UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

GUIA DE APRENDIZAJE – LA ANTIDERIVADA TALLER DE EJERCICIOS

INTRODUCCION

La rama de la matemática que se conoce como “Calculo Integral”, es un instrumento

poderoso para solucionar múltiples problemas que surgen en Física, Ingeniería, Química,

Geología, Biología, Estadística y otros campos de ciencia y la tecnología.

Hasta aquí ustedes han aprendido a hallar la derivada de una función. Sin embargo, muchos problemas de las ciencias y las tecnologías de hoy exigen recuperar una función a partir de su derivada conocida (es decir, a partir de su razón de cambio conocida). Por ejemplo, podría ocurrir que conociéramos la función velocidad de un objeto que cae desde una altura inicial y necesitáramos saber su altura en cualquier instante sobre cierto periodo. De manera más general, queremos encontrar una función F a partir de su derivada f. Si tal función F existe, se llama una antiderivada de f. El origen del cálculo integral se remonta a más de 2000 años, cuando los griegos

intentaban resolver el problema del área ideando el proceso que llamaron método de

exhaucion. Más tarde, este método se perfeccionó con las ideas de Newton (1642 – 1727)

y Leibniz (1646 – 1716).

La integración tiene dos interpretaciones diferentes; es un procedimiento inverso a la

derivación y es un método para determinar el área bajo una curva. Discutiremos, en este

documento, la integración como proceso inverso a la derivación.

CONTENIDO

ANTIDERIVADAS

El problema que se presenta en el cálculo es hallar la función de la cual se conoce su

derivada. Este proceso es exactamente, la operación inversa de la derivación y lo

llamaremos antiderivación o integración; así, si una función es derivada y luego se integra

la función obtenida, el resultado es la función original. El símbolo comúnmente usado para

una antiderivada de f es ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 , que se lee integral de efe de x de x. La expresión

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙, es llamada la integral indefinida de la función f.

Ejemplo 1. Sea 𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙, por la experiencia que usted tiene en derivación seguramente

dirá, que una antiderivada de 𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙 es 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, puesto que la derivada de 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 es 𝟐𝒙; pero observemos que existen otras antiderivadas de 𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙, por ejemplo:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑, 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔, 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑

𝟐 , …

Todas estas funciones tienen por derivada 2x y difieren únicamente en una constante; por

lo cual podemos afirmar que: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝑪, C ε R, define una familia completa de

antiderivadas de 𝑭(𝒙). En símbolos:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝑪

La figura 1, muestra la familia de antiderivadas de 𝑭(𝒙).

Tomado de: Matemática práctica – editorial voluntad.

Del ejemplo 1, se puede concluir:

DEFINICIÓN FORMAL DE ANTIDERIVADA.

Integrar es encontrar una función que al derivar, de él integrando.

Recuerde que: El proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivación o antidiferenciación. Usamos letras mayúsculas como F para representar una antiderivada de una función f, G para representar una antiderivada de una función g, y así sucesivamente.

Ejemplo 2. Encuentre una antiderivada de la función 𝑭(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 en (- α, α).

Por la experiencia que usted tiene en derivación seguramente dirá, que una antiderivada

de 𝑭(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 es 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒, puesto que la derivada de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 es 𝟒𝒙𝟑; pero

observemos que existen otras antiderivadas de 𝑭(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑, por ejemplo:

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟒, 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟔, 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟒 , …

Todas estas funciones tienen por derivada 𝟒𝒙𝟑y difieren únicamente en una constante;

por lo cual podemos afirmar que: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝑪, C ε R, define una familia completa de

antiderivadas de 𝑭(𝒙). En símbolos:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝟒𝒙𝟑𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝑪

La figura 2, muestra la familia de antiderivadas de 𝑭(𝒙).

Tomado de: Calculo diferencia e integral de Purcel – editorial voluntad.

Ejemplo 3. Hallar la integral de 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4

Solución:

∫(𝑥2 + 3𝑥 − 4)𝑑𝑥

= ∫ 𝑥2 𝑑𝑥

+ ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥3

3 +

3𝑥2

2− 𝟒𝒙 + 𝑪

Para practicar – Determinación de antiderivadas. Halle la familia de antiderivadas de cada una de las siguientes funciones. Trace la gráfica. Utilice el software Derive.

1. 𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙

2. 𝑮(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

3. 𝑯(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙

FORMULAS PARA LAS ANTIDERIVADAS

TABLA 3. Fórmula para antiderivadas de funciones especiales Función Antiderivada general

1. Función exponencial base a ε R 𝑎𝑥

2. Función exponencial 𝑒𝑥

3. Función inverso de x 1

𝑥

𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶

𝑒𝑥 + C

ln 𝑥 + 𝐶

TABLA 4. Fórmulas de trigonométricas inversas Función Antiderivada general

1. 1

√1− 𝑥2

2. 1

1+ 𝑥2

3. 1

√𝑥2(𝑥2 − 1)

4. − 1

√1− 𝑥2

5. − 1

1+ 𝑥2

6. −1

√𝑥2(𝑥2 − 1)

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + C

𝑎𝑟𝑐 sec 𝑥 + 𝐶

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶

Algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas de antiderivadas. Las reglas de la tabla 1 son fáciles de verificar derivando la fórmula de la antiderivada general para obtener la función a su izquierda. Por ejemplo, la derivada de 𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝑪 es 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙, para cualquier valor de la constante C, y esto establece la fórmula para la

antiderivada más general de 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙

Ejemplo 5. Hallar la integral de 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝜋

Solución:

∫(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝜋)

= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

− ∫ cos 𝜋 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑥 + 𝐶

Recuerde que 𝐶𝑜𝑠 𝜋 = −1

Ejemplo 6. Hallar la integral de 𝐹(𝑥) = cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥

Solución:

∫cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ∫

1

𝑠𝑒𝑛 𝑥 .

cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ csc 𝑥 . cot 𝑥 𝑑𝑒𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶

Ejemplo 7. Hallar la integral de 𝐹(𝑧) = 5

1+ 𝑧2

Solución:

∫5

1 + 𝑧2 𝑑𝑧 = 5 ∫

1

1 + 𝑧2 = 5 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 + 𝐶

Ejemplo 8. Hallar la integral de 𝐹(𝑢) = 6𝑒𝑢 Solución:

∫ 6𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 6 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 6𝑒𝑢 + 𝐶

TALLER DE EJERCICIOS – trabajo individual y colaborativo

Bibliografía. GONZALEZ, Marcos y Otros. Matemática practica 11, editorial voluntad, décima edición, Bogotá, Colombia. THOMAS, George B. y Otros. Calculo una variable, undécima edición, editorial Pearson, México 2006. Purcel, Edwin J y Otros. Calculo diferencial e integral, novena edición, editorial Pearson, México 2007.

Para recordar y aplicar