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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS. NIVEL 11

TALLER N º 10 SERIES Y REGLAS MULTIPLICATIVAS INTRODUCCIÓN: De acuerdo a una vieja fábula, el rey hindú Shirham concedió una dádiva al Gran Visir Sissa Ben Dari por haber inventado el ajedrez. Sabiendo que éste se juega sobre un tablero de 64 cuadrados. Sissa se dirigió al rey diciéndole: “Majestad, dadme un grano de trigo para colocar en el primer cuadrado, dos para colocar en el segundo, cuatro granos de trigo para colocar en el tercero y ocho para poner en el cuarto y así, ¡Oh Rey!, dejadme cubrir cada uno de los 64 cuadrados del tablero” “¿Y, eso es todo lo que deseas, Sissa?”, exclamo el rey estupefacto. “Oh, Señor”, repuso Sissa “he pedido más trigo que el que hay en todo vuestro reino, más aún, más trigo que el que hay en todo el mundo, en verdad, suficiente para cubrir toda la superficie de la Tierra hasta una altura igual a la vigésima parte de un codo” ( La vigésima parte de un codo es aproximadamente 1 pulgada = 2.5 cm.) Ahora bien, el número de granos de trigo que Sissa pedía es 264-1. RESEÑA HISTORICA

Pues la historia es la siguiente: estaba Carl Friedrich Gauss allá por el año 1787 en la escuela. Tenía unos 10 años de edad. Con esa edad pasó lo que tenía que pasar, todos los niños empezaron a tirarse papeles, tizas, etc.

En ese momento apareció el profesor y furioso que estaba, ordenó a todos los niños como castigo, que le sumaran todos los números del 1 al 100.

El profesor debió pensar: ¡que idea mas buena he tenido!. ¡Durante un buen rato, me dejarán todos estos mocosos en paz!.

A los pocos minutos, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta: 5050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma pedida era 5050.

No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un computador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia, y los matemáticos no calculan: piensan...

Lo que hizo Gauss fue lo siguiente:

Tenía que sumar los siguientes números:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+.....................................+95+96+97+98+99+100

Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo siguiente:

(1+100)=101; (2+99)=101; (3+98)=101; (4+97)=101; etc.

Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50 pares con esa propiedad, 50 X 101 =5050.

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Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.

OBJETIVO GENERAL: Deducir el término general de una situación dada. TEORÍA

PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Una sucesión es una progresión aritmética, si cada término se obtiene del anterior sumándole un

número fijo d, llamado diferencia de la progresión.

CÁLCULO DE UN TÉRMINO CUALQUIERA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Sea la progresión aritmética: a1, a2, a3 …………… an-2, an-1, an.

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a2 + 2d

a4 = a3 + 3d

Sucesivamente se llega al término que ocupa el lugar n y se obtiene que: an = a1 + (n – 1)d PROPIEDAD: En una progresión aritmética finita la suma de los términos equidistantes de los

extremos es igual a la suma de los extremos.

Por ejemplo en la progresión aritmética: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31. Se tiene que: 3 + 31 = 34;

7 + 27 = 34; 11 + 23 = 34; 15 + 19 = 34.

SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA:

Utilizamos la propiedad anterior para deducir una fórmula que nos permita encontrar la suma de

n términos de una progresión aritmética (Sn).

Sn = a1 + a2 + a3 + ……………………… + an-2 + an-1 +an

Sn = an + an-1 +an-2 + ............................ + a3 + a2 + a1

Sumando estas dos igualdades, tenemos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + …………… +(an-2 + a2) + (an + a1)

Aplicando la propiedad se llega a: 2Sn = n(a1 + an)

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)( 1 n

n

aanS

+=

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1. ¿Cuál es la suma de los números desde 1 hasta 100?

A. 1050 B. 5050 C. 3024 D. 10250

2. ¿Cuál es la suma de los números desde 1 hasta 200? A. 10200 B. 30400 C. 20100 D. 10100

3. Una expresión con la cual es posible determinar la suma desde 1 hasta un número entero n, es: A. (2n+1)n

B. 2

)1(2 −nn

C. 2

)1( +nn

D. 2

)1)(1( +− nn

Responder las preguntas 4 y 5 de acuerdo con la siguiente información: Las figuras A, B, C, D muestran el número de líneas que pueden trazarse cuando se tienen 2, 3, 4, 5 puntos respectivamente, tales que en ninguna de ellas hay 3 puntos alineados.

4. El número de líneas que pueden

trazase cuando se tienen 8 puntos es:

A. 14 B. 20 C. 25 D. 28

5. Un expresión que permite determinar el número de líneas que pueden trazarse cuando se tienen n puntos, donde n = 2, 3,4, 5, 6, 7…………… es:

A. 2

)12( −nn

B. 2

)1( −nn

C. 2

12 +n

D. 2

)2( −nn

Responder las preguntas 6 a 8 con la siguiente información:

Como se muestra en la figura, es posible construir cuadrados con fósforos. Usamos 7 fósforos para construir 2 cuadrados y 10 para construir 3.

6. ¿Cuántos fósforos se necesitan para construir 20 cuadrados? A. 60 fósforos B. 61 fósforos C. 70 fósforos D. 79 fósforos.

7. ¿Cuántos cuadrados es posible construir con 28 fósforos? A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

8. Una expresión que permite determinar el número de fósforos necesarios para construir n cuadrados, es:

A. 2

)1( +nn

B. 2n(n-1) C. 3n+1

D. 2

13 +n

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Responder las preguntas 9 y 10 de acuerdo a la siguiente información:

Es posible construir triángulos con fósforos. Usamos 3 fósforos para construir 1 triangulo y 5 fósforos para construir 2 triángulos.

9. ¿Cuántos fósforos se necesitan para construir 18 triángulos? A. 28 fósforos B. 29 fósforos C. 37 fósforos D. 43 fósforos.

10. ¿Cuántos triángulos es posible construir con 51 fósforos? A. 25 B. 30 C. 33 D. 35

11.

Es posible encontrar la cantidad de fósforos que se necesitan para armar la n-èsima figura de la serie anterior que se muestra mediante la siguiente expresión: 3n+(n-1). En esta expresión, ¿qué expresa el término (n-1)?

A. El número de fósforos que se disponen así:

B. El número de fósforos que se

disponen así:

C. El número de fósforos que se

disponen así:

D. El número de fósforos dispuestos así:

12. A Camilo, Julián y Ángela Patricia les gusta construir tetraedros (en este caso, pirámides triangulares) con pelotas de plástico.(¿Cómo logran mantener sus pirámides erectas?. Es un secreto). Están pensando construir un tetraedro (pirámide triangular). Hay 9 pelotas en cada lado de la fila inferior. ¿Cuántas pelotas tendrá la pirámide terminada?

A. 166 B. 165 C. 169 D. 170

13. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena más que a la hora exacta? A.156 B.126 C.275 D:128 14. Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando 5 dólares la primera semana, 8 dólares la segunda semana, 11 dólares la tercera semana y así sucesivamente. ¿Cuál es el costo de la deuda? A. 1250 B. 1648 C. 15800 D. 12300 15. Un obrero arregla un muro con 5 ladrillos, cobrando un dólar por el primero, 2 dólares por el segundo, 4 dólares por el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos serán los honorarios del obrero? A. 8 dólares. B. 16 dólares C. 25 dólares D. 31 dólares. 16. Si para perforar un pozo de 7 metros de profundidad, se pidiera 1 dólar por el primer metro, 2 dólares por el segundo, 4 dólares por el tercero y así sucesivamente. ¿Cuánto se cobrará por la perforación? A. 529 dólares B. 281 dólares C. 127 dólares D. 54 dólares. 17. ¿Cuántas parejas de conejos se sacan de una pareja inicial, en el transcurso de un año sabiendo que cada pareja produce otra pareja cada mes y las conejas pueden parir a los dos meses de nacidas? A. 251 B. 376 C. 325 D. 215

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REGLAS MULTIPLICATIVAS INTRODUCCIÓN:

Otra forma notable en la que aparece 264 es al calcular el número de los antepasados de cada persona, desde el comienzo de la Era Cristiana (precisamente alrededor de 64 generaciones.). En este lapso, suponiendo que cada persona tiene dos padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, etc., cada persona tiene, por lo menos 264 antepasados, o sea poco menos de dieciocho y medio trillones de parientes!. TEORÍA. En muchos problemas interesa saber de cuantas maneras es posible realizar determinado proceso, sin necesidad de especificar cada una del ellas.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Si una operación requiere dos etapas para completarse y una de esas etapas puede hacerse de n maneras y por cada una de estas la segunda etapa puede hacerse de m maneras entonces la operación tiene n.m maneras de realizarse. EJERCICIOS:

Responder las preguntas 1 a 3 de acuerdo con la siguiente información: Para ir de A a C, es necesario pasar por B; hay tres rutas distintas entre A y B y cuatro rutas distintas entre B y C. 1. ¿De cuántas maneras puede una persona hacer un viaje de A a C? A. 10 B. 7 C. 12 D. 18 2. ¿De cuántas maneras puede una persona hacer un viaje de ida y vuelta de A a C? A. 14 B. 144 C. 24 D. 18 3. ¿De cuántas maneras puede una persona hacer un viaje de ida y vuelta de A a C sin repetir ruta? A. 12 B. 144 C. 24 D. 72 4. En un estudio médico se clasifica a los pacientes de 8 formas, de acuerdo a si tienen sangre de tipo AB+, AB-, A+, A-, B+, B-, O+, O- y también de acuerdo a su

presión arterial si es baja, normal o alta. El número de formas en la que un paciente pude ser clasificado es: A. 11 B. 24 C. 120 D. 110 5. Un estudiante de primer semestre de universidad debe tomar un curso de ciencias, uno de humanidades y uno de matemáticas. Si es posible elegir entre 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemáticas. ¿De cuántas formas diferentes pude elaborar el estudiante su horario? A. 14 B. 24 C. 96 D. 84 6. El testigo de un accidente de tránsito en el que el causante se dió a la fuga le dijo a la policía que las placas del automóvil tenía las letras ELN seguidas de tres dígitos, el primero de los cuales era un 3, si el testigo no puede recordar los últimos dígitos, pero está seguro que todos los dígitos eran diferentes, el número de registros de automóviles que la policía tendrá que revisar es: A. 56 B. 81 C. 72 D. 64

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7. ¿De cuántas maneras diferentes es posible contestar una prueba de verdadero y falso que consta de 5 preguntas? A. 120 B. 25 C. 64 D. 32 Responder las preguntas 8 y 9 de acuerdo con la siguiente información: Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una de ellas con 4 respuestas posibles,, de las cuales sólo una es la correcta. 8. ¿De cuántas formas diferentes puede un estudiante asignar una respuesta a cada pregunta? A. 1024 B. 20 C. 64 D. 243 9. ¿De cuántas maneras diferentes puede un estudiante asignar una respuesta a cada una de las preguntas y tener todas las respuestas equivocadas? A. 1024 B. 243 C. 184 D. 118 10. El número de formas en el que se pueden asignar 6 maestros a 4 secciones de un curso introductorio de sicología, si a ningún maestro se le puede asignar más de una sección es: A. 270 B. 360 C. 256 D. 1296 Responder las preguntas 11 a 14 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 1, 2, 3, 4, 5 11. ¿Cuántos números de tres dígitos distintos pueden formarse? A. 125 B. 12 C. 60 D. 72 12. ¿Cuántos números impares de tres dígitos distintos pueden formarse? A. 36 B. 60 C. 10 D. 48 13. ¿Cuántos números pares de tres dígitos distintos pueden formarse?

A. 24 B. 64 C. 9 D. 36 14. ¿Cuántos números de tres dígitos distintos que comiencen 1 y terminen en 5 pueden formarse? A. 24 B. 3 C. 12 D. 36 Responder las preguntas 15 a 17 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 cuántos números de tres dígitos pueden formarse 15. Si cada dígito se puede utilizar una sola vez. A. 17 B. 180 C. 216 D. 228 16. Si los números son impares y cada dígito se puede utilizar una sola vez. A. 75 B. 216 C. 120 D. 210 17. Si los números son mayores que 330 y cada digito se puede utilizar una sola vez. A. 15 B. 90 C. 105 D. 120 Responder las preguntas 18 a 20 de acuerdo con la siguiente información: Con los números 1, 3, 5, 6, 7, 9 18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden formarse? A. 270 B. 1296 C. 1180 D. 360 19. ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos pueden formarse? A. 120 B. 216 C. 180 D. 228 20. ¿Cuántos números impares de cuatro dígitos pueden formarse? A. 150 B. 1080 C. 216 D. 1020

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GLOSARIO: Pulgada, Serie, Sucesiones, Progresión aritmética, Regla de formación, Pirámide, Tetraedro, Serie de Fibonacci, Dígito, Par, Impar.

BIBLIOGRAFÍA: • Lipschutz, S: Teoria y Problemas de probabilidad. Mc Graw-Hill. México.1971. • Walpole: Probabilidad y Estadística. Mc Graw-Hill. México. 1992 • Daniel, W: Bioestadística. Limusa. México.1987. • Newman, J: Matemática e Imaginación. Salvat Editores. Barcelona. 1987.