Universidad Nacional de Formosa Facultad de...

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Universidad Nacional de Formosa Facultad de Administración, Economía y Negocios

Curso Introductorio: MATEMÁTICA

Carreras:

Contador Público, Licenciatura en Comercio Exterior

Licenciatura en Administración de Empresas Agropecuarias Licenciatura en Tecnología de la información y la Comunicación

Año 2017

Cátedras: Análisis Matemático (C.P. y L.A.E.A) y Matemática I (TIC)

Docentes integrantes

Prof. Liliana Copponi

Prof. Victor Gimenez

Prof. Jorge Mora

Ing. Alberto Henquin

Ing. Esteban Inwinkelried

Ing. Daniel Saidler

Lic. Mario Quintana

Prof. Eduardo Orue

Prof. Carlos Arrieta

Prof. Carolina Nogueira

Material recopilado, seleccionado y elaborado por: Prof. Liliana Copponi Prof. Jorge Mora Lic. Mario Quintana


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Objetivo: con éste material acompañaremos a los ingresantes en el repaso de conceptos

que se usarán durante el año en el desarrollo del Programa de Análisis Matemático (C.P. y

L.C.E.) Matemática (L.A.E.A.) y Matemática I (L.T.I.C.).

Temas a desarrollar: Tema 1.1.-Revisión de Operaciones definidas en Conjuntos Numéricos. Operaciones. Propiedades.

Tema 1.2.-Expresiones algebraicas enteras. Polinomios. Polinomio de una variable. Grado. Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del Resto.

Tema 1.3.- A - Expresiones algebraicas. Factoreo: casos. Expresiones algebraicas fraccionarias.

B - Ecuaciones lineales y cuadráticas. Sistema de Ecuaciones lineales. C - Logaritmo: concepto y propiedades. Operaciones.

Tema 1.4.-Trigonometría. Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales. Representaciones en los cuatro cuadrantes.

Índice Temático

Tema 1.1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS………………………………………….....pág. 6

Tema 1.2.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS. POLINOMIOS……..….pág. 13

Tema 1.3.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS:……………….……………………....pág. 16

A. Factoreo de expresiones algebraicas……………………………………….......pág. 16

B. Ecuaciones………………………………………………………………………….pág. 17

Sistemas de Ecuaciones Lineales…………………………………………….....pág. 19

Sistemas de ecuaciones no lineales……………………………………………..pág. 25

C. Logaritmo: concepto y propiedades…………………………………………….pág. 27

Tema 1.4. TRIGONOMETRÍA…………………………………………….…….…… .pág. 29

Objetivos de los temas a desarrollar:

Tema 1.1

1) Resolver Problemas relacionados con la administración, la economía y los negocios

2) Identificar números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.

3) Aplicar las propiedades que gozan las distintas operaciones.

4) Resolver operaciones en el conjunto R, justificando el procedimiento realizado.

Tema 1.2

1) Conceptualizar los polinomios.

2) Analizar y aplicar las operaciones que se pueden realizar con polinomios.


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3) Identificar la división de polinomios por un binomio en la cual se puede utilizar la Regla de

Ruffini.

Tema 1.3

A- 1) Conceptualizar las expresiones algebraicas, reconociendo su valor instrumental para resolver problemas.

2) Analizar y aplicar las operaciones que se pueden realizar entre Expresiones Algebraicas enteras.

3) Comprender el sentido y utilidad del factoreo de Expresiones Algebraicas para simplificar

el proceso de resolución de operaciones, identificando distintos casos posibles.

B- Resolver Ecuaciones lineales, cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales

C- Definir, usar propiedades y operar con logaritmos.

Tema 1.4

1) Comprender el concepto de funciones trigonométricas

2) Interpretar, geométricamente, las funciones trigonométricas.

3) Conceptualizar los valores y el signo de las funciones en los cuatro cuadrantes.

Algunos consejos para recordar:

Trata de realizar la mayor cantidad posible de cálculos mentales.

No siempre la calculadora es más rápida que la mente y, más aún, es esos casos, puedes reservarla para verificar.

Trata de anticipar el resultado a obtener, aunque más no sea en forma aproximada, acotándolo superior e inferiormente, si es posible.

Reflexiona siempre sobre la coherencia del resultado obtenido.

Establece constantemente relaciones con lo estudiado anteriormente.

Recuerda que los dibujos, gráficos, figuras, diagramas, etc. siempre te ayudarán en el esclarecimiento y veracidad de tu razonamiento.

La metodología en la resolución siempre está fundamentada en la aplicación de propiedades. Nunca son mecánicas estancas.

Los errores más comunes que se cometen son:

Copiar mal los datos del ejercicio.

No interpretar la consigna, desarrollar la resolución de acuerdo a un esquema

mental mecánico que no logra responder lo que se pide y que hace perder el

tiempo en respuestas que no se corresponden con las preguntas formuladas.

Tratar de recordar procedimientos de resolución en lugar de aplicar conceptos y las

propiedades estudiadas.


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Descuidar el orden y la claridad en los datos que serán utilizados y que pueden

confundir.

Los más frecuentes errores de concepto matemáticos son:

Convertir una cadena de implicaciones en una cadena de identidades. Recuerda

que el signo igual se lee de la misma manera de derecha a izquierda o viceversa.

Distribuir la potencia en una suma algebraica. ( 3 + 4)2 ≠ 32 + 42

Distribuir la raíz en una suma algebraica. √16 + 9 ≠ √16 + √9

Sumar los exponentes de una potencia de potencia. (a2)3 ≠ a2+3

Interpretar que: - 32 = ( -3)2 siendo que: – 9 ≠ 9

En la resolución de una ecuación: pasar un denominador, de un miembro a otro, multiplicando con signo contrario. Ej.: x = 3 → x ≠ 3. (+2)

-2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A. Para pensar en la casa y debatir en el aula

a) Dos amigos se encuentran por la calle luego de no verse durante mucho tiempo.

Ambos son especialistas en lógica. Se graduaron juntos dos décadas atrás. En el

medio, ambos se casaron y tuvieron hijos. Uno de ellos le dice al otro:

- Me case ni bien me recibí y con Ana tuvimos cinco hijos. ¿y vos?

- Yo también me case y tengo tres hijos. Mira mis tres chicos tienen edades distintas

y si hoy sumáramos las edades daría el número 13.

- Mmmm …-sigue el ex compañero- Con esos datos no puedo deducir cuantos años

tiene cada uno.

- Mira hacia esa esquina. ¿Ves que hay algunas personas cruzando la calle? Bueno,

mi hijo menor tiene justamente la edad del número de personas que vos estás

viendo.

- Ahora si…ahora ya se.

Usted también, si se detiene a pensar podrá descubrir las edades de los niños.

b) Fíjese en el número 5252555. Tiene un total de siete dígitos. El 2 aparece dos

veces y el 5 aparece cinco veces.

Igualmente el 6661666, el numero 6 aparece seis veces y el 1 aparece una vez.

1. Cuál es el número de mayor valor (más grande) y el de menor valor (más chico)

que uno podría formar, en estas condiciones

B. SITUACIONES PROBLEMATICAS

a) A los economistas les interesa poder analizar cómo se lleva a cabo la coordinación entre consumidores y productores, es decir, entre las leyes de oferta y de demanda de un determinado bien. El objetivo es poder determinar el denominado precio de equilibrio, es decir aquel precio para el cual los planes de oferta y demanda coinciden. Para ello la matemática ofrece como estrategia la resolución de un sistema de ecuaciones.


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Con los datos de la tabla plantee el sistema e interprete dicho valor. Sugerimos grafique, use lenguaje simbólico y resuelva:

P (precio) Qd (cantidad demandada) Qo (cantidad ofertada)

6 2000 8000

5 3000 6000

4 4000 4000

3 5000 2000

2 6000 0

b) En el mundo actual, los medios de comunicación utilizan múltiples maneras para

informarnos o llamarnos la atención. Diarios y revistas suelen acompañar la información escrita con fotografías, gráficos y cuadros, los noticieros televisivos complementan la información oral con mapas, dibujos y tablas que aparecen en la pantalla, los publicistas utilizan colores, diagramas y figuras. A todo esto hay que agregarle los diversos medios informáticos que son cada vez más populares, por ejemplo todas las versiones de Windows tienen posibilidad de insertar gráficos en los documentos. En algunos de estos diagramas se esconden funciones, por ejemplo:

- En la autopista Buenos Aires- La Plata es posible ver este cartel MANTENGA DISTANCIAS PARA FRENAR D = V x 0,55 D (en mts) V (en Km /h)

- ¿Cómo interpretarían esta fórmula? - ¿Qué distancia debe conservar un automovilista que va a 100 km/h? - ¿Les parece que los conductores respetan lo que indica el cartel?

c) Una revista especializada informa mediante una tabla las distancias de frenado del

Daihatsu Sirion:

Velocidad (km/h) Distancia de frenado (m)

40 7,30

60 14,80

80 20

100 41

120 60,80

Al analizar la tabla se comprenderá la importancia de respetar el cartel anterior.

d) Cuando en un terremoto las rocas se fracturan, la energía elástica almacenada en ellas se libera bruscamente. Para calcular la energía elástica se utiliza la fórmula: Log E= 11,8 + 1,5x M Siendo E la energía elástica expresada en ergios y M la magnitud del terremoto en escala Richter. Cuál será la energía liberada para Magnitud 7?

1.- Tiene dinero disponible. ¿Es más seguro invertirlo en un negocio o inversión, o en múltiples

negocios e inversiones?

Un negocio o inversión

Múltiples negocios o inversiones

NS/NC

2.- Suponga que en los próximos 10 años los precios al consumidor se duplican. Si su ingreso

también se duplica, ¿en promedio, usted será capaz de comprar más, menos o igual cantidad de bienes?


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3.- Usted necesita pedir prestado $100,00. ¿Cuál es el menor monto a repagar: $105,00 ó $100,00

+ 3%?

4.- Usted deposita dinero en el banco por dos años y acuerda recibir un interés del 15% anual. ¿El

banco le pagará más dinero el segundo año respecto del primero o la misma cantidad cada año?

Mas

La misma cantidad

NS/NC

5.- Usted deposita $ 100,00 en su cuenta bancaria y el banco le paga un 10 % de interés por año sobre el total

depositado. Después de cinco años, si no ha sacado nada de dinero tendrá...

Exactamente $150,00

Más de $150,00

Menos de $ 150,00

NS/NC

Tema 1.1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS

Mas

Menos

Igual

NS/NC

$ 105,00

$ 100,00 + 3 %

NS/NC

Números Reales

Números Racionales

-1; -⅔; 0 ; ⅝; 1,25; 0,333

Números Naturales

incluido el cero

0,1,2,3,…

√3; Π; -√2; Números

Reales

Números Irracionales

√3; Π; -√2;

es

√3; Π; -√2;

Números Reales

Números Enteros

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…

Números Naturales

1,2,3,…


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“El buen Dios creó los números naturales: todo lo demás es obra del hombre” Leopold Kronecker

“Simplicidad de la Matemática”

“Existe una opinión muy generalizada según la cuál la matemática es la ciencia más

difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el

hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados

quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y

tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El

resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte-y en

verdad lo hace-mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia”

Ernesto Sábato (Uno y El Universo)

LOS NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES

Esta guía de actividades fue concebida por los profesores de la cátedra de Análisis

Matemático pensando en plantear situaciones que necesiten ser justificadas desde el marco

teórico de cada módulo.

El presente Módulo plantea las operaciones en el conjunto de Números Reales y las

propiedades que deben recordarse para resolverlas.

Resumamos las propiedades que caracterizan al conjunto de los Números Reales:

(Tricotomía) Dados x, y se verifica una y sólo una de las relaciones: x y

X y

x = y

(La suma es cerrada) x + yR

(El producto es cerrado) x .yR

(La suma es asociativa) x +(y +z) = (x +y)+z

(El producto es asociativo x. (y. z) = (x. y).z

(Existe neutro para la suma) x +0 = 0 +x = x

(Existe neutro para el producto) x .1 = 1 .x = x

(La suma es conmutativa) x +y = y +x

(El producto es conmutativa) x .y = y .x

(Existe inverso aditivo) x+(-x) = 0

(Existe inverso multiplicativo) x .x 1 = 1 para todo x 0

(Distributiva del producto respecto de la suma) x.(z +y) = x. z +x. y

(Leyes de monotonía) x y entonces x +c y +c

x y , c 0, entonces x .c y .c

x y , c 0, entonces x .c y .c

Recordemos que cada una de las operaciones, en el conjunto DENSO de los Números

Reales, tiene propiedades que le son propias. El objetivo de esta guía es recordarlas y

aplicarlas.


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COMENCEMOS:

1. Exprese la suma de a, b y c de tres maneras diferentes e indique en cada caso la propiedad aplicada.

a + b + c = …………………. Propiedad…………………………….

a + b + c = …………………. Propiedad…………………………….

a + b + c = …………………. Propiedad…………………………….

2. Indique de tres maneras diferentes, sin aplicar la propiedad conmutativa de la adición. Indique la propiedad aplicada (a + b).c =……………………….. Propiedad……………………………..

(a + b).c =……………………….. Propiedad……………………………..

(a + b).c =……………………….. Propiedad……………………………..

3. Establece las relaciones entre los renglones de las dos columnas: Igualdades Definiciones o Propiedades

1) mnmn aaa : 1) Cubo de un binomio

2) mnmn aaa . 2) Potencia de otra potencia

3) nmmn aa . 3) Producto de potencias de igual

base

4) 222..2 bbaaba 4) Cuadrado de un binomio

5) 3223333 babbaaba 5) Cociente de potencias de igual base

4. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes igualdades:

a) (20 - 4) : 8 = 20 : 8 - 4 : 8 ………………………………………………………...

b) 40 : (2 + 8) = 40 : 2 + 40 : 8 ………………………………………………………..

5. Escribe el resultado y justifica:

a) 2 3 = …… …………………………………………………………..

b) (-2) 3 = ……. …………………………………………………………..

c) 2 4 =…….. …………………………………………………………..

d) (-2) 4 =…….. …………………………………………………………..

e) 3 27 = ……. …………………………………………………………..

f) 4 16 = ……… …………………………………………………………..

g) 3 27 =…….. …………………………………………………………..

h) 4 16 =……… ………………………………………………………….


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6. Coloca una cruz en el casillero correspondiente. Luego represéntalos en la recta numérica.

N Z Q I R

-2

4/3

2

(1-1/2) 1

2

2

7. Define por enumeración, si fuese posible, luego representa gráficamente los siguientes conjuntos:

A = 2/ xZxx B =

2

1/ xRxx C =

2

12/ xRxx

8. ¿Podrías utilizar otra notación para definir los conjuntos de números Reales del ejercicio anterior? ¿Cuál es?

9. Suprime paréntesis, corchete y llave y resuelve:

50- 41123631410

10. Coloca los dos primeros términos dentro de un paréntesis precedido por signo menos y los tres últimos dentro de otro precedido de signo más -18 + 26 – 4 + 13 – 22

11. Coloca paréntesis que cambie los signos de los números primos de la suma algebraica -5 + 7 – 9 + 11 – 3

12. Resuelve e indica que propiedad utilizas:

a) 4

32

)1(

)1.()1(

= ……………………………………

b) 54 .a

b

b

a = ……………………………………

c)

3

1.

3

1.

3

1.

3

1 2

3

2

12

= ……………………………………

d) 3 2 64 = ……………………………………..

e) 322.3.23 = …………………………………….


10

f) 3 33 33 6 24381 bca = ……………………………………..

g) 824 ba = ………………………………………

h) 2)2( = ……………………………………

i) 3

4 66

93

ba

ba, a 0, b 0, …………………………………….

13. Racionaliza, identificando la estrategia utilizada:

a) 8

4 =

b) 72

2.5

1

c)3 2

3

3

1

.5.0

m

mm =

d)aba

bba

.

)1(.=

e) 2.31

2.31

=

14. Verifica si es verdadero o falso:

3)32(1

)32.(62

15. Resuelve, justificando tu procedimiento

a)

4

1

3

13

22

3

2:11

3

4:22

2

11

8

1

4

1

2

1

2

6

1

=

b)

3

2

2

5.22

3

75.12

1004.04.1

=


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16. Decide qué afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justificando en cada caso. Da ejemplos en caso de falsedad.

a) baba a, b 0

b) 3232 aa (a 1)

c) x 0 = 1 x R

d) 0 0 = 0

e) 0 1 = 0

f) (-1) )1( = 1

g) 2)6( = - 6

h) (16) 2

1

= - 4

i) (x +1) 3 = x 3 + 1

j) x 4

2

= x 2

1

siendo x = -1

17. Da solución a las siguientes situaciones, haciendo las operaciones que consideres pertinentes a) El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velásquez en 1656, a los 57 años de

edad, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado a los 4 años de

casado. Deducir el año de nacimiento y la edad a la que se casó.

(i) Por no pagar un impuesto de $87 a tiempo, te recargan el 12%. ¿Cuánto tendrás que abonar?

(ii) Las 4/5 partes de una antena de CTI se pintan de naranja, la mitad de lo que falta de blanco y aún quedan 10 metros sin pintar. ¿Cuál es la altura de la antena?

Recordamos símbolos y significados:

Símbolos Significado

/ Tal que

ε Pertenece a

^ y

∨ o

∃ Existe

∀ Para Todo

∪ Unión

∩ Intersección

→ Entonces

↔ Si y sólo si


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1. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

a) Z ͻ N

b) -3 ∈ Q

c) N∈ R

d) Q ∪ I = R

e) Q ∩ 𝐼 = ∅

f) ½ 𝜖 𝐼

2. a) Define por enumeración, si fuese posible, luego representa gráficamente los siguientes

conjuntos:

A = 2/ xZxx B =

2

1/ xRxx C =

2

12/ xRxx

3. Calcula qué fracción de la unidad representa:

a) La mitad de la mitad.

b) La mitad de la tercera parte.

c) La tercera parte de la mitad.

d) La mitad de la cuarta parte.

4. Consideraremos la siguiente situación:

Compramos un televisor por $13.000 y pagamos $1.400 al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?

5. Completar la siguiente tabla

6) Consideraremos las siguientes situaciones de la vida diaria

a) Tres hermanas decidieron comprar un billete de la lotería y para ello aportaron $ 5; $ 10

y $ 25, respectivamente. Según lo acordado, si ganan, el millón de pesos del premio, lo

repartirán en forma proporcional a lo aportado para la compra del billete, es decir que la

fracción del premio que le corresponderá a cada una será, respectivamente igual a la

Forma coloquial Forma simbólica

X es mayor que 1 y menor que 5

x2 ≠ x3 ∀ x ≠ 0

En el cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes

En la potencia de otra potencia, se multiplican los exponentes

x-n = 1 xn

La potenciación no es distributiva con respecto a la suma

El triple de un número es igual a diez


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fracción aportada para la compra del billete. Julia, ilusionada, hizo una tabla para calcular

cuánto le tocaría a cada una. Calculando previamente, completar los datos que faltan en

la tabla.

b) Juan gana una suma fija de $ 6.060,00, más $ 30,3 0 por cada hora o el monto

proporcional correspondiente a la fracción de hora extra que realiza

Responda y/o exprese lo q se solicita a continuación:

i) ¿Cuánto gana Juan sino trabaja horas extras?

ii) ¿Cuánto le pagan a Juan si trabaja 40 horas extras?

iii) ¿Cuánto le pagan a Juan si trabaja 20 horas y media (hs extras)?

iv) ¿Cuánto le pagan a Juan si trabaja 10 horas y quince minutos (hs extras)?

v) Exprese en lenguaje simbólico la suma q percibe Juan. ¿Qué nombre tiene esta

expresión simbólica?

vi) Represente gráficamente la situación

vii) Si la suma fija se incrementa ¼ de lo pactado en el primer contrato, ¿cuánto percibe

si la situación fuese

i) y v)

¿Con los valores del texto, qué situación problemática sugerirías?

Tema 1.2.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS. POLINOMIOS

Concurrimos al supermercado, donde se encuentra una lista de precios de distintos

productos, similar a la que te presentamos:

Obviamente lo que se gaste dependerá de las cantidades que compremos.

El gasto es, entonces, la variable dependiente y las cantidades compradas, las variables

independientes.

Si las cantidades de los productos A, B, y C se representan por x, y, z respectivamente,

entonces el gasto que realicemos estará representado por:

G = 2,99 x + 4,99 y + 3.99 z

Producto Precio por Kg

A $ 2,99

B $ 4,99

C $ 3,99


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El segundo miembro de ésta expresión se denomina expresión algebraica.

Esta expresión algebraica es una representación de la realidad, lo que hemos llamado

“modelo”, es decir que, hemos encontrado una fórmula que, por medio de cifras, letras y

operaciones, representa un fenómeno determinado, en éste ejemplo.

Analizando las características de la expresión obtenida:

2,99 x + 4,99 y + 3.99 z

Vemos que los precios son números fijos o constantes y que las cantidades, representadas,

generalmente, por las últimas letras del abecedario, constituyen lo que llamamos

indeterminadas o variables.

A las constantes (2,99 - 4,99 -3,99) que “multiplican” a las variables, las llamamos

coeficientes de esas variables y pueden ser representadas por símbolos alfabéticos.

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Enteras

Racionales

Fraccionarias

Expresiones

Algebraicas

Reales

Irracionales

Expresiones algebraicas enteras

Ej.: - 1 x2 y3

2

Signo Parte literal

Coeficiente

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman, si

todos ellos son de distinto grado.

P(x) = 5 x3 + 3x2 – x4 + 2 – 2x5 gr[P(x)] = 5

P(x) = - 3 x – 0,5 x4 – 1 x2 gr[P(x)] = 4

2 3


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Dados los siguientes polinomios completarlos (con coeficientes cero) y ordenarlos de acuerdo a las potencias decrecientes de la variable:

a) 5 x3 – 2x2 + 3x

b) -4 x4 + 5x2 -3x5+ 7

c) 1 x + 4 x2 – 4 x3 2 5

Ejercicios:

1) Hallar P(x) = - 7 x3 + 5x + 3 x2 - 8 si x = - 1

2

P(x) = - 1 x2 + 2 + 1 x3 - 1 x 4 si x = - 10

4 8 16

2) Efectuar las siguientes sumas algebraicas:

i) – 3 a3 b + 2 a2 b2 + 3 a b3 - 1 a b - 4 a3 b + 2 a2 b2 =

5 3 5 5 5 7

ii) 5 x3 y + 2 x y – x – 2 x y + 5 x3 y2 + x =

3) Multiplicar:

i) ( a3 - 3 a2 b + 3 a b2 + b3 ) ( a + b) =

ii) (m4 – n4 ) ( m2 + 2 mn + n2 ) =

iii) ( a3 - 3 a2 + 3 a - 1 ) ( a2 – 2 a + 1) =

Cociente de un polinomio en “x” por otro de la forma “ x + a”. Regla de Ruffini

Para dividir un polinomio en “x” completo y ordenado por otro de la forma “x ± a” se puede

aplicar la Regla de Ruffini.

Importante: si el polinomio no estuviera completo, se debe completar agregando ceros en el

lugar de los coeficientes faltantes.

1° ej.: (8x4 + x2 – x3 + 2) : ( x -2) =

8 -1 1 0 2

2 16 30 62 124

8 15 31 62 126 Resto: 126

Cociente: 8 x3 + 15 x2 + 31 x +62

Teorema del Resto: el resto de un cociente de un polinomio entero en x por un binomio de la

forma “x + a”, es igual al valor numérico que adquiere el polinomio dividendo para x = a

cambiado de signo.

O sea: D(x) = ( x ± a) . C(x) + R(x) → R = D (-a)

1) Resolver aplicando la Regla de Ruffini y el Teorema del Resto


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i) (2x3 + 1 x - 2 x2 – 3) : ( x – 3 )

2 2 2

ii) ( - 3 + 2x + 3x3 ) : ( x – 2 )

iii) ( - 3 + 1 x + 1 x5 ) : ( x – 1 ) 4 2 2 2

Tema 1.3.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

A. Factoreo de expresiones algebraicas:

Factorear implica expresar un polinomio como el producto de dos ó más factores.

Factor común: Ej.: 5 x4 y2 + 10 x2 y3 – 15 x3y2 = 5 x2 y2 (x2 + 2y – 3x)

Trinomio cuadrado perfecto:

Sabemos que (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 4x2 + 4 xy + y2 = (2x + y)2

Diferencia de cuadrados:

Sabemos que (a +b) (a – b) = a2 - b2 Ej.: a) 121 x16 y2 – 144 b4 = (11 x4 y + 12 b2 ) (11 x4 y

- 12 b2 )

Multiplicación:

Ej.: 3a . 4 a2 b . c2 = a3 b c

2 c 6

División:

Ej.: a : 3 a2 = a . 4 b = 2 b

2 4 b 2 3 a2 3 a

Ejercicios propuestos:

1.- Efectuar las operaciones:

a) 2x + 4 + 1 = b) (3 + 1 ) (1 - 1 ) =

1 – x 3x + 6 x -1 3x –2

c)) 2(x + 3) (x + 1) =

2

2) Resolver previo factoreo:

a) 2 a + a4 – b4 = b) 2 -. x + 3 = c) x + 1 - x + 2 =

3b2 9 a2 (a2 – b2) x + 2 x2 + 4 x + 4 x – 1 x + 1


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B. ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma

ax + b = 0

donde a y b son constantes y 0a . Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para

resolver una ecuación lineal le aplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta que

obtenemos una ecuación equivalente en la que la incógnita queda aislada de un lado de la

ecuación.

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación de la forma

ax² + bx + c = 0

donde a, b y c son constantes y 0a . Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones,

una solución (en este caso se dice que las dos soluciones coinciden) o no tener soluciones (por

lo que se dice que las soluciones son imaginarias):

Tipo de ecuación Fórmulas de soluciones

0² cbxax

a

acbbx

2

4²2,1

o

a

acbb

x

22

2,1 si b es par

0² cax

a

cx 2,1

0² bxax ,01 x

a

bx 2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Con 70 metros de alambrado se rodeó un terreno rectangular en el que la longitud de uno

de sus lados es 15 metros menos que la del otro. Si se desea poner alambrado en uno de los

lados de mayor longitud ¿Cuántos metros alambrados se debe comprar para colocar sobre ese

lado?

2) Un rectángulo tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si su área es 108 m2 ¿Cuáles son

sus dimensiones?

3) Compruebe si los números dados son soluciones de las ecuaciones correspondientes:

a) ,712 x 1x

b) ,4163 xx 1x


18

c) ,8642 yy 2y

d) ,3

197

2

z 3z

e) ,5

11

62

10

x

x

x

x

4x

f) 0)2)(3( xx ,31 x 22 x

g) 02092 xx ,41 x 62 x

h) 813

15

1

7

yy ,

2

11 y

3

42 y

4) Resuelva las ecuaciones siguientes:

a) 732 x b) xx 513

c) 6)4(23 x d) xxx 53)2(47

e) 18264 rx f) 52

13

x

g) 2

1

3

12

xx h) 3)6(4)56(21 xx

i) 3

631

5

5205

yy j)

3

1916

4

3202

2

1 xxx

k) 3

52

3

2

2

4312

zzz

l)

16

1)53(

2

11

8

1

x

m) xx

12

1

3

2 n)

3

911

3

657

xx

ñ) 222 2)1( xxx o) ²)1(34)2( 22 xxx

p) )3(2)4)(1( xxxxx q) 12

12

x

r) 12

93

x s) 012 x

t) 1682 xx u) 212 xx

v) 312)2( xx w) 9

25)12( 2 x

x) 025

36² x y) 016²9 x

z) 4)²5( y aa) xx 1²

ab) xx 41²2 ac) x

xx

21

11

ad) 2

15

xx


19

5) Resolver analíticamente y gráficamente las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 4 = 0 f) –x2 + 9 = 0

b) 6x2 + 24 = 0 g) 3x2 + x – 2 = 0

c) 8x2 + 16x = 0 h) 2x2 + 5x = 0

d) –x2 – 2x +8 = 0 i) 2x2 + 3x – 5 = 0

e) 3x2 – 5x = 0

6) Plantear y resolver los siguientes problemas:

a) Ramiro ha resuelto 32 x problemas de ecuaciones, Rodrigo 54 x problemas y

Sebastián 43 x . Si en total han resuelto 47 problemas ¿cuántos resolvió cada uno?

b) Si a un número lo multiplicamos por 3, al producto le sumamos 5, y a la suma la dividimos por 2, da el mismo resultado que si lo multiplicamos por 4 y lo dividimos por 3. ¿Cuál es el número?

c) En un triángulo isósceles, no equilátero, cada ángulo adyacente a la base mide el doble de lo que mide el tercer ángulo. Calcular el valor de los 3 ángulos.

d) El producto de 2 números naturales consecutivos disminuidos en 42 es igual a 68. ¿Cuáles son esos números?

e) La suma de los cuadrados de 3 números naturales pares consecutivos es igual a 200. ¿Cuáles son esos números?

El producto de 2 números es 132 y su suma 23. Calcular dichos números.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1) En cada uno de los enunciados complete con verdadero o falso según corresponda.

Justifique su respuesta.

a) El siguiente sistema es un “Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas”

25y x

7y x

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Un sistema de ecuaciones lineales es cuadrado si la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de incógnitas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución única.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) En cada uno de los siguientes casos recuadre la opción correcta, Justifique su respuesta.

a) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado:

i) Siempre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


20

ii) A veces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii) Nunca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas es un sistema cuadrado:

i) Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii) A veces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii) No . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Una ecuación lineal y una ecuación de 2do grado conforman un sistema de ecuaciones:

i) Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii) A veces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii) No . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3) Lea detenidamente e interprete los siguientes párrafos, para recordar lo trabajado en la

secundaria y fijar estos conceptos que le serán de suma utilidad en la carrera que inicia

En diversas actividades una variable puede influir sobre otra, la forma en que se expresan estas influencias es por medio de una función o de una ecuación, las mismas pueden ser lineales o no lineales. Constantemente ocurre que las variables incluidas en un problema deben satisfacer a más de una relación o condición.

Supongamos por ejemplo una situación relacionada con la producción de reactivos, que la cantidad de unidades que se fabriquen de cada producto puede estar restringida por condiciones técnicas, tales como el tiempo disponible de cada equipo, las proporciones entre los diversos insumos, o las condiciones financieras, tales como la disponibilidad de efectivo para la adquisición de materia prima, entre otros.

Al expresar cada una de esas condiciones (o relaciones) en forma de una ecuación lineal, el problema queda planteado o modelizado mediante un sistema de ecuaciones lineales.

Como introducción del tema, analicemos el siguiente ejemplo de sistema de ecuaciones lineales, utilizando diferentes métodos de resolución y de notación.

Ejemplo: Si nos piden determinar el precio y la cantidad de unidades correspondiente al equilibrio en un mercado para la comercialización de un determinado producto, donde se ha establecido que las funciones de demanda (D) y de oferta (O) son las siguientes:

Debemos tener en cuenta que el precio del equilibrio en el mercado es aquel para el cual se igualan las cantidades de la oferta y de la demanda, es decir, qd = qo (cantidad demandada = cantidad ofertada)

Al sistema anterior se lo indica más sencillamente de la siguiente forma

10 q 6 - 2p

50 q 4 2p : O

:

o

dD


21

50 q 4 2p

Que también se lo puede expresar como:

106x 2x

50 x4 x2

21

21

La representación gráfica del sistema es la siguiente

Tabla p/representación gráfica

Si con S1 se simboliza el conjunto solución de la primer ecuación y con S2 el conjunto

solución de la segunda ecuación, se tendrá entonces S1 S2 = S como solución del sistema.

S= {(x1; x2) /(x1 ; x2) R2 / 50 = 2x1 + 4 x2 10 = 2x1 - 6 x2}

O bien, al expresarlo del otro modo será

S= {(p; q) /(p ; q) R2 / 50 = 2p + 4 q 10 = 2p – 6 q}

Conjunto solución

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es encontrar la dupla real

(t1, t2) que es solución de cada una de las ecuaciones que conforman el sistema.

En el ejemplo anterior: S1 es solución de la ecuación 50 q 4 2p y S2 es solución de la ecuación

10 q 6 - 2p , siendo S1S2 y S=S1S2 = {(17, 4)} que es la única solución del sistema, único punto

en común de las rectas.

Es decir que: {(17; 4)} es el conjunto solución del sistema.

Como el conjunto solución está formado por un único par ordenado, diremos que tiene

un único elemento o solución única, simbólicamente lo indicamos del siguiente modo o(S) = 1

El ejemplo trabajado es un sistema:

10 q 6 - 2p

50 q 4 2p compatible determinado.

Compatible por tener solución y determinado por tener solución única.

p qd qo

10 7,5 6,1

11 7 2

17 4 4

10 q 6 - 2p

10 q 6 - 2p

50 q 4 2p


22

Resolución de sistemas de ecuaciones

Anteriormente se indico que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

es encontrar la dupla real (t1, t2) que es solución de cada una de las ecuaciones que conforman

el sistema.

Para determinar la dupla real o las duplas reales existen diferentes procedimientos

denominados métodos de resolución. A continuación trabajaremos algunos de ellos

Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución debemos proceder del

siguiente modo:

1º. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.

2º. Sustituir en la otra ecuación esa incógnita por la expresión hallada en el paso anterior,

obteniéndose de ese modo una ecuación con una sola incógnita.

3º. Resolver la ecuación obtenida en el paso anterior.

4º. Sustituir la incógnita despejada en el 1º, por el valor obtenido en el 3º y resolver la

nueva ecuación.

5º. Verificar que los dos valores así obtenidos constituyen la solución del sistema, es decir,

permiten que las igualdades se cumplan.

Ejemplo:

)2(10y62x

)1(50y42x

1º. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Conviene elegir la incógnita que tenga el coeficiente más bajo, en este caso despejamos la incógnita o variable “x” en la ecuación (2).

10y62x por aplicación de conocidas propiedades de las operaciones

resulta:

x = 5 + 3y (3)

2º. Sustituimos en la otra ecuación la variable “x”, por su equivalente “5 + 3y” obtenido en

el paso anterior, es decir, reemplazamos la equivalencia indicada en la ecuación (3) en la

(1): 50y43y)2(5

3º. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso anterior:

50y43y)2(5 10+ 6y + 4y = 50 10y = 40 y = 4 (4)

4º. Sustituimos el valor obtenido en el paso anterior, en la ecuación que tiene la otra variable

despejada, es decir reemplazamos (4) en (3).

x = 5 + 3 . 4 x = 17 (5)


23

5º. Verificamos que los valores obtenidos hacen cumplir ambas igualdades,

reemplazamos (4) y (5)

En la ecuación (1) resultando: 2 . 17 + 4 . 4 = 50 34 +16 = 50 50 = 50

En la ecuación (2) resultando: 2 . 17 – 6 . 4 = 10 34 – 24 = 10 10 = 10

Como ambas igualdades se cumplen decimos que el conjunto solución del sistema es S = {(17, 4)}, por lo tanto, el sistema es compatible determinado.

El método de resolución tratado, es uno los conocidos como “métodos de resolución analítica de sistema de ecuaciones lineales”. Existen otros, los que serán estudiados en el desarrollo de las Asignaturas “Análisis Matemático” de las Carreras Contador Público y Licenciatura en Comercio Exterior, “Matemática I” de las Carreras: Licenciatura en Tecnologías de la Información y Comunicación y Licenciatura en Administración de Empresas Agropecuarias.

Los sistemas de ecuaciones lineales no siempre son compatible determinado, también, pueden ser compatible indeterminado o Incompatible. Casos que serán abordados más adelante.

Método de resolución gráfica

Para resolver un sistema de ecuaciones mediante la representación gráfica de la función

asociada a cada una de las ecuaciones debemos proceder del siguiente modo.

1º. Representar en un único sistema de ejes cartesiano la función asociada a cada una de las ecuaciones.

2º. Localizar, el/los punto/s de intersección/nes de las graficas de las funciones.

3º. Verificar que las coordenadas de el/los punto/s obtenidos constituyen la solución del sistema, es decir, permiten que las igualdades se cumplan.

Ejemplo 1:

)2(16y42x

)1(6y43x

La representación gráfica correspondiente es la siguiente:


24

La solución del sistema es el punto de intersección de las dos rectas, cuya

coordenadas en este ejemplo son (2; 3), como es un único par el sistema es compatible

determinado.

Ejemplo 2:

2y22x

1y x

En este caso al despejar la variable o incógnita “y” y realizar la representación gráfica resulta que las rectas son coincidentes. Entonces cualquier punto de la misma es solución del sistema, diremos que el sistema tiene infinitas soluciones.

El sistema es compatible indeterminado

Ejemplo 3:

2y22x

3y x

En este caso al despejar la variable o incógnita “y” y realizar la representación gráfica resulta que las rectas son paralelas. Entonces no existen puntos en común, por lo tanto el sistema carece de solución.

El sistema es incompatible.

OBSERVACIÓN:

Para realizar la representación gráfica

de estas ecuaciones, puedes utilizar

algunos de los procedimientos (emplea-

dos en las Instituciones de Educación de

Secundaria) para la representación

gráfica de funciones lineales:

- despajar la incógnita o variable “y” en

cada ecuación, confeccionar la tabla de

valores correspondiente y ubicar los

puntos en un único sistema de ejes.

- Utilización de los valores de la orde-

nada al origen y de la pendiente de cada

recta para la ubicación de puntos en el

único sistema de ejes.


25

Sistemas de ecuaciones no lineales

Cuando al menos una de las ecuaciones que conforma el sistema no es de 1er grado o

lineal, decimos que se trata de un sistema de ecuaciones no lineal.

Ejemplo

)2(10y. x

)1(7y x

El método de resolución analítica utilizado para determinar la solución de estos sistemas

es el método de sustitución, para ello debemos seguir los siguientes pasos:

1º. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de 1er

grado.

En el ejemplo la ecuación (1) al despejar la variable “y”, resulta y = 7 − x (3)

2º. Sustituir el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. Reemplazamos (3)

en (2)

En el ejemplo resulta: x.(7 − x) = 10

3º. Resolver la ecuación resultante (ecuación de 2do grado). En el ejemplo reemplazar

(3) en (2)

x .(7 − x) = 10 7x − x2 = 10 − x2 + 7x – 10 = 0 a = -1; b = 7 y

c = -10

Al utilizar la resolverte resulta 5

2

2

37

2

40497

2

1

x

xx (4)

4º. Sustituir cada uno de los valores resultantes en la ecuación obtenida en 1º. ,

obteniéndose así los valores correspondientes de la otra incógnita. Reemplazamos

(4) en (3)

Para x = 2 y = 7 − 2 y = 5 y Para x = 5 y = 7 − 5 y

= 2

Resultando entonces los pares ordenados (2; 5) y (5; 2) solución del sistema

Al verificar para el par (2; 5) resulta: 2 + 5 = 7 y 2. 5 = 10 que verifican las 2

ecuaciones

Para el par (5; 2) resulta también verdadero dado que 5 + 2 = 7 y 5. 2 = 10


26

La resolución gráfica del ejemplo de sistema de ecuaciones no lineales, es la siguiente

Para la representación gráfica de estos sistemas se debe seguir el procedimiento

utilizado en las Instituciones de Educación Secundaria para la representación gráficas de

funciones.

4) Para los siguientes enunciados seleccione la expresión algebraica que modeliza la situación. Justifique su elección o motivo de descarte, halle, si es posible el o los valor/es correspondiente/s a cada incógnita y responda la consigna planteada.

a) Una granja tiene cerdos y pollos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pollos hay?

i)

116p2 c4

35pc ii)

81 cp

151pc

b) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste.

Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

i)

j2p 4

j15p4

3

ii)

4) - j.(2 4 - p

15 jp4

3

c) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

i)

96 n mh

h) 3.(m n

h2m

ii)

96 n mh

h m3 n

h2m

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones no lineal


27

5) Para los siguientes enunciados indique la expresión algebraica correspondiente, halle el/los valor/es de c/incógnita y responda el interrogante planteado. Si es útil, realice un esquema representativo de la situac.

a) Una empresa tiene un salario constituido por un básico y una bonificación por año de

antigüedad. Si un empleado con 4 años de antigüedad gana $ 1.900 y otro con 20 años

de antigüedad gana $ 3.500, determinar cual es el sueldo básico y cual es la bonificación

por año.

b) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

c) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.

d) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

e) Para cerrar un terreno rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de alambre tejido.

Determine las dimensiones del terreno.

6) Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle el/los valor/es correspondiente/s a c/incógnita y verifique que el/los valor/es hallado/s permite/n que las igualdades se cumplan.

a)

5y3 x4

7y3x

b)

0x3 x3

1x32x

21

21

c)

C. Logaritmo: concepto y propiedades.

El logaritmo en base a dada (positiva y distinta de 1) de un número M es el exponente al que

hay que elevar a a para que resulte igual a M.

En símbolos: loga M = b ab = M

e)

10y. x

7y x

f)

x7y x

7y x

2

d)


28

Por ejemplo: la pregunta ¿a qué exponente se debe elevar 2 para obtener 16?, equivale a la

expresión log 2 16. La respuesta es 4 ya que 24 = 16.

Si se desea saber: ¿a qué exponente se debe elevar 3 para obtener 1/9 ?, la operación

matemática y su resultado son los siguientes: log3 9

1 = -2 porque 3-2 =

2

3

1

=

9

1

Casos particulares:

* El logaritmo de la base es 1. Es decir loga a = 1 pues a1 = a

* El logaritmo de 1, en cualquier base es cero, es decir:

Loga 1 = 0 pues a0 = 1

Leyes de los logaritmos:

Para cualquier par de números reales positivos M y N:

(iii) logb (M. N) = logb M + logb N

(iv) logb

N

M = logb M - logb N

(v) logb Nc = c . logb N , para cualquier número real c

(vi) logb n N =

n

1 . logb N , para cualquier número natural n

Ejemplos:

14 .4

116

2log .

4

14 162

log 4)

33.1log1033

10log3)

282

log322

log8:322

log2)

7162

log82

log8.162

log1)

.

6) Calcular el valor de “x” en:

3

2x

8

1log14

2xlog

3125

27x log x4

2log 4x

3log

3

e) d)

c) b) a)

7) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) 12x log1x log b) 8alogxalog2xalog


29

c) 0 5 x 5

log 5x 5

log 10 d) 02xlog45log

19) Hallar “x”:

a) 6255x

b) 14222 1xx1x

c) 01839 1xx

Tema 1.4. TRIGONOMETRÍA

Trigonometría es una palabra que deriva del griego Τριγωνομετρíα, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metría (μετρíα) medida, es decir, "medida de tres ángulos". Puedes consultar la definición de trigonometría que da el diccionario de la R.A.E. En este curso se tratará únicamente la trigonometría plana.

Con objeto de estudiar los ángulos y su medida consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad o circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido.

Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es

contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.


30

El círculo trigonométrico es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de

coordenadas. Figura 1. Círculo trigonométrico. Para la obtención de las Identidades

Pitagóricas, puede apoyarse en el círculo trigonométrico. También se puede determinar el

signo de las funciones trigonométricas como a continuación se ilustra.

Seno y coseno en la circunferencia En la figura se ha representado el ángulo θ en la circunferencia goniométrica o de radio unidad. En el triángulo rectángulo que se forma como la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es el sen θ y el adyacente el cos θ Es importante recordar el siguiente triángulo: Observa que (cos θ, sen θ) son las coordenadas del punto final del ángulo θ en la

circunferencia de radio unidad.

Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes


31

Guía de ejercitación

1) Decir a qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos:

a) 100º b) 210º c) 150º d) 500º

e) 110º f) -120º g) -400º h) -700

2) Utilizando calculadora calcular el valor de x en las siguientes expresiones:

a) ´20º40sinx b) 5225.0sin x

c) ´´40´25º72cosx d) 4433.0cos x

e) ´´52´45º120tanx f) 4522.2tan x

g) ´33º20cotx h) 54.3cot x

i) ´40º35secx j) 2833.1sec x

3) Dado el seno del ángulo y el cuadrante al que pertenece, hallar el coseno y la tangente

de dicho ángulo:

a) II 4

3sin b) III

5

4sin

4) Dado el coseno del ángulo y el cuadrante al que pertenece, hallar el seno y tangente de

dicho ángulo:

a) IV 5

2cos b) III

3

2cos

5) Completar en el cuadro los datos que corresponden al triángulo rectángulo de la figura que se muestra a continuación:


32

6) Realice el planteo y el desarrollo correspondiente para dar respuesta a lo solicitado en los siguientes

Problemas

Nº 1: En el triángulo de la figura determinar la medida de los segmentos CP , PB y PA sabiendo que el

segmento mCB 35 y ´20º19C

.

Nº 2: Se desconoce la altura de la torre del esquema que está a continuación, pero se sabe que a las 5:00 PM de

la tarde se proyecta una sombra de 160 metros. Si el buzón de cartas que está en la esquina mide 1.40 metros

de alto y proyecta una sombra de 2 metros a la misma hora. ¿Qué altura tiene la torre?

“Para mejorar tus conocimientos acerca del tema, consultá textos que lo aborden, apuntes con conceptos teórico de la cátedra o alguna/s página de internet, como por ejemplo: http://www.vitutor.com/index.html”

Nº Lado A Lado B Lado C Ángulo Ángulo Superficie Perímetro

1 10 m 40º

2 20 cm 52º

3 120 km 72º

4 200 m 300 m

5 70 cm 100 cm

6

7 45 cm 25º

8 32 cm 62º

9 300 m 38º

10 50º 120 m

http://www.vitutor.com/index.html

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