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MAGÍSTER IRIS MONTENEGRO

UNIVERSIDAD DE

PANAMÁ

Centro Regional

Universitario de Bocas del

Toro

La matemática financiera es una de las áreas más útiles e importantes de la matemática

aplicada, que comprende diversos modelos matemáticos relacionados con los cambios

cuantitativos que se producen en sumas de dinero que constituyen los capitales.

Las Anualidades son de gran importancia porque se utilizan en el campo financiero, desde

las simples: ordinarias, anticipadas y diferidas, hasta las de tipo general. Se conocerán las

diversas fórmulas que se utilizan en cada situación financiera para determinar el valor de la

renta, la tasa de interés y el plazo de la operación, así como su valor actual o presente y el

monto futuro.


MÓDULO 1: Anualidades Definición: Una Anualidad es una sucesión de pagos, por lo general iguales hechos a

intervalos iguales de tiempo.

Ejemplos de Anualidades:

1. Las primas de seguro de un automóvil.

2. Pagos de la hipoteca de una vivienda.

3. Pagos por la renta de un local comercial.

4. Pagos de compras a corto plazo.

Conceptos Básicos Relativos a Anualidades No. Concepto Definición Notación

1.

Período o

Intervalos de

Pagos

Es el tiempo transcurrido entre pagos sucesivos

de una anualidad. n

2. Término o Plazo de

una anualidad

Es el tiempo que pasa entre el principio del

primer intervalo de pago hasta el final del último

intervalo de pagos. Es el tiempo en que se

mantiene vigente la anualidad.

t

3. Valor Actual,

Presente o

Descontado

Es la suma del valor presente de cada pago de la

anualidad valuado en la fecha de inicio de la

operación. Valor fechado equivalente del

conjunto de pagos vencidos, al principio del

término.

A

4. Valor Acumulado o

Monto

Valor fechado equivalente del conjunto de pagos

vencidos al final del término. Es el valor de todos

los pagos de la anualidad valuados a la fecha de

vencimiento de la operación (que en realidad es

la suma de los montos individuales).

S

5. Renta Es la cantidad de dinero que paga la anualidad en

cada período. R

6. Tasa de interés

Se da en términos de porcentajes (%). Tasa de

interés compuesto que aplica a los abonos o

depósitos de la anualidad, con capitalización

periódica que puede coincidir o no con el periodo

de los pagos.

i


Tipos de Anualidades:

Categoría Tipo Definición Ejemplos

El plazo

Ciertas

Son aquellas en la cual el término de

una anualidad es fijo, es decir, que

las fechas de pagos del primero y el

último son sostenidas. En otras, hay

certidumbre del pago de la

anualidad.

Los pagos de interés

por bonos.

Pago de un préstamo

hipotecario.

Contingentes

Cuando el término de la anualidad

depende de un evento incierto.

Los primas por seguro

de vida (cesan con la

muerte del asegurado)

Pensiones otorgadas

por la Caja de Seguro

Social.

El

momento

de pago

Anticipadas u

Ordinarias

Cuando los pagos se hacen al

principio de los intervalos de pagos.

Se renta un

departamento por un

año, y acuerda pagar al

arrendador la cantidad

de $4,500 al principio

de cada mes mientras

dure el contrato.

Vencidas Cuando se hacen los pagos al final de

cada intervalo de pago.

Se hace un préstamo

personal y se conviene

pagarlo en 15 meses.

El

momento

que inicia

la

anualidad

Inmediatas Los pagos comienzan en el momento

que se pacta el convenio.

Cuando se compra un

artículo a crédito y se

empieza a pagar al

vencer el primer mes.

Diferidas

Es aquella cuando el primer pago se

vence en una fecha posterior.

La compra de un

electrodoméstico a

crédito y el comprador

acuerda hacer los pagos

mensualmente se hacen

6 meses después de

haber obtenido el bien.

Por los

Intereses Simples

Cuando el intervalo de pago y el

período de conversión de interés

Se compra una

televisión a crédito, el


coinciden. Este tipo de anualidad se

refiere más bien cuando los periodos

de capitalización del interés

compuesto coinciden con los

periodos de los pagos de la anualidad.

aparato cuesta $10,000

y la tienda exige el pago

del 20% de enganche, y

el resto lo paga en

abonos mensuales

durante un año.

Generales

Cuando el intervalo de pago y el

período de conversión de interés no

coinciden.

Fórmulas Básicas. Cuando calculamos el monto de una anualidad lo que estamos haciendo es calcular la suma

de cada monto (individual) que conforma la anualidad, valuando cada pago en la fecha donde

termina la anualidad, gráficamente se vería así:

1. Para calcular el monto: 𝑺 = 𝑹𝑺𝒏𝒊⁄ = 𝑹

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

𝒊 (1)

La expresión 𝑆𝑛 𝑖⁄ se lee “S ángulo n en i” y se refiere al valor acumulado de una

anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 de cada uno. Se llama valor acumulado

de $1 por periodo o factor de acumulación para n pagos. Para este cálculo se

empleará la siguiente tabla para calcular el interés compuesto para valores de i y n.

Ejemplos:

A) El gerente de una fábrica gana $14 000 mensuales, un contador le recomienda

que ahorre el 10% de su salario en una cuenta bancaria que paga el 1,5% de interés

efectivo mensual. Si el gerente sigue este consejo, ¿a cuánto ascendería su

cuenta al cabo de dos años?

Solución:

Primero calculemos el 10% del salario mensual, esto es, 14000 × 10% = 1400


Con dos años de vigencia, entonces en total serán 24 meses en que estará

depositando a la cuenta.

Datos conocidos:

R = 1 400

t = 2 años

i = 1,5% = 1,5

100= 0,015

n = 2 años = 2 X 12 = 24 meses

Para calcular el monto vamos a utilizar la expresión: 𝑆 = 𝑅𝑆𝑛𝑖⁄ = 𝑅

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖

Sustituyendo queda: 𝑆 = 14000(1+0,015)24−1

0,015= 40086,929 = 𝟒𝟎𝟎𝟖𝟔, 𝟗𝟑

Respuesta: El gerente al cabo de dos años recibirá $ 40 086,93

B) Un estudiante está por entrar a la universidad y solicita una beca que pagará la

cantidad de $1 500 al final de cada mes durante todo el semestre, sin embargo

aún no termina de tramitar su certificado de estudios de bachillerato, el

departamento de servicios escolares le informa que el documento estará listo

cinco meses después de que ingrese a la universidad. El estudiante expone el

problema al jefe del departamento de becas de la universidad y éste le explica

que la beca tiene la característica de ser retroactiva, esto significa que en el

momento en que él presente todos los documentos correspondientes le entregan

el monto de todas las mensualidades atrasadas, mientras tanto, el dinero se

deposita en una cuenta que paga el 15% de interés anual capitalizable

mensualmente. ¿Cuál será el monto total que recogerá el estudiante cuando le

entreguen su certificado?

Solución:

Podemos identificar que se trata de una anualidad cierta, vencida e inmediata,

estamos interesados en saber el monto de los pagos hasta el quinto mes.

En primer lugar, necesitamos conocer la tasa de interés efectiva:

1 + 𝑗 = (1 +𝑗𝑚

𝑚)

𝑛

𝑗 = (1 +𝑗𝑚

𝑚)

𝑛

− 1

Tenemos que: 𝑖 =𝑗1

1 , esto nos conduce que i = j

Por otro lado, 𝑖 =𝑗12

12=

15

100

12= 0,0125

𝑗 = (1 +𝑗𝑚

𝑚)

𝑛

− 1

𝑗 = (1 +

1510012

)

1

− 1


𝑖 =𝑖

12=

0,15

12 = = 0.0125

Datos conocidos:

R = 1 500

n = 5 meses

i = 0,0125

Ahora solo resta aplicar la fórmula para encontrar el monto de la anualidad:

𝑀 = 1500(1 + 0,0125)5 − 1

0,0125= 𝟕 𝟔𝟖𝟗, 𝟖𝟓

Respuesta: el estudiante recibirá $ 7 689,85, si entrega su certificado el quinto

mes.

C) Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $ 2 000 anuales

durante 5 años, si el dinero vale,

c.1) 𝑗1 = 9%

c.2) 𝑖1 = 121

2%

Solución:

Datos conocidos:

R = 2 000

n = 5 años

c.1) i = 𝑖 = 𝑗1 = 9% =9

100= 0,09

Aplicando en la fórmula, obtenemos,

𝑆 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 2000

(1 + 0,09)5 − 1

0,09= 11969,42

c.2) i = 𝑖 = 𝑗1 = 121

2% =

25

2

100=

1

8= 0,125

Aplicando en la fórmula, obtenemos,

𝑆 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 2000

(1 + 0,125)5 − 1

0,125= 12832,529

D) María deposita $ 300 cada 3 meses en una cuenta de ahorros, que paga intereses

𝑗4 = 8% ¿Cuánto hay en su cuenta justo después del depósito del 1 de marzo del

2014, si el primer depósito lo hizo el 1 de marzo del 2010?

Solución

Debemos calcular la tasa anual efectiva i.

𝑖 =𝑗4

4=

8100

4=

1

50= 0,02

Datos conocidos:

R = 300


Se observa que la anualidad ordinaria comienza un período antes del primer

depósito, el 1 de diciembre del 2009. Así el valor acumulado S de sus depósitos

hasta el 1 de marzo del 2014.

1/12/2009 1/3/2010 1/6/2010 1/12/2013 173/2014

Como son 4 años y cada año tiene 4 periodos, luego, n = (4 x 4) + 1 = 16 + 1 = 17

𝑆 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 300

(1 + 0,02)17 − 1

0,02= 6003,62

E) Juan paga un préstamo con $ 250 mensuales. Si no paga los meses de julio,

agosto, septiembre y octubre. ¿Qué pago necesitará hacer en noviembre para

emparejarse con su calendario, si el interés está a 𝑗12 = 14,4%

Solución

Juan necesitará pagar intereses sobre saldos insolutos, junto con el pago de

noviembre.

Datos conocidos

R = 250

𝑖 =𝑗12

12=

14.410012

=3

250= 0,012

n = 5

𝑆 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 250

(1 + 0,012)5 − 1

0,012= 1280,36

F) Pedro ha depositado $1 000 al final de cada año, durante los últimos 10 años, en

un plan de ahorro para su retiro. Sus depósitos ganaron intereses 𝑗1 = 8%

durante los 3 primeros años, 𝑗1 = 101

4% durante los siguientes 4 años y 𝑗1 = 9%

durante los últimos 3 años.

¿Cuál es el valor acumulado de su plan de retiro?

¿Cuáles son los intereses totales ganados en los 10 años?

Solución

f.1) R = 1 000

Veamos el diagrama:

3 años 4 años 3 años

0 3 7 10

. . .

𝑗1 = 8% 𝑗1 = 10

1

4% 𝑗1 = 9%


𝑆 = 1000(1 +

8100)

3

− 1

0,08(1 +

1014

100)

4

(1 +9

100)

3

+ 1000

(1 +10

14

100)

4

− 1

0,1025(1 +

9

100)

3

+ 1000(1 +

9100)

3

− 1

0.09

𝑆 = 6211,49 + 6032,38 + 3278,10 = 𝟏𝟓𝟓𝟐𝟏, 𝟗𝟕

f.2) 𝑆 = 𝑃 + 𝐼, luego 𝐼 = 𝑆 − 𝑃 𝐼 = 15521,97 − 10000 = 𝟓𝟓𝟐𝟏, 𝟗𝟕

G) Juan abre una cuenta de ahorros con un depósito de $ 2 000 el 1 de febrero del

2003 y hace depósitos mensuales de $200 durante 5 años, comenzando el 1 de

marzo del 2003. A partir del 1 de marzo del 2008 hace retiros mensuales de $

400 durante 3 años. Calcular el saldo de su cuenta después del último retiro, el

1 de febrero del 2011, si 𝑗12 = 6%

Solución 2000 200 200 . . . 200 -400 -400 . . . -400

1/2/2003 1/3/2003 1/4/2003 1/2/2008 1/3/2008 1/4/2008 1/2/2011

Se utiliza la siguiente ecuación de valor para obtener el valor de X

𝑆 = 2000 (1 +

610012

)

(12×8)

+ 200

(1 +

610012

)

(12×5)

− 1

0,005(1 +

610012

)

(12×3)

− 400

(1 +

610012

)

(12×3)

− 1

0,005

𝑆 = 3228,29 + 16698,49 − 15734,44 = 𝟒𝟏𝟗𝟐, 𝟑𝟒

H) Se estima que será necesario reemplazar una máquina dentro de 10 años, a un

costo de $ 80 000, ¿cuánto se debe ahorrar cada año para reunir esa cantidad,

si se gana de interés en ahorro, 𝑗1 = 8%

Solución

Procedemos a despejar la fórmula (1) en función de R, resulta:


𝑅 =𝑆𝑖

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

80000 =𝑅(1 + 0,08)10 − 1

0,08

𝑅 =80000 × 0,08

(1 + 0,08)10 − 1=

6400

1,158924997= 𝟓𝟓𝟐𝟐, 𝟑𝟔

I) A partir del 1 de junio de 1995, hasta el 1 de diciembre del 2000 una empresa

necesitará $ 250 000 semestrales para retirar una serie de bonos. ¿Qué

depósitos semestrales iguales se necesitarán hacer en un fondo que paga 𝑗2 =

10% a partir del 1 de junio del 1990, continuamente hasta el 1 de diciembre del

2000, para retirar los bonos cuando se venzan?

Solución

𝑖 =

10100

2=

1

20= 0,05

Sea X el valor semestral necesario. Observe la figura. Se plantea una ecuación

de valor el 1 de diciembre de 1995.

X X . . . X X X . . . X X

0 1 2 3 10 11 12 21 22

1/12/1984 1/6/1985 1/12/1986 1/12/1989 1/6/1990 1/12/1990 1/6/1995 1/12/1995

12 pagos

𝑡 = 1995 − 1984 = 11 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑛1 = 2(11) = 22 𝑡 = 1995 − 1989 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑛2 = 2(6) = 12

𝑋𝑆22 0,05⁄ = 250000𝑆12 0,05⁄

𝑋[(1 + 0,05)22 − 1]

0,05= 250000

[(1 + 0,05)12 − 1]

0,05

𝑋 = 250000

(1 + 0,05)12 − 10,05

(1 + 0,05)22 − 10,05

= 𝟏𝟎𝟑𝟑𝟒𝟑, 𝟗𝟕


J) Juana ha hecho depósitos semestrales de $500 durante 5 años, en un fondo de ahorro

que paga intereses 𝑗2 = 61

4%, ¿qué depósitos semestrales durante los 2 años siguientes

elevarán el fondo hasta $10 000?

Solución

Veamos el diagrama:

$500 $500 X X X X

0 1 2 …. 10 11 12… 14

5 años 2 años

𝑖 =0,0625

2=

1

32

𝑛1 = 5(2) = 10 𝑛2 = 2(2) = 4

500[(1 +

132)

10

− 1]

132

(1 +1

32)

4

+ 𝑋[(1 +

132)

4

− 1]

132

= 10000

6520,17 + 𝑋(4,1914) = 10000

4,1914𝑋 = 10000 − 6520,17

4,1917𝑋 = 3479,83

𝑋 =3479,83

4,1917= 830,22

Valor Descontado de una Anualidad Simple OrdinariaPara calcular el valor descontado

de una anualidad simple ordinaria emplearemos las fórmulas:

𝑨 = 𝑺(𝟏 + 𝒊)−𝒏 (2)

Si sustituimos la primera fórmula (1) en la (2), obtenemos:

𝐴 = 𝑅𝑆𝑛𝑖⁄ (1 + 𝑖)−𝑛 = 𝑅

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖= 𝑅

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖= 𝑅𝑎𝑛 𝑖⁄ (3)

El factor 𝑎𝑛 𝑖⁄ se lee “a n barra en i” y se llama factor de descuento para n pagos, o

valor descontado de $1 por periodo. Se calculará 𝑎𝑛 𝑖⁄ con ayuda de la calculadora y

se usarán todos los dígitos necesarios para lograr mayor exactitud.

Ejemplo 1. Calcular el valor presente de una anualidad de $ 380 al final de cada mes

durante 3 años, empleando: a) 𝑗12 = 12% b) 𝑗12 = 10,38%

Solución:


a) Veamos los datos dados del problema:

R i n

380 𝑖 =0,12

12=

1

100

𝑛 = 12(3) = 36

𝐴 = 𝑅1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 380

1 − (1 +1

100)−36

1100

= 11440,85

b) Datos conocidos:

R i n

380 𝑖 =0,1038

12=

173

20000

𝑛 = 12(3) = 36

𝐴 = 𝑅1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 380

1 − (1 +173

20000)−36

17320000

= 11711,81

Ejemplo 2. José compra un coche usado, pagando $1 500 de enganche y $182,50 mensuales

durante 3 años.

a) ¿Cuál fue el precio de contado del automóvil, si la tasa de interés del préstamo es 𝑗12 = 18%

b) ¿Cuáles fueron los intereses totales sobre el préstamo?

Solución.

a) Veamos los datos conocidos.

R i n

182,50 𝑖 =

0,18

12=

3

200

𝑛 = 12(3) = 36

𝐴 = 182,501 − (1 +

3200)

−36

32000

= 𝟓𝟎𝟒𝟖, 𝟎𝟕

Precio de contado = 1500 + 5048,07 = 6548,07

b) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜 − 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜 𝐼𝑡 = (36 × 182,50) − 5048,07 = 6570 − 5048,07 = 𝟏𝟓𝟐𝟏, 𝟗𝟑


Ejemplo 3. La Sra. Santos firmó un contrato donde se le pide un enganche de $2000 y

pagos de $250 mensuales durante 5 años. El dinero vale 𝑗12 = 12%.

a) ¿Cuál es el valor al contado del contrato?

b) Si a Sra. Santos le faltaron los primeros 6 pagos, ¿cuánto debe pagar en el 7° pago

para saldar toda su deuda?

c) Si al principio del tercer año, después de haber realizado el 24° pago, el contrato es

vendido a un comprador que rinde 𝑗12 = 15%. ¿Cuánto paga el comprador?

Solución

Veamos el diagrama: 2000 250 250… 250… 250

0 1 2… 7…… 60 meses

7 pagos 53 pagos

𝑖 =0,12

12=

1

100

𝑛1 = 12(5) = 60

a) Calculemos A.

R i n

250 𝑖 =0,12

12=

1

100

𝑛 = 12(5) = 60

𝐴 = 2501 − (1 +

1100)

−60

1100

= 𝟏𝟏𝟐𝟑𝟖, 𝟕𝟔

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 2000 + 11238,76 = 𝟏𝟑𝟐𝟑𝟖, 𝟕𝟔

b) Calculemos el valor acumulado (S) de los 7 pagos

𝑆 = 250(1 +

1100)

7

− 1

1100

= 𝟏𝟖𝟎𝟑, 𝟑𝟗

Calculemos el valor descontado de los 60 – 7 = 53 pagos restantes.

𝐴 = 2501 − (1 +

1100)

−53

1100

= 𝟏𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟗

Calculemos el pago total requerido: 𝑷𝒂𝒈𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟖𝟎𝟑, 𝟑𝟗 + 𝟏𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟗 = 𝟏𝟐𝟎𝟒𝟗, 𝟒𝟖


c) Calculemos el valor descontado para 60 – 24 = 36 pagos para 𝑗12 = 15%

Como se hizo en el 24° mes, entonces 𝑛 = 60 − 24 = 36

𝑖 =0,15

12=

1

80

𝐴 = 2501 − (1 +

180)

−36

180

= 𝟕𝟐𝟏𝟏, 𝟖𝟐

Ejemplo 4. Para saldar una deuda a una tasa de interés compuesto 𝑗2 = 12%, se conviene

en hacer 15 pagos de $400 al final de cada semestre, y un pago final de $292,39 seis

meses después. ¿A cuánto asciende esa deuda?

Solución.

𝑖 =0,12

2=

3

50

Veamos el diagrama:

400 400 292,39 0 1 ….. 15 16

Calculemos el valor descontado de una anualidad ordinaria de los 15 pagos de $400 cada

medio año:

𝐴 = 4001 − (1 +

350)

−15

350

= 3884,90

Calculemos el valor descontado de $292,39 pagaderos en 8 años (16 años y medio) 𝑛 = 60 − 24 = 36

𝐴 = 292,39 (1 +3

50)

−36

= 115,10

Ejemplo 5. Una anualidad paga $ 200 al final de cada mes durante 2 años, después $ 300

al año siguiente y posteriormente, $ 400 por los 2 años siguientes. Calcule el descuento

de esos pagos, si se paga 𝑗12 = 10%

Solución

Veamos el diagrama: $200 $300 $400

0 2 3 5

𝑖 =0,10

12=

1

120


𝑛1 = 12(2) = 24

𝑛1 = 12(1) = 12

𝑛1 = 12(2) = 24

𝐴 = 200

[1 − (1 +1

120)

−24

]

1120

+ 300

[1 − (1 +1

120)

−12

]

1120

(1 +1

120)

−24

+ 400

[1 − (1 +1

120)

−24

]

1120

(1 +1

120)

−36

𝐴 = 4334,17 + 2796,11 + 6429,65 = 13559,93

Ejemplo 6. Un televisor que vale $ 780 se puede comprar pagando $ 80 de enganche y el

resto en abonos mensuales durante 2 años. Calcular el abono mensual, si se cobra 𝑗12 =

15%, y el primer abono e vence dentro de un mes.

Solución

Veamos el diagrama: $780 – 80 = 700 R R R

0 1 2…… 24 meses

𝑖 =0,15

12=

1

80

𝑛1 = 12(2) = 24

Sea R el abono mensual.

𝐴 = 𝑅[1 − (1 + 𝑖)−𝑛]

𝑖

700 = 𝑅

[1 − (1 +1

80)

−24

]

180

700 (1

80) = 𝑅(0,2578)

𝑅 =8,75

0,2578= 33,94


Otros tipos de anualidades.

Ejemplo 1. Juan depósito $200 al principio de cada mes, durante 5 años, en una cuenta

que paga intereses 𝑗12 = 101

2%. ¿Cuánto hay en su cuenta al final de 5 años?

Solución.

Recordemos que el valor descontado de una anualidad se define como el valor fechado

equivalente de los pagos al principio del término. El valor descontado de n pagos, un periodo

antes del primer pago se calcula mediante la fórmula 𝑅𝑎𝑛𝑖⁄ (1 + 𝑖)

Diferidas

Vencidas:

El pago periódico se vence al principio

de cada intervalo de pago. El término

de una anualidad vencida inicia en la

fecha del primer pago y termina un

período de pago después de la fecha

del último pago.

𝑆 = 𝑅 ∗ 𝑆𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)

𝐴 = 𝑅 ∗ 𝐴𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)

El primer pago se vence algún tiempo

después del principio del primer

período de interés. El primer pago de

una anualidad diferida es k+1

mientras que una anualidad ordinaria

inicia un período antes de su primer

pago.

𝐴 = 𝑅 ∗ 𝐴𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)−𝑘

Para calcular el valor descontado de

una anualidad diferida ordinaria se

calcula el valor descontado de n pagos

un período antes del primer pago, y se

descuenta esta suma durante k

períodos.


Los datos son:

R i n

200 𝑖 =

0,105

12=

7

800= 0,00875

𝑛 = 12(5) = 60

𝑆 = 𝑅 ∗ 𝑆𝑛

𝑖⁄(1 + 𝑖)

𝑆 = 200[(1 + 0,00875)60 − 1]

0.00875(1 + 0,0875) = 𝟏𝟓𝟖𝟑𝟏, 𝟏𝟎

Ejemplo 2. Una pareja desea acumular $10 000 para el 31 de diciembre de 1999. Hacen 10

depósitos iguales, comenzando el 1 de enero de 1990. Si los intereses son 𝑗1 = 12%. ¿Qué

depósito anual se necesita?

Solución

S i n=mt

10000 𝑖 =0,12

1=

3

25= 0,12

𝑛 = 1(10) = 10

Se tiene que: 𝑆 = 𝑅 ∗ 𝑆𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)

Al despejar la fórmula anterior resulta que: 𝑅 =𝑆

𝑆𝑛𝑖⁄(1+𝑖)

𝑅 =10000

[(1 + 0,12)10 − 1]0,12

(1 + 0,12)=

10000

19,6546= 𝟓𝟎𝟖, 𝟕𝟗

Ejemplo 3. Una póliza de seguro de vida permite la opción de pagar 4 primas anuales adeudado, o

mensualmente por adelantado. Si la prima mensual es de $15, ¿qué prima anual será equivalente a 𝑗12 = 12%

Solución

R i n=mt

15 𝑖 =0,12

12=

1

100= 0,01

𝑛 = 12(1) = 12

Se tiene que 𝐴 = 𝑅 ∗ 𝐴𝑛

𝑖⁄(1 + 𝑖)

𝐴 = 15 ∗[1 − (1 + 0,01)−12]

0,01(1 + 0,01) = 𝟏𝟕𝟎, 𝟓𝟏


Ejemplo 4. Un coche usado se vende por $9550 y una persona decide pagarlo en 18 abonos

mensuales, el primero pagadero a la fecha de compra. Si 𝑗12 = 18%, calcule la magnitud del pago

mensual.

Solución

Se tiene que 𝐴 = 𝑅 ∗ 𝐴𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)

Al despejar la fórmula anterior, 𝑅 =𝐴

[1−(1+𝑖)−𝑛]

𝑖(1+𝑖)

Datos dados:

A i n=mt

9550 𝑖 =0,18

12=

3

200= 0,015

𝑛 = 12(1,5) = 18

Aplicando la fórmula:

𝑅 =9550

[1 − (1 + 0,015)−18]0,015

(1 + 0,015)=

9550

15,9076= 𝟔𝟎𝟎, 𝟑𝟒

Ejemplo 5. El testamento del difunto Sr. Morán cuya suma es de $100 000 establece que se debe

invertir a 𝑗 = 13%, y de este fondo la viuda recibirá mientras viva $15 000 cada año, y el primer

pago de inmediato. En la fecha de pago siguiente a la muerte de su esposa, el saldo del fondo se

debe donar a una asociación de protección de animales. Si la viuda murió 4 años y 3 meses después,

¿cuánto recibió la asociación?

Solución.

Veamos el diagrama:

15000 15000 15000 15000 15000 X

0 1 2 3 4 5 años

(fecha focal)

Datos:

R A i n=mt

15 000 100 000 𝑖 =0,13

1=

13

100= 0,13

𝑛 = 1(5) = 5

Establecemos la ecuación de valor estableciendo los 5 años como fecha focal. 𝑅𝑆𝑛

𝑖⁄(1 + 𝑖) + 𝑋 = 𝐴(1 + 𝑖)𝑛

15000[(1 + 0,13)5 − 1]

0,13(1 + 0,13) + 𝑋 = 100000(1 + 0,13)5

109840,59 + 𝑋 = 184243,52 𝑋 = 184243,52 − 109840,59

𝑋 = 𝟕𝟒𝟒𝟎𝟐, 𝟗𝟑


Ejemplo 6. Calcular el valor, el 1 de enero de 1995, de pagos trimestrales de $ 100 durante 10

años, si el primer pago fue el 1 de enero de 1997 y 𝑗4 = 7%

Solución.

Como el primer pago será el 1 de enero de 1997 y los pagos serán trimestrales por 10 años (en 10

años será fecha límite el 1 de enero de 2007). A esta fecha le restamos un trimestre, lo que

resulta que la fecha límite será 1 de octubre del 2006 𝑛 = 47 − 7 = 40

𝑘 = 7

Tenemos que 𝑛 = 4(10 𝑎ñ𝑜𝑠) = 40

Veamos el diagrama:

A 100 100

0 7 8… 47

1/1/1995 …. 1/10/1996 1/1/1997 1/10/2006

K=7 n=40

Datos conocidos:

R A i n=mt

100 ¿? 𝑖 =0,07

4=

7

400= 0,0175

𝑛 = 4(10) = 40 𝑘 = 7

Se tiene la fórmula: 𝐴 = 𝑅 ∗ 𝐴𝑛𝑖⁄(1 + 𝑖)−𝑘

𝐴 = 100[1 − (1 + 0,0175)−40]

0,0175(1 + 0,0175)−7 = 𝟐𝟓𝟑𝟐, 𝟒𝟑

Ejemplo 7. ¿Cuánto dinero se debe aportar, desde el nacimiento de su bebé, que le proporcione 8

pagos semestrales de $1500 para su educación universitaria, si el primer pago debe hacerse cuando

cumpla 19 años? El fondo ganará intereses 𝑗2 = 9%

Solución.

Como los pagos se harán semestralmente a partir de los 19 años, entonces: 2(19 𝑎ñ𝑜𝑠) = 38

Luego, 38 + 8 = 46 y a esta cantidad le restamos una unidad, por tanto, 46 − 1 = 45

Como serán 8 pagos semestrales en total que se van a realizar, incluyendo el 38, luego, 38 + 7 = 45 𝑛 = 45 − 37 = 8

Veamos el diagrama:

A 1500 1500

… … 0 37 38… 45

K=37 n=8

Datos conocidos:


R A i n

1500 ¿? 𝑖 =0,09

2=

9

200= 0,045

𝑛 = 8 𝑘 = 37


𝐴 = 1500[1 − (1 + 0,045)−8]

0,045(1 + 0,045)−37 = 𝟏𝟗𝟒𝟏, 𝟏𝟔

Ejemplo 8. La Sra. Wong cambia de trabajo a la edad de 46 años. Le dan $8500 como derechos

adquiridos en el plan de pensiones de la empresa. Invierte ese dinero en un plan registrado de

ahorros para el retiro, que paga 𝑗1 = 8%, y allí lo deja hasta su retiro definitivo a la edad de 60

años. Planea hacer 25 retiros anuales de ese fondo, el primero lo hará a la edad de 61 años. Calcule

el monto de esos retiros.

Solución:

Como el primer retiro lo hará a los 61 años y un total de 25 retiros, entonces, 61 + 25 = 86

A esta cantidad le restamos una unidad, entonces, 86 − 1 = 85

Veamos el diagrama:

A = 8500 R R

… … 46 60 61… 85

K=14 n=25

Datos conocidos:

R A i n=mt

¿? 8500 𝑖 =0,08

1=

2

25= 0,08

𝑛 = 25 𝑘 = 14


8500 = 𝑅[1 − (1 + 0,08)−25]

0,08(1 + 0,08)−14

8500 = 𝑅(4,8772)

𝑅 =8500

3,6344= 𝟐𝟑𝟑𝟖, 𝟖𝟎


DETERMINACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS

Para determinar la tasa de interés se utiliza el método de interpolación lineal y se emplean las

siguientes fórmulas:

1. 𝑖 =(

𝑘

𝑛)

2−1

𝑘, se usa cuando se conoce el monto S.

2. 𝑖 =1−(

𝑘

𝑛)

2

𝑘, se usa cuando se conoce el valor actual A.

Ejemplo1. Calcular la tasa de interés, 𝑗2 , con la que depósitos semestrales de $500 se acumularán

a $6000 en 5 años.

Solución. 𝑛 = 2(5) = 10

Tenemos que, 𝑆 = 𝑅[(1+𝑖)𝑛−1]

𝑖

Luego, al sustituir 𝑆 = 6000, 𝑅 = 500

Se tiene que, 6000 = 500[(1+𝑖)𝑛−1]

𝑖

[(1 + 𝑖)10 − 1]

𝑖=

6000

500

[(1 + 𝑖)10 − 1]

𝑖= 12

Como 𝑛 = 10, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑘 = 12

Por tanto, 𝑖 =(

𝑘

𝑛)

2−1

𝑘,

𝑖 =(

1210

)2

− 1

12

𝑖 =11

300= 0,03666 …

Como 𝑖 =𝑗2

2, por tanto, 𝑗2 = 2𝑖

Así, 𝑗2 = 2 (11

300) × 100 = 7,33%

Consideramos un valor entero menor de 7,33% que es 7%. Luego, 𝑖 =𝑗2

2=

0,07

2=

7

200

Aplicamos 𝑖 =7

200 en la fórmula

[(1+𝑖)𝑛−1]

𝑖 lo cual resulta que 𝑆 =

[(1+7

200)

10−1]

733

20000

= 11,7314

Como 𝑗2 = 7,33%, consideramos un entero mayor, luego 𝑗2 = 8%, así 𝑖 =𝑗2

2=

0,08

2=

1

25

Aplicamos 𝑖 =1

25 en la fórmula

[(1+𝑖)𝑛−1]

𝑖 lo cual resulta que 𝑆 =

[(1+1

25)

10−1]

1

25

= 12,0061

Interpolamos esos valores, de la siguiente forma:

0,2747

0,2686

S 𝒋𝟐

1% 12,0061 8%

12 X x-7%

11,7314 7%


Por lo tanto, 0,2686

0,2747=

𝑥 − 7%

1%

𝑥 = 7% +0,2686

0,2747= 𝟕, 𝟗𝟖%

Ejemplo 2. Un comerciante vende un artículo por $600. A usted le permitirían comprarlo con $240

de enganche y el resto a pagar en $30 mensuales, durante un año. Si usted paga al contado, le

ofrecen el 10% de descuento. ¿Cuál es la tasa de interés 𝑗12 que pagará quien acepte este plan?

Solución 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 600 − 10%(600) = 600 − 60 = 540

Tenemos que, 𝐴 = 𝑅1−(1+𝑖)𝑛

𝑖

Luego, 𝐴 = 301−(1+𝑖)12

𝑖

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑏𝑜𝑛𝑜𝑠

540 = 240 + 301 − (1 + 𝑖)12

𝑖

540 − 240

30=

1 − (1 + 𝑖)12

𝑖

1 − (1 + 𝑖)12

𝑖= 10

Tenemos que, 𝑛 = 12, 𝑘 = 10

Usaremos la fórmula para el valor descontado, 𝑖 =1−(

𝑘

𝑛)

2

𝑘=

1−(10

12)

2

10=

11

360

Como, 𝑖 =𝑗12

12, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑗12 = 12𝑖 = 12 (

11

360) × 100 = 36,67%

Consideramos un entero menor de 36,67% que es 36% y un entero menor de 36% que es 35%

Como 𝑖 =𝑗12

12=

0,36

12=

3

100 para 𝑗12 = 36%

Como 𝑖 =𝑗12

12=

0,35

12=

7

240 para 𝑗12 = 35%

Calculamos, 1−(1+𝑖)12

𝑖=

1−(1+3

100)

−12

3

100

= 9,9540

Calculamos, 1−(1+𝑖)12

𝑖=

1−(1+7

240)

−12

7

240

= 10,0037

Interpolamos linealmente:

0,0497

0,0037

S 𝒋𝟐

1% 10,0037 35%

10 X X-35%

9,9540 36%


Por lo tanto, 0,0037

0,0497=

𝑥 − 35%

1%

𝑥 = 35% +0,0037

0,0497= 𝟑𝟓, 𝟎𝟕%

Práctica de Refuerzo.

1. Daniela deposita $200 cada 6 meses en una cuenta que paga 𝑗2 = 6%, durante 10 años.

a. ¿Cuánto acumuló Daniela? R: 5374,07

b. ¿Cuántos intereses acumuló? R: 1374,07

2. (*) Desde 1967 una persona decidió colocar $500 anualmente en un fondo que paga j=8%.

Esa persona creía que cuando hiciera el pago 18° tendría suficientemente dinero para pagar

la educación universitaria de su hijo, quedando suficientemente para comprar un automóvil

nuevo. En 1985 cuando realizó el último pago el costo de la carrera universitaria es de

$9000.

a. ¿Cuál será el valor acumulado de ese fondo? R: 18725,12

b. ¿Qué cantidad de dinero equivale a los intereses compuestos ganados? R: 9725,12

3. Una persona desea establecer un fondo que le haga posible retirarse antes de la edad de

jubilación estipulada por el seguro social. Decide depositar $200 cada trimestre, a 𝑗4 = 8%,

durante 11 años y después encuentra que ya no puede seguir haciendo los depósitos. Sin

embargo, deja el fondo sin tocar.

a. ¿Cuánto tendrá para su retiro después de los otros 10 años? R: 13900,53

4. Calcular el valor acumulado de $500 mensuales durante 4 años y 3 meses si 𝑗12 = 10%.

R: 31613,95

5. (*) A partir del 30 de junio de 2002, y cada 3 meses hasta el 31 de diciembre de 2006, una

persona deposita $300 en su cuenta de ahorros. A partir del 30 de septiembre del 2007

hace retiros trimestrales de $500. ¿Cuál será el saldo en su cuenta después del retiro del

30 de junio de 2009, si los intereses son a 𝑗4 = 8% hasta el 31 de marzo del 2005, y de 𝑗4 =

6% en adelante. R: 3515,68

6. (*) ¿Qué depósitos trimestrales se deben hacer en una cuenta de ahorros que paga 𝑗4 = 4%

para acumular $10000 al final de 10 años? R: 215,98

7. Una persona quiera acumular $200 000 en un fondo de retiro. Planea hacer el primer

depósito el 1 de marzo del 1984 y el último el 1 de septiembre del 2005. Calcule cuánto

debe depositar la persona, si estos depósitos son semestrales en un fondo que paga 12,5%

al año, compuesto semestralmente. R: 932,58

8. Calcule el valor descontado de $500 mensuales durante 4 años y 3 meses a 𝑗12 = 10%

R: 20704,67

9. Una anualidad que paga R mensuales a partir del 1 de febrero del 2002, y terminando el 1

de enero de 2005. Si el valor de esta anualidad es de $8000 el 1 de enero de 2005, y 𝑗12 =

11%. ¿Cuál fue su valor el 1 de enero del 2002? R: 5760,04


10. Un contrato requiere pagos mensuales de $250 durante 10 años, y un pago inicial de $2000

al final en ese período. Al iniciar el 5° año (justo después de haber hecho el 48° pago), una

persona compra el contrato a un precio que le producirá 𝑗4 = 14%. ¿Cuánto pagó el

comprador? R: 13000,17

11. Una anualidad da $60 al final de cada mes, durante 3 años, y $80 al final de cada mes en

los 2 años siguientes. Si 𝑗12 = 11%. ¿Cuál es el valor presente de la anualidad? R: 3068,54

12. (*) Un automóvil es comprado con $2000 de enganche, y $200 mensuales durante 6 años.

El interés es 𝑗12 = 10%

a. ¿Cuál es el precio del automóvil?

b. Si faltan los 4 primeros pagos, ¿qué pago en la fecha del 5° pago actualizará los pagos?

c. Suponiendo que no se ha fallado en los pagos, ¿qué pago único al final de 2 años saldará

por completo la deuda?

R: a. 12795,73 b. 1061,81 c. 8085,63

13. Al principio de cada medio año se hacen depósitos de $500 durante 5 años, en una cuenta

que paga 𝑗2 = 6%. ¿Cuánto hay en la cuenta al final de:

a. 5 años R: 5903,90

b. Justo antes del 6° depósito. R: 2734,20

14. La renta mensual de una casa es de $520, pagaderos al principio e cada mes. Si el dinero

vale 𝑗12 = 9%

a. ¿Cuál es la renta anual equivalente pagadera por adelantado? R: 5990,75

b. ¿Cuál es el equivalente de 5 años después de renta al contado? R: 25238,03

15. Una deuda de $1000 con intereses de 𝑗12 = 18% se va a pagar durante 18 meses, con pagos

mensuales iguales, el primero de los cuales se vence hoy. Calcule el pago mensual. R: 62,86

16. Una póliza de seguro de visa paga una indemnización por muerte de $100000, ya sea puede

ser en un solo pago total, o en cantidades iguales durante 10 años, al principio de cada mes.

¿De cuánto debe ser el monto de esos pagos si 𝑗12 = 10%? R: 1310,39

17. Se compra un refrigerador con $60 de enganche y $60 mensuales durante 15 meses. Si se

cargan intereses de 𝑗12 = 18,5%. ¿Cuál es el precio al contado del refrigerador? R: 858,06

18. Calcular el valor descontado de una anualidad ordinaria diferida 3 años y 6 meses, que paga

$500 semestrales durante 7 años, si el interés es 𝑗2 = 17%. R: 2262,56

19. Calcular el valor, el 1 de julio de 1989, de pagos anuales de $500 durante 6 años, si el primer

pago es el 1 de enero de 1993 y el interés es de 𝑗2 = 11,25% R: 3081,69

20. (*) En el 55 aniversario del Sr Suarez, la familia decide vender su casa y mudarse a un

apartamento. Obtienen $80000 por la venta de la casa, e invierten ese dinero en un fondo

que paga 𝑗1 = 9%. En el 65 aniversario del Sr. Suárez, hacen el primero de 15 retiros iguales,

que consumirán el fondo durante 15 años. ¿Cuál es el monto de cada retiro? R: 21555,41

21. Una tienda de muebles vende un sofá en $950. Se puede comprar con $50 de enganche sin

pagos durante 3 meses, y al final del 3° mes se hace el primero y continúa hasta hacer un

total de 18. Calcule el monto de esos pagos, si los intereses son 𝑗12 = 18%. R: 59,16

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