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Funciones Vectoriales
Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca
Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingenieria Mecánica
Cálculo Vectorial
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Introducción
FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
La Integral de una funciónvectorial
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Agenda
Introducción
Funciones VectorialesFunciones VectorialesAlgebra de Funciones VectorialesLimite de una Función VectorialContinuidad de una Función VectorialDerivada de una Función VectorialCurvas RegularesLa Integral de una función vectorial
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3 Introducción
FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
Continuidad de unaFunción Vectorial
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Curvas Regulares
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Introducción
Consideremos una partícula en movimiento sobre un plano.Su posición en un determinado instante t viene determinadopor dos coordenadas x(t) e y(t) que depende de t. Si lapartícula se mueve en el espacio su posición quedadeterminada por tres coordenadas x(t), y(t) y z(t)dependientes de t. En el primer caso la posición de lapartícula se describe mediante un vector de dimensión doscuyas componentes depende de t y en el segundo casomediante un vector de tres coordenadas cuyas componentesestán en función de t. Esto nos lleva a considerar un tiponuevo de funciones.
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Funciones Vectoriales(Definición)
Una función de la formar(t) = f (t)~i + g(t)~j Planoòr(t) = f (t)~i + g(t)~j + h(t)~k Espacioes una función vectorial, donde las funcionescomponentes f , g y h son funciones del parametro t.También se denotan como
r(t) = (f (t), g(t)) ó r(t) = (f (t), g(t), h(t))
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Ejemplos
1. Sea r : I ⊂ R→ R3 tal quer(t) = (1− 2t, 3 + t,−1 + t)
2. Sea r : I ⊂ R→ R3 tal quer(t) = (a cos t, b sin t3 + t, t)
3. Sea r : I ⊂ R→ R4 tal que r(t) =(t, t2, t3, 2t + 1
)4. Sea r : I ⊂ R→ R3 tal que
r(t) =
t, t2, 3
√1− t2
25 −t4
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Ejemplos
1. Hallar la función vectorial que describa los límites de laregión
2. Hallar una función vectorial cuyo domio sea el intervalo[−3, 3] y cuyo rango sea el triángulo de vértice(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)
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Dominio y Rango
Dada la función vectorial
r : I ⊂ R→ Rn
r(t) = (r1(t), r2(t), . . . , rn(t))
Donde ri : I → R ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}
Definición (Dominio)
Dom(r) =
{t ∈ I ⊂ R / t ∈
n⋂i=1
Dom(ri )}
Definición (Rango)
Rang(r) = {(r1(t), r2(t), . . . , rn(t) / t ∈ Dom(r)}
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Ejemplo
EjemploDada la función vectorial
r(t) =
(√9− t2,
1t2 − 5t + 6 ,
√t − [[t]]
)Hallar el dominio.
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10 Algebra de FuncionesVectoriales
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Algebra de Funciones Vectoriales
DefiniciónSea r y u funciones vectoriales con dominios Dom(r) yDom(u) respectivamente φ es una función real con Dom(φ)entonces1. (r± u)(t) = r(t)± u(t) Dom(r± u) =
Dom(r) ∩ Dom(u)
2. (r.u)(t) = r(t).u(t) Dom(r.u) = Dom(r) ∩ Dom(u)
3. (φ.r)(t) = φ(t).r(t) Dom(φ.r) = Dom(φ) ∩ Dom(r)
4. (r× u)(t) = r(t)× u(t) Dom(r× u) =Dom(r) ∩ Dom(u)Para R3
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Curvas Regulares
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Limite de una Función Vectorial
DefiniciónDecir que lim
t→ar(t) = L significa que, para cada ε > 0 dada
existe un δ > 0 tal que ||r(t)− L|| < ε, siempre que0 < |t − a| < δ, es decir,
0 < |t − a| < δ ⇒ ||r(t)− L|| < ε
EjemploDemuestre que lim
t→1
(t, t2 + 1
)= (1, 2)
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Algebra de FuncionesVectoriales
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Continuidad de unaFunción Vectorial
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TeoremaSi r(t) = (f (t), g(t), h(t)) entonces
limt→a
r(t) = ( limt→a
f (t), limt→a
g(t), limt→a
h(t))
siempre que existan los límites de las funciones componentes.
EjemploDada la función vectorial r(t) =
( tsin t ,
2t , [[t
2 − 1]]
)Evaluar lim
t→0r(t)
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TeoremaSi u y v son dos funciones vectoriales tales que lim
t→au(t),
limt→a
v(t) existen, se cumple
1. limt→a
(u + v)(t) = limt→a
u(t) + limt→a
v(t)
2. limt→a
(u.v)(t) = limt→a
u(t). limt→a
v(t)
3. limt→a
(u× v)(t) = limt→a
u(t)× limt→a
v(t)
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Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
14 Continuidad de unaFunción Vectorial
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Continuidad de una Función Vectorial
DefiniciónSea r una función vectorial, se dice que r es una funcióncontinua en a si:1. r(a) está definida2. lim
t→ar(t) existe
3. limt→a
r(t) = r(a)
Si alguna de las tres condiciones no cumple entonces lafunción no es continua en a.
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15 Continuidad de unaFunción Vectorial
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TeoremaUna función r vectorial es continua en el punto ar(t) = (r1, r2, . . . , rn) si y solo si cada rn : R→ R escontinua en a.
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Derivada de una Función Vectorial
DefiniciónSea r una función vectorial cuyo dominio sea un intervalo I.La derivada de r en t ∈ I es el vector
r′(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
siempre que el límite exista, en cuyo caso se dice que r esdiferenciable en t.
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TeoremaSea r(t) = (f (t), g(t), h(t)), donde f , g y h son funcionesdiferenciables, entonces
r′(t) = (f ′(t), g ′(t), h′(t))
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Definición (Vector Velocidad)El vector no nulo r′(t) se le llama vector velocidad de lacurva C en el punto r(t).Si una función r : I ⊂ R→ R3 describe el movimiento deuna particula durante un intervalo de tiempo I = [a, b],entonces r′(t) es la velocidad y ||r′(t)|| es la rapidez de lapartícula en el instante t.
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Teorema
Supongamos que u y v son funciones vectorialesdiferenciales, c es un escalar y f es una función real.Entonces:1. d
dt [u(t) + v(t)] = u′(t) + v′(t)
2. ddt [cu(t)] = cu′(t)
3. ddt [f (t)u(t)] = f ′(t)u(t) + f (t)u′(t)
4. ddt [u(t).v(t)] = u′(t).v(t) + u(t).v′(t)
5. ddt [u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t)
6. ddt [u(f (t))] = u′(f (t))f ′(t)
7. ddt [||u(t)||] =
u(t).u′(t)
||u(t)||, u(t) 6= 0
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Ejercicio
Utilizando sus motores una nave espacial describe elmovimiento:
r(t) = (3 + t, 2 + ln t, a − 4t2 + 1)
Se desea que llegue a la estación ubicada en P=(6,4,9), enausencia de fuerzas gravitacionales. ¿Cuándo hay que apagarlos motores?. ¿Cuál es el valor de a?.
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Curvas
DefiniciónSe dice que una curva C ⊂ Rn es una curva parametrizada,si existe una función vectorial α : [a, b]→ Rn tal queα([a, b]) = C.A α(t) = (α1(t), α2(t), . . . , αn(t)) se le llamaparametrización de la curva C.
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22 Curvas Regulares
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Sea C una curva tal que α([a, b]) = C , α : [a, b]→ Rn
DefiniciónUna curva α es una con puntos dobles si α no es inyectivaen [a, b], o equivalentemente, si existent1, t2 ∈ [a, b], t1 6= t2 tales que α(t1) = α(t2).
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Ejemplos
1. Una curva C parametrizada porα(t) = (t2, t3 − t), t ∈ R
2. Una curva C parametrizada porα(t) = (cos t − cos 3t
2 , sin t − sin 3t2 ), t ∈ [−π, π]
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Definiciones
DefiniciónSe dice que C es una curva simple sino posee puntos dobles.
DefiniciónSe dice que C es una curva cerrada si α(a) = α(b).
DefiniciónSe dice que C es una curva suave o regular si poseeparametrización α tal que α′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]
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Ejemplos
EjemploSea α : [0, 3π]→ R2 definida por
α(t) = (t − sin(t), 1− cos t)
no es una curva regular.
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Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
26 La Integral de una funciónvectorial
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La Integral de una función vectorial
DefiniciónSea la función diferencial r = (r1, r2, . . . , rn) continua en[a, b], entonces∫ b
ar(t)dt =
(∫ b
ar1(t)dt,
∫ b
ar2(t)dt, . . . ,
∫ b
arn(t)dt
)
donde ∫r(t)dt = g(t) + c
Si g′(t) = r(t)
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FuncionesVectoriales
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Introducción
FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
27 La Integral de una funciónvectorial
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Primer Teorema Fundamental del Cálculo
DefiniciónSea r : [a, b]→ Rn una función vectorial continua en [a, b],entonces la función F definida por
F(t) =
∫ t
ar(t)dt a ≤ t ≤ b
es derivable y F′(t) = r(t) ∀ t ∈ [a, b]
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Introducción
FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
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Segundo Teorema Fundamental de Cálculo
DefiniciónSea r : [a, b]→ Rn uns función vectorial con derivadasintegrables entonces∫ b
ar′(t)dt = r(b)− r(a)
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FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
Limite de una FunciónVectorial
Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
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Propiedades
Sean r,u : [a, b]→ Rn funciones vectoriales integrables yc = (c1, c2, . . . , cn) un vector constante
1.∫ b
aαr(t)dt = α
∫ b
ar(t)dt α ∈ R
2.∫ b
a(r(t)± u(t))dt =
∫ b
ar(t)dt ±
∫ b
au(t)dt
3.∫ b
a(c.r(t))dt = c
∫ b
ar(t)dt
4.∫ b
ac× r(t)dt = c×
∫ b
ar(t)dt solo en R3
5. Si ||r(t)(t)|| es integrable en [a, b], tenemos que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∫ b
ar(t)dt
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a||r(t)||dt
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FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
Algebra de FuncionesVectoriales
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Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
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Diferencial de una Función Vectorial
Sea r : [a, b] ⊂ R→ Rn tal quer(t) = (r1(t), r2(t), . . . , rn(t)) , definiremos el incremento der en el punto t0
∆r(t0) = r(t0 + h)− r(t0), t0, t0 + h ∈ I
Interpretación para n = 3
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FuncionesVectorialesFunciones Vectoriales
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Continuidad de unaFunción Vectorial
Derivada de una FunciónVectorial
Curvas Regulares
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Continuación...
Si definimos
φ(t0; h) =
r(t0 + h)− r(t0)
h − r′(t0), si h 6= 00, si h = 0
entonces se puede escribir
∆r(t0; h) = r(t0 + h)− r(t0) = hr′(t0)︸ ︷︷ ︸dr(t0)
+hφ(t0; h)
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Continuación...
r(t0 + h) = r(t0) + dr(t0) + hφ(t0, h)Si lim
h→0hφ(t0, h) = 0⇒ ∆r(t0) ≈ dr(t0)
r(t0 + h) ≈ r(t0) + dr(t0)
r(t0 + h) ≈ r(t0) + r′(t0).h
Al vector hr′(t0) se denomina el diferencial de r en t0
hr′(t0) = dr(t0) = r′(t0)dt
EjemploSi r(t) = (sin t, t3 − 2, e4t − 1), aproximar r(0.25)
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Longitud de Arco
TeoremaSi C es una curva suave dada porr(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, en un intervalo [a, b], entoncesla longitud de arco de C en el intervalo es
s =
∫ b
a
√[x ′(t)]2 + [y ′(t)]2 + [z ′(t)]2 =
∫ b
a||r ′(t)||dt
EjemploHallar la longitud de arco de la hélice circularr(t) = (cos t, sin t, t) desde el punto (1, 0, 0) al punto(1, 0, 2π)
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Parametro Longitud de Arco
Para estudiar las propiedades geométricas de una curva, elparámetro adecuado es a menudo la longitud de arco S.
DefiniciónSea C una curva suave dada por r(t) definida en [a, b], lafunción longitud de arco está dado por
s(t) =
∫ t
a||r′(t)||dt ∀ t ∈ [a, b]
A la longitud de arco s se llama parametro longitud de arco.Notación:
dsdt = s ′(t) = ||r′(t)||
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EjemploSea C una curva descrita por la funciónr(t) = (3− 3t, 4t), 0 ≤ t ≤ 1, describir la curva C entérminos de la longitud de arco.Nota:Si t es cualquier parametro tal que ||r′(t)|| = 1, entonces tes parámetro longitud de arco.
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EjercicioUna trayectoria está dada por la función vectorial
g(s) =
(s − arctan(s),
√22 ln(s2 + 1), arctan(s)
)
Determinar si el parametro s es la longitud de arco.