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Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemáticas
Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-107-2-M-1-00-2018
CURSO: Matemática Intermedia 1
SEMESTRE: Primer Semestre 2018
CÓDIGO DEL CURSO: 107
TIPO DE EXAMEN: Segundo Parcial
FECHA DE EXAMEN: Marzo de 2018
RESOLVIÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol
Alvarez
DIGITALIZÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol
Alvarez
REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Silvia Hurtarte
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
TEMARIO AA
TEMA 1: (28 PUNTOS)
a. Calcule las integrales dadas (10 puntos c/u):
(1) ∫ 2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 (2) ∫
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1𝑑𝑥
𝜋2
− 𝜋2
b. Obtenga el área de un semicírculo de radio 2 centrado en el origen, usando el método de aproximación
de la regla de Punto medio con n = 4 y cuatro decimales. (8 puntos)
TEMA 2: (14 PUNTOS)
La ventana de un observatorio de vida marina tiene la forma de una elipse con eje mayor horizontal de 6 metros
y un eje menor de 4 metros, su centro se encuentra 20 m bajo el agua. Plantee la o las integrales que calculan la
fuerza hidrostática sobre la ventana si la densidad del agua de mar es de 1027 kg/m3.
TEMA 3: (10 PUNTOS)
Calcule el centroide de la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑦 = 2𝑥
TEMA 4: (8 PUNTOS)
Dada la sucesión: 𝑎𝑛 =𝑒𝑛+3
𝑒2𝑛+1
a. Calcule sus primeros cinco términos y grafique.
b. Determine si la sucesión converge o diverge. (4 puntos cada inciso)
TEMA 5: (16 PUNTOS)
Determine si las series dadas convergen o divergen, si convergen calcule su suma (8 puntos c/u):
(1) ∑(1 + 3𝑛)
32𝑛
∞
𝑛=1
(2) ∑1
𝑛(𝑛 + 2)
∞
𝑛=1
TEMA 6: (14 PUNTOS)
Determine si las series dadas convergen. ( 7 puntos c/u)
A) Use la prueba de las proporciones (cociente)
∑𝑛!
𝑒𝑛2
∞
𝑛=1
B) La prueba de la serie alternante.
∑(−1)𝑛+1𝑛
1 + 𝑛2
∞
𝑛=1
TEMA 7: (10 PUNTOS)
Determine si la serie dada converge o diverge, usando la prueba de la integral y calcule 𝑆3:
∑2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
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FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
SOLUCIÓN
TEMA 1: (28 PUNTOS)
a. Calcule las integrales dadas (10 puntos c/u):
(1) ∫ 2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 (2) ∫
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1𝑑𝑥
𝜋2
− 𝜋2
b. Obtenga el área de un semicírculo de radio 2 centrado en el origen, usando el método de aproximación
de la regla de Punto medio con n = 4 y cuatro decimales. (8 puntos)
No. Explicación Operatoria
1 a) Dado que en esta integral el
denominador esta completamente
factorizado se procede a expresar el
integrando con fracciones parciales
En este caso los numeradores de las
fracciones parciales deben ser de la forma
𝑎𝑥 + 𝑏 ya que los denominadores son
factores cuadráticos irreducibles
∫2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥
2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)=
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 1+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 4
2 Se multiplica ambos lados del
planteamiento de fracciones parciales por
el denominador del integrando
Desarrollando y simplificando
2𝑥 + 5 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 4) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 + 1)
2𝑥 + 5 = 𝐴𝑥3 + 𝐶𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐷𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 + 𝐷
2𝑥 + 5 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(𝐶 + 4𝐴) + 4𝐵 + 𝐷
3 A partir de la ecuación anterior se plantea
un sistema de ecuaciones en donde se
igualan los términos cúbicos, cuadráticos y
lineales de cada lado, también los términos
independientes de cada lado
Se simplifica cada ecuación para eliminar la
variable “x”
2𝑥 + 5 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(𝐵 + 𝐷) + 𝑥(𝐶 + 4𝐴) + 4𝐵 + 𝐷
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠
0 = 𝑥3(𝐴 + 𝐶)
𝐴 = −𝐶
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
0 = 𝑥2(𝐵 + 𝐷)
𝐵 = −𝐷
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
2𝑥 = 𝑥(𝐶 + 4𝐴)
2 = 𝐶 + 4𝐴
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
5 = 4𝐵 + 𝐷
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4 Se sustituye la ecuación obtenida en los
términos cúbicos en la ecuación obtenida
en los términos lineales
2 = 𝐶 + 4𝐴
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = −𝐶
2 = 𝐶 − 4𝐶
2 = −3𝐶
𝐶 = −2
3
𝐴 = −𝐶
𝐴 =2
3
5 Se sustituye la ecuación obtenida en los
términos cuadráticos en la ecuación
obtenida en los términos independientes
5 = 4𝐵 + 𝐷
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐵 = −𝐷
5 = −4𝐷 + 𝐷
5 = −3𝐷
𝐷 = −5
3
𝐵 = −𝐷
𝐵 =5
3
6 Por fracciones parciales se obtiene un
equivalente de la expresión racional
Se separan los términos de las fracciones
del lado derecho para simplificar la
integración
2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)=
23
𝑥 +53
𝑥2 + 1+
−23
𝑥 −53
𝑥2 + 4
=
23
𝑥
𝑥2 + 1+
53
𝑥2 + 1+
−23
𝑥
𝑥2 + 4+
−53
𝑥2 + 4
7 Se tienen 4 integrales más simples en
lugar de la integral racional original
En la primera y tercera integral del lado
derecho se realiza una sustitución.
∫2𝑥 + 5
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥
=2
3∫
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 +
5
3∫
1
𝑥2 + 1𝑑𝑥
−2
3∫
𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 −
5
3∫
1
𝑥2 + 4𝑑𝑥
2
3∫
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑢 = 𝑥2 + 1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 =𝑑𝑢
2
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2
3∫
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 =
1
3∫
𝑑𝑢
𝑢
1
3∫
𝑑𝑢
𝑢=
1
3 𝐿𝑛|𝑢|
2
3∫
𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 =
1
3 𝐿𝑛|𝑥2 + 1|
−2
3∫
𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑣 = 𝑥2 + 4
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 =𝑑𝑣
2
2
−3∫
𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −
1
3∫
𝑑𝑣
𝑣
−1
3∫
𝑑𝑣
𝑣= −
1
3 𝐿𝑛|𝑣|
−2
3∫
𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −
1
3 𝐿𝑛|𝑥2 + 4|
8 Para la segunda y cuarta integral del lado
derecho se usara la definición de la integral
de tangente inversa
∫𝑑𝑢
𝑎2 + 𝑢2=
1
𝑎tan−1
𝑢
𝑎
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑎 = 1 5
3∫
1
𝑥2 + 1𝑑𝑥 =
5
3∗
11
tan−1 𝑥1
∫5/3
𝑥2 + 1𝑑𝑥 =
53
tan−1 𝑥
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑎 = 2
−5
3∫
1
𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −
5
3∗
12
tan−1 𝑥2
∫−5/3
𝑥2 + 4𝑑𝑥 = −
53
∗12
𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2
9
Finalmente, la solución queda como:
1
3 𝐿𝑛|𝑥2 + 1| −
1
3 𝐿𝑛|𝑥2 + 4| +
5
3tan−1 𝑥 −
5
6𝑡𝑎𝑛−1
𝑥
2+ 𝐶
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10 b) Se debe notar en este ejercicio que
existe una discontinuidad en los límites de
integración, ya que al evaluar 𝑥 = −𝜋
2 el
denominador se hace cero
Debido a esto es una integral impropia, el
primer paso será plantear el límite para
evaluar la integral en el límite de integración
que presenta la discontinuidad
∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥
𝜋/2
−𝜋/2
𝑆𝑒𝑛 (−𝜋
2) + 1 = 0
∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥 = lim
𝑡→−𝜋/2∫
𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥
𝜋/2
𝑡
𝜋/2
−𝜋/2
11 Ahora se determina la integral indefinida
para luego evaluarla en el límite planteado
al inicio
Se hace la sustitución que se muestra
∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1
𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥
∫1
𝑢𝑑𝑢 = 𝐿𝑛|𝑢| = 𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1|
12
Ahora se evalúa el límite con la antiderivada
encontrada
Dado que el límite del logaritmo natural
cuando este tiende a cero es menos infinito
se concluye que la integral es divergente
lim𝑡→−
𝜋2
∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥
𝜋2
𝑡
= lim𝑡→−
𝜋2
(𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1|)𝜋/2
𝑡
= lim𝑡→−
𝜋2
(𝐿𝑛 |𝑆𝑒𝑛 (𝜋
2) + 1| − 𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1|)
𝐿𝑛|1 + 1| − lim𝑡→−
𝜋2
𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1|
lim𝑡→−
𝜋2
𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 1| = −∞
lim𝑡→−
𝜋2
∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 1𝑑𝑥
𝜋2
𝑡
= 𝐿𝑛|2| + ∞ = ∞
𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
13 b) Para obtener el área del semicírculo
primero se plantea la ecuación del círculo
de radio 2, centrado en el origen
𝑥2 + 𝑦2 = 4
14 Se despeja la variable "𝑦" para obtener una
función a integral como el área bajo la curva
𝑦 = ±√4 − 𝑥2
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Se elige la parte positiva del semicírculo, y
se establecen los límites de integración
Debido a que se integra una función de "𝑥"
se escogen los limites en 𝑥 de la figura
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜:
𝑦 = √4 − 𝑥2
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎:
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2
−2
15 Para hallar el valor de esta integral por
medio del método de punto medio se utiliza
la siguiente formula
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∆𝑥(𝑓(𝑥1̅̅ ̅) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛̅̅ ̅))𝑏
𝑎
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑥𝑖 =1
2(𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖)
16 Se calcula el valor de "∆𝑥", con 𝑛 = 4 ∆𝑥 =
2 − (−2)
4
∆𝑥 = 1
17 Se identifica 𝑓(𝑥) como la función para la
mitad superior del circulo y se determinan
los valores de 𝑓(𝑥�̅�) como se muestra en la
tabla
𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
𝑖 ∆𝑥𝑖 𝑥�̅� 𝑓(𝑥�̅�)
0 -2 NA NA
1 -1 -1.5 1.323
2 0 -0.5 1.936
3 1 0.5 1.936
4 2 1.5 1.323
𝑁𝐴: 𝑁𝑜 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
18 Se aplica la formula ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
−2
≈ ∆𝑥(𝑓(𝑥1̅̅ ̅) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛̅̅ ̅))
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2
−2
≈ 1 ∗ (1.323 + 1.936 + 1.936
+ 1.323)
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥2
−2
≈ 6.518
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TEMA 2: (14 PUNTOS)
La ventana de un observatorio de vida marina tiene la forma de una elipse con eje mayor horizontal de 6 metros
y un eje menor de 4 metros, su centro se encuentra 20 m bajo el agua. Plantee la o las integrales que calculan la
fuerza hidrostática sobre la ventana si la densidad del agua de mar es de 1027 kg/m3.
No. Explicación Operatoria
1 Se escribe la ecuación de la elipse, que por conveniencia se escoge centrada en el origen,
también se hace un dibujo para entender el ejercicio
𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒:𝑥2
9+
𝑦2
4= 1
2 La figura muestra la placa con su centro sumergido 20 metros debajo de la superficie del
agua. Se necesita expresar el ancho de un diferencial de área, 𝐿(𝑦), en términos de la
ecuación de la elipse y la altura del agua que se encuentra encima de un diferencial de área,
ℎ(𝑦) en términos de la variable "𝑦". Además se tomará como densidad 𝜌 = 1027𝑘𝑔
𝑚3 y la
gravedad como 𝑔 = 9.8𝑚
𝑠2. Se usara la siguiente definición de Fuerza Hidrostática , 𝐹.
𝐹 = 𝜌𝑔 ∫ ℎ(𝑦) 𝐿(𝑦) 𝑑𝑦
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3 El ancho, 𝐿(𝑦), de un diferencial de área
esta definido, por simétrica como el doble
del valor de la coordenada " + 𝑥" de un
punto en la elipse
Debido a esto se despeja, de la ecuación
de la elipse, la coordenada 𝑥
Al despejar 𝑥 se obtienen 2 ecuaciones,
una representa la mitad derecha de la
elipse, y la otra la mitad izquerda de la
elipse
Ya que se trabajará por simetría se toma la
raíz positiva y se multiplica por dos para
obtener 𝐿(𝑦)
Verificamos que, 𝐿(𝑦), proporcione el
ancho de un diferencial del área para cada
valor de 𝑦, por ejemplo verificamos que el
mayor ancho se da cuando 𝑦 = 0, el
menor ancho se da cuando 𝑦 = 2
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
𝑥2
9+
𝑦2
4= 1
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑥 = ±√9 −9𝑦2
4
𝑥 = ±3√1 −𝑦2
4
𝐿(𝑦) = 2 ∗ 3√1 −𝑦2
4
𝐿(0) = 6
𝐿(2) = 0
4 Ahora se debe encontrar la altura, ℎ(𝑦),
que hay entre la superficie de agua y un
diferencial de área, Por ejemplo cuando
el diferencial de área está en una posición
ℎ(2) = 18
ℎ(0) = 20
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donde 𝑦 = 2, la altura entre ese
diferencial de área y la superficie es de 18,
de igual forma cuando el diferencial está en
𝑦 = 0, la altura entre ese diferencial y la
superficie es de 20.
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑦
ℎ(𝑦 ) = 20 − 𝑦
5 Ahora sustituimos los valores de
𝜌, 𝑔, ℎ(𝑦) 𝑦 𝐿(𝑦), en la fórmula para fuerza
hidrostática.
Se agregan los límites de integración,
siendo estos los valores de 𝑦 para los que
está definida la geometría de la placa, es
decir −2 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝐹 = 𝜌𝑔 ∫ ℎ(𝑦) 𝐿(𝑦) 𝑑𝑦
𝐹 = (1027)(9.8) ∫(20 − 𝑦) (6√1 −𝑦2
4) 𝑑𝑦
𝐹 = (1027)(9.8) ∫ (20 − 𝑦) (6√1 −𝑦2
4) 𝑑𝑦
2
−2
TEMA 3: (10 PUNTOS)
Calcule el centroide de la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 ; 𝑦 = 2𝑥
No. Explicación Operatoria
1 Se usarán las siguientes
integrales para obtener las
coordenadas del centroide de
la región descrita en el
enunciado
�̅� =1
𝐴∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
�̅� =1
2𝐴∫(𝑓(𝑥))
2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝐴: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛
𝑎, 𝑏: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑋 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛
𝑓(𝑥): 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛
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2 Se grafican las funciones para tener un planteamiento grafico del ejercicio
3 Primero se plantea el área de la
región con una integral. Para
plantear esta integral se
utilizará un diferencial de área
de la forma 𝑑𝐴 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑𝑥 ,
donde 𝑑𝑥 es el ancho del
rectángulo y 𝑓(𝑥) representa la
altura del rectángulo, como se
muestra la figura
Dado que la función esta
delimitada por 2 dos funciones,
la función 𝑓(𝑥) será la resta de
dos funciones, una que delimita
la parte superior y otra que
delimita la parte inferior
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − (𝑥2 − 4𝑥)
𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2
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4 Para encontrar los límites de
integración de la integral de
área se determinan las
intersecciones entre las
gráficas igualando ambas
ecuaciones
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛:
𝑦 = 𝑦
2𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥
0 = 𝑥2 − 6𝑥
𝑥 = 0
𝑥 = 6
5 Se determina el valor del área
con la siguiente integral
𝐴 = ∫ 6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥
6
0
𝐴 = 3𝑥2 −𝑥3
3|
0
6
𝐴 = 3(6)2 −(6)3
3− 0 = 36
6 Se procede a calcular la
coordenada 𝑥 del centroide. De
la misma forma a como se
trabajo con el área para esta
integral la función 𝑓(𝑥) será la
resta de dos funciones, como
se hizo en la determinación del
área.
�̅� =1
𝐴∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
�̅� =1
𝐴∫ 𝑥 (6𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
�̅� =1
36∫ 6𝑥2 − 𝑥3𝑑𝑥
6
0
�̅� =1
36( 2𝑥3 −
𝑥4
4|
0
6
)
�̅� =1
36( 2(6)3 −
64
4− 0) = 3
7 Se calcula la coordenada 𝒚 del
centroide, dado que la región
se encuentra delimitada por
dos funciones la el integrando
no se cambia a una diferencia
de los cuadrados de las dos
funciones que delimitan la
región
�̅� =1
2𝐴∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
�̅� =1
2𝐴∫ [𝑔(𝑥)]2 − [ℎ(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
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**NOTA: es muy común
pensar, erróneamente, que al
tener dos funciones
delimitando la región lo que
debe hacerse es elevar la resta
de las funciones al cuadrado.
Se aclara que cuando se
tengan 2 funciones delimitando
la región, lo que debe hacerse
es colocar la diferencia de los
cuadrados de las funciones
dentro del integrando.
�̅� =1
2𝐴∫ [2𝑥]2 − [𝑥2 − 4𝑥]2𝑑𝑥
6
0
�̅� =1
2(36)∫ 8𝑥3 − 𝑥4 − 12𝑥2 𝑑𝑥
6
0
�̅� =1
2(36)( 2𝑥4 − 4𝑥3 −
𝑥5
5|
0
6
)
�̅� =1
2(36)( 2 ∗ 64 − 4 ∗ 63 −
65
5− 0) =
12
5
8 Las coordenadas del centroide son, se observa que las coordenadas del centroide quedan dentro de
la región de la figura
(�̅�, �̅�) = (3 ,12
5)
(3, 2.4)
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TEMA 4: (8 PUNTOS)
Dada la sucesión: 𝑎𝑛 =𝑒𝑛+3
𝑒2𝑛+1
a. Calcule sus primeros cinco términos y grafique.
b. Determine si la sucesión converge o diverge. (4 puntos cada inciso)
No. Explicación Operatoria
1
Dada la sucesión 𝑎𝑛 se encuentran los
primeros 5 términos sustituyendo 𝑛 por
números enteros, dado que no se
especifica el valor inicial de 𝑛, se toma
como 1, el primer valor de 𝑎𝑛
𝐷𝑎𝑑𝑜:
𝑎𝑛 =𝑒𝑛 + 3
𝑒2𝑛 + 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2 ,3, 4, 5
𝑎1 =𝑒 + 3
𝑒2 + 1
𝑎2 =𝑒2 + 3
𝑒4 + 1
𝑎3 =𝑒3 + 3
𝑒6 + 1
𝑎4 =𝑒4 + 3
𝑒8 + 1
𝑎5 =𝑒 + 3
𝑒 10 + 1
2 Grafica:
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3 Para determinar si la sucesión es
convergente debe cumplir con dos
características:
1. Debe ser monótona decreciente
o monótona creciente
2. Debe ser acotada
Por la gráfica y los primeros 5 términos
se puede concluir que la sucesión es
monótona decreciente
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2 ,3, 4, 5
𝑎𝑛 ≈ {0.6816, 0.1868, 0.057, 0.0193, 0.0068}
𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑀𝑜𝑛ó𝑡𝑜𝑛𝑎 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
4 Para determinar si la sucesión es
acotada o no, se deben evaluar las
cotas inferior y superior, para ver, las
cotas se deben verificar de dos formas
1. Evaluando el límite de las
sucesión en el infinito
2. Verificando que los valores que
indefinen la sucesión no sean
enteros positivos
Para verificar el limite se multiplica y se
divide la sucesión por el reciproco de la
potencia más grande del la función
exponencial
Se determina asi que una de las cotas
de la sucesión es la recta 𝑦 = 0, es
decir el eje 𝑥, ya que el limite de la
sucesión en el infinito es cero
1. 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
lim𝑛→∞
𝑒𝑛 + 3
𝑒2𝑛 + 1
lim𝑛→∞
𝑒𝑛 + 3
𝑒2𝑛 + 1∗
1𝑒2𝑛
1𝑒2𝑛
lim𝑛→∞
1𝑒𝑛 +
3𝑒2𝑛
1 +1
𝑒𝑛
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim𝑛→∞
𝑘
𝑎𝑛= 0
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑦 𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
lim𝑛→∞
1𝑒𝑛 +
3𝑒2𝑛
1 +1
𝑒𝑛
=0 + 0
1 + 0= 0
5
Para determinar la otra cota de la
sucesión se analizan los valores que
indefinen la sucesión
Al ser esta una sucesión racional, los
valores que la indefinen son aquellos
que hacen cero el denominador
No es necesario resolver la ecuación
exponencial para darse cuenta de que
𝑒𝑛 + 3
𝑒2𝑛 + 1
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑒2𝑛 + 1 = 0
𝑒2𝑛 = −1
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no existen soluciones reales, puesto
que la función exponencial nunca es
negativa, sin importar cual sea su
exponente
Puesto que no existen valores de 𝑛 que
indefinan la función, esta siempre
tendrá valores dentro de un rango
restringido.
Por la gráfica y el limite se concluye que
las cotas de la sucesión son la recta
y=0, y el primer valor en la sucesión,
puesto que no existe un valor más
grande que el primero en la sucesión
∗∗ 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 …
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:
𝑦 =𝑒 + 3
𝑒2 + 1
𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 …
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟:
𝑦 = 0
Dado que la sucesión tiene cotas, es acotada y
También es monótona decreciente:
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
TEMA 5: (16 PUNTOS)
Determine si las series dadas convergen o divergen, si convergen calcule su suma (8 puntos c/u):
(1) ∑(1 + 3𝑛)
32𝑛
∞
𝑛=1
(2) ∑1
𝑛(𝑛 + 2)
∞
𝑛=1
No. Explicación Operatoria
1 Para la primera serie dada, se procede
a separar en dos series
∑(1 + 3𝑛)
32𝑛
∞
𝑛=1
(1 + 3𝑛)
32𝑛=
1
32𝑛+
3𝑛
32𝑛
∑(1 + 3𝑛)
32𝑛
∞
𝑛=1
= ∑1
32𝑛
∞
𝑛=1
+ ∑3𝑛
32𝑛
∞
𝑛=1
2 Se aplican la siguientes leyes de los
exponentes para reescribir cada serie
con un solo exponente 𝑛
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
1 = 1𝑛
𝑎𝑐𝑏 = (𝑎𝑐)𝑏 = (𝑎𝑏)𝑐
∑1
32𝑛
∞
𝑛=1
+ ∑3𝑛
32𝑛
∞
𝑛=1
= ∑ (1
32)
𝑛∞
𝑛=1
+ ∑ (3
32)
𝑛∞
𝑛=1
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3 Ahora se busca llevar estas dos series a
la forma estándar de una serie
geométrica
En este ejercicio se trabajará con las
series geométricas más conocidas
con 𝑛 = 0 𝑦 𝑛 = 1
Dado que en las series que se tienen la
sumatoria inicia en 𝑛 = 1, para poder
usar el criterio de la serie geométrica se
necesita que el exponente que
actualmente es 𝑛, se convierta en 𝑛 − 1
según la forma estándar de una serie
geométrica
Para llevar amas series a su forma
estándar, se multiplica y se divide por la
base de exponente 𝑛, con exponente −1
Se simplifica y ahora se obtienen las dos
series en la forma estándar de una serie
geométrica
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
∑ 𝑎 𝑟𝑛−𝑘
∞
𝑛=𝑘
𝑆𝑖 |𝑟| < 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠: 𝑎
1 − 𝑟
∑ (1
9)
𝑛∞
𝑛=1
+ ∑ (1
3)
𝑛∞
𝑛=1
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 1
𝑎−𝑛= 𝑎𝑛
∑ (1
9)
𝑛
∗(
19)
−1
(19
)−1
∞
𝑛=1
+ ∑ (1
3)
𝑛
∗(
13)
−1
(13
)−1
∞
𝑛=1
∑ (1
9) (
1
9)
𝑛−1∞
𝑛=1
+ ∑ (1
3) (
1
3)
𝑛−1∞
𝑛=1
4 Se identifica el valor de 𝑟 en cada serie
y se concluye que ambas series son
convergentes, por lo tanto la serie inicial
del enunciado es convergente
∑ (1
9) (
1
9)
𝑛−1∞
𝑛=1
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝑎1 =1
9
𝑟1 =1
9→ |
1
9| < 1
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
∑ (1
3) (
1
3)
𝑛−1∞
𝑛=1
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝑎2 =1
3
𝑟2 =1
3→ |
1
3| < 1
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
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5 Dado que ambas series son
convergentes se puede determinar de
forma exacta la suma
∑ (1
9) (
1
9)
𝑛−1∞
𝑛=1
+ ∑ (1
3) (
1
3)
𝑛−1∞
𝑛=1
19
1 −19
+
13
1 −13
=5
8
∑(1 + 3𝑛)
32𝑛
∞
𝑛=1
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠: 5
8
6 Esta serie se identifica como una serie
telescópica ya que el denominador
aparece completamente factorizado, y
el índice 𝑛 no aparece no como
exponente ni con factoriales
Se plantean las fracciones parciales,
debido a que los factores en el
denominador son lineales no repetidos,
se plantea un fracción por cada factor
con un numerador constante en cada
una
∑1
𝑛(𝑛 + 2)
∞
𝑛=1
1
𝑛(𝑛 + 2)=
𝐴
𝑛+
𝐵
𝑛 + 2
7 Se procede a encontrar los valores de
las constantes
Primero se multiplica ambos lados de la
igualdad por el denominador común
Se dan valores convenientes a la
variable 𝑛 de tal forma que se anule
alguna constante y se pueda despejar la
otra facilmente
(1
𝑛(𝑛 + 2)=
𝐴
𝑛+
𝐵
𝑛 + 2) ∗ 𝑛(𝑛 + 2)
1 = 𝐴(𝑛 + 2) + 𝐵𝑛
𝑆𝑖 𝑛 = 0
1 = 𝐴(0 + 2)
𝐴 =1
2
𝑆𝑖 𝑛 = −2
1 = 𝐴(0) − 2𝐵
𝐵 = −1
2
1
𝑛(𝑛 + 2)=
1/2
𝑛 −
1/2
𝑛 + 2
8 Para determinar la convergencia de la
serie telescópica se desarrollan algunas
sumas parciales y se analiza el patrón
que se produce
∑1
𝑛(𝑛 + 2)
∞
𝑛=1
= ∑1/2
𝑛 −
1/2
𝑛 + 2
∞
𝑛=1
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Se observa en las sumas parciales que
los términos se van eliminando uno a
uno, a medida que se desarrollan mas y
mas términos, los únicos términos que
no se eliminan son, ½, ¼ y tambien se
observa que al final el ultimo termino
que quedaría si se desarrolla la suma
infinita sería −1/2
𝑛+2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5 …
(1
2−
1
6 ) + (
1
4−
1
8 ) + (
1
6−
1
10 ) + (
1
8−
1
12 )
+ (1
10−
1
14 ) + ⋯ + (
1/2
𝑛−
1/2
𝑛 + 2 )
9 Al observar el comportamiento de las
sumas parciales, se podrá concluir que
la serie es convergente si el limite en el
infinito de enésima suma parcial,
después de que se anulan los
elementos, existe,
Se evalua el limite y se concluye que la
serie converge
𝑆 = lim𝑛→∞
( 1
2+
1
4−
1/2
𝑛 + 2)
lim𝑛→∞
(−1/2
𝑛 + 2) = 0
𝑆 =3
4
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
TEMA 6: (14 PUNTOS)
Determine si las series dadas convergen. ( 7 puntos c/u)
A) Use la prueba de las proporciones (cociente)
∑𝑛!
𝑒𝑛2
∞
𝑛=1
B) La prueba de la serie alternante.
∑(−1)𝑛+1𝑛
1 + 𝑛2
∞
𝑛=1
No. Explicación Operatoria
1
Para determinar la convergencia de la
serie se utilizara el criterio de la razón o
del cociente.
lim𝑛→∞
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛| < 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑜𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛!
𝑒𝑛2
𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛+1 = (𝑛 + 1)!
𝑒(𝑛+1)2 =(𝑛 + 1)!
𝑒𝑛2+2𝑛+1
2 Se evalúa el valor absoluto de la razón
entre las dos sucesiones
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = |𝑎𝑛+1 ∗1
𝑎𝑛| = |
(𝑛 + 1)!
𝑒𝑛2+2𝑛+1∗
𝑒𝑛2
𝑛! |
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Se simplifica la expresión
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛| = |
(𝑛 + 1)!
𝑒𝑛2∗ 𝑒2𝑛 ∗ 𝑒
∗𝑒𝑛2
𝑛!| = |
(𝑛 + 1)!
𝑒2𝑛 ∗ 𝑒 ∗ 𝑛!|
3 Se utiliza una de las propiedades de los
factoriales para simplificar la expresión
(𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1)𝑛!
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = |(𝑛 + 1)𝑛!
𝑒2𝑛 ∗ 𝑒 ∗ 𝑛!|
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = |(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛 ∗ 𝑒| =
1
𝑒 |
(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛|
4 El factor (𝑛 + 1) del numerador y el
denominador nunca serán negativos
porque el índice de la sumatoria inicia en
uno y se evalúa hasta el infinito positivo.
Debido a que el factor (𝑛 + 1) 𝑦 𝑒2𝑛
nunca serán negativos es posible
evaluarlo fuera del valor absoluto
∑𝑛!
𝑒𝑛2
∞
𝑛=1
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =1
𝑒∗
(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛
5 Se evalúa el límite al, evaluar de forma
directa se observa que se obtiene una
forma indeterminada.
Por lo tanto se puede utilizar la regla de
L’Hopital
*IMPORTANTE: La regla de L’Hopital
solo se puede aplicar a FUNCIONES
continuas y derivables, una sucesión
NO es una función continua y derivable
lim𝑛→∞
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛| = lim
𝑛→∞
1
𝑒∗
(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛=
∞
∞
6 Para poder aplicar la regla de L’Hopital
se debe asociar una función a la
sucesión a evaluar, como se muestra
Luego de asociar la función a la
sucesión ya se puede aplicar la regla de
L’Hopital a la función, y el valor del este
límite será el mismo que el de a
sucesión
𝐴𝐶𝐿𝐴𝑅𝐴𝑁𝐷𝑂:
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑓(𝑥) =1
𝑒∗
(𝑥 + 1)
𝑒2𝑥
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 =1
𝑒∗
(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛
𝑆𝑖 lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿
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7 Ahora se evalúa el limite sobre la
función asociada a la sucesión
lim𝑥→∞
1
𝑒∗
(𝑥 + 1)
𝑒2𝑥=
∞
∞
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim𝑥→∞
1
𝑒∗
(𝑥 + 1)
𝑒2𝑥= lim
𝑥→∞
1
𝑒∗
𝑑𝑑𝑥
(𝑥 + 1)
𝑑𝑑𝑥
𝑒2𝑥
lim𝑥→∞
1
𝑒∗
1
2 𝑒2𝑥= 0
8 Dado que el limite de la función
asociada existe y es cero, entonces el
limite de la sucesión tambien es cero
Dado que cero es menor que uno, la
serie converge por el criterio del
cociente o de la razón
lim𝑛→∞
1
𝑒∗
(𝑛 + 1)
𝑒2𝑛= 0
lim𝑛→∞
|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛| = 0 < 1
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
9 Dada la siguiente serie, se aplica el
criterio de la serie alternante, la cual
debe cumplir 2 requisitos para concluir
que la serie es convergente
∑(−1)𝑛+1𝑛
1 + 𝑛2
∞
𝑛=1
𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
∑(−1)𝑛 𝑏𝑛
∞
𝑛=1
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖:
𝑏𝑛 > 0 𝑦 𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛
𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠
lim𝑛→ ∞
𝑏𝑛 = 0
10 Primero se identifica el termino 𝑏𝑛, el
cual es el temino NO alternante de la
sucesión dentro de la sumatoria
∑(−1)𝑛+1𝑛
1 + 𝑛2
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 =𝑛
1 + 𝑛2
11 El primer requisito del criterio de la serie
alterante se refiera a que la sucesión 𝑏𝑛
siempre debe ser poistiva y decreciente
Se analiza que en la sucesión que se
tiene que los únicos valores de 𝑛 que
provocarión valore negativos o cero son
𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛 𝑛 + 1
1 + (𝑛 + 1)2<
𝑛
1 + 𝑛2
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valores negativos o el valor 𝑛 = 0,
puesto que la serie inicia en 𝑛 = 1, la
sucesión 𝑏𝑛 nunca será cero o negativa
Para determinar si la sucesión es
decreciente se plantea la desigualdad y
se simplifica hasta obtener una
expresión que siempre sea cierta
𝑛 + 1
𝑛2 + 2𝑛 + 2<
𝑛
1 + 𝑛2
(1 + 𝑛2)(𝑛 + 1) < 𝑛(𝑛2 + 2𝑛 + 2)
𝑛3 + 𝑛2 + 𝑛 + 1 < 𝑛3 + 2𝑛2 + 2𝑛
1 < 𝑛2 + 𝑛, 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑛 > 0
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
12 Ahora se analiza el limite de la sucesión
en el infinito
Se multiplica y se divide la sucesión por
la potencia más grande de 𝑛, y se usa
la definición de un límite en el infinito
Dado que el limite es igual a cero y
además la sucesión decreciente se
concluye que la serie es convergente
lim𝑛→∞
𝑛
1 + 𝑛2
lim𝑛→∞
𝑛
1 + 𝑛2 ∗
1
𝑛2
1
𝑛2
= lim𝑛→∞
1
𝑛1
𝑛2 + 1
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶ lim𝑛→∞
𝑘
𝑛𝑎= 0
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑦 𝑎 > 0 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
lim𝑛→∞
1
𝑛1
𝑛2 + 1 =
0
0 + 1= 0
∑(−1)𝑛+1𝑛
1 + 𝑛2 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
∞
𝑛=1
TEMA 7: (10 PUNTOS)
Determine si la serie dada converge o diverge, usando la prueba de la integral y calcule 𝑆3:
∑2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
No. Explicación Operatoria
1 Para usar la prueba de la integral
primero se asocia una función
continua a la sucesión de la serie,
luego se plantea la integral
∑2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 =2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
𝑆𝑖 𝑓(𝑥) =2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝐲 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛
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𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 ∫2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
∞
1
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
2 Dado que uno de los limites de la
integral es el infinito se plantea la
integral como un integral impropia
∫2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
∞
1
𝑑𝑥 = lim𝑏→∞
∫2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑏
1
𝑑𝑥
3 Se obtiene la integral indefinida
para luego evaluarla como el limite
de la integral impropia
Se manipula algebraicamente el
integrando para obtener un función
mas fácil de analizar
∫2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥=
2
𝑒𝑥 +1
𝑒𝑥
=2
𝑒2𝑥 + 1𝑒𝑥
=2𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 1
4 Se hace una sustitución y se utiliza
la definición de la derivada y
antiderivada de tangente inversa
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥
∫2𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 = ∫
2
𝑢2 + 1𝑑𝑢
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜: ∫𝑑𝑎
𝑏2 + 𝑎2=
1
𝑏𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑎
𝑏)
∫2
𝑢2 + 1𝑑𝑢 = 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑢)
∫2𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑥) + 𝐶
5 Ahora se evalua el limite para
determinar si la integral impropia
converge o diverge
lim𝑏→∞
∫2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑏
1
𝑑𝑥 = lim𝑏→∞
( 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑥)|1
𝑏
)
= lim𝑏→∞
2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑏) − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒1)
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
lim𝑏→∞
𝑒𝑏 = ∞
lim𝑏→∞
𝑡𝑎𝑛−1 (𝑏) =𝜋
2
lim𝑏→∞
2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒𝑏) − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒1) = 𝜋 − 2 𝑡𝑎𝑛−1(𝑒)
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
6 Dado que la integral impropia
converge entonces la serie también
converge
∑2
𝑒𝑛 + 𝑒−𝑛
∞
𝑛=1
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Dudas u observaciones al correo: [email protected]