Universidad de Puerto Rico en Cayey

PRONTUARIO DE CURSO1 1. Información que aparecerá en el catálogo

1.1. Departamento: Matemática-Física

1.2. Codificación: Mate-3052

1.3. Título: Introducción al Cálculo I

1.4. Requisitos: Matemática 3172

1.5. Sesiones en que generalmente se ofrecerá y frecuencia:

x Primer semestre ____ Segundo semestre ____ Verano

1.6. Créditos: Tres (3) créditos

1.7. Horas semanales: Tres (3) horas

1.8. Descripción:

En este curso el estudiante adquirirá y aplicará los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral. Incluye: Nociones de límite y continuidad, derivadas, pendiente de curvas, tasas de variación, cinemática; Reglas de derivación, enunciados de los teoremas del valor medio, acotación de funciones continuas, teoremas del valor medio con aplicaciones a la teoría de extremos; Máximos y mínimos, gráficas de funciones; Antiderivadas y diferenciales. Integración como antiderivación; Reglas de integración;

1 Certificación 25 (2009-2010) del Senado Académico

Cálculo de áreas; Interpretación de la integral como límites de sumas de Riemman; Teorema fundamental del Cálculo; La función inversa y su derivada; Funciones exponenciales y logarítmicas. Este curso es requisito para todos los estudiantes de ciencias y matemática. La matrícula por semestre es de 250 estudiantes aproximadamente.

1.9. Alineación de los estándares de las Agencias Acreditadoras, si aplica.

N/A 2. Compendio2

2.1. Objetivos:

2.1.1. Generales:

2.1.1.1. Realzar la importancia del Cálculo como una de las

mayores creaciones de la humanidad.

2.1.1.2. Utilizar el tema de Ecuaciones diferenciales como ente

unificador de los temas del curso.

2.1.1.3. El uso de métodos y técnicas matemáticas para la

resolución elemental de problemas que surgen de

fenómenos dinámicos.

2.1.1.4. El estudio de los conceptos básicos del cálculo

diferencial e integral.

2.1.1.5. La aplicación de las técnicas del cálculo diferencial e

integral en la resolución de problemas.

2.1.1.6. El desarrollo de la capacidad para el razonamiento

lógico, la manipulación algebraica, el dominio

numérico, simbólico y gráfico que permita entender

situaciones, predecir y solucionar problemas.

2 Esta información sirve de punto de partida para la elaboración del Programa que entregará el profesor a los

estudiantes matriculados en el curso el primer día de clases (Certificación 56 1983-84 de la Junta Académica).

2.1.1.7. El desarrollo de la capacidad para comunicarse en

forma oral y escrita efectivamente a través de las

matemáticas.

2.1.1.8. El desarrollo de la capacidad para realizar actividades

en conjunto, en forma reflexiva, crítica y activa, con el

propósito de lograr una meta común.

2.1.1.9. El desarrollo del pensamiento reflexivo, creativo y crítico.

2.1.2. Específicos:

Al finalizar el estudio del curso, el estudiante:

2.1.2.1. Definirá el límite de una función en un punto de

acumulación de su dominio.

2.1.2.2. Verificará límites utilizando la definición.

2.1.2.3. Enunciará los teoremas de: acotamiento, operaciones

con funciones, y del emparedado.

2.1.2.4. Evaluará límites:

Utilizando los teoremas de límites

Dada la fórmula de una función, dado que

( ) ( ) jxglxf cxcx =∧= →→ limlim Factorizando

Para el caso de una función de la forma ( )( )xgxf

, cuando

la evaluación directa produce la forma indeterminada

00

Racionalizando

Para el caso de una función con una división de

funciones que contiene radicales y cuyo límite tiene

división por cero

Utilizando tablas

Para el caso de una división de funciones cuyo límite

tiene división por cero como por ejemplo:

( ) ( )hhsenlim

h1hcoslim 0h0h →→ ∧

− .

2.1.2.5. Probará geométricamente los límites:

( ) ( )hhsenlim

h1hcoslim 0h0h →→ ∧

−

2.1.2.6. Definirá cuando una función es continua en un

punto de su dominio y en un conjunto.

2.1.2.7. Aplicará la definición de continuidad en un punto

y en un conjunto a casos particulares.

2.1.2.8. Verificará que una función es continua en un

punto y en un intervalo.

2.1.2.9. Enunciará y aplicará el teorema sobre las

operaciones con funciones continuas para la: suma,

resta, multiplicación, división y composición.

2.1.2.10. Determinará el valor de una función donde haya

una discontinuidad removible.

2.1.2.11. Determinará el valor de parámetros para que una

función definida seccionalmente (por pedazos) sea

continua.

2.1.2.12. Aplicarán los teoremas de continuidad para

probar la continuidad de funciones polinómicas y

racionales (Determinará el valor de la abscisa donde

una función racional es continua y una o más constante

para que una función sea continua en todo su dominio).

2.1.2.13. Enunciara’ el teorema del Valor Intermedio y

aplicarán éste para localizar los ceros de una función

(raíces).

2.1.2.14. Explicará el significado del:

( ) ( ) ∞−=∧∞= →→ xflimxflim cxcx .

2.1.2.15. Definirá los términos asíntota: vertical, horizontal y

oblicua.

2.1.2.16. Evaluará límites donde los valores de la función

tienden a infinito en magnitud.

2.1.2.17. Enunciará un teorema sobre el resultado de

límites de la forma: ( )( )

( ) 0,lim ≠∞→ xqxqxp

x , donde p y q son

polinomios.

2.1.2.18. Determinará e interpretará el resultado para

límites de la forma: ( )( )

( ) 0,lim ≠∞→ xqxqxp

x , donde p y q son

polinomios.

2.1.2.19. Definirá la derivada en un punto y en un conjunto.

2.1.2.20. Representará gráficamente la definición de

derivada en un punto explicando el significado de ésta.

2.1.2.21. Determinará la derivada de una función

utilizando la definición.

2.1.2.22. Interpretará gráficamente la derivada como la

pendiente de la línea tangente a la gráfica de la curva

y como una razón instantánea de cambio.

2.1.2.23. Utilizará la definición de derivada para determinar

la derivada de funciones como ( )=xf : x , 2x , 3x , 4x ,

x , 3 x , ( ) ( )xxsen cos, .

2.1.2.24. Enunciará la regla para determinar la derivada

de: una constante por una función, una suma de

funciones, un producto de funciones y un cociente de

funciones.

2.1.2.25. Probará la regla para determinar la derivada de:

una constante por una función, una suma de funciones,

un producto de funciones y un cociente de funciones.

2.1.2.26. Derivará la fórmula para la derivada de las

funciones ( )=xf : ( )xtan , ( )xcot , ( )xsec y ( )xcsc .

2.1.2.27. Determinará la primera derivada de suma, resta,

multiplicación y división de las funciones ( )=xf : a, nx ,

( )xsen , ( )xcos , ( )xtan , ( )xcot , ( )xsec , ( )xcsc y n x ,

donde a y n son constantes.

2.1.2.28. Determinará la ecuación de la línea tangente a

la gráfica de una curva en un punto.

2.1.2.29. Utilizará la ecuación de la línea tangente a la

gráfica de una curva para estimar un valor de ésta.

2.1.2.30. Determinará la abscisa de todos los puntos en la

gráfica de una curva donde la pendiente es igual,

mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual a un valor.

2.1.2.31. Dada la ecuación de movimiento de un objeto

determinará su velocidad y aceleración.

2.1.2.32. Determinará e interpretará el valor exacto de la

derivada para las funciones trigonométricas de los

ángulos ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππππ

6,32

,4,0 o ángulos para los cuales éstos

son los de referencia.

2.1.2.33. Probará que una función o familia de funciones

es solución de una ecuación diferencial.

2.1.2.34. Dada una función h, definirá dos funciones f y g

tales que h(x) = f(g(x)).

2.1.2.35. Enunciará la Regla de la cadena.

2.1.2.36. Determinará la derivada de una composición de

funciones.

2.1.2.37. En una ecuación de dos variables identificarán

cuando la ecuación está implícita para una variable.

2.1.2.38. Determinará la derivada de una función definida

implícitamente.

2.1.2.39. Enunciará el teorema sobre la derivada de la

función inversa.

2.1.2.40. Evaluará derivadas utilizando el teorema sobre la

derivada de la función inversa.

2.1.2.41. Definirá las funciones: arco seno, arco coseno y

arco tangente.

2.1.2.42. Dado un valor para x, evaluará el arcosen (x),

arcocos (x) y la arcotan (x).

2.1.2.43. Derivará la fórmula para la derivada de las

funciones: arcosen (x), arcocos (x) y arcotan (x).

2.1.2.44. Definirá la función exponencial como una función

cuya derivada es ella misma.

2.1.2.45. Derivará la fórmula para la derivada de la

función: ( )=xf ( )xLn .

2.1.2.46. Resolverá problemas verbales de razones de

cambio relacionadas de, por lo menos, geometría y

distancia.

2.1.2.47. Identificará situaciones donde se puede utilizar

diferenciación logarítmica.

2.1.2.48. Utilizará diferenciación logarítmica para

determinar la derivada de una función.

Con varias multiplicaciones, divisiones y exponentes.

De la forma ( ) ( ) ( )xhxgxf = .

2.1.2.49. Definirá: punto crítico, máximo relativo, mínimo

relativo, máximo absoluto y mínimo absoluto.

2.1.2.50. Definirá: valor crítico, máximo relativo, mínimo

relativo, máximo absoluto y mínimo absoluto.

2.1.2.51. Definirá valores extremos.

2.1.2.52. Enunciará el teorema del valor medio e

interpretará gráficamente su significado.

2.1.2.53. Enunciará el teorema de la existencia de los

valores extremos.

2.1.2.54. Definirá: función creciente, función decreciente,

puntos de inflexión, cóncava hacia arriba y cóncava

hacia abajo.

2.1.2.55. Enunciará el teorema que relaciona el signo de la

primera derivada con la monotonía de la función.

2.1.2.56. Enunciará los teoremas para determinar los

máximos y mínimos relativos de una función: teorema de

Fermat, prueba de la primera derivada y de la segunda.

2.1.2.57. Enunciará el teorema que relaciona el signo de la

segunda derivada en un punto crítico con la monotonía

de la función.

2.1.2.58. Enunciará el teorema que relaciona el signo de la

segunda derivada con la concavidad de la función.

2.1.2.59. Dada la fórmula de una función determinará:

puntos críticos, intervalos donde su gráfica es creciente,

los intervalos donde su gráfica es decreciente, mínimos

relativos, máximos relativos, puntos de inflexión,

intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba, los

intervalos donde su gráfica es cóncava hacia abajo y

trazará su gráfica.

2.1.2.60. Dada la gráfica de una función determinará:

puntos críticos, intervalos donde su gráfica es creciente,

los intervalos donde su gráfica es decreciente, mínimos

relativos, máximos relativos, puntos de inflexión,

intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba y

los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia abajo.

2.1.2.61. Determinará los máximos y mínimos absolutos de

una función, cuando existan, discutiendo condiciones

para su existencia.

2.1.2.62. Determinará la imagen de una función.

2.1.2.63. Resolverá problemas de optimización usando los

métodos del Cálculo. Los tipos de problemas

presentados serán por lo menos de números, geometría,

distancia y biología.

2.1.2.64. Enunciará la Regla de L’ Hopital.

2.1.2.65. Evaluará límites utilizando la Regla de L’Hopital.

2.1.2.66. Definirá la antiderivada de una función.

2.1.2.67. Determinará la fórmula para la antiderivada de

las siguientes funciones ( )=xf : nx (para los casos donde

n = -1 y n ≠ -1), ( )xsen , ( )xcos , ( )x2sec , ( )x2csc ,

( ) ( )xx tansec , ( ) ( )xx cotcsc , xe , x1

, 21

1x+

y 21

1

x−.

2.1.2.68. Enunciará el teorema de la integral indefinida

como un operador lineal.

2.1.2.69. Evaluará integrales indefinidas.

2.1.2.70. Determinará el área de la región bajo la gráfica

de una curva por descomposición en rectángulos.

2.1.2.71. Definirá el concepto de integral definido de una

función sobre un intervalo cerrado y acotado.

2.1.2.72. Evaluará en forma aproximada integrales

definidos.

2.1.2.73. Enunciará el teorema fundamental del Cálculo.

2.1.2.74. Enunciará e interpretará gráficamente los

siguientes teoremas acerca de los integrales definidos.

De la integral definida como un operador lineal.

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=c

a

c

b

b

a

dxxfdxxfdxxf

Si f es continua y ( ) 0xf ≥ , entonces ( )∫ ≥b

a

0xf

Si para todo bxa ≤≤ se cumple que ( ) Mxfm ≤≤ ,

entonces ( ) ( ) ( )abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫

2.1.2.75. Evaluará integrales definidos usando los resultados

del teorema fundamental del Cálculo.

2.1.2.76. Determinará áreas.

2.1.2.77. Para un objeto que se mueve por una línea

determinará su desplazamiento y distancia total

recorrida.

2.1.2.78. Definirá el promedio de los valores de una función

sobre un intervalo y hará una interpretación gráfica de

la definición.

2.1.2.79. Evaluará los valores promedio de funciones.

2.1.2.80. Evaluará integrales mediante el método de

sustitución.

2.2. Temas y tiempo aproximado que se dedicará a cada uno:

Semana Temas

1-2 Introducción del curso. El concepto de límite,

teorema de los límites, continuidad.

3-4

Límites infinitos. El concepto de derivada. Derivada

de diferentes funciones. Reglas de derivada para

suma, resta producto y cociente de funciones

5 Regla de la cadena y derivación implícita.

6

Continúa derivación implícita. Derivadas de las

función: exponencial, logarítmica y de las funciones

inversas del seno, coseno y tangente.

7 Diferenciación logarítmica. Aplicación de la

derivada. Razones de cambio relacionadas.

8

Continúa aplicaciones de la derivada. Razones de

cambio relacionadas, valores máximos y mínimos

de una función y concavidad.

9 Continúa aplicaciones de la derivada. Valores

máximos y mínimos de una función y concavidad.

10 Aplicaciones de la derivada. Problemas de

optimización.

11 Aplicaciones de la derivada. Diferenciales.

Antiderivadas.

12-13

Aproximación de áreas. La integral definida y sus

propiedades. Teorema fundamental del Cálculo.

Evaluación de integrales definidos.

14-15 Integrales indefinidos. Método de sustitución.

2.3. Ley ADA/Ley 51:

La Universidad de Puerto Rico en Cayey cumple con la Ley ADA (Americans with Disabilities Act) y con la Ley 51 (Ley de Servicios Integrales para Personas con Impedimento) para garantizar igualdad tanto en el acceso al salón de clases como en la experiencia de enseñanza y aprendizaje. Todo estudiante con impedimento puede informarle y solicitarle al profesor de cada curso el que se le provea acomodo razonable a tono con sus necesidades especiales. Es prerrogativa del estudiante solicitar el acomodo razonable al Programa de Servicios a Estudiantes con Impedimento localizado en el Decanato de Estudiantes. Esta información es de carácter confidencial y está protegida por la Ley HIPAA.

2.4. Estrategias instruccionales3:

Conferencia, discusión, práctica supervisada, trabajo colaborativo, estudio independiente.

2.5. Instrumentos de avalúo formativo:

Manual de ejercicios.

2.6. Métodos de evaluación sumativa y valor porcentual de cada factor en la calificación final:

Se ofrecerán tres exámenes parciales de 100 puntos cada uno, pruebas y

asignaciones para entregar 100 puntos y un examen final de 150 puntos

para un total de 550 puntos.

2.7. Sistema de calificación:

Calificación Promedio

A 100 – 90

B Menos de 90 a 80

C Menos de 80 a 65

D Menos de 65 a 55

F Menos de 55

3 Este modelo se utilizará solo para cursos en modalidad presencial.

2.8. Textos y otros materiales:

Cálculo de una variable – Trascendentes tempranas, Cuarta edición, Zill, Wright, Mc Graw Hill, 2011. (ISBN 13: 978-607-15-0501-9).

2.9. Bibliografía:

2.9.1. Stewart James, Calculus: Early Transcendental, 8th edition, Cengage

Learning, 2015

2.9.2. Stewart James, Calculus, 8th edition, Cengage Learning, 2015

2.9.3. Thomas George B. Jr. , Weir Maurice D., Thomas’Calculus 13th edition,

Addison Wesley (Pearson) 2014

2.9.4. Anton Howard, Bivens Irl C. , Davis Stephen, Calculus Early

Trascendentals single Variable 10th Edition, John Wiley & Sons, Inc,

2012

2.9.5. Briggs, Cochran, Calculus Early Transcendentals, Addison Wesley,

2011.

2.9.6. Thomas, Cálculo una variable, Pearson, decimosegunda edición,

2010.

2.9.7. Steward James, Calculus Concepts & Contexts 3, Thomson, 2006.

Referencias electrónicas: https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/

http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/

3. Justificación para la creación o revisión del curso y cómo responde a los objetivos

del departamento y de la institución

Actualizar el prontuario del curso con los acuerdos de innumerables reuniones de los miembros del Departamento de Matemática-Física y de otros Departamentos donde se revisaron todos los aspectos del mismo (filosofía, objetivos, contenido, aplicaciones, sistema de evaluación y de avalúo y materiales educativos).

4. Información analítica

4.1. Recursos necesarios

4.1.1. Cupo máximo de estudiantes: 25 estudiantes

4.1.2. Espacio y sus características:

1 salón ___ auditorio ___ laboratorio ___ otro (explique)

Particularidades (pizarras especiales, etc.): El salón debe tener por lo menos equipo de proyección con computadora.

4.1.3. Equipo y materiales requeridos: N/A

4.1.4. Personal

4.1.4.1. Personal docente y su preparación: Maestría en

Matemáticas 4.1.4.2. Técnicos y otro personal de apoyo, con

sus calificaciones: Tutores mentores. Estos deben ser estudiantes excelentes del Recinto con Cálculo II aprobado.

4.1.4.3. Número de profesores en la UPR-Cayey calificados para impartir la asignatura y, si aplica, del personal de apoyo disponible: 12 profesores

4.2. Relación con otros cursos

4.2.1. Del mismo departamento: Ninguno

4.2.2. De otros departamentos: Ninguno

Registro de aprobación (indique fechas de las revisiones más recientes) 4: • Aprobado por Comité de Currículo Departamental en: _______________________ • Aprobado por Departamento en: _______________________

4 Revisado por S. Díaz, verano 2009. Revisado por S. Díaz, verano 2013. Actualización Bibliografía Prof. Margarita Santiago Mayo 2015

• Aprobado por Comité de Currículo Institucional en: _______________________ • Otras instancias de aprobación (si aplica): ________________________ • El Comité de Currículo Departamental aprobó la adaptación de este prontuario al

formato dispuesto en la Certificación 25: 2009-2010 del Senado Académico el ____ de _________ de 2011.