uno de los valores poseen la misma frecuencia absoluta.Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente informacin estadstica, que correspondeal consumo de energa de los 5 primeros meses del ao: 238 kw, 348 kw, 300 kw, 348 kw, 239 kw. .x: KwFrecuencia absoluta (f) 238 1 300 1 239 1 348 2Solucin: La Moda es 348 kw, ya que es el valor que ms se repite (tiene mxima frecuencia absoluta).Como existe una sopla moda, entonces se llama Unimodal.Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente informacin estadstica, que correspondeal peso de 10 personas: 55 kgr, 58 kgr, 59 kgr, 60 kgr, 61 kgr, 59 kgr, 59 kgr, 55 kgr, 55 kgr, 70 kgr. .x: Kgr Frecuencia absoluta (f) 553 581 593 601 611 701Solucin: El sistema o conjunto de datos posee dos modas 55 kgr y 59 kgr ya que tienen la mxima fre-cuencia. Por lo tanto, el conjunto de datos es BIMODAL.II DATOS AGRUPADOSPara encontrar la Moda, en datos que se encuentren en una tabla o distribucin de frecuencias, se debetener en cuenta los siguientes pasos:1. Paso: Se encuentra el intervalo de clase MODAL, que ser aquella que posee la mxima fre- cuencia absoluta. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabn 81 Dpto. de Matemticas - Goretti2.Paso: Se aplica la siguiente expresin algebraica: () Dnde:. Moda : Limite Real Inferior de la Clase MODAL : Frecuencia absoluta de la clase Modal : Frecuencia absoluta de la clase contigua superior : Frecuencia absoluta de la clase contigua inferior. ...c: Tamao o amplitud del intervalo de clase.Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribucin de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemticas. Encontrar la calificacin Modal. CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMTICAS DE UN CURSO DE LA I.E.M MARA GORETTI. CalificacionesCalificaciones f Reales 2,5 - 2,82,45 - 2,857 2,9 - 3,22,85 - 3,257Clase Modal3,3 - 3,63,25 - 3,659 3,7 - 4,03,65 - 4,058 4,1 - 4,44,05 - 4,453 4,5 - 4,84,45 - 4,856 1 Paso: Determinamos la Clase Modal, que ser aquella que tiene la mxima frecuencia absoluta (9). Eneste caso la clase modal corresponde al intervalo 3,3 3,6.2 Paso: Aplicamos la ecuacin:()= 3,25=9 =7 =8= 9 7 = 2.=98=1.c= 0,4 Remplazamos:()TALLERLa siguiente informacin hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. Mara Goretti. 1,801,75 1,66 1,711,55 1,65 1,791,641,721,77 1,661,73 1,56 1,631,72 1,78 1,561,781,721,63 1,741,78 1,68 1,621,57 1,69 1,731,741,571,67 1,681,61 1,64 1,771,77 1,74 1,591,581,751,71 1,761,60 1,59 1,791,76 1,69 1,601,771,701,55Encontrar 1. Una tabla o distribucin de frecuencias absolutas y relativas. 2. Cul es la estatura modal del curso?