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CAPITULO II 2.2 MARCO TEÓRICO

2.1. Teorías Del Aprendizaje

Aproximadamente hasta la década de 1950 no se disponía de una teoría que

explicara el proceso por el que los conceptos matemáticos son aprendidos por la

mente del educando.

El psicólogo Jean Piaget con sus trabajos de investigación, es el que

probablemente más ha contribuido a la comprensión de este fenómeno intelectual y a

la explicación del tan generalizado “trauma de las matemáticas”.

Piaget afirma que “las estructuras fundamentales que permiten construir las

matemáticas, son una prolongación formal de los esquemas lógicos en que se

organizan los actos del pensamiento”. Es por ello que la didáctica de la matemática

se debe adaptar al ritmo en que las estructuras mentales van apareciendo en el

desarrollo intelectual del niño(a).

El concepto del número es un concepto lógico y el pensamiento del niño(a) “se

hace” lógico, aproximadamente a los 6 ó 7 años de edad cronológica. Esto significa

que las operaciones lógicas no son innatas: para que se desarrollen en la mente

infantil, se debe pasar por una serie de etapas.

2.2.- Evolución del pensamiento

El pensamiento lógico operativo y reflexivo, es la culminación de un proceso

que ocupa toda la infancia. Este proceso se desarrolla en las siguientes etapas:

inteligencia senso-motora, inteligencia objetivo-simbólica e inteligencia lógico-formal.

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Para Piaget, el concepto de adaptación es esencial en la teoría de la

inteligencia, de ahí que se comprenda que el “pensamiento formal constituye el

término de una construcción activa y de un compromiso con el exterior”. Por lo tanto,

la facultad de pensar no es congénita ni el psiquismo humano está preformado. Las

etapas del pensamiento están relacionadas: una prepara a la siguiente, la que su vez

está condicionada por la precedente.

La aparición de las etapas del pensamiento lógico pueden variar según el

desarrollo andrógeno del individuo, lo que no puede haber, es salto en las etapas.

2.2.1. Inteligencia Senso-Motora

Esta edad se extiende desde 0 a 2 años aproximadamente, y durante ella se

realiza la adaptación del niño(a) en el mundo exterior a través de la coordinación de

sus movimientos y percepciones. El niño(a) llega al mundo con una serie de reflejos

congénitos, cuya actividad en un sentido poco a poco, se va consolidando y

acomodando a la naturaleza de los estímulos y por otro, acomoda su esquema a la

acción de ellos.

La adaptación que caracteriza a la inteligencia, surge del equilibrio entre asimilación y acomodación.

La acomodación y la asimilación poseen un elemento en común: ambas son

acciones. Los objetos existen para el niño(a) en esta etapa, sólo cuando permanecen

en su campo visual. Las acciones son actos puramente materiales de los que no

existe representación. El niño(a) necesita ensayar repetidamente para observar los

resultados en su acción. Al final de su segundo año, ya no requerirá hacer ensayos

prolongados: desde ahora puede imaginarse el resultado de sus modos de conducta.

Culminada esta etapa, pasa a la siguiente.

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2.2.2.- Pensamiento Objetivo-Simbólico

Se inicia desde los 2 hasta los 6 ó 7 años. Esta etapa se ve enmarcada por

fundamentales adquisiciones. El/la infante domina la locomoción y con ella se va

ampliando su horizonte de percepciones. Está expuesto a mayor cantidad de

estímulos visuales, gustativos, kinestésicos e investiga, prueba y conoce. Aparece la

capacidad de simbolización personal. Con la ayuda del lenguaje, el niño(a) empieza

a pensar en un objeto que no está ante su vista. En esta etapa el pensamiento es

egocéntrico, depende en todo momento de la acción presente; esto hace que el

niño(a) tenga dificultades para proyectar su pensamiento sobre algo distinto a lo que

ve en el momento.

El pensamiento del niño(a) en esta etapa es preconceptual y prelógico, no

puede realizar inclusiones de clase, no coordina entre ellas relaciones de simetría y

de asimetría. En esta etapa no hay conservación de cantidad como tal: por estar

sometida a la percepción actual, no puede dar lugar a ninguna composición estable.

El niño(a) puede establecer la correspondencia uno a uno, pero en cuanto se

suprime la correspondencia visual, la equivalencia cuantitativa desaparece. Admite la

igualdad de cantidades, pero cuando desaparece la correspondencia visual o

espacial, desaparece la equivalencia de los dos conjuntos.

Por otra parte, para que surja el concepto de número, es necesaria la

constancia de cantidad, la clasificación, la posibilidad de establecer relaciones de

asimetría y de realizar seriaciones entre los elementos.

Entre los 4 y los 7 años aproximadamente, el niño(a) puede construir series

completas y correctamente de menor a mayor y viceversa, si se le proporcionan

objetos adecuados, pero su modo de acción es por tanteo: coloca una varilla, la

quita, se retracta y cambia.

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En la frontera de esa etapa es cuando el niño(a) va desarrollando su

capacidad para realizar correspondencia biunívoca, comprensión de números

cardinales con algunas operaciones (adición, sustracción, multiplicación), de la idea

lógica de la inclusión de clases con su correspondiente, del comienzo de las

relaciones de orden y otros.

Con las reservas que el caso requiere, al aplicar esta teoría a los niños y niñas

de nuestro medio, puede observarse que un considerable número de niños y niñas

de 6 años de edad cronológica que ingresa al primer grado en la escuela regular, no

presentan las condiciones madurativas indispensables que aseguren un correcto

aprendizaje del número y del cálculo; es por eso que se hace necesario planificar, en

el periodo de aprestamiento actividades previas a este aprendizaje.

2.2.3. Inteligencia Lógico-Concreta y Lógico-Formal

Esta etapa se extiende desde el límite anterior hasta los 12 años. A los 7 años, el pensamiento adquiere la estructura operativa, la cual se hace

reversible y lógica. El razonamiento de los(as) niños(as) de esta etapa actúa sobre

datos que le hayan sido suministrados por percepción y manipulación directa, pero

no sobre hipótesis verbales. Es decir, el pensamiento es lógico-concreto, las

operaciones están limitadas al plano de lo concreto y requiere por tanto, la presencia

del objeto. No opera ante enunciados.

Los(as) niños(as) en esta etapa son capaces de observar y razonar sobre

dos variables que cambian simultáneamente y cuyos comportamientos se

compensan. Su pensamiento es reversible, o sea, puede inventar mentalmente una

transformación observada para conseguir la reproducción inicial, lo que Piaget

equipara a realizar operaciones. De esta manera, el niño(a) frente a un conjunto de

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barras, puede relacionar cuál es más pequeña de las que le siguen. Hace funcionar

simultáneamente las dos relaciones y las compensa.

De hecho, en las escuelas de educación primaria o básica deberá darse

énfasis a experiencias concretas y situaciones particulares, ampliando el papel que

debe desempeñar la institución en el aprendizaje de la matemática.

2.2.4. Pensamiento Lógico-Formal

Esta etapa se extiende desde el límite de la etapa anterior y se consolida a los

15 años aproximadamente.

El/la niño(a) en esta etapa, logra razonar reflexiva y formalmente sin el apoyo

de objetos concretos, es decir, puede ya realizar razonamientos matemáticos, pensar

sobre abstracciones sin necesidad de un soporte material.

Las operaciones mentales las puede realizar sobre proposiciones. Piaget

afirma que el desarrollo mental del sujeto no está solamente en función de la edad,

sino que es muy importante el contexto en que se resuelve. El/la niño(a) es el que

puede acelerar o retrasar la evolución de estas etapas.

2.2.5. Paso de lo concreto a lo abstracto

La etapa a la cual está referido este desarrollo, es la de la preadolescencia,

particularmente interesante porque es precisamente la de los 11 a los 14 años,

cuando la mente se abre a la abstracción; se comprende entonces la importancia que

tiene esta etapa en el aprendizaje de la matemática.

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El paso de lo concreto a lo abstracto se produce en este largo periodo. No se

puede fijar con exactitud la edad porque para algunos sujetos la maduración se

verifica antes, para otros después; lo que sí se puede decir es que mientras al inicio

de la escuela media, salvo pocas excepciones, está apegado a lo concreto, al final

del curso trienal, se advierte en la mayoría una aspiración hacia la forma abstracta.

Las preguntas que surgen son tantas, que a menudo es difícil dar una

respuesta precisa, porque los estudios de sicología que consideran este paso no son

muchos; el tema es, por lo tanto, particularmente atrayente. Será necesario empezar

precisando los términos concreto y abstracto aunque se sabe que no son los

términos en sí lo que interesa, sino más bien, el paso de la percepción a la

representación abstracta.

Cuando el/la estudiante entra a la escuela media tiene una confianza ilimitada

en las mediciones; para él la medida es la demostración y representa la verdad. Se le

induce además a generalizar sobre la base de constataciones geométricas o

numéricas, hechas sobre un pequeño número de casos. Es el/la profesor(a) quién

deberá poco a poco, consolidar esta seguridad y hacer nacer las dudas.

2.3. Metodología de la Enseñanza de la Matemática.

Actualmente, dados los avances de la ciencia y la complejidad de la vida

moderna, la sociedad requiere de un hombre capaz y conciente de la

responsabilidad que le corresponde como sujeto actuante, creativo y transformador

de esa sociedad de la cual forma parte. Por ello es necesario el uso de métodos

activos en el proceso de la enseñanza-aprendizaje, con el fin de lograr la formación

de un(a) estudiante apto para percibir, pensar, razonar, evaluar y crear

comportamientos que le permitan dar respuestas a los problemas que se le

presentan.

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La participación activa tanto del educador(a) como de los(as) estudiantes es

el medio más eficaz para lograr los objetivos educacionales, aunque no se puede

señalar un método o procedimiento determinado para aplicarlo a todas las

situaciones del aprendizaje.

El/la educador(a) debe utilizar en su labor docente diversos métodos

pedagógicos de acuerdo con los objetivos y los contenidos a tratar en clase. Unas

veces se logra el aprendizaje con mayor efectividad con el Método de trabajo en

grupo, otras con actividades repetitivas, en algunos casos con la solución de

problemas; mientras que en otros casos se promueve un mejor aprendizaje con el

método de proyectos. Cualesquiera que sean los métodos o procedimientos que el/la

profesor(a) utilice para lograr un aprendizaje significativo, éstos requieren de una

planificación en la que se establezcan los objetivos que se espera lograr, la

determinación de la acción apropiada para el logro de tales objetivos; además de los

recursos o materiales necesario y apropiados.

Al seleccionar el método, es necesario que se considere las edades del grupo,

la madurez del mismo, así como el medio en que se desenvuelven.

Es imprescindible recordar que hasta los 12 ó 13 años de edad, el/la joven

atraviesa por una etapa lógica-concreta de pensamiento y por lo tanto, todas las

actividades deben estar precedidas por aquellas de carácter concreto, que permitan

la manipulación real de objetos o cosas para el manejo de las operaciones

matemáticas.

No es posible considerar a los métodos de enseñanza como recetas fijas e

infalibles y de aplicación automática, capaces de solucionar en forma definitiva el

problema de la enseñanza. Es indispensable dar a la metodología un alcance más

restringido, pero más realista. La didáctica presenta un aspecto científico, en cuanto

debe buscar apoyo en la sicología, la filosofía y otras disciplinas afines, pero es

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esencialmente un arte; y como tal, no admite formas absolutas; no quiere decir esto

que se deba prescindir de las normas consagradas por la experiencia, ni menos aún

de encuadrar una acción dentro de procedimientos que estén de acuerdo con la

concepción aceptada de la filosofía de la educación y en particular con las

conclusiones admitidas, respecto al problema de los fines.

Se debe considerar a la metodología como un conjunto de procedimientos de

enseñanza concordantes en las teorías incluyendo sus defectos y sus ventajas;

estos recursos están a disposición del profesor(a) y él/ella sabrá hacer uso que su

habilidad y experiencia le aconsejan; introduciendo si lo cree necesario,

modificaciones y combinaciones y hasta métodos de modalidades propias.

La solución del problema metodológico está en una conveniente aplicación

combinada de todos los métodos, desde los tradicionales de exposición, hasta los

modernos laboratorios y proyectos. Todos presentan aspectos que se hacen

necesarios; así mismo presentan inconvenientes que les hacen no aconsejables

como métodos únicos; la aplicación oportuna de todos ellos será la más acertada

solución.

2.3.1. Principios Básicos en la Enseñanza de la Matemática

La enseñanza de la matemática en los primeros grados se fundamenta en una

serie de principios básicos, derivados de la naturaleza misma de los procedimientos

de aprendizaje en los(as) niños(as) y de las características específicas de esa

asignatura y sus implicaciones sociales. Tales principios son:

1. La función primaria de un programa de matemática elemental debe ser la de

promover el desarrollo de la comprensión de las relaciones básicas entre

números y entre procesos que involucren números. La práctica para adquirir

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el dominio mecánico debe llevarse a cabo solamente después de lograda la

comprensión.

2. Las generalizaciones y reglas deben ser elaboradas por los mismos

alumnos(as), luego que hayan experimentado con procesos numéricos.

3. El propósito de la lectura en matemática es el de afianzar las ideas

cuantitativas. Por lo tanto, para la solución de los problemas escritos se hace

necesario que los niños y niñas posean habilidades especiales de lectura, las

cuales deben ser desarrollas cuidadosa e intensivamente.

Como puede apreciarse, el primer principio informa sobre la necesidad de

equilibrar la comprensión de los conocimientos con la habilidad mecánica para

procesarlos. Es decir, en primer término, el/la alumno(a) deberá poner en juego sus

facultades de comprensión y razonamiento, para luego memorizar reglas y

definiciones y desarrollar destrezas en métodos de trabajo.

El segundo principio establece que el/la alumno(a) elabore sus

generalizaciones después de haber trabajado con los procesos numéricos. En la

estructuración de reglas y generalizaciones, debe poner en juego su comprensión y

capacidad de razonar para aplicar lo aprendido.

Al señalar la importancia que debe dársele a la lectura en matemática, se hace

hincapié en el conocimiento y dominio del vocabulario específico de la asignatura, en

la interpretación y uso de símbolos.

2.3.2. Objetivos

La evolución histórica de la matemática, muestra que para su enseñanza se

ha ido adaptando sus objetivos a las necesidades de su época. En la actualidad, la

educación general considera como objetivo fundamental de la matemática el:

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Contribuir a que los alumnos comprendan las estructuras fundamentales de la

Matemática y a desarrollar las capacidades y destrezas necesarias para la

mejor utilización de las mismas, en las diversas situaciones de la vida.

Desde el punto de vista del aprendizaje, los(as) estudiantes deben alcanzar el

dominio de los conceptos matemáticos básicos elementales, reconocer las

características estructurales, conocer propiedades básicas de las estructuras,

comprender sus relaciones y entender la exposición razonada de la asignatura.

En el plano social, el aprendizaje de la matemática debe lograr la aplicación de

los conocimientos en la interpretación y la solución de situaciones cuantitativas de la

vida diaria y apreciar las formas de la sociedad de la cual forma parte, pues para ello

necesita usar esas ideas cuantitativas.

La asignatura además, debe facilitar el desarrollo de una cultura, permitiendo

a los(as) estudiantes responder a la configuración que esa cultura les impone, tal es

el hecho de comprender el desarrollo actual de una matemática de características

modernas que avanza como cualquier otra ciencia.

De hecho, es de vital importancia la formulación de objetivos en un programa

de enseñanza, por cuanto se determina la estructuración del contenido y se

establecen criterios de referencia en una constante labor de evaluación.

En la labor de enseñanza-aprendizaje de la matemática, el/la maestro(a) debe

también considerar otros objetivos como los siguientes:

1. Desarrollar habilidades para usar técnicas generales para la resolución de

problemas.

2. Usar los conceptos y procesos matemáticos para descubrir nuevas

generalizaciones y aplicaciones.

3. Desarrollar hábitos de estudio para lograr el progreso independiente en

matemáticas.

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4. Desarrollar habilidades de lectura y vocabulario esencial para lograr progreso en

el aprendizaje.

5. Desarrollar habilidades para pensar con originalidad.

6. Desarrollar hábitos de cooperación, economía, trabajo, confianza en sí mismos,

responsabilidad e interés en proseguir estudios matemáticos.

2.4. La Enseñanza de la Matemática

Desde el punto de vista de la teoría del aprendizaje existe una relación

indisoluble entre el/la docente que dirige el aprendizaje, el sujeto que aprende y el

método más adecuado a cada situación en particular. El/la maestro(a) como el

principal componente de este conjunto debe de tener en cuenta que tiene frente de

sí, a personas que presentan ciertas peculiaridades biosicosociales propias de su

edad. Esta toma de conciencia le obliga a adaptar, tanto el contenido a enseñar,

como los procedimientos y estrategias de conducción del aprendizaje, además de los

materiales que facilitarán la comprensión de los temas propuestos; los cuales deben

responder a los intereses necesidades y problemas de los(as) educandos, con el fin

principal de que su labor encuentre el campo propicio donde prosperar plenamente.

En el ámbito de estudio elemental y especialmente en el caso de la Matemática, su

tratamiento exige de procedimientos especializados, dado que por su sencillez y

carácter abstracto, puede prestarse a desaciertos en el proceso de transmisión del

conocimiento, al no ceñirse a la forma natural con que los niños y niñas aprenden.

El desarrollo psicológico del concepto del número y de la cantidad pasa por

una serie de etapas secuenciales, que al alterar el proceso sistemático, lo único que

se tendría serían trastornos en el aprendizaje. La secuencia parte del contacto real

con los objetos, es decir de lo concreto a una representación semi-concreta, para

pasar a una etapa simbólica que prepara para generalizar el concepto y luego pasar

a la abstracción. La abstracción es el paso final del proceso. Didácticamente este

proceso se convierte en una serie de pasos que guardan un orden sistémico que no

admite modificaciones, en su orden son: aprestamiento, visualización, manipulación,

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generalización, aplicación y abstracción; sin embargo estos pasos no pueden

tomarse como un proceso terminado, sino que en un sentido de adaptación

constante que dependen de una serie de factores extrínsecos e intrínsecos del hecho

pedagógico, tanto del ambiente de aprendizaje, como de los alumnos(as).

2.5. Aprestamiento para nuevos conocimientos

Aprender un nuevo conocimiento requiere que las condiciones de aprendizaje

y el interés del alumno(a) ocupen el primer plano del hecho pedagógico, por eso es

necesario que este proceso, sea planificado cuidadosamente por el maestro(a), pues

deben de cubrirse todas las posibilidades de alcanzar los objetivos terminales con

éxito.

Cada nuevo conocimiento requiere de una etapa de aprestamiento previo al

nuevo tema de estudio; la revisión de conceptos ya aprendidos, la experiencia, la

ejercitación, el recuerdo y la recreación de situaciones similares, son recursos

preparatorios para introducir un nuevo contenido. La falta de esta etapa de iniciación,

podría traer problemas de entendimiento y comprensión del nuevo conocimiento y los

conceptos fundamentales para su asimilación, no encontrarán campo propicio para

su enraizamiento y el esfuerzo desplegado para llegar al dominio esperado, habrá

sido inútil.

Se supone que una vez logrado el interés del educando éste es capaz de

tomar el control de los hechos, comprender los conceptos necesarios, asignar cierta

significación al contenido y comprender que su aprendizaje está en función de una

necesidad social que justifica el aprendizaje, éste además está en condiciones de

adquirir un nuevo aprendizaje, de manera que el maestro(a) deberá preparar una

serie de actividades motivadoras que propicien la captación del objetivo de

aprendizaje.

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El contenido a enseñar por el/la maestro(a), debe estar libre de errores de

concepto y de procedimientos engorrosos, ya que la ciencia y especialmente la

matemática debe de tender a la progresiva creación de fórmulas que permitan

manejar la realidad con la máxima sencillez.

El aprestamiento, etapa preparatoria o iniciación de situación de aprendizaje,

cualquiera que sea la denominación que quiera dársele, es un momento obligado

dentro del proceso, ya que este paso en el aprendizaje está íntimamente vinculado a

la etapa de asimilación del nuevo contenido y a su aplicación. Demás está indicar

que en esta etapa como en las subsiguientes, subyace una necesidad individual que

compete a cada alumno(a) y a una necesidad social propia del contexto humano.

El compromiso del maestro es educar a las generaciones obedeciendo metas

fines y objetivos bien definidos, sus propósitos deben estar encaminados a conformar

bases sólidas de conocimientos útiles que respondan a un extenso marco axiológico,

que sus alumnos(as) deben aprehender para su vida de relación y su trabajo. En

este sentido, deberá estar informado de la vida de la comunidad: doméstica, local,

nacional y mundial, con el fin de orientar la preparación de sus alumnos(as) hacia la

comprensión de los problemas reales del entorno.

2.5.1. La Visualización

La visualización consiste, en la realización de experiencias de observación

que fijen imágenes visuales en secuencia, que lleven al alumno(a) a una

comprensión profunda de las relaciones que operan en forma natural con un

significado matemático. El material que se utilice puede estar compuesto de una

serie de carteles, dibujos, gráficos, cómicos, vídeos, películas, filminas, diapositivas y

todos aquellos recursos visuales que ayuden al aprendizaje de las matemáticas, ya

que en cada visualización subyacen componentes de espacio y tiempo, relacionados

con la medida, el conteo, el color, la contextura, propiedades diferentes, de orden,

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igualdad, desigualdad, secuencia, asociatividad, conmutatividad, simetría y otras que

el/la estudiante debe descubrir.

Este paso es importante por cuanto, contribuye a la transición entre lo que

alumno(a) aprende por las actividades concretas, con la organización del aprendizaje

a nivel abstracto, el cual se vale de las imágenes utilizando símbolos y su propio

razonamiento.

2.5.2. La Manipulación

Actuar utilizando las manos en coordinación con la totalidad de los sentidos,

es una manera de aprender las cosas en forma perecedera, ya que es muy fácil

olvidar lo que perciben los oídos y lo que la vista puede percibir, tiene una duración

muy fugaz; por eso es importante que los materiales que sirven para aprender,

deben de estar en las manos de los(as) estudiantes: reglas, lápices, compases,

listas de compras, periódicos, libros, revistas, sólidos geométricos, juguetes, plantas,

presupuestos, tarjetas, cartulinas, plumones y otros materiales con los cuales la

manipulación inteligente por parte del/la estudiante, conduce al descubrimiento de las

relaciones en forma patente que ayudan a la comprensión y asimilación de los

conceptos matemáticos.

2.5.3. La Generalización

La generalización surge, cuando después de haber realizado experiencias

similares sobre los objetos de estudio, los hallazgos son estructurados en principios y

acuerdos que conducen a la construcción de fórmulas y reglas de trabajo y

aplicación; proceso que debe ser desarrollado por los(as) estudiantes con la

orientación acertada del maestro(a).

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Los juicios y resultados a los cuales los(as) estudiantes arriben deben ser

revisados y comprobados, de manera que lo que se derive de sus experiencias tenga

validez y consistencia. El maestro(a) deberá ayudar a este proceso, pero no hacer

las cosas que el alumno(a) deberá hacer.

2.5.4. La Aplicación

Lo aprendido no debe quedar como simple acto de conocer. El fin utilitario del

conocimiento matemático está en su aplicación, la cual puede traducirse a la solución

de situaciones problematizadas de significación social o en la demostración de

relaciones, ya que existen problemas por resolver y problemas por demostrar. No

obstante, cada problema implica una situación en la cual deben aflorar los

conocimientos y experiencias previas, pues cada situación a resolver requiere del

razonamiento lógico y de la actuación reflexiva con métodos apropiados de disciplina

mental, a los cuales hay que llegar por medio de la ejercitación constante por el

contacto con la realidad en forma crítica.

En este sentido, el maestro(a) deberá proponer problemas que estén

estrechamente ligados con la realidad que viven los alumnos(as), situaciones que

estimulen el interés por llegar a una respuesta que satisfaga las relaciones

planteadas con el máximo de seguridad en el trabajo intelectual que desarrolla.

Por otro lado, debe ponerse especial cuidado de plantear situaciones en las

que el alumno(a) se sienta frustrado o impotente; los problemas deben estar en

relación directa con sus capacidades y su desarrollo intelectual; debe evitarse

también cuestiones en que la simple operatoria aritmética no tenga sentido, es decir

que se presente como mero acto de operar sin que éste no tenga encaje con una

significación social o se les cree la falsa convicción de que el aprendizaje que han

hecho, no les está preparando para la solución de problemas ordinarios.

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2.5.5. El Proceso de Abstracción

La secuencia de los pasos anteriores, preparan al estudiante para que

paulatinamente vaya despojándose de la dependencia de los objetos, para ir

adquiriendo cierto dominio en manejar los conceptos en forma más independiente y

generalizada, aplicando procedimientos similares a problemas que tengan la misma

estructura pero con diferente contenido, evitando lo que se conoce como “problemas

tipo”. El/la estudiante debe estar consciente de que no siempre podrá disponer de

materiales concretos o semi-concretos para expresar y procesar ideas cuantitativas,

sino que debe de adquirir domino en el manejo de símbolos y expresiones con las

cuales sea capaz de comunicar y procesar ideas matemáticas.

2.6. La Matematización de Situaciones Una situación, define el comportamiento como la interacción entre un

organismo y su entorno, según ocurre en determinado momento; una situación

entonces, es una porción de una experiencia que corresponde a algunas acciones

materiales o a algunas actividades mentales; un número suficientemente reducido

para que el conjunto no aparezca a primera vista como inextricable, pero bastante

importante para que todo se preste a una estructuración.

Estas experiencias son asistemáticas y sistemáticas, las primeras las adquiere

el niño(a) como un ser social en su vida familiar, en su trato con los demás, en sus

juegos, que constituye una suerte de “capital matemático”, nada despreciable por

cierto. Las segundas son las que deliberadamente provoca el maestro(a). En estas

experiencias, el material concreto constituye un excelente recurso. La experiencia

puede adquirirse a partir de acciones materiales, tal es el caso del manipuleo que

realiza el niño(a) con diferentes conjuntos de objetos y que a partir de las acciones

realizadas sobre ellos, inicia la apertura al conocimiento; por ejemplo, el concepto de

particiones de un conjunto. En grados posteriores, ciertas actividades mentales le

permitirán a ese mismo niño(a), reconocer la estructura que determina una partición.

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Cuanto más variadas y ricas sean las experiencias de los niños(as), tanto más

allanado estará el camino que conduce a la adquisición de conceptos matemáticos.

La experiencia variada, requiere en muchos casos, el empleo de material concreto

variado. El material será valioso en la medida en que con su manipuleo, el niño(a)

aprecie la ligazón de las estructuras operatorias con la coordinación de las acciones

que realiza.

Ahora bien, cuando se dice: gran variedad de experiencias, debe entenderse,

no únicamente el caso de situaciones diferentes que permitan llegar a conceptos

diferentes, sino también el caso de que respondan a un mismo concepto. Proceder

así significa: desde el punto de vista matemático, familiarizar al niño(a) con la noción

de estructura, toda vez que advierta: que situaciones distintas en su forma, no lo son

en cuanto a las relaciones que puedan establecerse entre los elementos que

intervienen en ellas; desde el punto de vista pedagógico, esto es una mayor

posibilidad de atender a las diferencias individuales de los niños(as), ya que, una

misma estructura presentada en situaciones diferentes, podrá ser comprendida por el

niño(a) a partir de algunas de ellas: aquellas que en determinado momento están

más acordes con sus posibilidades. Todavía más; adquirido el concepto a partir de

las situaciones que resultaron accesibles para el niño(a), las otras aparecerán

clasificadas y, ahora sí, podrán ser comprendidas en función del concepto adquirido,

con el cual éste resultará afianzado a través de otros modelos. Brevemente: cuanto

más amplio sea el espectro de experiencias que se ofrezcan al niño(a); tanto más

amplias serán las posibilidades que se pondrán a su alcance para la adquisición de

un concepto y su ulterior aplicación o reconocimiento en otras situaciones, Veamos

ahora que significa “... que el todo se preste a una estructuración”.

Estructurar una situación significa considerar los elementos que constituyen

“esa porción de experiencias” para determinar como se asocian, cómo se relacionan

unos elementos con otros, qué operación es lícito efectuar, pero “descarnando” esos

elementos, es decir: transformando la situación en un esquema en el cual se

prescinda de lo accesorio o circunstancial. Estos elementos pueden pertenecer a un

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mismo conjunto o a conjuntos diferentes. Es muy importante que los conjuntos que

correspondan a una situación estén bien determinados. Matematizar una situación

significa determinar en ella una estructura. Ello exige dos pasos: primeramente el

reconocimiento de los conjuntos de referencia y luego el descubrimiento o

reconocimiento de las relaciones existentes. Claro está, que en este segundo paso,

los niños(as) no descubrirán o reconocerán únicamente las relaciones que, desde el

punto de vista del aprendizaje, le interesan al maestro(a), sin duda que encontrarán

otras.

Estas también pueden ser escuchadas y consideradas incluso en el caso de

que sean incorrectas; discutir y determinar por qué lo son, es también instructivo y

constructivo.

Es probable, asimismo, que para matematizar una situación no todos los

niños(as) sigan el mismo camino, conviene no desechar ninguno, pero el maestro(a)

con la pregunta sugerente, la aclaración oportuna, el replanteo de una idea aportada

por los niños(as) irá canalizando la actividad de la clase para el logro de los fines

propuestos. Toda idea, toda actividad, todo aporte de los niños(as) es altamente

positivo; en última instancia ello implica la adquisición de una forma de pensar y de

actuar con una actitud dispuesta a una acción reflexiva. Por otra parte, la exploración

de las diversas posibilidades que ofrece una situación, antes de proceder a su

matematización, es una permanente invitación a la actividad creadora y a la

imaginación que contribuye a su enriquecimiento.

En Síntesis: Matematizar una situación, es descubrir o reconocer una

estructura en un conjunto o conjuntos dados.

La matematización comprende dos aspectos fundamentales: establecimiento

de los conjuntos de referencia y el establecimiento o reconocimiento de relaciones.

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La matematización de una situación significa, seguir un camino constructivo

para el aprendizaje de la matemática.

Razones pedagógicas y matemáticas aconsejan la presentación de

situaciones variadas que respondan a una misma estructura. Al descubrimiento de

una estructura a partir de situaciones dadas, debe seguir su reconocimiento y

aplicación en nuevas situaciones

2.7.- Métodos Especiales en la Enseñanza de la Matemática. Por razones particulares llamamos a estas formas de aprendizaje, métodos

especiales, y aunque no son exclusivos, pueden adaptarse a situaciones concretas

en la enseñanza de la matemática; todo depende de la voluntad, creatividad e

imaginación de los(as) maestros(as).

a. Trabajo en pequeños grupos.

Por ser el hombre eminentemente social, gran parte del aprendizaje lo logra

en las vivencias que realiza en contacto con las personas o los grupos con los que

convive o intercambia experiencias.

El trabajo en pequeños grupos permite la participación de todos los

integrantes de la clase; la socialización, el cooperativismo, la modificación de

actitudes, una mayor productividad, la autoformación, la autoevaluación y la

interpretación de conceptos son algunos de los atributos que se adquieren en el

ejercicio de su práctica.

En el trabajo con pequeños grupos, después que los(as) alumnos(as) se han

organizado con tres o cuatro participantes, se distribuye la tarea a cada colectivo y se

determina un tiempo para su ejecución; las conclusiones respectivas se pueden

copiar en la pizarra para que sirvan de base a una discusión y corrección de parte de

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los(as) docentes y de los(as) alumnos(as), para que luego la transcriban a su

respectivo cuaderno de notas.

Esta estrategia metodológica de trabajo facilita principalmente la labor de

los(as) docentes que atienden alumnos(as) de varios grados en forma simultánea,

porque le permite el desarrollo del programa de una manera más didáctica eficiente.

El trabajo en grupo requiere de una preparación previa del/la alumno(a), de tal

manera que su comportamiento y participación responda a las normas establecidas

por el mismo colectivo o por el/la docente y, además, exige de una planificación

anticipada del maestro(a), en la cual se determine el tipo de actividades que deberá

realizar cada agrupación. En la enseñanza-aprendizaje de la matemática, las

actividades por desarrollar pueden ser:

• Compartidas: las que realizan los(as) estudiantes con la dirección y

participación del maestro(a).

• Simultánea compartida: aquellas en donde participan más de un grado, con la

dirección y participación de los(as) docentes.

• Independientes: las planificadas con anterioridad por el maestro(a) y

ejecutadas solamente por los(as) estudiantes.

• Libres: las ejecutadas por los(as) estudiantes, ya sean individualmente o en

grupo, según su iniciativa o sus intereses.

El método de trabajo en grupo es conveniente complementarlo con otras

técnicas, como es la resolución de problemas con referentes de la realidad, los

cuales deben tener importancia para el/la estudiante, de tal manera que ofrezcan

suficiente motivación para obtener sus respuestas por medio de destrezas y

mecanismos de solución apropiadas.

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b) El Juego. El juego constituye uno de los recursos más valiosos en el proceso de

enseñanza-aprendizaje de la matemática, especialmente en la educación básica.

El juego es efectivo para el logro del desarrollo motor y perceptivo, tanto como

para satisfacer necesidades e intereses y crear actitudes positivas de convivencia

social. Además, el/la estudiante aprende a autoconducirse, a respetar y establecer

normas y reglas que rigen al grupo. Proporciona seguridad, satisfacción y una

sensación de triunfo cuando se tiene éxito; pero también puede crear una sensación

de frustración o derrota cuando se fracasa, en esta situación debe favorecerse la

capacidad de lucha para conseguir los objetivos propuestos y evitar las frustraciones.

Bien orientado, el juego contribuye a desarrollar la capacidad analítica y

reflexiva, la ubicación exacta temporal y espacial, la adquisición de información

valiosa y al mismo tiempo, es un medio de recreación sana.

En esta estrategia metodológica, el maestro(a) actúa como guía y orientador y

en forma casi invisible, estará con sus alumnos(as), pero no hará notar su presencia

para permitir una mayor espontaneidad y autenticidad.

En el área de la matemática, el juego es un recurso muy útil, ya que estimula

el aprendizaje, haciéndolo agradable, hasta el refuerzo o repaso para afianzar los

conceptos numéricos.

Los juegos que necesitan de la construcción de estructuras, reflexión,

inventiva, inteligencia y creatividad son muy valiosos para desarrollar la capacidad

del razonamiento lógico-matemático.

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c) El Interrogatorio.

Desde el punto de vista formal el interrogatorio no es un juego, pero en una

situación de aprendizaje, esa formalidad debe ser flexible, pero sin perder la

orientación del objetivo. El interrogatorio fundamentalmente consiste en la

formulación correcta de las preguntas, considerando que una buena pregunta, es

aquella que despierta el interés hacia el tema, estimula el razonamiento de los(as)

estudiantes y les da oportunidad de ser originales.

Se favorece la participación del grupo, cuando las preguntas de carácter

general o abiertas son dirigidas a todos los participantes, dando oportunidad a la

discusión entre los que opinan en forma diferente. Al interrogar, el maestro(a) debe

estar preparado para hacer las observaciones necesarias, que permitan ampliar el

tema, a medida que se desarrolla la discusión.

Esta forma de aprendizaje es valiosa, por cuanto, bien orientado asegura la

participación de todos y ayuda afianzar los conceptos matemáticos que el/la

estudiante aprovechará en la solución de problemas a resolver o a demostrar.

d) Estudio Dirigido.

El método consiste en un conjunto de procedimientos que permiten a los

alumnos(as) la realización del estudio individual, el cual se complementa con la

elaboración de una serie de conclusiones que han de ser discutidas en el grupo.

El estudio dirigido es aplicable en el trabajo de elaboración de fichas de

contenido, de análisis, de nuevos planteamientos sobre el tema y en el desarrollo de

la clase.

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Cada estudiante realiza el estudio de una ficha de contenido, se organizan en

equipos de trabajo y desarrollan una serie de actividades alrededor del contenido,

discuten las conclusiones y las presentan en plenario a toda la clase.

e) La Investigación.

La investigación como estrategia de aprendizaje debe ser planificada

cuidadosamente por el/la maestro(a), a fin de no exigir al estudiante que haga lo que

no está en capacidad de hacer; pero elementalmente puede hacerse que los(as)

estudiantes aprendan a observar con detenimiento los detalles de cierto

acontecimiento o suceso en donde la matemática esté subyacente, la economía, la

demografía, la agricultura, el transporte y casi todas las actividades en donde esté

presente el número y la medida, son motivos de investigación.

La formulación de un problema sencillo a investigar debe ser motivo de

reflexión y conducción del maestro(a), procurando no imponer sus ideas al

estudiante, sino que dirigirlo para que sea él/ella, quien descubra lo que puede

significar una inquietud de aprendizaje. La lectura comprensiva sobre lo que ya está

escrito y el cuestionamiento de la realidad misma del/la alumno(a), podrían ser los

elementos primarios de un proceso que requerirá de la constante dirección del/la

maestro(a).

No se trata de una investigación seria, sino que sembrar la simiente de un

autoaprendizaje que será beneficioso para la independencia intelectual del

estudiante, ya que en lo posible se irá eliminando la costumbre de copiar el contenido

de los libros, a lo que la mayoría de los(as) alumnos(as) está apegado por la falta de

una orientación apropiada.