UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE

MATEMÁTICA I

UNIDADES A DESARROLLAR

IV U Aplicaciones de la Derivada en una y varias variables

I U Geometría Analítica Vectorial

II U Límite y continuidad de funciones en una y varias variables

III U Derivada y Diferenciales de funciones en una y varias variables

I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL

OBJETIVOS DE UNIDADUtilizar el sistema coordenado rectangular en tres

dimensiones para representar gráficamente lugares geométricos en el espacio

Aplicar los algoritmos de la suma y resta vectorial así como sus propiedades y relaciones en ejercicios

Aplicar el producto punto y producto cruz, así como sus relaciones y propiedades a problemas de trabajo físico, área, volumen y la determinación de la posición entre planos, rectas, rectas y planos

Determinar las ecuaciones cartesianas y vectoriales de la recta en el espacio y de planos

Graficar rectas en el espacio, así como planos

Diferenciar los distintos tipos de superficies, esferas cilindros y cuádricas a partir de sus ecuaciones

Graficar cualquier superficie

I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL

OBJETIVOSRepresenten correctamente puntos en el

plano coordenado rectangular tridimensionalCalculen correctamente distancia entre dos

puntos y coordenadas del punto medio en 3DDeterminen con precisión coordenadas de un

vector, representación y móduloDemuestren respeto, disciplina, participación

e integración al trabajo en equipo

SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR

Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio R3 se determina por una unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre sí concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado. El punto de intersección se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados, estos se denotan por OX,OY y OZ

Representación de puntos en el plano R3

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados,

estos son: el plano OXY, OYZ y OXZ, a su vez los planos coordenados

dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por

medio de ternas.

Distancia entre dos puntos

Th. 1 Consideremos dos puntos P (x1, y1, z1) y Q (x2, y2, z2) la distancia esta dada por la fórmula:

Esta fórmula es ampliación de la fórmula en dos dimensiones.

Distancia y punto Medio en R3

Las coordenadas del punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) son:  

Ejemplo:

Localizar los siguientes pares de puntos, calcular la longitud del segmento que los

une y las coordenadas de sus puntos medios.

Vectores de posición y trasladados

Vectores fundamentales: Definición.

Supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas rectangulares. Se define el vector î como el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo X, el vector ĵ es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Y, y el vector k es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Z

Vectores de posición y trasladados

Vectores en el espacio

En el espacio los vectores se denotan por ternas ordenadas v=‹v1,v2,v3›. El vector cero se denota por 0= ‹0,0,0›. Usando los vectores unitarios i=‹1,0,0›,

j=‹0,1,0› y k =‹0,0,1›. La notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es

v= v1i+v2j+v3k.

Las componentes de un vector dados dos puntos se obtiene restando las coordenadas del punto final menos el punto inicial, sea P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3) así:

v=‹v1,v2,v3›=‹q1-p1,q2-p2,q3-p3›.

Vectores en el espacio.

Sean u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> vectores en el espacio y sea c un escalar.Igualdad de Vectores: u = v sí y solo sí u1 = v1 u2

=v2 u3 =v3

Expresión mediante las componentes: Si v se presenta por el segmento de recta dirigido de P(p1, p2, p3) a Q (q1, q2, q3 ). Entonces:

v = <v1, v2, v3> =< q1- p1 , q2 - p2 , q3- p3 > Longitud:║v║ =

Vector unitario en la dirección de v:

Suma de vectores: v + v = < u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3>

Multiplicación por un escalar. cv = <cv1, cv2, cv3>

Hallar las componentes de un vector en el espacio.

Ejemplo

Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial (-2, 3, 1) y punto final (0,-4,4)Después hallar un vector unitario en la dirección de v.

Definición de Vectores Paralelos.

Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u = cv.

Ejemp.

El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w?

Ejemplo.Uso de vectores para determinar puntos colineales.

Determinar si los puntos P (1,-2,3), Q (2,1,0) y R(4,7,-6) son colineales.

Ejemplo.Notación empleando los vectores unitarios canónicos.

a)Exprese el vector v = 4i - 5k por medio de sus componentes.

b)Hallar el punto final del vector v = 7i-j+3k, dado que el punto inicial es P(-2,3,5)

Solución.

a)Como falta j, su componente es 0 y v= 4i- 5k = <4,0,5>

b)Se necesita encontrar Q (q1, q2, q3 ) tal que

v = PQ = 7i-j+3k. Esto implica que q1-- (-2)= 7, q2 – 3 =-1 y

q3 -5 = 3.

Por tanto, Q es (5,2,8)