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UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES
CÓNICAS
Tutor: Autora:
Msc. José Tesorero Licda. Rina Flores
Bárbula, noviembre de 2015
ii
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES
CÓNICAS
Autora: Licda. Rina Flores
Tutor: Msc. José Tesorero
Trabajo de Grado presentado ante la dirección de estudios de postgrado de la Universidad de Carabobo para optar al Título de
Magíster en Educación Matemática.
Bárbula, noviembre de 2015
iii
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
AVAL DEL TUTOR
Dando Cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado de
la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ
TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303 en mi carácter de Tutor
del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL
APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA
FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de
MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo
reúne los requisitos y méritos suficientes para ser sometido a la presentación pública
y evaluación por parte del jurado examinador que se le designe.
En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince.
___________
Firma C.I:
iv
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
AUTORIZACIÓN DEL TUTOR Dando cumplimiento a lo establecido en el Reglamento de Estudios de Postgrado de
la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ
TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303, en mi carácter de tutor
del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL
APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA
FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de
Magister en Educación Matemática, hago constar que dicho trabajo reúne los
requisitos y meritos suficientes para ser sometidos a la presentación pública y
evaluación por parte del jurado examinador que se le designe.
En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince.
___________
Firma C.I:
v
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
INFORME DE ACTIVIDADES
Participante: Rina Flores Cédula de Identidad: 16.245.120
Tutor: Prof. José Tesorero Cédula de Identidad: 3.307.303
Correo electrónico del participante: [email protected]
Titulo del Trabajo: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE
SECCIONES CÓNICAS”
Línea de Investigación: Enseñanza, aprendizaje y evaluación de la educación
matemática.
Sesión Fecha Hora Asunto Tratado Observación
1 14/01/15 8am Titulo y Planteamiento -----------------
2 28/01/15 8am Objetivos y Justificación -----------------
3 04/02/15 8am Antecedentes y Bases Teóricas -----------------
4 18/02/15 8am Metodología e Instrumento -----------------
5 11/03/15 8am Instrumento y Confiabilidad -----------------
7 18/03/15 8am Análisis de Resultados -----------------
8 01/04/15 8am Propuesta -----------------
9 15/04/15 8am Conclusiones/Recomendaciones -----------------
Declaramos que las especificaciones anteriores representan el proceso de dirección
del Trabajo de Grado.
Tutor Participante C.I: 3.307.303 C.I:16245120
vi
Agradecimientos
A Dios Todopoderoso, por bendecir cada mañana y enseñarme que no existen fracasos solo aprendizajes. Por hacerme entender que no
estaba sola y que cada día es un nuevo comienzo para hacer las cosas distintas.
A La Virgen Milagrosa, por alimentar mi espíritu en cada momento y cuidar de mis seres queridos.
A Mis Padres, por darme la vida y sembrar en mí los valores de respeto, trabajo, dedicación y perseverancia.
A la Magna Universidad de Carabobo, por ser cobija de mis aprendizajes y el guía de cada meta.
A mi Profesor José tesorero, este logro no fue posible sin su ayuda y su calidad humana me permitió aprender que cada persona tiene
diferentes ritmos de vida, espero que se sienta orgulloso y decirle que no lo voy a defraudar, seguiré aplicando todo lo que me enseño.
A mis Hermanos, Rolando y Ronald que día a día están a mi lado ayudándome en cada meta que abordo y han secado cada lagrima
desprendida.
A mis Sobrinos, Michel, Edison, Ronaldo y Rosmelis por llenar nuestra casa de alegría y por encontrar en tía el ejemplo que deben superar.
A mis Estudiantes, Antoni, María, Carlos, Yadira, Rossana, Ruthbeli, Luis y Eliezer por su colaboración y entusiasmo en cada clase la cual
me compromete en mi labor.
A mi Hermosa Hija, por confiar en mamá y entender a tu temprana edad que mami está esforzándose para darte un futuro como el que te
mereces. Te amo inmensamente y cada lucha en mi vida lleva tu nombre escrito Valeria Isabel.
A todos gracias de corazón…
vii
Dedicatoria
Por derramar sus bendiciones sobre mi y llenarme de su fuerza para vencer todos los obstáculos.
A Dios. A mis profesores que en este andar por la vida, influyeron con
sus lecciones y experiencias en formarme como una persona de bien y preparada para los retos que pone la vida, a todos y cada uno de ellos les dedico cada una de estas páginas de mi Trabajo de Grado.
Mis Profesores.
Con todo mi cariño y mi amor a mi familia que hicieron todo en la vida para que yo pudiera lograr mis sueños, por motivarme y darme la mano cuando sentía que el camino se terminaba, a ustedes por siempre mi corazón y mi agradecimiento.
Mi Padre, Madre, Hermanos y Sobrinos.
Posiblemente en este momento no entiendas mis palabras, pero para cuando seas más grande, quiero que te des cuenta de lo que significas para mí. Eres la razón por la cual me levanto cada momento para esforzarme por el presente y el mañana, eres mi principal motivación, por eso y mil razones más te dedico este logro que es tuyo también. Te amo infinitamente.
Mi Valeria Isabel.
viii
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES
CÓNICAS
Autora: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero.
Año: 2015
RESUMEN
El propósito fundamental de esta investigación consistió en realizar un diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones cónicas de los estudiantes del sexto semestre de Geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, utilizando los cambios de registros algebraicos a geométricos y viceversa. El estudio se fundamenta en la Teoría de Raymond Duval (1988). La metodología, se enmarcó en la modalidad de proyecto factible, con diseño descriptivo y de campo. Se realizó dicha investigación con una muestra de 13 estudiantes los cuales representan un 72% del total de los estudiantes de la asignatura, ya que el resto de los estudiantes que pertenecen a la población se utilizó para realizar el estudio de confiabilidad del instrumento aplicado logrando un coeficiente de 0,92. El instrumento de recolección de datos se encuentra organizado de forma cerrada y por selección de 4 opciones de respuesta de las cuales se reduce a una correcta y tres incorrecta en cada ítem. Luego se resumieron los resultados en cuadros y gráficos estadísticos en los que se observó una discrepancia en cuanto al reconocimiento entre registros algebraicos y geométricos y viceversa. Todo lo antes expuesto evidenció la problemática y las razones para la construcción del diseño instruccional la cual está constituido por sesiones de contenido y cada sesión contempla los indicadores necesarios para lograr el avance paulatino en la comprensión de cada cónica. Línea de Investigación: Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación de la Educación Matemática. Palabras Clave: Diseño Instruccional, Secciones Cónicas, Registros Algebraicos y Registros Geométricos. Temática: Proceso de enseñanza y aprendizaje en los diferentes niveles y modalidades de la Educación Matemática.
ix
UNIVERSITY CARABOBO FACULTY OF EDUCATION SCHOOL OF EDUCATION
GRADUATE ADDRESS MASTERS DEGREE IN MATH EDUCATION
INSTRUCTIONAL DESIGN FOR LEARNING CONIC SECTIONS
Author: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero.
Year: 2015
ABSTRACT
The fundamental purpose of this research consisted of making a instructional design for learning of conic sections of students the sixth semester of Geometry II of the Faculty of Sciences of the Education of the University of Carabobo, using the changes of algebraic records to geometric and vice versa. The study is based in the Theory of Raymond Duval ( 1988). The methodology , was framed in the modality of feasible project , with descriptive and field design . This research was conducted with a sample of 13 students who represent 72 % of all students of the subject , since the rest of the students who belong to the population used for the study of reliability of the instrument applied achieving 0.92 coefficient . The instrument of data collection is organized in a closed and choice of 4 possible answers of which is reduced to a correct and three incorrect on each item. Then the results were summarized in statistical tables and graphs showing a discrepancy in the recognition between algebraic and geometric observed records and vice versa . All the above showed the problems and the reasons for the construction of instructional design which consists of content sessions and each session includes the indicators needed to achieve gradual progress in understanding each cone.
Research Line : Teaching, Learning and Assessment of Mathematics Education. Key Words: Instructional Design, Conic Sections, algebraic records and geometric records. Topic: teaching and learning process in the various levels and modalities of Mathematics Education.
x
INDICE GENERAL
Pág.
PRELIMINARES…………………………………………………………. iii
AGRADECIMIENTOS…………………………………………………… vii
DEDICATORIA…………………………………………………………… viii
RESUMEN……………………………………………………………….… x
ABSTRACT……………………………………………………………….. xi
INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 15
1. EL PROBLEMA.……..………………………………………………... 18
1.1. Planteamiento y Formulación del Problema……………………….. 18
1.2. Objetivo General…………………………………………………… 24
1.3. Objetivos Específicos………………………………………………. 24
1.4. Justificación de la Investigación…………………………………… 25
2. MARCO TEÓRICO…………………………………………………… 28
2.1. Antecedentes de la Investigación...………………………………… 28
2.2. Fundamentos Teóricos……………………………………………... 31
2.2.1. Registros de representación, comprensión y aprendizaje…… 31
2.2.2. Diseño Instruccional………………………………………… 33
2.3. Definición de Términos Básicos…………………………………… 35
3. MARCO METODOLÓGICO………………………………………… 37
3.1. Tipo y Diseño de Investigación……………………………………. 37
3.2. Población y Muestra de Estudio…………………………………… 38
xi
3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos………………....... 38
3.4. Validación y Confiabilidad del Instrumento……………………….. 39
4. RESULTADOS 41
4.1 Análisis e Interpretación de los Resultados………………………… 41
4.2. Conclusiones del Diagnóstico……………………………………… 56
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 57
5.1. Conclusiones……………………………………………………….. 57
5.2. Recomendaciones………………………………………………….. 59
6. LA PROPUESTA………………………………………………………. 61
6.1. Presentación y Justificación de la Propuesta………………………. 61
6.2. Objetivo General de la Propuesta………………………………….. 62
6.3. Objetivos Específicos de la Propuesta……………………………... 62
6.4. Descripción de la Propuesta………………………….…………….. 63
6.5. La Propuesta………………………………………………………... 65
APÉNDICES…………………………………............................................. 138
Anexo A………………………………………………………………... 140
Anexo B………………………………………………………………... 145
Anexo C………………………………………………………………... 148
Anexo D………………………………………………………………... 151
Anexo E………………………………………………………………... 154
Anexo D………………………………………………………………... 155
REFERENCIAS………………………………………………………........ 156
xii
INDICE DE TABLAS DE DISTIBUCIÓN
Tabla de Distribución 1.1…………………………………………………. 42
Tabla de Distribución 1.2…………………………………………………. 42
Tabla de Distribución 2.1…………………………………………………. 43
Tabla de Distribución 2.2…………………………………………………. 43
Tabla de Distribución 3.1…………………………………………………. 44
Tabla de Distribución 3.2…………………………………………………. 44
Tabla de Distribución 4.1…………………………………………………. 45
Tabla de Distribución 4.2…………………………………………………. 45
Tabla de Distribución 5.1…………………………………………………. 46
Tabla de Distribución 5.2…………………………………………………. 46
Tabla de Distribución 6.1…………………………………………………. 47
Tabla de Distribución 6.2…………………………………………………. 47
Tabla de Distribución 7.1…………………………………………………. 48
Tabla de Distribución 7.2…………………………………………………. 48
Tabla de Distribución 8.1…………………………………………………. 49
Tabla de Distribución 8.2…………………………………………………. 49
Tabla de Distribución 9.1…………………………………………………. 50
Tabla de Distribución 9.2…………………………………………………. 51
Tabla de Distribución 10.1………………………………………………... 52
Tabla de Distribución 10.2………………………………………………... 52
Tabla de Distribución 11.1………………………………………………... 53
Tabla de Distribución 11.2………………………………………………… 53
Tabla de Distribución 12.1………………………………………………... 54
Tabla de Distribución 12.2………………………………………………... 54
Tabla de Distribución 13………………………………………………….. 55
xiii
INDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 1…………………………………………………………………… 42
Gráfico 2…………………………………………………………………… 43
Gráfico 3…………………………………………………………………… 44
Gráfico 4…………………………………………………………………… 45
Gráfico 5…………………………………………………………………… 46
Gráfico 6…………………………………………………………………… 47
Gráfico 7…………………………………………………………………… 48
Gráfico 8…………………………………………………………………… 49
Gráfico 9…………………………………………………………………… 50
Gráfico 10………………………………………………………………….. 51
Gráfico 11………………………………………………………………….. 52
Gráfico 12………………………………………………………………….. 53
Gráfico 13………………………………………………………………….. 54
INTRODUCCIÓN
Ser educador implica no solo dominar un contenido específico e impartir una
clase magistral. El educador en la actualidad cumple con roles de investigador,
facilitador, administrador, evaluador y planificador de las actividades a desarrollar
con los educandos durante el proceso de enseñanza y aprendizaje. La actividad
involucra al educador en el desarrollo de los individuos que están a su cargo, y de una
manera integral, se debe ser participes de la formación intelectual y académica de
ellos y además buscar que dicho estudiante obtenga una continuación en su proceso
educativo.
Por otra parte las Facultades donde se imparte la Educación Matemática de las
Universidades Venezolanas, son las instituciones, que tienen la responsabilidad de
formar a los formadores del mañana, y son dichas instituciones las que deben ser seno
de discusiones para mejorar el rendimiento académico en las asignaturas propias al
desarrollo del pensamiento.
Bajo este marco de ideas se evidencian las razones por la cual se realizá el
estudio, describiéndose de la siguiente manera:
En el Planteamiento del Problema, se relata las razones por la cual se
evidencia la problemática desde hace años y además el eje focal que presentan las
secciones cónicas dentro de la geometría II. Los egresados de educación matemática
deben ser los pioneros en el uso de cambios de registros pues solo así se consolida el
aprendizaje en los estudiantes y por ende los futuros formadores. En cuanto a las
asignaturas de la matemática deben poseer la capacidad de relacionar contenidos que
imparten con resolución de problemas en la cotidianidad.
En el Marco Teórico, se evidencia las diversas investigaciones fundamentadas
en la teoría de Duval sobre los cambios de registros para la aprehensión del
conocimiento y la verificación de dichos tratamientos sobre ecuaciones y lugares
geométricos. Duval hace énfasis entre el objeto matemático y sus posibles
representaciones, es decir, un objeto matemático obtiene diversas manifestaciones de
representación, y a su vez cada representación asume un conjunto de criterios propios
de su escritura. En otras palabras cada cambio de registro o representación genera una
pluralidad de resolución de ejercicios y además trae consigo explotar en el individuo
su potencialidad en la construcción de alternativas de solución. De esta manera es que
se conciben las actividades cognitivas inherentes a la Semiosis y a la capacidad de
expresar una representación mental y hacerla real, a su vez producir representaciones
distintas a la inicial de forma espontanea.
En el Marco Metodológico, se enmarca en la modalidad de proyecto factible
bajo un apoyo descriptivo y de campo, donde se analizó el conocimiento de los
estudiante referente a las secciones cónicas y como relacionan las vertientes de
registros. Además se señala la estructura del instrumento de selección entre cuatro
opciones de respuesta. La muestra es representada por 13 estudiantes entre el turno
diurno y nocturno, es decir, un 72% de muestra representativa; ya que dentro de la
población se seleccionaron 5 estudiantes los cuales se les aplicó la prueba piloto para
determinar la confiabilidad del instrumento, la cual alcanzó un rango de 0,92,
ubicándose en un nivel muy alto de satisfacción estadísticamente.
En el Análisis e Interpretación de los Resultados, se aplicó procedimientos
estadísticos para presentar los datos en forma de cuadros y gráficos, para lograr un
análisis cuantificable de cada dimensión de la variable de aprendizaje.
Evidenciándose en cada ítems de la prueba que existe un alto porcentaje de dificultad
para encontrar el lugar geométrico dada la gráfica pero más alto es el índice cuando
19
se parte de la gráfica alcanzando hasta un 77% en desaciertos en cuanto a las
respuestas presentadas en el muestreo por cada dimensión. Debido a estos resultados
se evidenció la necesidad de elaborar la propuesta de un material instruccional sobre
secciones cónicas para los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de
la Universidad de Carabobo.
La Propuesta, se encuentra organizada por 5 sesiones que intentan facilitar e
incentivar el potencial de cada curva cónica; resaltando todas las vertientes que la
definen, elementos algebraicos, elementos geométricos, incorporación de
conocimientos previos para obtener nuestras estructuras algebraicas y geométricas y
además una incorporación a la cotidianidad donde se enfatiza la relación inseparable
y complementaria de los registros algebraicos y geométricos. Por otra parte se
muestra como apéndices los pre-requisitos, definiciones y soluciones a todo lo
presentado en cada sesión de aprendizaje, y posteriormente se presenta una
autoevaluación con la finalidad de verificar el aprendizaje consolidado.
Todo lo antes expuesto señala la factibilidad de dicho módulo de aprendizaje
y la necesidad de incorporarlo al sistema educativo como una posibilidad de
concebirlo como guía de estudio y avance a las clases de geometría II; para encontrar
una aprehensión de las definiciones de cada sección cónica de acuerdo con la
exigencia oficial que se requiere en estudiantes universitarios.
20
1. EL PROBLEMA
1.1 Planteamiento y Formulación del Problema
La educación constituye la base fundamental del desarrollo holístico de una
nación y tiene por objetivo esencial proporcionar a todo individuo los conocimientos
y competencias necesarias para que pueda integrarse a la sociedad y participar en ella
de manera eficiente y productiva, tanto para su propio beneficio como para que pueda
contribuir al desarrollo y progreso de la sociedad misma. Así la proyección universal
de la educación, tanto científica y tecnológica como humanista, es de preparar a los
individuos para la vida en los aspectos fundamentales que requiere su colectividad.
En otro orden de ideas, la sociedad actual está marcada por la tecnología, la
información y el conocimiento, situación donde se antepone la matemática como
elemento clave en el sistema educativo, por considerarla ciencia fundamental de todo
saber científico y tecnológico en la que se reconoce su importancia como la única
asignatura capaz de desarrollar el pensamiento de los estudiantes de una forma
constructiva y crítica.
Asimismo, se considera que las competencias matemáticas son pilares básicos
de la educación sistemática en todo el mundo. Aun cuando, a nivel global los
esfuerzos pedagógicos por masificar el potencial matemático de los estudiantes han
sido reportados frecuentemente ineficientes, con excepción de algunos países como
Japón, China, Taiwán, Corea y Singapur, y de algunos pocos países europeos como
Hungría y Alemania, hay preocupación por los resultados de la educación matemática
escolar. Esto se observa en Program for International Student Assessment (Pisa,
2009), donde se estableció la media ponderada de (500 puntos) como el promedio
21
evaluado; por encima de dicho promedio se situaron 20 países y el resto por debajo,
con un total de cincuenta y siete (57) países participantes y entre ellos se ubicaron
países latinoamericanos, los cuales solo presentaron un promedio de 394 puntos
ubicándose por debajo del promedio general de la evaluación, mostrando así las
debilidades en la educación matemática lo que obstaculiza el desarrollo científico de
un país.
Al mismo tiempo, la situación en Latinoamérica es aún más grave, en el
informe de Programa de Promoción de la Reforma Educativa en América Latina
(PREAL, 2009), donde se presenta tal situación como un estado de cantidad y no de
calidad, en dicho informe se estudian situaciones políticas, económicas, sociales y
académicas; expresando la situación alarmante de los conocimientos matemáticos
básicos para el desenvolvimiento de un ciudadano eficaz. En este orden de ideas, es
necesario atender la necesidad prioritaria en cuanto a lo educativo aunque cada país
presente diferencias y situaciones problemáticas de diversas índoles.
De la misma manera, Venezuela no se escapa a esta realidad, donde la
situación de cambios educativos en la última década ha proporcionado una revisión
interna permanente del sistema educativo y no se conocen cifras referenciales de
comparación con otros países. Sin embargo, es importante destacar que en todos los
ensayos de reformas educativas la matemática constituye una de las bases
pedagógicas primordiales y necesarias a fin de potenciar la ciencia y la tecnología
nacional para reducir a mediano plazo la dependencia de los polos de desarrollo. A
pesar de los esfuerzos, los registros de evaluación del desempeño matemático de los
estudiantes presentan indicadores negativos en bajo rendimiento, repitencia y
disminución de la matrícula en estudios de matemáticas o carreras afines.
Según Vidales (2009), “la matemática dentro del sistema educativo se ha
convertido en un factor de deserción escolar y de exclusión en todos los niveles,
22
iniciando desde la básica y generando una debilidad “in crescendo” a medida que
escala de nivel escolar” (p. 177), es decir, que el individuo que ingresa a un estudio
universitario afín con la asignatura de matemática, paradójicamente no posee un
conocimiento bien sólido y maduro, lo que impide la capacidad de abstraer con
facilidad lugares geométricos.
De la misma manera, hace referencia Grande (2013), donde manifiesta que
muchos docentes de educación superior necesitan realizar bloques de contenidos de
repaso pues las deficiencias geométricas, aritméticas y hasta para análisis son
elevadas y hasta poco significativas para iniciar el contenido programático de la
asignatura que se desea impartir.
Todo lo antes expuesto ha llevado a una movilización de la educación
matemática desde los primeros años de inicial hasta las universitarias, a través de
talleres que se articulan en mesas de trabajo donde muestran un recordatorio de
estrategias y métodos de enseñanza y aprendizaje así como mecanismo de evaluación;
ya que el docente actualmente se ha focalizado en su mayoría en una sola estrategia,
método y hasta minimiza la evaluación a un conjunto único, expresado por Mora,
(2003).
Según Duval (1998), considera que la problemática de la educación
matemática se encuentra en la particularidad del aprendizaje que hace estas
actividades requieran de la utilización de sistemas de expresión y de representación
distintos a los del lenguaje natural o de las imágenes por ejemplo: planos cartesiano,
diagramas, ecuaciones, polinomios proposicionales, entre otros que son considerados
paralelos al lenguaje natural de comunicación, y que si no se comprueba una relación
estrecha entre dichos lenguajes comunicativos entonces se hace evidente los vacios de
conceptualización de las definiciones matemáticas.
23
Intrínsecamente al estudio de la matemática, se encuentra la geometría como
eje integrador del entorno del ser humano y las definiciones matemáticas, dicho
estudio origina la posibilidad de interactuar con el espacio y la comprensión del
mismo. Es por esta razón, que la geometría recauda importancia al ojo de muchos
observadores, lo cual evidencia un alto índice de aplazados sobre todo en el contenido
de secciones cónicas en reiteradas universidades (Padrón, 2006).
Es decir, los estudiantes evidencian déficit en la comprensión de sus
contenidos sobre todo en el contenido de secciones cónicas, la cual se considera
centro de la geometría pues estas maravillas de curvas han sido catapulta del
desarrollo de muchas construcciones y hasta demostraciones de movimientos
planetarios, y sin embargo se evidencia cruelmente en los estudiantes debilidades en
cuanto a los elementos de la sección cónica, característica, ecuaciones y además
inhabilidad para ajustar cierto contenido a la resolución de problemas (Grande, 2013).
Dentro de las secciones cónicas, existen dos problemas fundamentales el
algebraico y el geométrico (Lehmann, 1980), es decir, se hacen planteamientos de
ejercicios desde un registro algebraico para hallar el geométrico y viceversa; pero en
su mayoría los estudiantes tienden a no darles importancia al gráfico pues consideran
que es innecesario y por esta razón lo trazan con cierta negligencia sin considerar que
esa representación gráfica le proporciona alternativas de solución y hasta en
ocasiones evidencia complementos necesarios para la decisión de una solución; o por
otro lado el gráfico no es de carácter preciso y no son suficientes para hallar la
formalidad de una comprobación lógica y mucho menos para considerarlo una
resolución incluso hasta en representaciones donde sean evidente sus soluciones,
(Bravo, Martínez y Valdes, 2005).
De lo antes expuesto, Gascón (1998), señala lo siguiente:
24
Esta disparidad existente entre un registro algebraico y un registro geométrico, son los que inician un vacio dentro de la comprensión de las secciones cónicas de una forma significativa, dejando al estudiante sin motivación a la comprensión de dicha estructura y además mutilando así la posibilidad de que el estudiante resuelva problemas de su cotidianidad que se fundamentan en la construcción o representación de una sección cónica, por ejemplo, no reconocería la importancia de la parábola dentro de la construcción de un puente o no reconoce la importancia de una circunferencia en la tapa de un acueducto hidroeléctrico en medio de una carretera… (p. 32).
Como puede entenderse, las representaciones gráficas de una sección cónica
alcanzan un 64% de aciertos, y además el estudiante se siente en comodidad para
establecer alternativas de solución; mientras que hallar la ecuación dado el lugar
geométrico, inicia una limitación dentro del proceso de alternativas de resolución,
además de un bajo incide de aciertos (Gascón, 1998).
Esta situación acarrea un sin fin de vacios en la consolidación de las
definiciones sobre secciones cónicas como por ejemplo no reconocería una parábola
en un puente, los elipses en domos, hipérbolas en las ondas de radiofrecuencias, es
decir el estudiante no reconocería con exactitud la presencia de dichas secciones
cónicas en fenómenos naturales y sobre todo en los arquitectónicos las cuales
merecen una exactitud hasta del decimal posicional para lograr la belleza y limpieza
en una construcción.
Sin ir muy lejos de la realidad existente, una de las grandes debilidades de no
explorar la temática de secciones cónicas a través de cambios de registro algebraicos
y geométricos es que el profesorado que se desarrolla presenta dificultad para
desarrollar planteamientos y ejercicios en torno a un proyecto de aprendizaje de aula
apegado a los principios educativos que hoy en día se exigen dentro del sistema
educativo Venezolano, MPPE (2009).
25
Es decir, el actual y futuro profesional de la educación matemática debe
responder a las necesidades escolares, desde su trinchera reconocer secciones cónicas
en su entorno para reescribirlas en un lenguaje matemático, para reestructurarla o
modificarla o simplemente crear un proyecto en papel que solucione una situación
real, es decir plantear en papel una sección cónica con características solidas para
hacerlo realidad. Ambas situaciones ameritan un mismo contenido y sin embargo los
algoritmos de solución están libres para que cada estudiante suministre su alternativa
de solución y para que cada profesional de la docencia los incorpore de acuerdo a su
nivel escolar que este laborando.
En otras palabras, los conceptos matemáticos son abstractos, por lo que es
necesaria una representación con símbolos para existir con un conjunto de reglas para
que sea entendido por un universo de personas. Pero es necesario una conversión
entre una representación a otras para una finalidad didáctica dentro del aula de clase
(Dorofeiev, 1973). En otras palabras, es necesario que el docente de matemática
extraiga de su entorno una sección cónica y la plantee de manera tan sencilla que el
resto de las asignaturas también se incorporen de forma natural llegar al fin último
que se requiere que es llevar a cabo el proyecto de aula.
En decir, los estudiantes no aprenden la vinculación en cuanto a la ecuación y
gráfica de las secciones cónicas porque no abordan ejercicios desde el punto de vista
vinculativo de registros, como bien se diría resolver ejercicios donde se de la
ecuación y se desea obtener la representación gráfica, y luego realizar ejercicios
donde se muestre la representación gráfica para hallar la ecuación. Esta situación
desprende el desconocimiento de un sin fin de propiedades que obedecen a las
propias construcciones de la definición de dicha sección cónica y además la ausencia
de dichos cambios de planteamiento de los ejercicios crea alternativas de solución
rutinarias, aparte de que el estudiante se encierra y no interactúa con los compañeros
26
para generar alternativas de solución novedosos y capaces de comprobar sus
soluciones.
Todo lo antes expuesto se hace evidente en los estudiantes del sexto semestre
de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, los cuales
indican desaciertos en construcciones algebraicas a partir de lugares geométricos, así
como un alto grado de incomodidad por este tipo de ítems presentados en las
evaluaciones, e indicando una posible disparidad entre los registros algebraicos y
geométricos en torno a la misma sección cónica, mutilando la posibilidad de ejercitar
la perspicacia innata de los estudiantes de dicho semestre así como alejarse del riesgo
de estimular el pensamiento abstracto para una mejor retención en la posterior
geometría analítica. De hecho se muestra la dificultad de que el estudiante muestre
una fluidez acertada en su labor profesional en cuanto a la construcción de proyectos
de aula, (CEMAFI).
En consecuencia estos planteamientos dan pie a la reflexión sobre la
oportuna utilización de los cambios de registros dentro de la asignatura geometría
surgiendo la interrogante, ¿proponer estrategias de aprendizaje en la asignatura de
geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, mejoraría el aprendizaje de
los estudiantes del sexto semestre de la Universidad de Carabobo sobre las secciones
cónicas?.
1.2. Objetivo General
Proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para
los estudiantes del sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de
Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.
27
1.3 Objetivos Específicos
1. Diagnosticar el conocimiento que poseen los estudiantes en el contenido
secciones cónicas en el sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad
de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.
2. Estudiar la factibilidad de un diseño instruccional para el aprendizaje de
secciones cónicas para los estudiantes del sexto semestre de geometría II de la
Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.
3. Diseñar instrucciones para el aprendizaje de secciones cónicas para los
estudiantes del sexto semestre de la asignatura geometría II de la Facultad de Ciencias
de la educación en la Universidad de Carabobo.
1.3. Justificación de la Investigación
Una de las dificultades del aprendizaje de la matemática son los docentes que
presentan los contenidos aislados de su desarrollo histórico y social, es decir
descontextualizados de la realidad y no se utilizan recursos que permitan un
acercamiento a los conceptos mediante la interacción de los diferentes procesos que
desarrollan la competencia matemática en los estudiantes. Es decir, los docentes de
dicha asignatura no evidencian con facilidad el contenido de sección cónica dentro
del desarrollo de un proyecto de aprendizaje de aula, siendo la geometría una de las
asignaturas de mayor interacción con el entorno espacial y el sujeto. (Gutiérrez,
2000).
De lo antes expuesto, se hace incuestionable la importancia de realizar la
investigación a nivel de formadores de la educación matemática para romper la utopía
28
que se ha observado desde la realización de proyecto de aulas la última década.
MPPE, (2000).
Desde hace dos décadas la teoría de la Semiosis ha cobrado protagonismo
pues se ha enfatizado en el estudio de cambios de registro y muy especialmente en la
asignatura de geometría, donde su naturaleza siempre presenta dos vertientes de las
resoluciones de ejercicios los cuales vienen fundamentados en un registro algebraico
y otro geométrico. Muchos de los egresados presentan dichas vertientes como
registros de representaciones distintas y poco relacionadas, sin embargo Duval las
relaciona desde cualquier punto de vista y desde cualquier característica dejando muy
en claro que ambos registros se encuentras estrechamente vinculados pero con
conjuntos de signos y criterios de representación distintos, y que respetando cada
conjunto de representaciones se obtiene un objeto matemático real expresado en
diversos lenguajes comunicativos.
Es decir, la representación en un sistema hace “visible” unas características
del objeto en estudio y no otras; así que, entre más sistemas de representación
“coordinados” tenga un objeto, su conocimiento matemático será más potente y más
complejo. (Rojas, 2013).
En el mismo sentido de prioridad se muestra las secciones cónicas, pues son
contenidos de carácter atractivo para las ciencias que desarrollan a un país y una
nación de forma científica y humanista. El estudio de curvas y ambos tratamientos
son las que aportan información suficiente sobre estados financieros dentro de una
empresa, construcciones, movimientos de piezas dentro de un circuito mecánico y
hasta posibles respuestas en cuanto al entendimiento del inesperado universo y sus
movimientos planetarios.
29
Por ende, se hace necesario que los docentes de matemática deben tener una
actitud reflexiva y crítica sobre sus prácticas que incluyan contextos en que se da la
“realidad” matematizable para aproximar a los estudiantes a los conceptos
matemáticos, pues las competencias matemáticas no se alcanzan por generación
espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por
situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles
de competencia más y más complejos. (Gutiérrez, 2000).
Otra razón fundamental para la realización de esta investigación es que el
cambio de registros algebraicos y geométricos se presentará como opción para
colocar tanto al profesor como al estudiante en una situación de mutuo aprendizaje y
de construcción de pensamiento matemático generando en el primero competencias
pedagógicas y disciplinares y en el otro, una visión diferente del uso de la matemática
dadas las necesidades actuales de esta sociedad, surge entonces como resultado de la
reflexión y exploración en este ámbito una unidad didáctica que plantea tres
situaciones problema diseñadas desde los principios de la educación matemática
realista. (Mejías, 1998).
En conclusión, dicha pesquisa persigue proponer una mayor productividad e
importancia en cuanto a los cambios de registros lo cual da pie para otras
investigaciones en diversas áreas del conocimiento y en todos los niveles educativos
pero más aun en niveles superiores en todas las carreras, pues solo desde la destreza y
dominio de los cambios de registro se puede lograr la masificación de las definiciones
que el docente desea enseñar en sus respectivas aulas, así como la explotación del
desempeño del estudiante mediante el estimulo para la búsqueda de alternativas de
solución.
30
2. MARCO TEÓRICO
Dentro del marco teórico se muestran las bases de las diversas teorías y
conceptos relativos a la didáctica de la geometría, que orienten el sentido del presente
estudio. Teniendo en cuenta estas consideraciones y el esencial carácter teórico
práctico del proceso de conocimientos, el cometido que cumplirá el marco teórico en
esta investigación, es situar al problema objeto de estudio dentro de un conjunto de
conocimientos, lo más sólido posible, a fin de orientar la búsqueda y ofrecer una
conceptualización adecuada de los términos utilizados, pudiendo ser manejado y
convertidos en acciones concretas. A tal fin, será necesario delimitar los parámetros
conceptuales que sustentarán y complementarán el estudio; implicando esto, la
inclusión de todos los elementos teóricos ya conocidos y valorados, como los nuevos
y confiables, que servirán de apoyo a elementos implicados en la búsqueda
investigativa.
En este escenario, se pretende exponer la relevancia de algunos estudios
realizados; considerados como antecedentes y puntos de referencia para la presente
investigación. Asimismo se presentará las bases teóricas a partir de la postura Modelo
de Duval para la didáctica de la Geometría.
2.1. Antecedentes de la Investigación
Según Arias (2006), los antecedentes de una investigación “se refieren a los
estudios previos relacionados con el problema planteado, es decir, investigaciones
anteriores que guardan alguna vinculación con nuestro método de estudio” (p.56).
31
Después de una revisión bibliográfica por parte de la investigadora, se pudo
constatar que el tema de estudio ha sido de interés desde hace más de dos décadas,
pero a pesar de ellos el número de investigaciones publicadas no es significativo. A
continuación se describen algunas investigaciones que le dan soporte y sirven de
referencia a la siguiente investigación:
Pachano y Terán, (2008), en su investigación titulada “Estrategias para la
enseñanza y aprendizaje de la geometría en la educación básica: Una experiencia
constructivista”, el enfoque metodológico que orientó la investigación se corresponde
con la perspectiva de la “investigación-acción”, de carácter descriptivo. Las técnicas
que se emplearon para recabar la información durante este estudio, es observación
participante, notas de campo, análisis de documentos, entrevistas, prácticas
evaluadas, fotografías y grabaciones en cinta magnetofónica y en video.
Por su parte Cuevas, (2010); realizó una investigación titulada “Objetos de
aprendizaje para la enseñanza de lugares geométricos en el plano: recta,
circunferencia, parábola, elipse e hipérbola”, llevada a cabo durante el II semestre
lectivo de (2008), tuvo como objetivo principal diseñar y desarrollar un Material
Educativo Computarizado (MEC), que pueda ser utilizado para complementar las
clases presénciales de la asignatura de Geometría Analítica que se dicta en el I
semestre en la carrera de Ingeniería en la Universidad de Carabobo. La metodología
empleada está enmarcada en la modalidad de proyecto factible. El estudio se
fundamenta en una investigación documental y de campo. La población objeto de
estudio estuvo constituida por docentes y estudiantes de la asignatura. La
investigación diagnóstica evidenció la necesidad de mejorar la práctica pedagógica
que tradicionalmente se ha empleado, mediante el uso de herramientas
computacionales e interactivas donde se pueda observar gráficamente los lugares
geométricos y su disposición en el plano.
32
Pérez y Ruiz, (2010) En su investigación desarrollaron “Estrategias Lúdicas
Aplicando El Modelo DeVan Hiele como una alternativa para la enseñanza de la
Geometría”. Diseñaron actividades lúdicas utilizando el modelo de Van Hiele,
dirigidas a estudiantes del séptimo grado de educación básica en la Unidad educativa
“Eloy Paredes”,ubicada en el Municipio Libertador del estado Mérida; durante el año
escolar 2008-2009, a un grupo de diecisiete estudiantes. La investigación está
orientada en una metodología de enfoque cualitativo bajo la modalidad de
investigación-acción. Una vez aplicada las estrategias lúdicas se evaluó el alcance de
las mismas, a través de las actividades utilizando los niveles de pensamiento y
razonamiento de Van Hiele, las cuales evidenciaron un nivel de razonamiento
geométrico más elevado en los alumnos.
Moreno y García (2012); realizaron una investigación que se enmarcó dentro
de un estudio de campo de tipo descriptivo titulado “Diseño de un material educativo
computarizado como apoyo didáctico en la interpretación y resolución de problemas
de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico y
analítico”. El objetivo del presente trabajo consiste en presentar una propuesta de
diseño para el desarrollo de un material educativo computarizado como apoyo
didáctico en la resolución de problemas de recta tangente. A través del análisis y la
interpretación de los resultados obtenidos se concluye que existen deficiencias en el
uso de estrategias de enseñanza y aprendizaje apoyadas en materiales didácticos
alternativos y actuales en las asignaturas Análisis Matemático I y Geometría
Analítica, específicamente en lo que respecta a la interpretación y resolución de
problemas de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico
y analítico.
Los trabajos descritos anteriormente tienen relación con la presente
investigación, pues plantean; que para enseñar contenidos geométricos hace falta algo
más que un simple concepto. Donde la motivación y la posibilidad de manipular
33
objetos son dos opciones necesarias para cumplir esta tarea. Para atender estas
intenciones, el docente debe mantener actividades innovadoras permanentes para
captar la motivación, atención, manipulación de objetos y aprendizaje, con la
utilización de alguna estrategia didáctica. Los cuales lleven al estudiante a la
comprensión de las figuras y de los cuerpos geométricos.
En los programas de Matemática del país, según Rivero (1997), la Geometría
ha sido desplazada a un segundo plano, por lo cual es común que un alto porcentaje
de profesores considere los contenidos de Geometría menos importantes que el resto
de los contenidos de la asignatura Matemática, otro porcentaje plantea que debido a
lo extenso de los programas, no cubren en su totalidad las unidades correspondientes
a Geometría. Lo anterior justifica el alerta de Rodríguez (1995), cuando plantea que
la Enseñanza de la Matemática en el país se ha convertido en una actividad vacía, en
la cual no se toma en cuenta que la Geometría ayuda al individuo a entender,
describir e interactuar con el espacio que lo rodea.
2.2. Fundamentos Teóricos
2.2.1. Registros de Representación, Comprensión y Aprendizaje de Duval.
Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos
sistemas de expresión y representación, además del lenguaje natural, variados
sistemas de escritura para los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones
y operaciones, figuras geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas,.
Un autor que se ha interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de
representación semiótica es Duval (1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta
utilización de varios sistemas semióticos de representación y expresión, o al contrario
no es más que un medio cómodo pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo
de las actividades cognitivas fundamentales?" (p. 3) Considera que esta pregunta
34
sobrepasa el dominio de las matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la
naturaleza misma del funcionamiento cognitivo del pensamiento humano.
Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes
argumentos:
1) No puede haber comprensión en matemática si no se distingue un objeto de su
representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números,
funciones, rectas, entre otros.) con sus representaciones (escrituras decimales o
fraccionarias, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras), pues un mismo
objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes.
2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones,
ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre
una situación y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto
en ausencia total de significante perceptible". (p. 20). Las representaciones mentales
están ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera
que las imágenes mentales lo están a una interiorización de los preceptos.
3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para
exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o
accesibles a los demás. Además de sus funciones de comunicación, las
representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia actividad
matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los
objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico
utilizado. El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la
creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o
menos coexisten con el de la lengua natural.
35
4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente
diferentes e independientes. La pluralidad de sistemas fundamentos y antecedentes
Semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo
objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto de sus
representaciones mentales. Esta interdependencia entre las representaciones internas y
externas la expresa Duval afirmando que "no hay noesis sin semiosis; es la semiosis
la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noesis" (p. 5). La
aprehensión conceptual no es posible sin el recurso a una pluralidad al menos
potencial de sistemas semióticos, y por tanto su coordinación por parte del sujeto.
5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos
diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un
aprendizaje específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de
sistemas de representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la
conversión de las representaciones. La coordinación entre registros no es una
consecuencia de la aprehensión conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de
dicha coordinación es una condición esencial de la noesis.
6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de
representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una
representación mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación
de una representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la
transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una
información produce una representación en un registro distinto al de la representación
inicial.
2.2.2. Diseño Instruccional por Dick y Carey
En un sentido no restrictivo, el diseño instruccional se puede considerar una
disciplina científica de la psicología educativa que investiga los componentes del
36
proceso de enseñanza y aprendizaje. Los conocimientos que genera sirven para
establecer las acciones instruccionales específicas más adecuadas para conseguir los
resultados de aprendizaje deseados. (Barbera & Badia, 2001)
El enfoque planificador tradicional se basa en el modelo denominado ISD -
Instructional System Design - utilizado como referencia para organizar la formación
en muchas organizaciones. Este modelo está determinado por las aportaciones
teóricas efectuadas por Dick y Carey y publicadas en el libro The Systematic Design
of Instruction, considerado actualmente como un modelo clásico. (Camps, 2005)
En general, el modelo concibe el diseño formativo como un proceso
interactivo estructurado en distintas fases:
1. Identificar las metas formativas: En esta fase se determina aquello que las
personas deben saber hacer al finalizar el proceso formativo. Para ello se realiza un
análisis de necesidades, a partir del cual se establecen las diferencias entre el estado
actual y aquello que se pretende conseguir.
2. Analizar las metas formativas: El paso siguiente es establecer qué deben
hacer las personas para lograr las metas señaladas y cuáles son los comportamientos
necesarios para alcanzarlas. Durante esta fase se determinan cuáles son las tareas o
procedimientos que deben realizar las personas para conseguir las metas.
3. Analizar los aprendices y sus contextos: En esta fase se identifican las
características de los aprendices, los posibles contextos de prestación de la formación
y cómo pueden usarse los conocimientos aprendidos.
4. Escribir los objetivos formativos: Esta fase consiste en escribir los objetivos
formativos de manera clara, concisa y de forma que puedan cuantificarse y medirse.
37
5. Desarrollar instrumentos evaluativos: En esta fase se desarrollan los
instrumentos que permiten saber si los aprendices han aprendido y han modificado
sus comportamientos.
6. Desarrollar la estrategia formativa: La actividad siguiente consiste en
determinar los modos y las maneras de realizar las actividades formativas.
7. Desarrollar y seleccionar los materiales formativos: En esta fase se
seleccionan aquellos materiales o recursos a usar a lo largo del proceso formativo.
8. Desarrollar y realizar la evaluación formativa del proceso de aprendizaje:
En esta fase se recogen datos para valorar el proceso formativo y los aprendizajes a
fin de mejorar el diseño de la actividad formativa.
9. Revisar toda la formación: Se valora todo el proceso formativo con el
objetivo de analizar cómo puede mejorarse la eficiencia de cualquiera de sus fases.
10. Diseñar y realizar la evaluación sumativa del proceso formativo: En esta
última fase se evalúa la efectividad de la formación y de todo el sistema formativo.
2.3. Definición de Términos Básicos Actividad Matemática: es un proceso que requiere que el individuo emplee diversos
sistemas de representación semiótica, donde solo elijan una según el propósito de la
actividad. En otras palabras la actividad matemática requiere una coordinación
interna, que ha de ser construida, entre los diversos sistemas de representación que
pueden ser elegidos y usados; sin esta coordinación dos representaciones diferentes
38
significaran dos objetos diferentes, sin ninguna relación entre ambos. Duval, R.
(1998).
Diseño Instruccional: es una disciplina interesada en prescribir métodos óptimos de
instrucción, al crear cambios deseados en los conocimientos y habilidades del
estudiante. Reigeluth (1983).
Registro Algebraico: es el conjunto de signos, números y variable; las cuales tienen
la característica de solucionar ecuaciones para responder un problema planteado y
donde las fuentes de su significado tienen un acercamiento semiótico; considerándose
un lenguaje de carácter instrumental. Duval, R. (1998).
Registro Geométrico: es el conjunto de figuras o curvas que se representan en un
plano cartesiano, las cuales tienen la característica de bidimensionar el planteamiento
de un problema además poseen un comportamiento semiótico. Duval, R. (1998).
Representaciones Semióticas: es un sistema de signos que permite llevar a cabo las
funciones de comunicación, tratamiento y objetivación, en cambio no se hace
referencia a notaciones convencionales que no forman un sistema. Duval, R. (1998).
Sección Cónica: algebraicamente es una ecuación de dos variables de segundo grado,
las cuales generan un lugar geométrico diferencial de acuerdo a los coeficientes de
cada término involucrado en la ecuación. Lehmann, C. (1980).
Semiótica: estudio de los signos en determinados campos del conocimiento. Es decir,
una ciencia orientada a estudiar cómo funciona el pensamiento para explicar las
maneras de interpretación del entorno y de creación y difusión de conocimiento que
tienen las personas. Duval, R. (1998).
39
3. MARCO METODOLÓGICO
Este capítulo contempla el contexto operativo de la investigación en los que
establece la forma y manera para obtener la información más relevante en cuanto a la
problemática planteada así como los procedimientos estadísticos para analizar sus
resultados y recabar la información más asertiva para elaboración de un diseño
instruccional de aprendizaje planteada.
3.1. Tipo y Diseño de la Investigación
El propósito de esta investigación es proponer un diseño instruccional para el
aprendizaje de las secciones cónicas para estudiantes del sexto semestre de la
Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, la cual se
enmarca en la modalidad de proyecto factible; donde su finalidad es construir una
alternativa de solución delineada por la investigadora (Labrador, Orozco y Palencia,
2002, p. 22).
De igual manera, se hace apoyo de la investigación descriptiva para recolectar
datos de carácter concéntricos en cuanto a la problemática del aprendizaje de las
secciones cónicas y determinarlas para la construcción del módulo; tal como lo
establece (Labrador, Orozco y Palencia, 2002), describir un fenómeno recurrente
dentro de una población mayoritaria, para luego describir las necesidades más
demandantes y así implantarlas dentro de la alternativa que se presenta para
solucionar la problemática.
Y por último, la propuesta está fundamentada además por el diseño de
investigación de campo, la cual se implementa para buscar dentro de una población
40
datos recurrentes en cuanto a los cambios de registros algebraicos y geométricos, los
cuales enfilaron la investigación a una propuesta que abordará las necesidades de la
población estudiantil de la Facultad de Ciencias de la Educación de la mención de
Matemática, Manual de Trabajos de Grado de Especialización, Maestrías y Tesis
Doctorales de la UPEL (2006).
3.2. Población y Muestra del Estudio
La población es definida como el conjunto de personas de los cuales poseen
una característica común, en la que se desea estudiar, Balestrini (2008). En este caso
de investigación la población está constituida por dieciocho (18) estudiantes; los
cuales cursan la asignatura de Geometría II adscrita al departamento de Matemática
de la Facultad de Ciencias de la Educación, lo cual se representa el total de
estudiantes inscritos en la nomina del departamento de control de estudio.
Mientras que la muestra se define como una parte de la población a la que se
desea estudiar Bernal (2002). La selección de los encuestados sé realizó al azar
simple sin remplazo, pero tomando en cuenta el tamaño de la población, la muestra
consideró el tamaño para 13 estudiantes con la finalidad de establecer mayor eficacia
y representación de los datos recabados, y además por considerarse un tamaño
muestral pequeño y homogéneo, y el resto de los estudiantes se utilizó para realizar
la confiabilidad del instrumento, Wigodski (2011).
3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos
Según Blanco (2000), establece “un instrumento es un formato de apoyo de
preguntas (estructuradas o no), que ha sido producto de una variable organizada y
sustentada teóricamente” (p. 11). De acuerdo a esto, la investigadora apoyo dicho
estudio sobre un cuestionario de respuestas cerradas, con la finalidad de recabar
41
información de forma sistemática sobre el conocimiento y manejo de los cambios de
registros en secciones cónicas para estudiantes que posteriormente serán los
formadores en el área de matemática en las aulas de las escuelas del mañana.
La técnica de recolección fue la entrevista, es decir, la investigadora aplicó de
forma individualizada y directa a la población estudiantil el instrumento, con las
características planteadas en el planteamiento del problema, los cuales seleccionaron
cuidadosamente una respuesta correcta de otras 3 opciones incorrecta; y luego
mediante análisis estadísticos se realizaron las conclusiones y recomendaciones a la
construcción de la propuesta.
3.3 Validez y Confiabilidad
La validez y confiabilidad de un instrumento constituye el requisito
indispensable para brindarle rigurosidad científica a la investigación, además de la
pertinencia en cuanto a la veracidad de los datos recolectados con dicho instrumento,
Finol y Camacho (2006). La Validez estuvo determinada por la selección de tres
profesionales de la Docente en el área de Matemática, a quienes se les solicito la
revisión del cuestionario conjuntamente con la matriz de operacionalización, el cual
contenía el objetivo general, específicos, variable, dimensiones y los indicadores;
para lograr eficacia del instrumento se anexo una tabla para evaluar redacción,
coherencia y relevancia con los objetivos de la Propuesta. Los expertos consultados
coincidieron en su opinión sobre el instrumento, fundamentando que el cuestionario
es apropiado para los efectos de la investigación ya que cubre todos los aspectos y
además cumple con el número de ítems adecuado.
En cuanto a la confiabilidad para el instrumento de recopilación de datos fue
calculado con la Kuder-Richardson ya que el cuestionario consta de una opción
correcta de tres opciones incorrectas, Ruiz (2006). Se seleccionó 5 estudiantes que
42
pertenecen a la población pero no son parte de la muestra en una sola aplicación, y
luego se recurrió al cálculo del coeficiente de confiabilidad con el método de Kuder-
Richardson. (P. 64).
La fórmula para determinar el Kuder-Richardson es:
1
∗ ∑ ∗
Donde:
r tt = es el coeficiente de confiabilidad
k = es el número de ítems
Vt = es la varianza de la prueba.
p = son las probabilidades de éxito
q = son las probabilidades de fracaso
El valor del coeficiente de correlación obtenido cuando se sustituyeron los
datos en la formula fue de 0.92, lo cual demuestra que es elevada su confiabilidad,
según el cuadro de distribución de intervalos de confiabilidad; donde específica la
oscilación entre 0 y 1 y su magnitud.
Rango Magnitud
0,81- 1,00 Muy Alta
0,61 – 0,80 Alta
0,41 – 0,60 Moderada
0,21 – 0,40 Baja
0,01 – 0,20 Muy Baja
Fuente: Hernández, R (1998) y Ruiz, C (1998).
Por lo tanto, se confirma que de ser aplicado los instrumentos a otros grupos
los resultados serían similares porque la confiabilidad sobrepasa el 90% en todos los
casos.
43
4. RESULTADOS
4.1. Análisis e Interpretación de los Resultados
Luego de la aplicación de los instrumentos fueron analizados los resultados
con la finalidad de dar respuesta a las interrogantes planteadas y cumplimiento con
los objetivos de la investigación, permitiendo de esta manera establecer conclusiones
que reflejen la realidad de la situación actual, las cuales se derivan de la realización
del trabajo en estudio cuya orientación principal fue la Propuesta de un Diseño
Instruccional para la Enseñanza de las Secciones Cónicas en los Estudiantes del Sexto
Semestre de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo.
Dentro de esta perspectiva, para realizar el análisis de los datos se tomo en
cuenta los ítems presentados en el instrumento aplicado. Se utilizó el procedimiento
de estadística descriptiva, para tal efecto, los resultados serán presentados y
organizados en cuadros y gráficos de distribución por frecuencia absolutas luego el
porcentaje de respuestas correctas, incorrectas y no respondió, así como también las
frecuencias y porcentajes de cada opción de respuesta con la finalidad de obtener
información sobre el reconocimiento y conversión de registros algebraicos y
geométricos.
De esta misma forma, el proceso de análisis de los resultados se realizó
atendiendo a la estructura del cuestionario diseñado, es decir, por ítems y luego para
concluir el estudio se construye un análisis general de la variable aprendizaje para
observar cada sección cónica desde cada vertiente del registro y describir
directamente el comportamiento de las respuestas correctas e incorrectas de acuerdo a
la curva seleccionada. De esta manera se presentan sus resultados a continuación:
44
Ítem: 1. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico
1) La siguiente ecuación x2-4y2+2x+16y-11 0, representa una sección cónica que tiene como centro:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) (0,0) 0 0
b) (-1,2) 2 15
c) (1,2) 4 31
d) Ninguna de las anteriores 6 46
e) No respondió 1 8
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 2 15
Incorrecta 10 77
No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015).
Análisis
En el tabla de distribución 1.1 se observar un 0% en la opción “a”, 15% en la
opción “b”, un 31% en la opción “c” y un 46% en la opción “d”; para un total de 15%
de respuestas correctas, 77% de respuestas incorrectas y 8% no marcó ninguna
opción de respuesta. Los datos expresados en los cuadros y gráfico indican, un bajo
índice de reconocimiento en la ecuación general de la hipérbola, la cual genera
deficiencias en reconocer sus elementos a partir de la ecuación.
15
77
8 Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 1
45
Ítem: 2. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico.
2) Dada la gráfica, la ecuación
general que genera dicha
curva es:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) x2+y2+4x-6y=0 2 15
b) x2+y2-4x-6y=0 2 15
c) x2+y2-4x+6y =0 8 62
d) x2+y2+4x+6y =0 0 0
e) No respondió 1 8
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 2 15
Incorrecta 10 77
No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 2.1. se observa un 15% en la opción “a”, un 15%
en la opción “b”, un 62% en la opción “c” y un 0% en la opción “d”; para un total de
15% de respuestas correctas y un 77% incorrectas mientras que un 8% no respondió
ninguna opción.
15
77
8Correcta
Incorrecta
No respondió
46
Ítem: 3. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Algebraico.
3) La ecuación 9x2+8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano una:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) Circunferencia 4 31
b) Elipse 5 38
c) Parábola 0 0
d) Hipérbola 4 31
e) No respondió 0 0
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 5 38
Incorrecta 8 62
No respondió 0 0
Fuente: Flores (2015) Análisis
En la tabla de distribución 3.1 se observa un 31% seleccionaron la opción
“a”, un 38% la opción “b”, 0% la opción “c” y 31% de estudiantes de la opción “d”;
donde se observa un total de 38% de estudiantes con la alternativa de respuesta
correcta y el resto con respuesta incorrecta que fue de 62%. Lo anterior indica, que el
38% reconoce la ecuación general de una elipse y los elementos que se desprenden de
su registro algebraico.
38
62
0Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 3
47
Ítem: 4. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Algebraico.
4) La gráfica de la siguiente ecuación x2-y+6 0, corresponde en el plano cartesiano a una:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) Circunferencia 0 0
b) Hipérbola 4 31
c) Parábola 6 46
d) Elipse 3 23
e) No respondió 0 0
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 6 46
Incorrecta 7 54
No respondió 0 0
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 4.1 se evidencia un 0% de estudiantes por la opción
“a”, 31% por la opción “b”, 46% por la opción “c” y un 23% por la opción “d”; pero
es en el gráfico 4.2 donde se muestra un 46% de respuestas correctas y un 54% de
incorrectas. Lo cual indica, que existe una posible dificultad para construir la curva de
una parábola a partir de la ecuación.
4654
0Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 4
48
Ítem: 5. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Geométrico.
5) Dada la gráfica, la ecuación
ordinaria es:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) 4 31
b) 0 0
c) 4 31
d) Ninguna de las anteriores 3 23
e) No respondió 2 15
Respuesta FrecuenciaPorcentaje
Correcta 4 31
Incorrecta 7 54
No respondió 2 15
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 5.1 se observa un 31% de estudiantes que
consideraron la opción “a”, 0% la opción “b”, 31% la opción “c”, mientras que un
23% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 5 se observa un 31% de estudiantes
que respondieron acertadamente, un 54% incorrectamente y el resto se mantuvo sin
responder ninguna opción de respuesta en dicho ítem.
31
54
15Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 5
49
Ítem: 6. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Algebraico.
6) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? (M, N y C son constante mayores que 0 y M N).
Opción Frecuencia Porcentaje
a) Mx2+Ny2 = C 7 54
b) Mx2+My2 = C 6 46
c) x2-Ny2 = C 0 0
d) (Mx+N)(Mx-N) = 0 0 0
e) No respondió 0 0
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 6 46
Incorrecta 7 54
No respondió 0 0
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En el gráfico 6.1 se aprecia un 54% de estudiantes que respondieron la opción
“a”, 46% la opción “b”, mientras que las opciones “c” y “d” no alcanzaron ningún
porcentaje. Mientras que en el gráfico 6 se observa claramente que las opciones “a” y
“b” tienen un acercamiento entre sus porcentaje, y aunque todos los estudiantes
respondieron el ítem solo el 46% logro acertar con la respuesta correcta y el resto de
la muestra obtuvo la respuesta incorrecta.
4654
0
Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 6.2
50
Ítem: 7. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Geométrico.
7) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) 3 23
b) 1 8
c) 5 38
d) Ninguna de las anteriores 3 23
e) No respondió 1 8
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 3 23
Incorrecta 9 69
No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 7.1 se evidencia un 23% de estudiantes con la
opción “a”, 8% opción “b”, 38% opción la opción “c” y un 23% la opción “d”.
Mientras que en el gráfico 7 se muestra un 23% con la respuesta correcta, 69%
distribuido entre respuestas incorrectas y un 8% que no respondió el ítem.
23
69
8Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 7
51
Ítem: 8. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico.
8) La gráfica de la ecuación 9x2-8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) Una curva cerrada y equidistante a un punto. 7 54
b) Una curva que consta de dos ramas y dos asíntotas
4 31
c) Una curva que consta de dos ramas finitas y una directriz
0 0
d) Ninguna de las anteriores. 0 0
e) No respondió 2 15
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 4 31
Incorrecta 7 54
No respondió 2 15
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 8.1 se observa un 54% de estudiantes con la opción
“a”, 31% con la opción “b”, y 0% en las opciones “c” y “d”. Mientras que en el
gráfico 8 se distribuye en 31% respuesta correcta, 54% en opciones incorrectas y un
15% que no respondió ninguna opción. Lo cual indica, que solo un 31% reconoce la
definición de hipérbola desde la ecuación general.
31
54
15Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 8
52
Ítem: 9. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico.
9) Dada la gráfica, la ecuación general es:
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 9.1 se aprecia un 23% de estudiantes que
consideraron la opción “a”, 46% la opción “b”, 8% opción “c” y un 8% la opción “d”.
Mientras que en el gráfico 9 se observa que solo un 8% responde de forma correcta el
ítem mientras que un 77% incorrectamente y un 15% no responden.
Opción Frecuencia Porcentaje
a) 3 23
b) 6 46
c) 1 8
d) 1 8
e) No respondió 2 15
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 1 8
Incorrecta 10 77
No respondió 2 15
8
77
15Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 9
Ítem: 10. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico.
10) Dada la gráfica, la ecuación general es:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) 0 0
b) 0 0
c) 7 54
d) Ninguna de las anteriores 5 38
e) No respondió 1 8
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 0 0
Incorrecta 12 92
No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 10.1 se evidencia que 0% de los estudiantes
consideraron la opción “a”, 0% opción “b”, 54% opción “c” y 38% la opción “d”.
Mientras que en el gráfico 10 se observa que 0% respondió de forma correcta el ítem,
92% responde de forma incorrecta y un 8% no respondió el ítem, lo cual se considera
que existe un alto incide de estudiantes que no reconocen la construcción de la
ecuación de una parábola dada su gráfica.
0
92
8Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 10
54
Ítem: 11. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico.
11) La ecuación 4 4 3 , genera en el plano cartesiano una:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) Parábola 2 15
b) Elipse 4 31
c) Hipérbola 4 31
d) Circunferencia 2 15
e) No respondió 1 8
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 4 31
Incorrecta 8 61
No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 11.1 se evidencia que un 15% de estudiantes
tomaron la opción “a”, 31% la opción “b”, 31 la opción “c” y un 15% la opción “d”.
Pero en el grafico 11se evidencia que solo el 31% respondió acertadamente mientras
que el 61% considero opciones incorrectas y un 8% decidió no responder el ítem.
Gráfico 11
31
61
8Correcta
Incorrecta
No respondió
55
Ítem: 12. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico.
12) Dada la gráfica, identifica la variable cuadrática:
Opción Frecuencia Porcentaje
a) x 4 31
b) y 6 46
c) Todas la anteriores 2 15
d) Ninguna de las anteriores 0 0
E) No respondió 1 8
Fuente: Flores (2015)
Análisis
En la tabla de distribución 12.1 se puede apreciar que un 31% de estudiantes
consideró la opción “a”, 46% la opción “b”, 15% la opción “c” y 0% la opción “d”.
Mientras que en el gráfico 12 se puede observar que solo el 31% consideró la opción
correcta, el 61% las opciones incorrectas y un 8% prefirió no considerar ninguna
opción de respuesta.
Respuesta Frecuencia Porcentaje
Correcta 4 31
Incorrecta 8 61
No respondió 1 8
31
61
8Correcta
Incorrecta
No respondió
Gráfico 12
56
Variable: Aprendizaje.
Gráfico 13
Fuente: Flores (2015)
01020304050607080
Registro Algeb
raico
Registro geo
metrico
Registro Algeb
raico
Registro geo
metrico
Registro Algeb
raico
Registro geo
metrico
Registro Algeb
raico
Registro geo
metrico
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
46
12
38
23
46
1526
31
54
73
6269
54
77
6454
0
15
08
08 10
15
Dimensiones Indicadores Frecuencia de
Correcta %
Frecuencia de Incorrecta
% No
Respondió%
Circunferencia
Registro Algebraico
6 46 7 54 0 0
Registro Geométrico
3 12 19 73 4 15
Elipse
Registro Algebraico
5 38 8 62 0 0
Registro Geométrico
3 23 9 69 1 8
Parábola
Registro Algebraico
6 46 7 54 0 0
Registro Geométrico
4 15 20 77 2 8
Hipérbola
Registro Algebraico
10 26 25 64 4 10
Registro Geométrico
4 31 7 54 2 15
57
Análisis
En el gráfico 13 se aprecia claramente el comportamiento de indicador
respecto a la dimensión. El 46% reconoce la circunferencia dada su ecuación mientras
que el 12% conoce la forma de la ecuación dada la gráfica, y además este indicador
posee un 15% de estudiantes que decidieron no responder los ítems relacionados al
registro geométrico de la circunferencia.
La sección cónica elipse genera un 38% de reconocimiento por parte de los
estudiantes sobre la construcción del lugar geométrico mientras que un 23% reconoce
la ecuación dado el lugar geométrico, y una vez más se evidencia que este ultimo
indicador genera un 8% de respuestas en blanco.
La parábola posee 46% de estudiantes con conocimientos para reconocer el
lugar geométrico dada su ecuación mientras que el 15% construye la ecuación dado
su lugar geométrico siendo uno de los indicadores con mayor porcentaje de
respuestas incorrectas siendo de 77% de estudiantes.
Y por último la hipérbola con 26% de respuestas correctas por parte del
estudiantado sin embargo tiene un 31% que reconoce la ecuación de la hipérbola dada
su gráfica, sin embargo posee al igual que la dimensión de la circunferencia un alto
porcentaje de estudiantes que dejo en blanco los ítems relacionados al reconocimiento
de la ecuación dadas las gráficas.
De todo lo antes observado, se observa alto índice de porcentajes de
respuestas incorrectas de los registros geométricos solo la dimensión de la Hipérbola
ubica el registro algebraico con mayor índice de incorrectas.
58
4.2. Conclusiones del Diagnóstico
Los resultados de los registro algebraicos a geométricos resultan un poco altos
en cuanto a las respuestas incorrectas, sin embargo del registro geométrico al
algebraico representa un alarmante índice de respuestas incorrectas en la mayoría de
las secciones cónicas diagnosticadas y además una cantidad elevada de respuestas sin
ninguna opción. Es decir, las unidades significantes de los lugares geométricos
presentados no constituyen un significado analítico para el estudiante y mucho menos
un significado dentro del mismo registro geométrico, esto quiere decir que el
estudiante tiene pocas posibilidades de hacer una lectura correcta de un grafico,
Duval (1988).
Por tal razón, surgen las actividades de orden geométrico al algebraico como
prioritarios, aun cuando esto no soluciona la problemática presentada sino por el
contrario darle significado y cada significante y lograr correspondencia entre registros
dentro de su rol heurístico e intuitivo. De manera general para los registros
bidimensionales, y en particular para aquellos en los cuales las unidades significantes
no están semióticamente separadas, se puede afirmar, de una parte, que es necesario
un aprendizaje de los tratamientos que les son propios y, de otra, que el criterio de
semántica sea más difícil de verificar para la actividad cognitiva de conversión.
Según Duval (1998), las razones por las cuales el estudiante no construye la
congruencia entre registro son múltiples. Uno de estos factores pueden ser los
registros que funcionan como puentes dentro del cambio de registro como por
ejemplo el uso de tabla de valores para construir el lugar geométrico; situación que no
surge del registro geométrico al algebraico. Pero el propósito de la investigación es
establecer su existencia y la efectividad de otros mecanismos de actividades, que
orientan al aprendiz a la congruencia entre registros.
59
4.3. Factibilidad
Luego de realizado el diagnostico se procedió al estudio de factibilidad la cual
constó de tres fases: operativa, técnica y económica; con el fin de fundamentar la
implementación de la propuesta y analizar su costo, así como los beneficios que se
pueden adquirir.
4.3.1. Factibilidad Operativa
Esta etapa se hace factible por la existencia del departamento de
publicaciones, ya que por medio de ellos se puede reproducir el material con la
finalidad que cada estudiante lo obtenga de forma inmediata y segura.
Se hace aun más factible por los beneficios que pueden encontrarse tras la
oportunidad que se le presenta al estudiante de mantenerse al día con la asignatura, el
incentivo a la investigación por parte del estudiantado, y la ayuda pedagogía que se
puede presentar durante el desarrollo de las clases en aula presencial.
4.3.2. Factibilidad Económica
En esta fase se analizaron los costos para conocer si es accesible y sustentable
la propuesta, sin embargo conociendo la Universidad de Carabobo en especial la
Facultad de Ciencias de la Educación, que cuenta con un apoyo económico en las
hojas y tóner, en la reproducción de materiales instruccionales, haciendo así factible
la obtención de dicho material a un bajo presupuesto y en acuerdo con el estudio
socio-económico del estudiante.
Además logrando beneficios para el estudiante en cuanto a las extensas
referencias bibliográficas que deben ser obtenidas y en ese sentido solo tendría este
60
material lo cual es una compilación completa sobre las secciones cónicas y sus
aplicaciones.
Por otro lado, los materiales son localizables dentro de la misma facultad y
cerca de sus aulas de clase, lo que hace posible que la reproducción del material se
haga cuantificando la cantidad de estudiantes que asisten a la asignatura de geometría
II en presente y exista altas posibilidades de que ningún estudiante se quede sin su
material instruccional y no generaría materiales desiertos en estantes.
4.3.3. Factibilidad Técnica
Luego de observar los componentes técnicos que se deben poseer para la
propagación de material didáctico, entonces se concluye su factibilidad aceptada, ya
que la Universidad de Carabobo cuenta con los artículos técnicos como lo son:
fotocopiadoras, impresoras, hojas, cartulinas entre otros materiales que transforman
unas simples hojas en un bloquecillo que posee estrategias adecuadas para el
aprendizaje de las secciones cónicas, la cual es considerada contenido central en la
mención de matemática.
Es decir, sus beneficios pueden ser visibles en otras asignaturas como cálculo,
algebra, análisis, física, entre otras asignaturas que contempla la mención.
61
V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. Conclusiones En atención a la información recopilada en el desarrollo de la investigación, se
llego a las siguientes conclusiones:
Atendiendo a la fase de diagnostico, se determinó la necesidad de elaborar un
módulo de aprendizaje de las secciones cónicas dirigido a estudiantes del sexto
semestre de la facultad de ciencias de la educación, para incentivar los cambios de
registros algebraicos y geométricos y atender cada signo y su significante dentro de
cada registro, para luego dar veracidad de la completitud de ambos registros dentro
del análisis geométrico.
En decir, el estudiante codifica cada registro de manera independiente pero los
diversos tratamientos son los que estimulan en el individuo el razonamiento abstracto
y crítico, lo que ayuda en una geometría posterior en proyecciones geométricas en el
espacio. Por esta razón, se hace pertinente el uso de estrategias de aprendizaje en
dicha temática que cobra mayor importancia cuando estos formadores salen al campo
de trabajo y presentan sus conocimientos a sus estudiantes en un futuro cercano.
En este mismo sentido, se manifiesta que el material de apoyo también
estimula la creatividad en el individuo a la cual se le presenta y además estimula el
interés por la asignatura lo que conlleva a la construcción del aprendizaje
significativo, y una ventana abierta a la posibilidad de incrementar el rendimiento
académico de los estudiantes que cursan Geometría II dentro de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo.
62
En cuanto a las estrategias utilizadas en el módulo de aprendizaje, los
estudiantes se encaminaran al valor de ser responsables de su propio aprendizaje. Para
esto el proceso se ubicara en auto y hetero reflexión que permita un estudio dirigido
por sí mismo y que permita la interrelación entre estudiantes. Cada sesión del
módulo, accederá a la fijación el registro algebraico/geométrico y luego a la
resolución de ejercicios que establecerán la necesidad de ambos registros para
establecer un desempeño adecuado en la construcción de las soluciones, en otras
palabras, las definiciones matemáticas deben ser representadas por figuras, graficas,
formulas, tablas, símbolos o expresiones verbales; pues este proceso de visualización
en cada una de estas representaciones involucra la habilidad de detectar signos
importantes y operar apropiadamente con ellas; involucra también la traducción en
términos cognitivos del pensamiento abstracto de la transformación de las
representaciones creando la consolidación del aprendizaje.
Igualmente, es pertinente que el estudiante se sienta en la misma necesidad
cuando genere soluciones en las aulas de clase para una mayor eficacia del
aprendizaje consolidado. Es decir, el estudiante puede encontrar una exactitud en las
soluciones de los ejercicios estableciendo ambos registros, ya que cada registro puede
revelar un sin fin de datos ocultos que el otro no lo considera razonable dentro del
aula de clase.
Por otro lado, el estudiante realiza asociaciones entre asignaturas afines como
física y química; y compara los algoritmos de solución así como analizar sus
respuestas de forma grupal, esto desencadena un factor determinante en la nueva era
educativa que son: la comunicación, comprensión, respeto, solidaridad, compartir y
cooperar, dentro del grupo de estudio y así postergar tales valores para cuando inicie
en el campo laboral establezca sin dificultad un colectivo docente pertinente a la
soluciones de problemáticas comunes.
63
En este mismo sentido, se presenta el módulo de aprendizaje como la mejor
estrategia que estimulará los hábitos de estudio, organización del tiempo de
dedicación a su asignatura, organización a los recursos materiales bibliográficos,
empleo de técnicas de aprendizaje según su individualidad, y adecuación de su
aprendizaje a su entorno cotidiano hasta garantizará una mejor focalización del
conocimiento aprehendido y la transferencia a otras asignaturas que incluso no son
afines con la matemática.
Para finalizar, es útil señalar que los materiales educativos impresos no solo se
consideran como una herramienta de aprendizaje, sino también para planificar y
evaluar las actividades de clase por parte del docente; además, diagnosticar las
necesidades, habilidades, destrezas y actitudes divergentes de los participantes del
proceso de enseñanza y aprendizaje; lo que enrumbará a una nueva visión del
desarrollo de las clases, fragmentando con la utopía de que el docente es el generador
de conocimiento único dentro del aula de clase.
5.2. Recomendaciones En el proceso de aprendizaje a partir del módulo de aprendizaje se busca la
participación activa de la mayoría de los estudiantes en sus actividades dentro
y fuera del aula.
Las clases se tornarán dinámicas, ya que el estudiante vendría con un
aprendizaje previo, por lo tanto la dinámica del proceso de enseñanza se
volverá crítica y reflexiva.
64
Los estudiantes tienen la opción de contextualizar su aprendizaje para lograr
un conocimiento afianzado, además se comportan como facilitadores dentro
de su proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los estudiantes construirán su aprendizaje de manera significativa con el uso
del modulo de aprendizaje y mejoraran su rendimiento académico.
Sería pertinente que los docentes incorporen el cambio de registros algebraico
y geométrico y viceversa, como actividades dentro del aula y evaluativas.
Por otro lado, el módulo de aprendizaje sería un abanico de actividades de
distinto orden de algoritmos de solución, lo cual consagra un mayor
compromiso por parte del estudiantado en cuanto al esfuerzo del pensamiento
abstracto.
Para culminar el módulo de aprendizaje se las secciones cónicas es un aporte
significativo para el proceso de aprendizaje de la geometría analítica, y lograr
en el estudiante la formación integral, y sea capaz de transponer a otras
ciencias del conocimiento el contenido
65
6. LA PROPUESTA
DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE
SECCIONES CÓNICAS.
6.1. Presentación y Justificación
El desarrollo tecnológico, científico y urbanístico de una nación dependen
directamente del desarrollo matemático que tengan cada ciudadano de ese país, es por
esa razón fundamental que nuestras escuelas deben mejorar su calidad educativa
siempre sobre la marcha de los avances sociales y políticos, pero dicho avance debe
impulsarse desde las aulas magnas que forman a los formadores del mañana.
Es por lo antes expuesto que se señala la prioridad de que las escuelas de
educación matemática formen en sus estudiantes la habilidad de cambios de registros
para lograr así la eficacia de la consolidación del conocimiento tomando como
contenido pionero las secciones cónicas.
Sobre la base de estas propuestas, se presenta un diseño instruccional para el
aprendizaje de las secciones cónicas dirigido a los estudiantes del sexto semestre de la
Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, como
herramienta didáctica, apoyada en la utilización de cambios de registros, las cuales
sirven como las estrategias que facilitan el proceso de aprendizaje de la geometría, y
además es un material que encamina las actividades de cambios de registros y la
oportunidad de asimilar que ambos registros son pertinentes en el análisis de
ejercicios para evidenciar la solución para luego comprender las construcciones
geométricas espaciales.
66
De lo antes expuesto, de los antes expuesto se organizo el material por
sesiones de cónicas y cada una se oriento a los dos niveles de tratamiento, así como
también ejercicios propuestos y lecturas que incorporan la necesidad de usar el
registro algebraico y geométrico, y sus respectivos tratamientos.
Este proyecto se considera importante porque contribuye a la capacitación de
cada estudiante, a la adquisición de nuevas destrezas, técnicas, métodos, aplicables al
proceso de aprendizaje, además de ofrecer herramientas que le permitan al estudiante
manejar su propio proceso de aprendizaje sobre la geometría analítica plana.
6.2. Objetivos de la Propuesta
6.2.1. Objetivo General
Proponer un diseño instruccional fundamentado en los cambios de registros,
para el aprendizaje de secciones cónicas en los estudiantes del sexto semestre de
geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de
Carabobo.
6.2.2. Objetivos Específicos
1) Describir los aspectos teóricos de cada sección cónica y su aplicación
en la cotidianidad, para establecer la importancia en la vida real.
2) Establecer la estructura de cada sección cónica, para el desarrollo de
cada uno por sesión de aprendizaje.
67
3) Proponer ejercicios sugeridos en cada módulo de acuerdo a cada
registro algebraico/geométrico o geométrico/algebraico.
6.3. Descripción de la Propuesta
La propuesta del diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones
cónicas en los estudiantes del sexto semestre de geometría II de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, cumple que las siguientes
etapas según Dick y Carey, (2001):
1) Identificar las metas formativas: se selecciona una lectura para compartir e
introducir a la sección cónica, en esta fase se determina aquello que las
personas deben saber hacer al finalizar el proceso formativo, para lograr un
interés en el estudio de sus elementos.
2) Analizar las metas formativas: se estableció los pasos que deben aprender
para lograr el conocimiento afianzado de la sección cónica, por medio de sus
definiciones establecidas.
3) Analizar los aprendices y sus contextos: en esta fase se mostro con
ejercicios de aplicación como pueden aplicarse las definiciones aprendidas.
4) Escribir los objetivos, desarrollar instrumentos y estrategias formativas:
se estableció ejercicios desarrollados con su algoritmo de solución para
establecer de manera clara la meta que debe cumplir el estudiante para
reforzar el aprendizaje.
68
5) Desarrollar, revisar y seleccionar los materiales formativos: se construyo
un formulario que se usara en todo el proceso de aprendizaje de cada sección
cónica y además presenta similitud entre las secciones cónicas.
6) Diseñar y realizar la evaluación sumativa del proceso formativo: se diseño
un compendio de ejercicios propuestos con la finalidad de autoevaluar al
estudiante, esto verifica que el estudiante ha dado la respuesta correcta y que
ha aprendido.
Es importante resaltar, que las interrogantes de cada lectura deben ser
investigadas, ya que se presentaron como una vertiente para compartir e interactuar
entre los estudiante y además se ofrece una oportunidad para ampliar una gama de
sabiduría sobre la historia de la matemática.
Por otro lado, la evolución paulatina de la dificultad de cada ejercicio
propuesto permite que el estudiante no se suba su nivel de abstracción de forma
gradual.
Al final de la propuesta se construyo un glosario de términos útil para el
estudiantes, un formulario que sirve como pre-requisitos para estudiar las secciones
cónicas, y además las posibles soluciones a cada actividad propuesta dentro del
diseño instruccional. Así como también, su bibliografía consultada para la
elaboración del mismo.
69
Matriz de Operacionalización
Objetivo General: Proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para los estudiantes del sexto
semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.
Objetivo Específico Variable Dimensiones Indicadores Ítems
1. Diagnosticar el conocimiento que poseen los
estudiantes en el contenido secciones cónicas en el
sexto semestre de la asignatura de geometría II de la
Facultad de Ciencias de la Educación en la
Universidad de Carabobo.
Aprendizaje
Circunferencia Registro Algebraico 6
Registro Geométrico 2, 9
Elipse Registro Algebraico 3
Registro Geométrico 7
2. Estudiar la factibilidad de un diseño instruccional
para el aprendizaje de secciones cónicas para los
estudiantes del sexto semestre de geometría II de la
Facultad de Ciencias de la Educación en la
Universidad de Carabobo.
Parábola
Registro Algebraico 4
Registro Geométrico
10, 12
3. Diseñar instrucciones de aprendizaje de secciones
cónicas para los estudiantes del sexto semestre de la
asignatura geometría II de la Facultad de Ciencias de
la educación en la Universidad de Carabobo.
Hipérbola
Registro Algebraico 1, 8, 11
Registro Geométrico 5
:
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Estimado Estudiante:
La presente prueba de selección simple, se hace con la finalidad de recolectar información indispensable para la realización de un estudio titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS”.
Se trata de una prueba de selección simple y consta de 12 ítems con cuatro alternativas de respuesta, donde solo uno es la correcta. La aplicación de éste es relevante, ya que permitirá recabar información de interés para esta investigación. Su colaboración será valiosa en la medida que responda a todas las preguntas, sin hacer uso del azar, ya que de ello dependerá el éxito de esta investigación.
Instrucciones
Lea cuidadosamente cada pregunta antes de responder Responda de forma individual la totalidad de las preguntas planteadas Marque sólo una de las cuatro alternativas de respuesta Esta prueba consta de 90 minutos y no tiene incidencia sobre sus
calificaciones en esta Unidad Curricular.
Gracias por su tiempo y la colaboración prestada
141
UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Prueba de Selección Simple
1) La siguiente ecuación x2-4y2+2x+16y-11 0, representa una sección cónica que tiene como centro:
a) (0,0) b) (-1,2) c) (1,2) d) Ninguna de las anteriores
2) Dada la gráfica, la ecuación general que genera dicha curva es:
a) x2+y2+4x-6y 0 b) x2+y2-4x-6y 0 c) x2+y2-4x+6y 0 d) x2+y2+4x+6y 0
3) La ecuación 9x2+8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano una:
a) Circunferencia b) Elipse c) Parábola d) Hipérbola
142
4) La gráfica de la siguiente ecuación x2-y+6 0, corresponde en el plano cartesiano a una:
a) Circunferencia b) Hipérbola c) Parábola d) Elipse
5) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es:
a) 1
b) 1
c) 1
d) Ninguna de las anteriores 6) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? (M, N y C son constante mayores que 0 y M N).
a) Mx2+Ny2 C b) Mx2+My2 C c) x2-Ny2 C d) (Mx+N)(Mx-N) 0
143
7) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es:
a) 1
b) 1
c) 1
d) Ninguna de las anteriores
8) La gráfica de la ecuación 9x2-8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano:
a) Una curva cerrada y equidistante a un punto. b) Una curva que consta de dos ramas y dos asíntotas c) Una curva que consta de dos ramas finitas y una directriz d) Ninguna de las anteriores.
9) Dada la gráfica, la ecuación general es:
a) 2 4 1 b) 2 4 1 c) 2 4 1 d) 2 4 1
144
10) Dada la gráfica, la ecuación general es:
a) 4 3 b) 4 3 c) 4 3 d) Ninguna de las anteriores
11) La ecuación 4 4 3 , genera en el plano cartesiano una:
a) Parábola b) Elipse c) Hipérbola d) Circunferencia
12) Dada la gráfica, identifica la variable cuadrática:
a) X b) Y c) Todas las anteriores d) Ninguna de las anteriores
145
: Ó
146
147
148
149
150
151
REFERENCIAS
Albergante, S. (2004). Propuesta Didáctica para el Estudio del Cálculo en Primer Año
de la Facultad de Ciencias Económicas. [Resumen en Línea]. Boletín de
Orientación Pedagógica UNCuyo. Argentina. Disponible:
http://www.fce.uncu.edu.ar/novedades/index/resumenes-jornadas-2004.
[Consulta: 2013, Diciembre 10].
Albert, M. (2007). La Investigación Educativa: Claves Teóricas. Primera Edición en
Español. Editorial MsGramw-Hill/Interamericana de España. Universidad
Nacional de Educación a Distancia. Impreso en España- Madrid.
34
56
78
910
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0,80
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160,24
0,24
00,24
0,16
0,16
0,16
0,16
3,2 92
Confiabilidad
de Kuder‐Richardson
Items
ANEXO E: CONFIABILIDAD
152
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Elaborado por Rina Flores
Dirigido a Estudiantes de la Facultad de
Ciencias de la Educación
Mención Matemática
2
La ciencia es el alma de la prosperidad de las naciones y la
fuente de todo progreso.
Louis Pasteur
3
Prólogo
Existe una diversidad de textos de Geometría los cuales
presentan diversos enfoques de aprendizaje y tendencias
futuristas para aquellos estudiantes de matemática que se
encuentran en su período educativo. Sin embargo esta
presentación es dedicada para los formadores de nuestra
semilla ciudadana.
Es un módulo donde ilustra las tendencias reversibles
que existen al momento de asimilar el contenido de Secciones
Cónicas, abordando todos los atrincheramientos que existen
entre los dos cambios de registros fundamentales a través de
la historia de la matemática, las cuales son El Registro
Algebraico y El Registro Geométrico.
Dicha práctica constante de los cambios de significantes
y signos convencionales de representación de registro detonan
una imaginación adecuada para incorporar determinados
contenidos en la resolución de problemas de la cotidianidad.
Por otro lado, incorpora una serie de ejercicios resueltos y
propuestos siempre partiendo de ideas simples, además de un
esquema didáctico simple y orientaciones para lograr la
madurez del conocimiento.
La Autora
4
Índice de Contenido
Prólogo
3
Unidad 1: Secciones Cónicas
Los Tres Problemas Clásicos de la Matemática Griega 6
Introducción a las Secciones Cónicas 7
Definición Geométrica de las Secciones Cónicas 9
Cónicas Degeneradas 10
Definición Algebraica de las Secciones Cónicas 11
Excentricidad 11
Relación entre la Excentricidad y las Cónicas 12
Unidad 2: Circunferencia
La Circunferencia Terrestre 13
Introducción 14
Definición Geométrica de la Circunferencia 14
Definición Algebraica de la Circunferencia 15
Circunferencia Sujeta a Tres Condiciones 19
Intersección de Cónicas 21
Formulas de la Circunferencia 23
Ejercicios Propuestos 26
Unidad 3: Elipse
Observando las Orbitas Planetarias 27
Introducción 28
Definición Geométrica de la Elipse 28
Definición Algebraica de la Elipse 29
Intersección de Cónicas 33
5
Formulas de la Elipse 35
Ejercicios Propuestos 37
Unidad 4: Parábola
Problemas de la Cuadratura en la Matemática Griega 38
Introducción 39
Definición Geométrica de la Parábola 39
Definición Algebraica de la Parábola 40
Intersección de Cónicas 44
Formulas de la Parábola 47
Ejercicios Propuestos 49
Unidad 5: Hipérbola
El Tráfico Aéreo 50
Introducción 51
Definición Geométrica de la Hipérbola 51
Definición Algebraica de la Hipérbola 52
Intersección de Cónicas 56
Formulas de la Hipérbola 59
Ejercicios Propuestos 62
Autoevaluación
63
Respuestas de las Lecturas 65
Respuesta de los Ejercicios Propuestos 66
Pre-Requisitos 70
Glosario de Términos 71
Referencias 74
6
Los tres Problemas Clásicos de la Matemática Griega
La Duplicación del Cubo: Construir, la arista de un cubo que duplique el volumen de un cubo conocido, utilizando solamente regla y compás.
Esté problema se caracteriza
por la ecuación: , en que “a” es la arista del cubo conocido y “x” es la arista que tendrá el cubo de volumen doble. Es decir, no puede construirse su solución, ya que al iterar las construcciones aparecen raíces cuadradas y nunca de otro índice.
Trisección del ángulo: Dividir
un ángulo dado en tres ángulos parciales iguales, usando solo regla y compás.
Se puede demostrar que el problema anterior equivale a
hallar un “x” tal que : ; pero el “x” hallado solo es expresable como una raíz cúbica que no es construible.
La Cuadratura del Círculo: Determine, el lado de un
cuadrado de área equivalente al área de un círculo de radio dado, utilizando solamente regla y compás.
La solución del problema de la cuadratura conduce a la
ecuación 𝑥2 = 4𝜋𝑟2; en ella el coeficiente del término independiente no es algebraico, por tanto no puede ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.
Estos tres problemas fueron resueltos al transcurrir el tiempo pero haciendo caso omiso de la restricción del uso exclusivo de la regla y el compás.
Investiga y Responde
¿Por qué era fundamental que las resoluciones fueran con regla no graduada y compás?
7
Introducción a las Secciones Cónicas
El descubrimiento de las
secciones cónicas estuvo íntimamente
ligado a uno de los tres problemas
clásicos de la geometría griega, la
Duplicación del Cubo o Problema de
Delos.
Fue Hipocrátes quien demostró
que se podría conseguir la
Duplicación del Cubo, siempre que se
pudiera encontrar curvas que cumplieran 𝑎
𝑥 =
𝑥
𝑦 =
𝑦
2𝑎 ; y
Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos
circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos
(amblitoma).
Ortotoma Oxitoma Amblitoma
Unidad 1 Secciones Cónicas
Problema de Delos
Consiste en
determinar, en
cualquier instante,
las posiciones y
velocidades de tres
cuerpos, de
cualquier masa,
sometidos a su
atracción
gravitacional
mutua.
Ortotoma Oxitoma AmAmAmAmAmmblililiilililil toma
8
Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un
tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulación definitiva.
Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra
en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio de
las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus
más completo que recogía los
conocimientos sobre tales curvas
de toda la Antigüedad. Con
posterioridad el rastro de los ocho
libros de Las Cónicas de Apolonio
se perdió, de tal modo que su
legado ha llegado hasta nosotros
de diversas formas. Sólo los cuatro
libros primeros se conservan en
griego.
El octavo desapareció en su
totalidad, pero, gracias a la traducción
al árabe de los libros V al VII que
realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros.
Todos ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por
Johanms Baptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y
Giacomo Alfonso Borelli en 1661.
Unidad 1 Secciones Cónicas
9
En cuanto a la obtención de Las Cónicas se conoce que,
residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un
geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último,
escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho
libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y afinó el
contenido de su primera obra.
Definición Geométrica de las Secciones Cónicas
Si tomamos una recta móvil G que corta a otra recta
fija A en un punto P, formando con ella un ángulo constante,
dicha recta G al girar genera una superficie tridimensional
llamada Cono Circular Recto. La recta G, se denomina recta
generatriz, la recta A es el eje vertical, mientras que el punto
P representa el vértice del cono; y las porciones del cono que
poseen en común el vértice reciben el nombre de hojas. Y la
línea de la curva de los extremos (circunferencia) se
denomina directriz.
Construcción Bidimensional Solido en Revolución
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse
con la intersección de dicho cono circular recto o solido en
ió Bidididiidid i
Unidad 1 Secciones Cónicas
10
revolución con un plano, y dicha intersección no debe
contener al vértice del cono.
Es decir, Las distintas cónicas aparecen dependiendo de
la inclinación del plano respecto al eje del cono. Si el plano se
intercepta perpendicularmente al eje A paralelo a la base se
tiene una circunferencia; si se inclina ligeramente, se obtiene
una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se
tiene una parábola y si es paralelo al eje central, corta a
ambas ramas del cono la curva es una hipérbola. Obsérvese
en cada gráfica el lugar geométrico según la inclinación del
plano:
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
Cónicas Degeneradas
Existe otras secciones cónicas denominadas degeneradas
que son las que contienen al vértice del cono, cuando el plano
se intercepta paralelamente al eje y además pasa por el
vértice, se tiene un punto; si se hace coincidir con la
generatriz, se tiene una recta; y si hacemos coincidir con el
Unidad 1 Secciones Cónicas
11
eje vertical, se tiene dos rectas. Como se muestra en las
siguientes figuras:
Punto Recta Par de Rectas
Definición Algebraica de las Secciones Cónicas
Desde un punto de vista algebraico se puede definir
cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Los valores que toman A, B, C, D y E, determinan el tipo
de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos
coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro
tipos de cónicas y los tres casos de cónicas degeneradas, se
obtienen incluso cónicas imaginarias.
Excentricidad
Esta definida como el parámetro que determina el grado
de desviación de una sección cónica con respecto a una
Unidad 1 Secciones Cónicas
12
circunferencia. Se determina con
el símbolo 𝓮 y es otra
característica que define una
cónica.
Para cualquier punto
perteneciente a una sección
cónica, la razón de su distancia a
un punto fijo F (foco) y a una recta fija l (directriz) es siempre
igual a una constante positiva llamada excentricidad.
La siguiente tabla relaciona la excentricidad con la
sección cónica:
Sección Cónica Excentricidad
Circunferencia 𝓮 = 0
Elipse 𝓮 < 1
Parábola 𝓮 = 1
Hipérbola 𝓮 > 1
Cuidado al Usar la
Simbología
𝜺 = letra griega (epsilon)
Є =símbolo de pertenencia
e = número irracional
ℯ = excentricidad
Unidad 1 Secciones Cónicas
13
La Circunferencia Terrestre
Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta. Y es Aristóteles quien aporta evidencias al observar que en los eclipses lunares, la sombra proyectada sobre la Luna tenía forma circular.
Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. Eratóstenes, fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.C sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro. Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena,
actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectaba sombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, la primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierra no
podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud para ambos palos.
Luego quiso determinar la circunferencia de la Tierra. Sabía que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos siete grados, por la diferencia entre las longitudes de las sombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra, formaran un ángulo de siete grados. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo que contrató a un hombre para que lo midiera a pasos. El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, es decir, 792,29 km. Entonces multiplicando ambos, 39614,4 km. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra.
Investiga y Responde ¿Cuánto mide la circunferencia de la tierra hoy en día
con todos los avances tecnológicos e indica el porcentaje de error que obtuvo Eratóstenes?
14
Introducción
Desde los Griegos hasta la actualidad la palabra
Circunferencia está presente en cada retorica, para expresar
tanto su belleza perfecta como la tenacidad con que esta
figura plana resuelve, desde problemas de mecánica hasta
astronómicos. Pero es con la fusión de la geometría, álgebra y
análisis que surge la formalidad que hoy en día conocemos
como la Sección Cónica: La Circunferencia.
Definición Geométrica de la Circunferencia
Si se corta una superficie cónica con un plano que no
pase por su vértice y llamamos 𝛽 al ángulo que forma el plano
con el eje del cono, y dicho ángulo es de 90º, entonces la
cónica se le denomina: Circunferencia.
En el plano cartesiano una circunferencia es aquella
curva que se forma por todos los puntos equidistantes a un
punto fijo denominado centro.
Unidad 2 Circunferencia
Circunferencia
15
En la gráfica se observa el punto
C denominado Centro, el punto P y la
distancia entre el centro y el punto de
la circunferencia llamado radio.
Existen elementos de la circunferencia que forman un
apoyo a las construcciones analíticas, por ejemplo el
diámetro; otro elemento fundamental de la sección cónica es
la excentricidad, donde su relación genera una constante
igual a cero.
Definición Algebraica de la Circunferencia
La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo
radio es la constante r; se puede escribir su ecuación
ordinaria de la siguiente manera:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Dicha ecuación surge de la fórmula para determinar
distancia entre dos puntos 𝑑𝐶𝑃̅̅ ̅̅ = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 , donde 𝑑𝐶𝑃̅̅ ̅̅
se conoce como el radio.
Sin embargo existe otra ecuación
denominada canónica; es cuando la
circunferencia tiene como centro el origen
𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
Diámetro
Es el segmento que une
dos puntos de la
circunferencia y pasa por
el centro.
Se expresa analíticamente
Unidad 2 Circunferencia
16
del plano cartesiano, quedando expresada de la siguiente
manera:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Por otra parte se tiene la ecuación general que se
obtiene al desarrollar los productos notables e igualar a cero,
quedando de la siguiente manera:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde A, B, C, D y E son números reales y además
A=B, aunque de preferencia estos últimos coeficientes se
expresan igual a la unidad, para encontrar la distancia del
radio con mayor facilidad, resultando:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde surgen los siguientes caso:
1) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 > 0 , la circunferencia es real con centro
(−𝐶
2, −
𝐷
2) y radio 𝑟 =
1
2√𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸.
2) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 = 0 , el radio es cero y la ecuación
representa un punto (−𝐶
2, −
𝐷
2)
3) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 < 0 , la circunferencia
es imaginaria o no real por la
propiedad de radicales.
Todo esto sugiere un método para obtener la ecuación o
lugar geométrico de una circunferencia en cualquier
Unidad 2 Circunferencia
Propiedad
√𝑎𝑛
∉ ℝ, cuando
n es par y a es un
numero real
negativo.
17
problema dado; donde todo lo que se necesita hallar es la
longitud del radio y las coordenadas de su centro.
Dada la siguiente gráfica, hallar su ecuación general.
Solución
C(1,1) y el radio=3unidades ; Datos observados en la gráfica
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = (3)2 ; Se sustituyen los datos en la ecuación
ordinaria
(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + (𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 9 ; Resolviendo el cuadrado de una
diferencia y potencia
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 − 9 = 0 ; Ordenando los términos en el primer
miembro
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0 ; Resolviendo las operaciones
correspondientes
La ecuación general es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎
Unidad 2 Circunferencia
18
Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎,
encontrar su gráfica en el plano cartesiano.
Solución
(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) − 6 = 0 ; Agrupación de los términos que
contengan la misma variable.
(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) = 0 + 6 ; Igualando al término independiente
(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + (𝑦2 + 2𝑦 + 1) = 0 + 6 + 9 + 1 ; Completando términos
2𝑥𝑏 = 6𝑥 𝑦 2𝑦𝑏 = 2𝑦
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 16 ; Factorizando por trinomio cuadrado
perfecto y realizando operaciones básicas
𝐶(−3, −1) 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 4 ; Extrayendo de cada binomio y
calculando raíz cuadrada del término
independiente
La circunferencia posee un radio de 4 unidades y centro (-3,-1)
Unidad 2 Circunferencia
19
Circunferencia Sujeta a Tres Condiciones
Analíticamente, la ecuación de una circunferencia se
determina completamente por tres condiciones
independientes y geométricamente también queda
perfectamente determinada por tres condiciones
independientes, resaltando tres puntos cualesquiera. Es decir,
queda del estudiante, determinar los caminos análogos con
respecto a los datos generados y los conocimientos previos.
Dado el lugar geométrico, encontrar la ecuación general
de la circunferencia.
Unidad 2 Circunferencia
20
Solución
𝐴(1,5) 𝐵(−2, 3) 𝐶(2, −1) ; Se obtienen los datos de la gráfica
{
( 1, 5), (1)2 + (5)2 + 𝐶(1) + 𝐷(5) + 𝐸 = 0
(−2,3), (−2)2 + (3)2 + 𝐶(−2) + 𝐷(3) + 𝐸 = 0
(2, −1), (2)2 + (−1)2 + 𝐶(2) + 𝐷(−1) + 𝐸 = 0
; Sustituye en la ecuación general de la
circunferencia pero los coeficientes serán
las incógnitas.
{ 𝐶 + 5𝐷 + 𝐸 = −26−2𝐶 + 3𝐷 + 𝐸 = −132𝐶 − 𝐷 + 𝐸 = −5
; Realizando las operaciones pertinentes
𝐶 = −9
5 , 𝐷 = −
19
5 , 𝐸 = −
26
5
; Realizando el sistema de ecuación
lineal.
𝑥2 + 𝑦2 −9
5𝑥 −
19
5𝑦 −
26
5= 0
; Sustituyendo en la ecuación general de
la circunferencia
5𝑥2 + 5𝑦2 − 9𝑥 − 19𝑦 − 26 = 0 ; Multiplicando 5 toda la expresión.
La ecuación de la circunferencia es 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟗𝒚 − 𝟐𝟔 = 𝟎
Hallar la ecuación de la circunferencia de radio igual a
5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝟒 = 𝟎 y 𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟗 = 𝟎.
Solución
{3ℎ − 2𝑘 = 242ℎ + 7𝑘 = −9
; Se construye un sistema de ecuación
lineal, ya que el punto de intersección es
el centro.
Unidad 2 Circunferencia
21
ℎ = 6 ; 𝑘 = −3 ; Resolviendo el sistema de ecuación
lineal C (h ,k)
(𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 3)2 = (5)2 ; Sustituyendo los datos en la ecuación
ordinaria de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 6𝑦 − 25 + 36 + 9 = 0 ; Resolviendo el producto notable y
organizando los términos
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 6𝑦 + 20 = 0 ; Resolviendo las operaciones básicas
La ecuación de la circunferencia es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎
Intersección de Cónicas
Para encontrar las intersecciones solamente se hace uso
de sistemas de ecuaciones y se resuelven haciendo uso de
métodos ya conocidos como sustitución de ecuaciones.
Unidad 2 Circunferencia
22
Dada las ecuaciones 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟔 = 𝟎 y
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 , encontrar la intersección de ambas
circunferencias.
Solución
1
−1{
𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑥 + 𝑦 = 26
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 𝑦 = 15
; Se construye un sistema de ecuación
{
+𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑥 + 𝑦 = 26
−𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦 = −15
; Reduciendo la ecuación a los términos
básicos de la circunferencia
3𝑥 + 2𝑦 = 11
𝑦 =11−3𝑥
2
; Despejando la variable y
𝑥2 + (11 − 3𝑥
2)
2
+ 5𝑥 + (11 − 3𝑥
2) = 26
; Sustituir en la primera ecuación
13𝑥2 − 52𝑥 + 39 = 0 ; Resolver todas las operaciones básicas
𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 1 ; Al resolver la ecuación de segundo
grado
𝐴(3,1) 𝑦 𝐵(1,4) ; Sustituyendo los valores de x en la
segunda ecuación.
Los puntos de Intersección de ambas circunferencias son
𝑨(𝟑, 𝟏) 𝒚 𝑩(𝟏, 𝟒)
Unidad 2 Circunferencia
23
Formulas de la Circunferencia
Ecuación Ordinaria Canonica 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Ecuación Ordinaria con
Centro (ℎ, 𝑘) (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Ecuación General 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Excentricidad ℯ = 0
Diametro 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Unidad 2 Circunferencia
24
La señal de una estación de radio tiene un alcance
circular de 50Km. Una segunda estación, ubicada a 100Km al
este y 80Km al norte de la primera, cubre 80Km. ¿Hay
lugares que cubren ambas señales?. Hallar sus ecuaciones,
gráfica y explica su respuesta.
Solución
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = (50)2
; Se construye la ecuación de la señal
de la primera estación de radio usando
como punto de referencia el origen del
sistema de coordenadas rectangulares.
𝑥2 + 𝑦2 − 2500 = 0 ; Resolviendo el producto notables y las
operaciones
La ecuación de la circunferencia que genera la señal de la
primera estación de radio es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟓𝟎𝟎 = 𝟎
(𝑥 − 100)2 + (𝑦 − 80)2 = (80)2
; Se construye la ecuación de la señal
de la segunda estación de radio,
usando las indicaciones del enunciado.
𝑥2 + 𝑦2 − 200𝑥 − 160𝑦 − 10000 = 0 ; Resolviendo los productos notables y
las operaciones básicas
La ecuación de la circunferencia que genera la señal de la
segunda estación de radio es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟔𝟎𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎
Unidad 2 Circunferencia
25
Luego se hallan los Puntos de intersección en Circunferencias
{𝑥2 + 𝑦2 + 000𝑥 + 000𝑦 = 2500
𝑥2 + 𝑦2 − 200𝑥 − 160𝑦 = 10000
;Estableciendo un sistema de ecuación
para verificar la intersección entre las
circunferencias
𝐴 (25(4√31 + 125)
82 ;
−125(√31 − 20)
80)
𝐵 (−25(4√31 − 125)
82 ;
125(√31 + 20)
80)
; obteniendo los puntos de intersección, es
decir, ambas circunferencias se
interceptan y tienen áreas comunes.
Sé gráfica ambas circunferencias en el sistema de
coordenadas rectangulares.
Si, hay una zona que recibe ambas señales de radio, ya
que ambas circunferencias se intersectan. En la gráfica se
muestra marcado de rojo.
Unidad 2 Circunferencia
26
Ejercicios Propuestos
1) Dadas las gráficas construye las ecuaciones generales.
2) Dadas las ecuaciones generales construye su gráfica
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 + 12𝑦 − 40 = 0
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0
3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene
a los puntos A(2,3) , B(-1,1) y cuyo centro se encuentra sobre la
recta definida por la ecuación 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0
4) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triangulo cuyos lados son las rectas:
𝐿1: 𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 , 𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 − 14 = 0 y 𝐿3: 3𝑥 + 𝑦 − 22 = 0.
5) Un satélite S(-9,5) gira alrededor de un planeta de forma
circular de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 = 0. Dicho satélite envía
señales tangenciales al planeta. Determina las ecuaciones que
indican la trayectoria de las señales y gráfica.
Unidad 2 Circunferencia
27
Observando las Orbitas Planetarias Johannes Kepler fue un astrónomo que estudió las
observaciones del planeta Marte hechas por Tycho Brahe. Después de innumerables tanteos y de interminables cálculos realizados durante muchos años, llegó a deducir sus famosas tres leyes.
Primera
Kepler razona que si el "alma motriz" del Sol mantiene el movimiento del planeta en su órbita, al aumentar la distancia al Sol la velocidad debe de disminuir. Para llegar a una conclusión clara, analiza durante un año marciano 687 días (período sideral de Marte) el movimiento orbital del planeta y encuentra que la órbita de éste es simétrica con respecto a la línea de las ápsides, pero el diámetro en sentido perpendicular a ella es menor que la distancia entre el perihelio y el afelio; la órbita es ovalada.
Segunda El planeta se movía más rápido cuando estaba más
cerca del Sol y más lento cuando estaba más alejado, de tal modo que la superficie descrita (barrida) por la línea recta que conecta al Sol con Marte es siempre proporcional al tiempo.
Tercera
Obedeciendo a una súbita inspiración, formuló la hipótesis que se convertiría en su tercera ley, encadenando con una relación constante los cubos de los semiejes de las órbitas y los cuadrados de los tiempos que emplean los planetas para recorrerlas.
Investiga y Responde
¿En qué año Johannes Kepler decidió estremecer a la
población con las orbitas elípticas?
28
Introducción
Desde años remotos la palabra Elipse existe y es
considerado al igual que las anteriores secciones cónicas como
una belleza de curva, la cual ha dado explicaciones a muchas
realidades de hoy en día y hasta revocado definiciones
existentes. De hecho las orbitas elípticas es un vivo ejemplo de
la imponencia de su definición y estructura la cual
reflejaremos con sus definiciones.
Definición Geométrica de la Elipse
La elipse es la curva que se obtiene interceptando un
cono circular recto y un plano, si el plano está inclinado y no es
paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del
cono.
En el plano cartesiano una elipse es aquella curva que se
forma por todos los puntos de un plano, participantes de la
propiedad relativa: que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Unidad 3 Elipse
Elipse
29
Los elementos que se observan son los
indispensables para encontrar dicho lugar geométrico: C es el
centro de la elipse, el segmento 𝑉`𝑉̅̅ ̅̅ ̅ es
el eje mayor y está incluido en la
recta que constituye el eje de la elipse,
el segmento 𝐵`𝐵̅̅ ̅̅ ̅ corresponde al eje
menor, el eje focal está constituido
por 𝐹`𝐹̅̅ ̅̅ ̅ y las rectas L1
y L2
denominadas directrices, las cuales van a formar parte de la
curva construida.
Otro elemento fundamental de la elipse es la
excentricidad, la cual debe ser menor a 1, como propiedad
para la existencia del lugar geométrico.
Definición Algebraica de la Elipse
La elipse de centro (ℎ, 𝑘) con su eje paralelo al eje de las
abscisas, tiene como estructura algebraica, la siguiente:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Donde a y b son números reales que corresponden a los
semiejes de la elipse.
También consideramos como elipse de centro (ℎ, 𝑘) pero
con su eje perpendicular al eje de las abscisas a la siguiente
ecuación ordinaria:
Unidad 3 Elipse
L1 L2
30
(𝑥−ℎ)2
𝑏2+
(𝑦−𝑘)2
𝑎2= 1
Es decir, “a” corresponde al semieje mayor y “b” al
semieje menor. Sea cualquiera su estructura tiene como regla
general la ubicación del semieje mayor como “a” y ambas
fracciones algebraicas positivas.
Sin embrago, existe otra ecuación denominada
canoníca; y es cuando la elipse tiene como centro el origen del
plano cartesiano:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1 𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Por otra parte y no menos importante, se tiene la
ecuación general que se obtiene al desarrollar las operaciones
básicas, productos notables y despeje, quedando de la
siguiente manera:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde A, B, C, D y E son números reales y además se
cumple que A y B son distintos y positivos.
Otra fórmula poco mencionada, pero que permite
relacionar todos los semiejes presentes en la curva de la elipse
es la Pitagórica, la cual se muestra de la siguiente manera:
𝑐2 = 𝑎2−𝑏2
Unidad 3 Elipse
31
Dada su gráfica, hallar su ecuación general:
Solución
C(-1,2) , a=4, b=3 ; Datos observados en la gráfica
[𝑥 − (−1)]2
(3)2+
(𝑦 − 2)2
(4)2= 1
; Se sustituyen los datos en la ecuación
ordinaria
𝑥2 + 2𝑥 + 1
9+
𝑦2 − 4𝑦 + 4
16 = 1
; Resolviendo el producto notable y las
potencias
16𝑥2 + 32𝑥 + 16 + 9𝑦2 − 36𝑦 + 36 = 144 ; Aplicando el M.C.M.
16𝑥2 + 9𝑦2 + 32𝑥 − 36𝑦 − 92 = 0 ; Resolviendo las operaciones
correspondientes y ordenando los
términos
La ecuación general de la elipse presente en la gráfica, posee como ecuación general
𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟑𝟔𝒚 − 𝟗𝟐 = 𝟎
Unidad 3 Elipse
32
Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟑𝟑 = 𝟎 ,
hallar su gráfica con todos sus elementos.
Solución
(𝑥2 + 2𝑥) + (4𝑦2 − 24𝑦) = −33 ; Agrupamos los términos semejantes
(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 4(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = 4 ; Completando cuadrados
(𝑥 + 1)2 + 4(𝑦 − 3)2 = 4 ; Factorizando
(𝑥 + 1)2
4+
(𝑦 − 3)2
1= 1
; Igualando a la unidad
𝐶(−1,3), 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación
ordinaria
La elipse tiene centro en (-1,3), sus semiejes son 𝒂 = 𝟐 , 𝒃 = 𝟏,
𝒄 = √𝟑, mientras que sus directrices son
√𝟑𝒙 − (𝟒 − √𝟑) = 𝟎 𝒚 √𝟑𝒙 + (𝟒 + √𝟑) = 𝟎
Unidad 3 Elipse
33
Intersección entre Cónicas
Para encontrar el o los puntos comunes entre cónicas es
necesario establecer un sistema de ecuación y reducirlo, para
luego realizar todas las operaciones básicas en las ecuaciones
obtenidas y hallar las coordenadas reales de intersección.
Dadas las ecuaciones generales 𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 y
𝟗𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 , hallar el o los puntos de intersección y su
grafica:
Solución
Calculamos el o los puntos de intersección
{𝑥2 + 9𝑦2 − 9 = 0
9𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0
; Estableciendo un sistema de ecuación
{−9𝑥2 − 81𝑦2 = −81
09𝑥2 + 00𝑦2 = 09
; Reduciendo los términos
−80𝑦2 = −72 ; Despejando
𝑦 = ±√9
10
; Hallando el valor de la y.
𝑥2 + 9 (√9
10)
2
− 9 = 0 ; Sustituyendo 𝑦 = −√
9
10 y 𝑦 = √
9
10
𝑥 = ±√9
10
;Resolviendo la ecuación de segundo
grado
Unidad 3 Elipse
34
Por lo tanto tiene cuatro puntos de intersección
𝑨 (√𝟗
𝟏𝟎, √
𝟗
𝟏𝟎, ) 𝑩 (√
𝟗
𝟏𝟎, −√
𝟗
𝟏𝟎, ) 𝑪 (−√
𝟗
𝟏𝟎, √
𝟗
𝟏𝟎, ) 𝑫 (−√
𝟗
𝟏𝟎, −√
𝟗
𝟏𝟎, )
Calculamos los elementos de la elipse 1
𝑥2 + 9𝑦2 = 9 ; Igualando al término independiente
𝑥2
9+
𝑦2
1= 1
; Hallando la ecuación ordinaria
𝐶(0,0), 𝑎 = 3, 𝑏 = 1 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación
ordinaria.
La elipse 2 tiene centro en (0,0), sus semiejes son a=3 y b=1
Calculamos los elementos de la elipse 2
9𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0 ; Igualando al término independiente
𝑥2
1+
𝑦2
9= 1
; Hallando la ecuación ordinaria
𝐶(0,0), 𝑏 = 1, 𝑎 = 3 ; Extrayendo centro y ejes de la
ecuación ordinaria
La elipse 2 tiene centro en (0,0), sus semiejes son b=1 y a=3
Gráfica de las Elipses
Unidad 3 Elipse
35
Formulas de la Elipse
Constantes 2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 2𝑏 = 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
Ecuación
Ordinaria
Canoníca
Eje focal paralelo
al eje de las
abscisas
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Eje focal
perpendicular al
eje de las abscisas
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Ecuación
Ordinaria
con Centro (ℎ, 𝑘)
Eje focal paralelo
al eje de las
abscisas
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Eje focal
perpendicular al
eje de las abscisas
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2= 1
Longitud del lado Recto
𝐿𝑟 =
2𝑏2
𝑎
Excentricidad
𝔢 =𝑐
𝑎< 1
Relación entre Semiejes
𝑐2 = 𝑎2−𝑏2
Directrices
𝑥 = ±
𝑎2
𝑐+ ℎ ó 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐+ 𝑘
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde 𝐴 ≠ 𝐵 y ambos ∈ ℝ+
Unidad 3 Elipse
36
La altura máxima de un auditorio cuyo techo tiene
forma semielíptica es de 8m y tiene 20m de longitud. Si cae
una pelota sobre un foco, el ruido que produce se escucha
claramente en el otro foco. ¿A qué distancia está un foco del
otro?.
Solución
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 ; Formula Pitagórica que relaciona los tres
semiejes.
𝑐 = √(10)2−(8)2 ; Sustituyendo los valores
𝑐 = 6 ; Distancia del semieje focal
2𝑐 = 12 ; Distancia del eje focal
La distancia de un foco al otro es de 12m.
Unidad 3 Elipse
37
Ejercicios Propuestos
1) Dada la gráfica construye la ecuación general.
2) Dadas las ecuaciones generales construye la elipse y
todos sus elementos.
a) 3𝑥2 + 4𝑦2 − 30𝑥 − 16𝑦 + 79 = 0
b) 9𝑥2 + 25𝑦2 + 18𝑥 − 50𝑦 − 191 = 0
3) Encuentra los puntos de intersección de la elipse
9𝑥2 + 16𝑦2 − 2 = 0 con la recta 3𝑥 + 4𝑦 = 0.
4) Un objeto se mueve en forma elíptica alrededor de un
punto fijo que está en uno de los focos de la elipse. Si la
excentricidad es de 0,5 y el eje mayor de la elipse es de 8m,
encuentra la distancia máxima a la que se puede encontrar el
objeto del punto fijo.
Unidad 3 Elipse
38
Problemas de Cuadraturas en la Matemática Griega
Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente: dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas.
En la antigua Grecia ya era cotidiano, y se sabía cuadrar cualquier polígono o figura. Y es así como surgió la cuadratura de un segmento de parábola.
Esta demostración aparece en una carta que escribe
Arquímedes a su amigo Dositheus, obra que se conoce con el nombre de “Sobre la Cuadratura de la Parábola”. La demostración consiste en hacer una descomposición exhaustiva del segmento parabólico por medio de triángulos de una forma muy ingeniosa.
Arquímedes, empleo la llamada propiedad arquimediana o
axioma de Arquímedes: “Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este procesos de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano”.
Este axioma aparece en el libro de Arquímedes La Esfera y
el Cilindro, así como en “Sobre la Cuadratura de la Parábola y en Espirales”. Al parecer, dicho axioma fue ya formulado por Eudoxo.
Investiga y Responde ¿Cuáles otros problemas de cuadraturas tienen relevancia
durante la historia?
39
Introducción
La tradición indica que las secciones cónicas fueron
descubiertas por Menecmo, lo cual es confirmado
posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue
Apolonio de Perge en su tratado Cónicas; donde menciona que
un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos
emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las
antenas satelitales.
Es por esta razón, que dicha curva se muestra con
mayor preponderancia, y además la parábola fue estudiada
por Arquímedes, para nuevamente estar en la búsqueda de
una solución para un problema famoso: “La Cuadratura del
Círculo·”, dando como resultado el libro “Sobre la Cuadratura
de la Parábola”.
Definición Geométrica de la Parábola
Si se corta una superficie cónica con un plano que no
pase por su vértice con un ángulo inclinado de tal manera
que sea paralelo a una sola generatriz, entonces dichos puntos
generan una parábola.
Unidad 4 Parábola
40
Mientras que en el plano cartesiano se denomina parábola
a todos los puntos de un plano que equidistan de una recta
dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella,
llamado foco.
En la gráfica se observan los
elementos indispensables para
encontrar el lugar geométrico
los cuales son: el vértice V, foco
F, el eje de la parábola donde
contiene el eje focal, el
segmento que uno los punto A y
B denominado como lado recto, la directriz y el parámetro
que es la distancia del foco al vértice y del vértice al punto
donde se intercepta la directriz y el eje de la parábola. .
Definición Algebraica de la Parábola
El lugar geométrico de una parábola con centro en el
origen del plano cartesiano, se puede escribir
Parábola
Unidad 4 Parábola
41
algebraicamente y clasificarlos según el paralelismo del eje de
la parábola:
1) 𝑦2 = 4𝑝𝑥 , cuando el eje de la parábola es paralelo al eje
de las abscisas.
2) 𝑥2 = 4𝑝𝑦 , cuando el eje de la parábola es perpendicular
con el eje de las abscisas.
Mientras su vértice coincide con el origen del plano
cartesiano y si es trasladado a cualquier parte del plano, es
decir, se reconoce el vértice con coordenadas generalizadas
con el punto (ℎ, 𝑘), entonces tenemos las siguientes ecuaciones:
1) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) , cuando el eje de la parábola es
paralelo al eje de las abscisas.
2) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) , cuando el eje de la parábola es
perpendicular con el eje de las abscisas.
Por otra parte se tiene la ecuación general de la
parábola que se obtiene desarrollando distributivas y
productos notables e igualando a cero, quedando
generalizada siguiente manera:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Pero con la condición necesaria de que 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0,
para que quede determinada por una y solo una variable
cuadrática:
Unidad 4 Parábola
42
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 ó 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Todo esto resume como conclusión que la variable
cuadrática es la que determina el sentido de la concavidad
(horizontal o vertical), mientras que el parámetro es el que
indica la dirección (derecha, izquierda, arriba o abajo).
Dada la gráfica, encontrar su ecuación general.
Solución
V(2,2) Directriz 𝑥 =7
4
; Extrayendo datos de la gráfica.
Calcular el Parámetro
𝑥 − 2 =7
4− 2
; Sustrayendo la abscisa en cada miembro
de la directriz
𝑥 − 2 +1
4= 0
; Corresponde al parámetro
Unidad 4 Parábola
43
El parámetro de la parábola es 𝑝 =1
4
(𝑦 − 2)2 = 4 (1
4) (𝑥 − 2)
; Sustituyendo en la ecuación ordinaria
𝑦2 − 𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 ; Desarrollando el producto notable y las
operaciones pertinentes
La ecuación general de la parábola es 𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔 = 𝟎
Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟕 = 𝟎, encontrar
su grafica.
Solución
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = −4𝑦 + 7 + 1 ; Agrupando términos semejantes y
completando cuadrados
(𝑥 + 1)2 = −4(𝑦 − 2) ; Desarrollando la factorización y las
operaciones básicas
El vértice de la parábola es 𝑉(−1,2) y la directriz es paralela
al eje de las abscisas.
Calculamos la directriz de la parábola
4𝑝 = −4 ; Extrayendo el valor del parámetro
𝑦 − 2 − 1 = 0 ; Ecuación de la directriz
Unidad 4 Parábola
44
𝑦 = 3 ; Desarrollando las operaciones básicas
La directriz de la parábola es 𝑦 = 3
La Gráfica de la Parábola
Intersección de Cónicas
Para interceptar parábolas con otras cónicas, solo es
necesario establecer un sistema de ecuaciones, reducirlas a
una misma ecuación para luego ser sustituidas en otra
ecuación del mismo sistema.
Unidad 4 Parábola
45
Dadas las ecuaciones generales 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎 y
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 , hallar el o los puntos de intersección y su
gráfica.
Solución
Calculamos el o los puntos de intersección
{𝑦2 − 6𝑥 − 18 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0
; Estableciendo un sistema de ecuación
{𝑦2 − 6𝑥 = 18
𝑦2 + 𝑥2 = 9
; Reduciendo los términos
−𝑥2 − 6𝑥 = 9 ; Despejando
𝑥 = 3 ; Resolviendo la ecuación de segundo
grado
𝑦2 − 6(3) = 18 ; Sustituyendo 𝑥 = 3, en la primera ecuación.
𝑦 = 36 ;Resolviendo las operaciones básicas
Por lo tanto tiene un punto de intersección 𝑨(𝟑, 𝟑𝟔)
Calculamos los elementos de la parábola
𝑦2 − 6𝑥 = 18 ; Ecuación de la parábola
(𝑦 − 0)2 = 6(𝑥 + 3) ; Hallando la ecuación ordinaria
Unidad 4 Parábola
46
𝑉(−3,0), 𝑥 = −9
2 ; Extrayendo vértice y directriz
Calculamos los elementos de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0 ; Ecuación de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = (3)2 ; Despejando
𝐶(0,0), 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 3 ; Extrayendo centro y radio
Gráfica
Unidad 4 Parábola
47
Formulas de la Parábola
Constantes 𝑝 = 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Ecuación
Ordinaria
Canoníca
Eje focal
perpendicular
al eje de las
abscisas
𝑥2 = 4𝑝𝑦
Eje focal
paralelo al eje
de las abscisas
𝑦2 = 4𝑝𝑥
Ecuación
Ordinaria
con Centro (ℎ, 𝑘)
Eje focal
perpendicular
al eje de las
abscisas
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Eje focal
paralelo al eje
de las abscisas
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)
Longitud del lado Recto
𝐿𝑟 = 4𝑝
Excentricidad
𝔢 = 1
Directriz
𝑥 + (ℎ ± 𝑝) = 0
𝑦 + (𝑘 ± 𝑝) = 0
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0
Unidad 4 Parábola
48
El rendimiento de gasolina en millas por galón de un
vehículo deportivo depende de su peso, de acuerdo con la
fórmula 𝑬 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝒙 + 𝟓𝟒 para 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟒𝟎𝟎 ,
donde x es el peso en libras de un vehículo deportivo. Según el
modelo, ¿Cuál es el peso del vehículo deportivo de menor
rendimiento de combustible?
Solución
𝐸 = 0,0000016𝑥2 − 0,016𝑥 + 54 ; Ecuación de la parábola
(𝑥 − 5 000)2 =1
0,0000016(𝐸 − 14)
; Completando cuadrados y factorizando
El vehículo deportivo de menor rendimiento de combustible
pesa 5 000libras con un consumo de 14 galones por millas.
Gráfica
Unidad 4 Parábola
49
Ejercicios Propuestos
1) Dada la grafica, encuentra su ecuación general.
2) Dada la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 , grafica con todos
sus elementos.
3) Encontrar los puntos de intersección de las siguientes
curvas 𝑦2 − 6𝑥 − 18 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 − 5 = 0.
4) Calcular la ecuación de la parábola cuyo vértice es el
centro de la elipse 𝑥2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 13 = 0 y tiene su foco en
el centro de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 19 = 0.
5) Un túnel en forma de arco parabólico tiene una altura
de 20m y un ancho de 36m en la base. En el punto más alto
está el vértice. ¿A qué altura de la base se tiene un ancho de
18m para colocar una trabe
Unidad 4 Parábola
50
El Tráfico Aéreo
El tráfico aéreo se ha incrementado en un cincuenta por ciento durante la última década y de no tomarse las medidas necesarias, podría presentarse una grave saturación en las rutas aéreas, retrasos en los vuelos y lo más preocupante es que aumentaría el número de accidentes fatales.
Para enfrentar estos problemas, nació el sistema CNS/ATM (Comunicación, navegación, vigilancia y gestión del tráfico aéreo) como una solución para ser adoptada en todos los países y líneas aéreas del mundo, que tendrían los mismos sistemas de navegación y comunicación por satélite.
Los sistemas de navegación por satélite determinan la posición de cualquier aeronave según las tres coordenadas de posición, espacio y tiempo. Uno de estos sistemas es el LORAN: es un sistema de navegación hiperbólica radioeléctrico e largo alcance, que opera en baja y media frecuencia.
Para navegar con el sistema LORAN es necesario sintonizar dos grupos de estaciones en tierra. Cada uno de ellos está constituido por dos equipos emisores que reciben el nombre de estación primaria y estación secundaria, y ambas ondas dibujan una trayectoria en forma de hipérbola hasta llegar al avión conociendo así su ubicación exacta.
Investiga y Responde
¿Quién concibió el sistema CNS/ATM?
51
Introducción
En la actualidad, con el movimiento de la
telecomunicación se ha incrementado el uso de la hipérbola
como única curva que facilita las redes de comunicación,
además previene a las naciones de pérdidas humanas y
económicas.
Definición Geométrica de la Hipérbola
Si un plano corta a los dos mantos del cono, como se
encuentra en la siguiente figura, entonces estamos en
presencia de una curva denominada Hipérbola.
Sin embargo en el plano cartesiano se denomina
Hipérbola al lugar geométrico donde todos los puntos del
plano cartesiano tales que el
valor absoluto de las
diferencias de su distancia a
dos puntos fijos, llamados
focos, es contante.
Unidad 5 Hipérbola
Hipérbola
52
Es decir, el valor absoluto de la diferencia entre el
segmento 𝐹¨𝑃̅̅ ̅̅ ̅ y el segmento 𝐹𝑃̅̅ ̅̅ , es igual a una constante
positiva y menor que la distancia entre los focos.
Los elementos de una hipérbola se muestran en la figura
las cuales son: el centro C, los vértices reales V y V1, los
vértices conjugados B
y B1, los focos F y F
1 ,
las asíntotas que son
las dos rectas que
limitan la abertura de
cada rama de la
curva, mientras que
la línea recta que
contiene el eje focal se
le denomina eje de la hipérbola.
Definición Algebraica de la Hipérbola
La hipérbola se define algebraicamente igual que las
anteriores secciones cónicas con la diferencia que existe dos
ramas y el centro de ambas ramas no genera soluciones en el
conjuntoℝ.
De esta manera surgen las siguientes ecuaciones
ordinarias canonícas de la hipérbola:
Unidad 5 Hipérbola
53
1) 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es paralelo al
eje de las abscisas.
2) 𝑦2
𝑎2 −𝑥2
𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es
perpendicular al eje de las abscisas.
Las ecuaciones mencionadas son cuando el centro de la
hipérbola se encuentra en el origen del sistema de
coordenadas rectangulares, mientras que si trasladamos el
centro a cualquier parte del plano, se construyen las
siguientes ecuaciones:
1) (𝑥−ℎ)2
𝑎2 −(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es paralelo
al eje de las abscisas.
2) (𝑦−𝑘)2
𝑎2 −(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es
perpendicular al eje de las abscisas.
Al desarrollar ambas ecuaciones queda comprobada la
ecuación general de la hipérbola de la siguiente manera:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Pero con la condición necesaria de A y B de distinto
signos, es decir, debe cumplirse como axioma 𝐴 ∈ ℝ+ ⋀ 𝐵 ∈ ℝ−
ó por el contrario 𝐴 ∈ ℝ− ⋀ 𝐵 ∈ ℝ+, para que pueda generar
una hipérbola en su grafica.
Unidad 5 Hipérbola
54
Dada su gráfica, encontrar su ecuación general de la
hipérbola y de sus asíntotas.
Solución
C(-1,2) , a=3, b=2 ; Datos observados en la gráfica
[𝑦 − (2)]2
(3)2−
(𝑥 − (−1))2
(2)2= 1
; Se sustituyen los datos en la ecuación
ordinaria
(𝑦2 − 4𝑦 + 4)
9−
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
4 = 1
; Resolviendo el producto notable y las
potencias
4𝑦2 − 16𝑦 + 16 − 9𝑥2 − 18𝑥 − 18 = 36 ; Aplicando el M.C.M.
4𝑦2 − 9𝑥2 − 16𝑦 − 18𝑥 − 38 = 0 ; Resolviendo las operaciones
correspondientes y ordenando los
términos
La ecuación general es 𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟖 = 𝟎
Unidad 5 Hipérbola
55
Calculando las asíntotas de la hipérbola.
𝑦 − 2
3±
𝑥 − 1
2= 0
; Igualando a cero la ecuación y
determinando la raíz cuadrada de cada
fracción
3𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑦 3𝑥 + 2𝑥 = 7 ; Despejando e igualando al término
independiente.
Las ecuaciones de las asíntotas son:
𝑳: 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏 𝒚 𝑳𝟏: 𝟑𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟕
Dada la ecuación general 𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 − 𝟑𝟏 = 𝟎 ,
hallar su grafica.
Solución
(𝑥2 + 2𝑥) − (4𝑦2 − 24𝑦) = 31 ; Agrupamos los términos semejantes
(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 4(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = −4 ; Completando cuadrados
4(𝑦 − 3)2 − (𝑥 + 1)2 = 4 ; Factorizando
(𝑦 − 3)2
1−
(𝑥 + 1)2
4= 1
; Igualando a la unidad
𝐶(−1,3), 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación
ordinaria
La hipérbola tiene centro en (-1,3), sus semiejes son a=1 y b=2
Unidad 5 Hipérbola
56
Calculando las asíntotas de la hipérbola.
𝑦 − 3
1±
𝑥 + 1
2= 0 ; Igualando a cero y determinando la raíz
cuadrada de cada fracción
−𝑥 + 2𝑦 = 7 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 5.
; Despejando e igualando al término
independiente.
Gráfica
Intersección de Cónicas
Para interceptar una hipérbola con otras cónicas es
necesario establecer un sistema de ecuación y despejar para luego
sustituir en una ecuación perteneciente al sistema, y encontrar el o
los puntos comunes.
Se establece al igual de las anteriores cónicas presentadas,
usando los métodos del algebra que considere más eficaces.
Unidad 5 Hipérbola
57
Dadas las ecuaciones generales de la hipérbola
𝟒𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 y 𝒍𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 , hallar el o los
puntos de intersección.
Solución
Calculamos el o los puntos de intersección
{4𝑦2 − 𝑥2 = 4
2𝑥2 + 𝑦2 = 10
; Estableciendo un sistema de ecuación
{8𝑦2 − 2𝑥2 = 8
0𝑦2 + 22𝑥2 = 10
; Reduciendo los términos
9𝑦2 = 18 ; Despejando
𝑦 = ±√2 ; Hallando el valor de la y.
4 (+√2)2
− 𝑥2 = 4 ; Sustituyendo 𝑦 = −√2 y 𝑦 = √2
𝑥 = ±2 ;Resolviendo la ecuación de segundo
grado
Por lo tanto tiene cuatro puntos de intersección
𝑨(𝟐, √𝟐, ) 𝑩(−𝟐, √𝟐, ) 𝑪(𝟐, −√𝟐, ) 𝑫(−𝟐, −√𝟐, )
Calculamos los elementos de la elipse 1
2𝑥2 + 𝑦2 = 10 ; Igualando al término independiente
𝑥2
5+
𝑦2
10= 1
; Hallando la ecuación ordinaria
Unidad 5 Hipérbola
58
𝐶(0,0), 𝑎 = √10, 𝑏 = √5 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación
ordinaria
La elipse tiene centro en (0,0) y sus semiejes son
𝒂 = √𝟏𝟎 𝒚 𝒃 = √𝟓
Calculamos los elementos de la hipérbola
4𝑦2 − 𝑥2 − 4 = 0 ; Igualando al término independiente
𝑦2
1−
𝑥2
4= 1
; Hallando la ecuación ordinaria
𝐶(0,0), 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 ; Extrayendo centro y ejes de la
ecuación ordinaria
La hipérbola tiene centro en (0,0), sus semiejes son
𝒂 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟐
Calculando las asíntotas de la hipérbola.
𝑦
1±
𝑥
2= 0 ; Igualando a cero la ecuación.
𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 0 ; Las ecuaciones de las asíntotas.
Grafica
Unidad 5 Hipérbola
59
Formulas de la Hipérbola
Constantes
2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
2𝑏 = 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜
2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
Ecuación
Ordinaria
Canoníca
Eje focal paralelo al
eje de las abscisas
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1
Eje focal
perpendicular al eje
de las abscisas
𝑦2
𝑎2−
𝑥2
𝑏2= 1
Ecuación
Ordinaria
con
Centro
(ℎ, 𝑘)
Eje focal paralelo al
eje de las abscisas
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Eje focal
perpendicular al eje
de las abscisas
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2= 1
Longitud del lado Recto 𝐿𝑟 =2𝑏2
𝑎
Excentricidad 𝔢 =𝑐
𝑎> 1
Relación entre Semiejes 𝑐2 = 𝑎2+𝑏2
Ecuación de las Asíntotas
𝑥 − ℎ
𝑎±
𝑦 − 𝑘
𝑏= 0
𝑦 − 𝑘
𝑎±
𝑥 − ℎ
𝑏= 0
Ecuación General 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde 𝐴 𝑦 𝐵 , son de ≠ signos.
Unidad 3 Hipérbola
60
Los cometas pueden moverse en trayectorias elípticas,
parabólicas o hiperbólicas alrededor del sol. Si un cometa se
desplaza en una trayectoria hiperbólica dentro de nuestro sistema
solar, pasara por el sol una vez y nunca regresará (una rama de la
hipérbola). Supongamos que las coordenadas de un cometa (en
millas) se describe mediante la ecuación:
𝒙𝟐
𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒−
𝒚𝟐
𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒= 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 0
Donde el sol se ubica en un foco, como se muestra en la
figura. Calcular las coordenadas del sol y la distancia mínima
entre el cometa y el Sol.
Solución
Calculamos los Semiejes de la Hipérbola
𝑥2
25 ∗ 1014−
𝑦2
16 ∗ 1014= 1
; Ecuación de la Hipérbola
Unidad 5 Hipérbola
61
𝑎2 = 25 ∗ 1014 𝑏2 = 16 ∗ 1014 ; Extrayendo los datos de la ecuación
ordinaria
𝑎 = 5 ∗ 107 𝑏 = 4 ∗ 107 ; Calculando la raíz cuadrada
𝑐2 = (5 ∗ 107)2 + (4 ∗ 107)2 ; Utilizando la formula pitagórica
𝑐 = √25 ∗ 1014 + 16 ∗ 1014 ; Resolviendo las potencias y despejando
𝑐 = √41 ∗ 107 ; Resolviendo las operaciones básicas
Las coordenadas de la ubicación del Sol es 𝑭(𝟔, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟕 ; 𝟎 )
Calculando la distancia entre el Sol y el Cometa
𝑑 = 𝑐 − 𝑎 ; Distancia entre el foco y el vértice
𝑑 = (√41 − 5) ∗ 107 ; Resolviendo las operaciones básicas
La distancia mínima entre el cometa y el Sol es de
𝟏, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔
1,4*107millas
Unidad 3 Hipérbola
62
Ejercicios Propuestos
1) Dada la grafica, encuentra su ecuación general.
2) Dada la ecuación 𝑥2 − 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 , encontrar su
grafica con todos sus elementos.
3) Determinar las coordenadas de los puntos de
intersección de 9𝑥2 + 25𝑦2 − 225 = 0 y 3𝑥2 − 𝑦2 − 12 = 0.
4) Dos faros LORAN están en una costa recta a 100Km de
distancia entre ellos. Un barco navega en una trayectoria
recta paralela a la costa, y a una distancia de 50Km de ellos.
Si recibe señales de los faros con una diferencia de 0,0002
segundos, ¿cuál es la posición del barco?
Unidad 5 Hipérbola
63
1) Identifica el tipo de lugar geométrico, dadas las ecuaciones:
a) (𝑦 − 1)2 = 2𝑥 + 4
b) 𝑦2 + 2𝑥 + 6 = 0
c) 4𝑥2 + 9𝑥2 − 8𝑥 = 32
d) (𝑥 − 2)2 = (𝑦 − 3)2
e) 𝑥2 − 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 36 = 0
f) (𝑥 − 2)2 = 𝑦2 + 4𝑦
g) 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 6𝑦 = 0
h) 2𝑥2 + 3𝑦2 − 2𝑥 = 0
2) Califique como verdadero o falso las siguientes proposiciones:
a) La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 representa una
circunferencia para todos los números reales diferentes de
cero a, b y c.
b) La distancia entre los focos de la gráfica de 𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
es 2√𝑎2 + 𝑏2.
c) La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑥 + 4 = 0 describe una
circunferencia si y sólo si 𝑘 ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞).
d) El vértice de una parábola es el foco de otra parábola y
viceversa, si la ecuación de una de ella es 𝑦2 − 2𝑦 + 4𝑥 + 1 =
0 , entonces la ecuación de la otra parábola es 𝑦2 + 2𝑦 +
2𝑥 − 4 = 0.
64
e) La cónica de ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0, tiene su foco en
(1,0).
f) Sea la parábola P, cuya ecuación es 𝑃: 2𝑦2 − 3𝑦 + 5𝑥 + 2 = 0 ,
su foco tiene por coordenadas 𝐹 (−107
40,
3
4).
g) Sea la ecuación 𝑎𝑥2 − 2𝑦2 + 3𝑥 − 2𝑦 = 0 donde 𝑎 ∈ ℝ+ , su
lugar geométrico es una hipérbola.
h) La circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 es concéntrica con la
circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4 = 0.
i) La circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 + 36 = 0 , es de radio real.
j) El lado recto de una parábola es considerada una
cuerda focal.
k) La elipse es una sección cónica donde la excentricidad
es mayor de uno.
l) La cónica 𝑥2 − 𝑦 + 6 = 0, no tiene intersección con los ejes
del plano cartesiano.
m) El bosquejo de gráfica de la hipérbola contiene dos
asíntotas.
n) El eje mayor de la sección cónica 9𝑥2 + 8𝑦2 − 54𝑥 − 16𝑦 +
17 = 0, es paralelo al eje de las ordenadas.
65
Unidad 1: ¿Por qué era fundamental que las resoluciones fueran con regla no graduada y compás?
Porque eran los únicos instrumentos que tenían los
griegos para demostrar sus propias definiciones y construir los axiomas que hoy en día conocemos.
Unidad 2: ¿Cuánto mide la circunferencia de la tierra hoy en día con todos los avances tecnológicos e indica el porcentaje de error que obtuvo Eratóstenes?
Solo un error de aproximadamente 1%, ya que en la
actualidad la circunferencia es de 40008 kilómetros.
Unidad 3: ¿En qué año Johannes Kepler decidió estremecer a la población con las orbitas elípticas?
En 1609 sé público las tres Leyes de Kepler , aunque él no formalizó la definición de la elipse pero le asignó más valor ya que asignó dicha curva a las trayectorias planetarias.
Unidad 4: ¿Cuáles otros problemas de cuadraturas tienen relevancia durante la historia?
La cuadratura del círculo, triangulo, rectángulo, cicloide y
lúnula, entre otras.
Unidad 5: ¿Quién concibió el sistema CNS/ATM?
La Organización Internacional de Aeronáutica Civil (OACI), quien en 1983 creó el Comité FANS (Comité de sistemas de aeronavegación para el futuro).
66
Unidad 2: Circunferencia
1) a) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0
b)𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0
2) a)
b)
67
3) 𝑥2 + 𝑦2 − 7𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0
4) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0
5) (5√37 + 13)𝑥 + 72𝑦 − 9(5√37 − 27) = 0
(5√37 − 13)𝑥 − 72𝑦 + 9(5√37 + 27) = 0
Unidad 3: Elipse
1) 9𝑥2 + 25𝑦2 + 18𝑥 − 50𝑦 − 191 = 0
2) a)
68
b)
3) 𝐴 (1
3, −
1
4) 𝑦 𝐵 (−
1
3,
1
4)
4) Distancia máxima 6m.
Unidad 4: Parábola
1) 𝑦2 + 4𝑥 + 4𝑦 = 0
2)
69
3) No tiene puntos comunes.
4) 𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 16 = 0
5) 15m
Unidad 5: Hipérbola
1) 9𝑥2 − 9𝑦2 − 72𝑥 − 18𝑦 + 126 = 0
2)
3) 𝐴 (5
2,
3√3
2) , 𝐵 (
5
2, −
3√3
2) , 𝐶 (−
5
2,
3√3
2) 𝑦 𝐷(−
5
2, −
3√3
2)
4) 𝐵(48, 50) , 80𝑥2 − 45𝑦2 − 72 000 = 0
70
Producto Notable Ecuaciones de la Línea Recta
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Punto Pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Distancia entre Dos Puntos Pendiente con Ordenada en el
Origen
𝑑𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Distancia entre Punto a una
Recta
Ecuación Cartesiana
𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
√𝐴2 + 𝐵2
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1=
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
Distancia entre Dos Rectas Abscisa y Ordenada en el
Origen
𝑑 = |𝐶 − 𝐶1|
√𝐴2 + 𝐵2
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
Teorema de Pitágoras Dos líneas Perpendiculares
𝐻2 = 𝐶𝐴2 + 𝐶𝑂2 𝑚1. 𝑚2 = −1
Pendiente de una Recta Dos líneas Paralelas
𝑚 = 𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2 donde 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑚1 = 𝑚2
Punto Medio de un Segmento Angulo entre dos Rectas
𝑥 =𝑥1+𝑥2
2 𝑦 =
𝑦1+𝑦2
2 𝑚 = 𝑡𝑎𝑔(∝) =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1. 𝑚2
71
Abscisa: es la línea recta horizontal de un sistema de
coordenadas rectangulares.
Amblitoma: son las secciones cónicas imaginarias que se
obtienen al interceptar un plano con un cono obtuso.
Algebra: es la rama de la matemática que estudia la
combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a
ciertas reglas.
Asíntota: es una recta que, a medida que se prolonga de
manera indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o
función, aunque sin alcanzar a hallarla.
Concéntricas: dos o más circunferencias son concéntricas
cuando coinciden las coordenadas de sus centros.
Cónicas Imaginarias: es cuando la distancia del centro a
cualquier punto de la curva es generada por la raíz de un
numero negativo, por lo general se le denomina
circunferencia imaginaria.
Cono Circular Recto: es una figura solida que tiene una base
circular y un eje como vértice que es perpendicular a la base.
72
Curva: es una línea continua de una dimensión, que varía de
dirección paulatinamente.
Directriz: es aquella línea, superficie o volumen que
determina las condiciones de generación de otra línea,
superficie o volumen, que se llama generatriz.
Generatriz: es una línea que a causa de su movimiento
conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la
directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva
simplemente un círculo.
Geometría: es una rama de la matemática que se ocupa del
estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el
espacio, incluyendo: puntos, rectas y planos.
Hipérbola Equilátera: es cuando sus asíntotas forman una
bisectriz.
Intersección: es el corte de dos curvas, dos superficies o dos
sólidos, que es respectivamente, un punto, una recta o una
superficie.
Recta Tangente: es una recta que toca a la curva en el punto
dado, es decir, dicho punto forma un ángulo nulo.
73
Recta Secante: es una recta que corta a una curva en 2
puntos.
Paralelas: se denominan rectas paralelas a las líneas que
mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque se
prolongue su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún
punto sus trazos pueden bifurcarse, tocarse o encontrarse.
Perpendiculares: son dos rectas que se bifurcan en un punto
formando cuatro ángulos rectos, es decir, 90º cada uno.
Pendiente: es el parámetro que indica la inclinación de una
línea recta respecto a la horizontal.
Plano Cartesiano: plano cartesiano o sistema de coordenadas
rectangulares está formado por la intersección de dos rectas
numéricas de forma perpendicular.
Ordenadas: es la línea recta numérica que se encuentra de
forma vertical en un sistema de coordenadas rectangulares.
Ortotoma: son las secciones cónicas imaginarias que se
obtienen al interceptar un plano con un cono rectángulo.
Oxitoma: son las secciones cónicas imaginarias que se
obtienen al interceptar un plano con un cono agudo.
74
Benítez R. y Zaldívar F. (2011). Geometría Analítica Plana.
Primera Edición. Trillas. México.
Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros
Semióticos y aprendizaje Intelectuales. Segunda Edición.
Colombia.
Hoyos, V. (1998). Revisitando La Construcción de Significado
en Torno de las ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas.
[Resumen en Línea]. Trabajo de Grado de Maestría no
Publicado, Universidad Pedagógica Nacional, México.
Disponible:
http://descartes.ajusco.upn.mx/piem/publicvha1.html.
[Consulta: 2014, Enero 22].
Kindle, J. (2007). Teoría y Problemas de Geometría Analítica
Plana y del Espacio. Serie de Compendios Schaum. Libros
McGRAW-Hill.
Larson, R., Hostetler, R. y Bruce, E. (2006). Calculo con
Geometría Analítica. Octava Edición. México.
Lehmann, C. (1980). Geometría Analítica. Grupo Noriega.
Editorial Limusa. México.