Universidad de la República Licenciatura en Ingeniería ...
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Teoría de Circuitos 2022Régimen sinusoidalLicenciatura en Ingeniería BiológicaUniversidad de la República
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Contenido
● Repaso
● Fasores
● Circuitos en régimen sinusoidal
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Contenido
● Repaso● Fasores
● Circuitos en régimen sinusoidal
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Repaso
● Una sinusoide tiene la forma:
Donde:
Recordando:
● A es la amplitud de la señal
● 𝜙 es la fase
● ⍵ es la frecuencia angular de la señal,
donde:
○ ⍵ = 2πf = 2π/T○ T es el período
○ f = 1/T es la frecuencia
A
T
v0
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Repaso
● El seno se atrasa π/2 al coseno
Recordando:
● Es decir, el seno demora π/2⍵ en llegar al
mismo punto del coseno.
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Repaso
● Dado un vector en ℝ2 se cumple que:
Donde:
Recordando:
● 𝜌 es su módulo
● 𝜙 es su fase
● x es su proyección sobre el eje horizontal
● y es su proyección sobre el eje vertical
𝜌y
x
𝜙
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Repaso
● Definición de atan
Recordando:
¿Qué pasa para valores fuera de ese intervalo?
R: Hay que sumar π
● Por lo tanto, la fase se calcula como:
x
y
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Repaso
● Cada zϵℂ, puede representarse por un vector en ℝ2 que cumple: que:i:
Donde:
Recordando:
● 𝜌 = |z| es su módulo
● 𝜙 = arg(z) es su fase
● x =Re(z) es su proyección sobre el eje horizontal
● y = Im(z) es su proyección sobre el eje vertical
𝜌
y
x
𝜙
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Contenido
● Repaso
● Fasores● Circuitos en régimen sinusoidal
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Fasores
● Dado un sistema lineal, su salida en régimen viene dada por:
Régimen:
● Se dice que se alcanza el régimen si a partir de cierto to la
señal alcanza cierta periodicidad.○ Ej. en régimen de continua,
● No siempre se llega al régimen:○ Para asegurar la llegada al régimen, se debe trabajar con
circuitos estables
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Fasores
● Encontrar la relación entre vi y v
o:
Dado el siguiente circuito RC:
● Ecuaciones del circuito:
● Operando:
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Fasores
● Dada una entrada sinusoidal de la forma:
Hallar vo:
Dado el siguiente circuito RC:
● La solución homogénea queda::
● Calculemos la solución particular:
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Fasores
● Como la entrada es sinusoidal, la solución
particular tiene la forma:
Dado el siguiente circuito RC:
● Sustituyendo en la ecuación queda:
● Sacando factor común por los términos cos(⍵t)
y sin(⍵t) se llega al siguiente sistema:
Resolviendo
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Fasores
● Por lo tanto, la ecuación general queda:
Dado el siguiente circuito RC:
● Respuesta natural: Depende únicamente de la constitución del circuito, determina fuertemente la
estabilidad del sistema.
Respuesta natural
(transitoria)Respuesta forzada (régimen)
● Respuesta forzada: Tiene la forma de la entrada, es la que sobrevive en régimen si este se alcanza.
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Fasores
● Por lo tanto, la salida en régimen del circuito queda:
Dado el siguiente circuito RC:
● Análogamente, para una entrada de la forma:
La salida en régimen queda:
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Fasores
● Si la entrada tiene la forma:
Generalizando
Recordando que un circuito lineal cumple: S(a.e1
+b.e2
) = a.S(e1
)+b.S(e2
), ∀ e1
, e2
señales y a,b ϵ ℝ
Se tiene que:
Su salida en régimen tiene la forma:
● Si cambiamos seno por coseno, módulo y
fase de salida permanecen invariantes:
¿Qué pasa si extendemos en rango de los escalares al mundo complejo?
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Fasores
● Para a=1 y b= j, se tiene que:
Generalizando
● Notar que se cumple que:
● Por lo tanto, la relación de un sistema lineal extendida a números complejos queda:
En conclusión, para resolver un problema en régimen sinusoidal, se puede simplificar el problema
pasando al mundo complejo.¡Qué irónico!
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Fasores
● Dada la función sinusoidal de la forma:
Definición
● Notar que se puede despejar aplicando el siguiente procedimiento:
● Se define fasor como el número complejo que verifica la identidad:
Notar que el fasor no depende del tiempo, sí puede depender de la frecuencia angular como veremos
más adelante.
● Siguiendo esto, la relación de un sistema en régimen sinusoidal queda::
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Contenido
● Repaso
● Fasores
● Circuitos en régimen sinusoidal
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Circuitos en régimen sinusoidal
● Como ya se vió, en régimen sinusoidal se cumple que:
Metodología
● Por lo tanto, se sugiere el siguiente plan para trabajar con circuitos en régimen sinusoidal:
1. Calcular el fasor asociado a vi
2. Resolver el circuito en el dominio fasorial
3. Obtener vo a partir de su fasor asociado
Para determinar lo que es trabajar en el dominio fasorial, hay que determinar cómo se comportan los
componentes lineales que conocemos en este mundo.
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Circuitos en régimen sinusoidal
● La ley de Ohm nos dice que:
Resistencia
● Pasando a fasores:
La ley de ohm es invariante en fasores
● A partir de la identidad se concluye que:
I
V+ -
R
V e I están en fase
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Circuitos en régimen sinusoidal
● La ley de del elemento nos dice que:
Capacitancia
● Pasando a fasores:
Se cumple la ley de ohm en el dominio fasorial para C
● A partir de la identidad se concluye que:
I
V+ -
C
I está adelantada π/2 respecto a V
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Circuitos en régimen sinusoidal
● La ley de del elemento nos dice que:
Inductancia
● De forma simétrica al caso anterior:
También se cumple la ley de ohm en el dominio fasorial para L
● A partir de la identidad se concluye que:
I
V+ -
L
I está atrasada π/2 respecto a V
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Circuitos en régimen sinusoidal
● Por linealidad de la función Re(), se siguen
cumpliendo.
Leyes de mallas y nudos
● Notar que las fuentes sinusoidales pasan a ser
fuentes de continua en fasores.
Fuentes
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Circuitos en régimen sinusoidal
● Resolver el siguiente circuito en fasores:
Circuito RC en fasores
1. Pasar la entrada vi a fasores.
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Circuitos en régimen sinusoidal
● Resolver el siguiente circuito en fasores:
Circuito RC en fasores
2. Resolver el circuito a fasores
por divisor de tensión
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Circuitos en régimen sinusoidal
● Resolver el siguiente circuito en fasores:
Circuito RC en fasores
3. Pasar el fasor de salida a tiempo
Ejercicio: Terminar de resolver la expresión.
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FIN