Universidad Nacional de San Juan

FISICA II — QUIMICA — BIOINGENIERIA- CIVIL — ALIMENTOS 2020

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Universidad Nacional de San Juan FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CÁTEDRA: FÍSICA II TEMAS

COULOMB

CAMPO ELECTRICO

LEY DE GAUSS

DIPOLO ELECTRICO

POTENCIAL

CAPACITORES

ENERGIA

Carreras: Ingeniería Civil

Ingeniería Química

Ingeniería Alimentos

Bioingeniería

Titular : Ing. Adolfo Regalado

Prof. Adjunto : Ing. Susana Carratú Prof. Adjunto : Ing. Raúl Correa

Prof. J.T. Práctico: Ing. Gustavo Regalado

Aytes : Lucia Bravo , Adriana Galvan


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INTRODUCCION

Un factor importante de cualquier curso universitario son las clases. Esto es

especialmente cierto en física, ya que será frecuente que su profesor haga

demostraciones de principios físicos, ejecute simulaciones de computadora o proyecte

videos. Todas éstas son actividades de aprendizaje que lo ayudarán a comprender los

principios básicos de la física. Estos apuntes sirven de introducción al aprendizaje de

la Fisica II que necesariamente se deberá reforzar con la literatura disponible tales

como Resnik- Halliday o Sears- Zemansky .

CARGA ELECTRICA

ELECTRICIDAD

La ciencia de la electricidad nació en Grecia, unos 600 años antes de Cristo, al

observarse que el ámbar frotado con lana atraía objetos livianos. El ámbar que es una

resina fósil dura, quebradiza y de color amarillo, se le llama elektron en griego, de ahí

el nombre dado a esta ciencia.

CARGA ELECTRICA

Hasta este momento, la única fuerza que hemos estudiado con cierto detalle es la gravitatoria. Ahora estamos listos para analizar la fuerza del electromagnetismo, que incluye tanto la electricidad como el magnetismo. Los fenómenos del electromagnetismo ocuparán nuestra atención. Las interacciones del electromagnetismo implican partículas que tienen una propiedad llamada carga eléctrica, es decir, un atributo que es tan fundamental como la masa.

Sean los experimentos que se describen a continuación:

Se frota una varilla de vidrio con seda, se la suspende en un hilo de seda, y se le

acerca el extremo de otra varilla de vidrio, también, frotada con seda. Se observa que

las varillas se repelen.

Se frota una varilla de vidrio con seda, se la suspende de un hilo de seda, y se le

acerca el extremo de una varilla de ebonita (pasta endurecida de caucho, azufre y

aceite de linaza), frotada con una piel. En este caso se observa que las varillas se

atraen.

Se frota una varilla de ebonita con piel, se la suspende, y se le acerca el extremo de

otra varilla de ebonita, también frotada con piel. Se observa que las varillas se repelen.

Los resultados experimentales anteriores se pueden explicar diciendo que al frotar una

varilla se le comunica una carga eléctrica, y que las cargas en las dos varillas ejercen

fuerzas entre sí. Además, las cargas que aparecen en el vidrio son diferentes de las

que aparecen en la ebonita.

Benjamín Franklin denominó positiva a la electricidad que aparece en el vidrio, y

negativa a la que aparece en la ebonita.

Los experimentos antes mencionados muestran entonces que cargas del mismo signo

se repelen, y que cargas de signo opuesto se atraen.

En condiciones adecuadas, todo cuerpo puede cargarse eléctricamente al ser frotado

con otro cuerpo. El signo de la carga que adquiere se puede determinar suspendiendo


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el cuerpo frotado y acercándole una varilla de vidrio o ebonita frotada, y viendo si ésta

es atraída o repelida por el cuerpo.

En la actualidad se acepta que la materia en estado normal o neutro contiene

cantidades iguales de electricidad positiva y negativa. Cuando se frotan dos cuerpos

pasa carga de uno al otro, cargándose positivamente uno, y negativamente el otro.

La carga eléctrica se representa con letra q.

Conductores (de la electricidad):

Son materiales en los cuales la carga eléctrica puede moverse libremente, por

ejemplo, los metales en los cuales los transportadores de carga son los electrones

libres, mientras que las cargas positivas permanecen inmóviles. En otros conductores,

como los electrolitos, se mueven tanto las cargas positivas (aniones), como las

negativas (cationes). Para poder cargar un metal por frotamiento hay que sostenerlo

con un mango de vidrio, ebonita, u otra sustancia no conductora, ya que el cuerpo

humano y la Tierra son buenos conductores de la electricidad.

Aisladores o dieléctricos:

Son materiales en los cuales la carga eléctrica no puede moverse libremente. Ejemplo:

vidrio, ebonita, materiales plásticos, etc.

Semiconductores:

Son materiales intermedios entre conductores y aisladores en lo relativo a su

capacidad para conducir la electricidad. Ejemplo: silicio y germanio. Tienen muchas

aplicaciones prácticas, entre ellas la construcción de transistores.

LEY DE COULOMB:

Charles de Coulomb fue el primero que midió fuerzas atractivas y repulsivas de origen

eléctrico, y dedujo la ley que lleva su nombre. Para realizar sus experiencias utilizo un

dispositivo, llamado balanza de torsión, en el cual los cuerpos cargados eran

pequeñas esferas.

Coulomb estudió primero cómo variaba el módulo de la fuerza eléctrica (F) con la

distancia (r) entre los centros de las esferas cargadas, manteniendo constantes las

cargas de las esferas y encontró que:

𝐹 ∝1

𝑟2 (1)

Luego estudio cómo variaba el módulo de la fuerza eléctrica con el valor de las cargas

de las esferas (q1 y q2), manteniendo constante la distancia entre las cargas,

encontrando que:

𝐹 ∝ 𝑞1.𝑞2 (2)

De las ecuaciones anteriores (1) y (2), se puede resumir en una sola expresión:

𝐹 ∝𝑞1.𝑞2

𝑟2 (3)

La expresión (3) se puede escribir en forma de igualdad introduciendo una constante

de proporcionalidad:


4

𝐹 = (1

4𝜋𝜀0)(

𝑞1.𝑞2

𝑟2)(4)

𝜀0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜

La ecuación (4) es la expresión de la Ley de Coulomb, y es aplicable solo a cargas

puntuales, considerándose como tales a los cuerpos cargados cuyas dimensiones son

pequeñas comparadas con las distancias que las separan de otros cuerpos cargados.

Mediante (4) se puede determinar el módulo de la fuerza de origen eléctrico que aparece sobre cada una de las cargas puntuales, pero para especificar aquella completamente hay que indicar también su dirección y sentido. La dirección de la fuerza es la de la recta que pasa por ambas cargas. En cuanto el sentido, la fuerza es atractiva si ambas cargas son de signo contrario, y es repulsiva si las cargas son de igual signo. Las dos fuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre tienen la misma magnitud y dirección opuesta, aun cuando las cargas no tengan igual magnitud.

UNIDAD DE CARGA ELECTRICA:

La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el Coulomb, que se

representa por “ C”, y se define a partir de la unidad internacional de corriente

eléctrica, el ampere, de la siguiente forma: “Un Coulomb es la carga que atraviesa

en un segundo una sección transversal de un conductor por el que circula una

corriente de un ampere”.

𝑞 = 𝐶 (𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)

𝑖 = 𝐴 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 ,𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑖)

𝑡 = 𝑠 (𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)

O sea que:

1 𝐶 = 1𝐴

𝑠

De la ecuación (4), el valor de la constante de permitividad resulta:

𝜀0 = 8,85𝑋10−12 𝐶2

𝑁.𝑚2

Haciendo:

𝑘 =1

4𝜋𝜀0

Resulta:


5

𝑘 = 9𝑋109𝑁.𝑚2

𝐶2

CONJUNTO DISCRETO DE CARGAS:

Cuando se tienen más de dos cargas puntuales, la ecuación (4) es aplicable a cada

par de ellas.

Ejemplo: se tiene un sistema formado por las cargas q1, q2, y q3. Si r12= distancia

entre q1 y q2, r13= distancia entre q1 y q3, y r23= distancia entre q2 y q3, la fuerza

resultante (F1) sobre la carga q1 es

𝑭𝟏 = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟏𝟑 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍

𝑭𝟏𝟐 :𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞1 𝑦 𝑞2,𝑑𝑒 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑭𝟏𝟐 =1

4𝜋𝜀0 𝑞1.𝑞2

𝑟122

𝑭𝟏𝟑 :𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞1 𝑦 𝑞3,𝑑𝑒 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑭𝟐𝟑 =1

4𝜋𝜀0 𝑞1.𝑞3

𝑟132

CUANTIZACIÓN DE LA CARGA:

En épocas de Franklin se creía que la carga eléctrica era un fluido continuo, pero

luego se demostró que no era así, sino que estaba formada por múltiplos enteros de

cierta carga mínima, que vale1,6𝑋10−19𝐶, y que se simboliza por e, es decir:

𝑒 = 1,6𝑋10−19𝐶

Por lo tanto, la carga de cualquier cuerpo se puede expresar así:

𝑞 = 𝑛. 𝑒,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = ±1, ±2, ±3,… ..

Cuando una propiedad física solo puede tomar valores discretos, como ocurre con la

carga eléctrica, se dice que la propiedad está cuantizada.

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CARGA:

Experimentalmente se comprobó que al frotar el vidrio con seda aparecía en el vidrio

una carga positiva y en la seda una carga negativa de igual magnitud. O sea que al

frotar dos cuerpos no se crea carga, sino que se transporta de un cuerpo al otro. Esto

constituye el principio de conservación de la carga.

CAMPO ELECTRICO:

Al colocar un cuerpo cargado en presencia de otro cuerpo cargado, sobre ambos

aparece una fuerza de origen eléctrico. Esa fuerza desaparece si se retira cualquiera

de los dos cuerpos. O sea, cualquier cuerpo cargado modifica las propiedades del

espacio que lo rodea. A ese espacio se lo llama “campo eléctrico”.

Para determinar si en un punto del espacio existe un campo eléctrico hay que colocar

en dicho punto un cuerpo cargado que se llama carga de prueba (𝒒𝟎), la cual debe

ser puntual, a fin de alterar lo menos posible el campo que se quiere poner de

manifiesto. Además, por convención se considera siempre positiva.

Si sobre la carga de prueba aparece una fuerza de origen eléctrico (F) decimos que en

el punto existe un campo eléctrico (E), el cual se define así:


6

𝑬 =𝑭

q0(1)

𝑬 es un vector de igual dirección y sentido que 𝑭 y su módulo es:

E =F

q0

2

Al vector 𝑬 se lo llama también intensidad de campo eléctrico.

De (2), la unidad de 𝑬 en el sistema internacional resulta:

E =N

C(3)

LINEAS DE FUERZA:

Son líneas imaginarias que permiten representar la forma de los campos eléctricos.

Son líneas abiertas que comienzan en una carga positiva y terminan en una carga

negativa.

Existe una relacion entre el vector 𝑬 y las líneas de fuerza:

a) La tangente a una línea de fuerza cualquiera en un punto da la dirección del

vector 𝑬 en ese punto.

b) El número de líneas de fuerza por unidad de área (densidad de líneas) es una

medida del módulo de E. Allí donde las líneas de fuerza están más juntas el

campo es mayor que donde las líneas están más separadas.

CÁLCULO DEL CAMPO ELECTRICO:

Campo debido a una carga puntual

Se tiene una carga puntual q y se quiere calcular el campo eléctrico en un punto

ubicado a una distancia r de aquella. Para ello imaginamos colocar una carga de

prueba en un punto.

De (2), resulta:

E =F

q0


7

Según la ley de Coulomb, sobre la carga de prueba actúa una fuerza de módulo:

𝐹 =1

4𝜋𝜀0 𝑞0.𝑞

𝑟2= 𝑘

𝑞0.𝑞

𝑟2

Combinando las expresiones anteriores, resulta:

E =k. q

𝑟2(4)

El campo eléctrico tiene dirección radial, pasa por la carga, apunta hacia afuera, si la

carga es positiva, y hacia adentro, si es negativa.

Campo debido a un grupo de cargas puntuales (Distribución discreta de cargas)

Se tiene un conjunto de cargas puntuales y, se quiere calcular el campo eléctrico en

un cierto punto. Para ello se calculan los campos (𝐸𝑖)creados por cada carga (𝑞𝑖)

como si las demás no existieran, y luego se suman vectorialmente los campos para

hallar el campo resultante (𝐸), o sea:

𝑬 = 𝑬𝒊 5 (𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍)

El modulo del campo creado por cada carga se calcula mediante la siguiente

expresión:

𝐸𝑖 =k. 𝑞𝑖𝑟𝑖

2

Donde 𝑟𝑖 es la distancia de cada carga al punto.

Campo debido a una distribución continua de cargas

Cuando se tiene un cuerpo extenso cargado y se quiere calcular el campo en un punto

P, se divide la carga total en elementos infinitesimales de carga (𝑑𝑞). Luego se calcula

el campo (𝑑𝑬) producido por cada (𝑑𝑞) en el punto P, tratando a los elementos de

carga como si fueran cargas, o sea que el módulo del 𝑑𝑬 es:

𝑑𝐸 =k. dq

𝑟2 (6)

r: distancia del dq al punto P.

El E resultante en P se halla sumando los campos (𝑑𝑬) creados por los infinitos dq,

por lo tanto:

𝐸 = 𝑑𝐸 7 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙)

Dipolo eléctrico:


8

Está constituido por dos cargas puntuales de igual valor (q) y signo contrario,

separadas una cierta distancia (d). la recta que pasa por ambas cargas se llama eje

del dipolo.

El momento de dipolo eléctrico (p), es un vector cuya dirección es la del eje del dipolo,

que apunta hacia la carga positiva, y cuyo modulo es:

𝑝 = 𝑞.𝑑 (8)

Acción de un campo eléctrico sobre una partícula cargada

Si una partícula de masa m y carga q se coloca en una región donde existe un campo

eléctrico E, sobre la partícula aparece una fuerza:

𝑭 = 𝑬 . 𝑞

Esa fuerza produce una aceleración

𝑎 =𝑭

𝑚 (9)

FLUJO DE CAMPO ELECTRICO (ɸ𝑬)

El flujo (ɸ), que es una magnitud escalar, es una propiedad de todos los campos

vectoriales, y se refiere a una superficie imaginaria, abierta o cerrada, entendiéndose

por superficie cerrada a aquella que cierra un volumen.

El flujo de campo eléctrico (ɸ𝐸) se mide por el número de líneas de fuerza que

atraviesan la superficie.

El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada puede ser positivo, nulo

o negativo.

El concepto de flujo de campo eléctrico es muy importante ya que la ley de Gauss, que

es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo, se expresa en función de

aquel.

Sea una superficie cerrada en una región donde existe un campo eléctrico E, se divide

la superficie en elementos de superficie de área 𝑑𝑆, normal a la superficie y que

apunta hacia afuera. En cada superficie diferencial se puede dibujar el vector

representativo del campo eléctrico en ese punto, se define el flujo E a través de la

superficie 𝑑𝑆 de la siguiente forma:

𝑑ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 10 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)

Para obtener el flujo de E a través de toda la superficie habrá que sumar los flujos

diferenciales a través de las infinitas superficies diferenciales en que se ha dividido la

superficie total, o sea:

ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 (11)

Donde el símbolo . indica que hay que integrar sobre una superficie cerrada.

De (11) se ve que la unidad de flujo E es:


9

ɸ𝐸 =𝑁.𝑚2

𝐶 (12)

LEY DE GAUSS:

Esta ley establece una relacion entre el flujo de E a través de una superficie cerrada e

imaginaria (llamada superficie gaussiana) y la carga neta (𝑞𝑛) encerrada por dicha

superficie, y puede expresarse así:

ɸ𝐸 =𝑞

𝜀0 12

O bien:

ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 =𝑞𝑛

𝜀0 13

La ley de Gauss puede enunciarse así: “El flujo de campo eléctrico a través de una

superficie gaussiana es proporcional a la carga neta encerrada por dicha

superficie”.

La ley de Gauss permite calcular el módulo de campo eléctrico en cualquier punto del

espacio. Su validez es general, pero es fácil de aplicar solo si resulta sencillo resolver

la integral de la ecuación (13). Esto ocurre cuando la distribución de cargas que crea el

campo presenta simetría.

APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS:

Para calcular el campo eléctrico en un punto P aplicando la ley de Gauss, conviene

seguir el siguiente procedimiento:

1) Dibujar la superficie gaussiana haciéndola pasar por el punto P.

2) A fin de facilitar la resolución de la integral de la ecuación (13), elegir

adecuadamente la forma de la superficie. Si la distribución de cargas que crea

el campo tiene simetría esférica (caso de una carga puntual, o de una esfera

uniformemente cargada), tomar como superficie gaussiana una esfera con

centro en la carga o concéntrica con la esfera cargada. Si la simetría es

cilíndrica (caso de la línea recta cargada o de un cilindro uniformemente

cargado), tomar como superficie gaussiana un cilindro cuyo eje coincida de la

línea cargada o con el eje del cilindro cargado), etc.

3) Dibujar en el punto P los vectores 𝐸 𝑦 𝑑𝑆 4) Calcular la carga neta. Para ellos solo hay que tener en cuenta las cargas que

están dentro de la superficie gaussiana, independientemente de su posición.

5) Aplicar la ley de Gauss

Densidad de carga:

La carga eléctrica en un cuerpo puede distribuirse a lo largo de una línea (caso de una

varilla cargada), sobre una superficie (caso de una lámina cargada o de cualquier

conductor cargado), o en todo el volumen del cuerpo (caso de cualquier no conductor

cargado). De acuerdo a ello se tienen los diferentes tipos de densidad de carga.

Densidad lineal de carga (𝝀):


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Si la carga total Q está distribuida a lo largo de una línea de largo L, se define 𝜆 así:

𝜆 =𝑄

𝐿(14)

Densidad superficial de carga (𝝈):

Si la carga total Q está distribuida sobre una superficie de área A, se define 𝜍 así:

𝜍 =𝑄

𝐴 (15)

Densidad volumétrica de carga (𝝆):

Si la carga total Q está distribuida en un volumen V, se define 𝜌 así:

𝜌 =𝑄

𝑉 (16)

APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS:

Ver ejercicios en guía práctica

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo:

Sea un dipolo eléctrico formado por dos cargas + q y - q, separados una distancia d,

en un campo eléctrico externo E, que forma un ángulo 𝜃 con el vector momento de

dipolo eléctrico p.

Como se ve en la figura, sobre ambas cargas del dipolo actúan fuerzas iguales y

opuestas, F y –F, cuyo módulo es: F=E.q.

Sobre el dipolo actúa un momento 𝜏 con respecto a un eje perpendicular al plano del

dibujo por el punto S, y cuyo módulo es:

𝜏 = 𝐹.𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑞.𝐸.𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃

Como p=q.d, se tiene:

𝜏 = 𝑝.𝐸. 𝑠𝑒𝑛𝜃

La ecuación anterior se puede escribir en forma vectorial así:

S


11

𝜏 = 𝑝 𝑥 𝐸 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙)

La siguiente figura muestra una vista en perspectiva de los tres vectores:

Si un agente exterior quiere cambiar la orientación del dipolo en el campo eléctrico

externo, debe hacer un trabajo W (positivo o negativo). Ese trabajo queda almacenado

como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado

para establecer el campo externo. Si el ángulo 𝜃 tiene un valor inicial 𝜃0, el trabajo

para hacer girar el dipolo un ángulo 𝜃 es:

𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝜏𝑑𝜃 = 𝑈𝜃

𝜃0

Donde 𝜏 es el módulo del momento que ejerce el agente exterior. Reemplazando 𝜏:

𝑈 = 𝑝.𝐸. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝑝.𝐸. −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃

𝜃0

Tomando por conveniencia 𝜃0 = 90°, se tiene:

𝑈 = −𝑝.𝐸. (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠90°)

𝑈 = −𝑝.𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃

La ecuación anterior se puede escribir en forma vectorial así:

𝑈 = −𝑝 .𝐸 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)

4. POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico, que es una magnitud escalar, está íntimamente relacionado con

el campo eléctrico y lo mismo que este, permite describir el espacio que rodea a un

cuerpo cargado.

Para todo campo eléctrico debido a una distribución de carga estática, la

fuerza ejercida es conservativa por ese campo.

𝜃

𝜃0


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Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un campo

eléctrico, se mueve una carga de prueba de A a B, manteniéndola en equilibrio en todo

momento y se mide el trabajo WAB que debe realizar un agente exterior para mover la

carga de A a B . La diferencia de potencial eléctrico se define así:

VB-VA=WAB/q0 (4.1)

VAB: la diferencia de potencial de A con respecto a B, es igual al trabajo que debe

efectuarse para desplazar con lentitud una UNIDAD de carga de A a B contra la fuerza

eléctrica.

Como WAB puede ser positivo, nulo o negativo, VB puede ser mayor, igual o menor que

VA.

La unidad de diferencia de potencial en el sistema internacional es el volt o voltio (V), o

sea que:

1V=1J/C

En general se toma el punto A en el infinito (o sea a gran distancia de cualquier cuerpo

cargado), y al potencial de A en ese punto se le asigna convencionalmente el valor

cero. Así se puede definir el potencial eléctrico en un p unto. Haciendo VA=0 en la (4.1)

y eliminando subíndices se tiene:

V=W/q0 (4.2)

W: trabajo que un agente exterior debe realizar, para mover la carga de prueba, desde

el infinito al punto considerado.

Como el trabajo WAB es independiente del camino seguido para mover la carga de

prueba de A a B, La diferencia de potencial VB-VA también lo es.

Se llama superficie equipotencial al lugar geométrico de los puntos del espacio que

tienen el mismo potencial eléctrico. Estas superficies se usan para describir el campo

eléctrico en una región del espacio.

De la ecuación (4.1) se puede deducir que no es necesario realizar trabajo para mover

una carga entre dos puntos de la misma superficie equipotencial.


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Se puede probar que las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las

líneas de fuerza y, por consiguiente a E.

RELACION ENTRE EL POTENCIAL Y EL CAMPO ELECTRICO

Sea un agente exterior que mueve la carga de prueba de A hasta B en un campo

eléctrico. La fuerza de origen eléctrico que actúa sobre la carga es FE=q0E. Para mover

la carga, el agente externo debe aplica sobre esta una fuerza F=-q0E.

Si el agente exterior mueve la carga siguiendo un desplazamiento dl, el trabajo

elementa realizado por aquel es:

dW=𝐹 .𝑑𝑙 (Producto escalar)

El trabajo total para mover la carga de A a B es:

𝑊𝐴𝐵 = 𝑑𝑊 = 𝐹 .𝑑𝑙 𝐵

𝐴= −𝑞0𝐸 .𝑑𝑙

𝐵

𝐴 (4.3)

Por definición es VB-VA=WAB/q0, entonces:

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐸 .𝑑𝑙 𝐵

𝐴 (4.4)

Tomando el punto A en el infinito, haciendo VA=0 y eliminando subíndices, se tiene el

potencial eléctrico en un unto genérico P:

𝑉 = − 𝐸 .𝑑𝑙 𝑃

∞ (4.5)

Para calcular la diferencia de potencial, y el potencial, mediante las ecuaciones (4.4) y

𝐹 𝑑𝑙 q0 𝐹𝐸 A B

𝐸

𝐸

𝐸


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(4.5) es necesario conocer E en la región del espacio por donde se desplaza la carga de

prueba.


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CALCULO DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL

Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos, o el potencial en un punto el

procedimiento a seguir es:

1. En un punto de la trayectoria A-B (punto P) dibujar los vectores E y dl. Recordar que

el vector dl es siempre tangente a la trayectoria y apunta hacia B.

2. Calcular, aplicando la ley de Gauss, la ley de variación del campo eléctrico en la

región del espacio a considerar.

3. Aplicar la ecuación (4.4), o la (4.5) y resolver la integral.

Potencial debido a una carga puntual

Sea una carga puntual q, positiva. Se quiere calcular el potencial en un punto P, a una

distancia r de la carga. Siguiendo el procedimiento indicado, se dibujan los vectores E y

dl en un punto de la trayectoria seguida.

r

Aplicando la Ley de Gauss, se obtiene la ecuación que expresa la variación del campo

eléctrico en el espacio que rodea una carga puntual:

E= k.q/r2

Aplicando la ecuación (4.5), se tiene:

𝑉 = − 𝐸 . 𝑑𝑙 𝑃

∞

= − 𝐸. 𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠180°𝑃

∞

= 𝐸.𝑑𝑙𝑃

∞

= 𝑘.𝑞

𝑟2 𝑑𝑙

𝑃

∞

= 𝑘. 𝑞 𝑑𝑙/𝑟2𝑃

∞

Para resolver la integral hay que dejar una sola variable (i o r) dentro del signo de la

integral. Como la variable r representa las distancias medidas a partir de la carga (en

este caso de izquierda a derecha), y l representa los desplazamientos medidos desde el

infinito hacia P (en este cado de derecha a izquierda), y ambas variables se miden sobe

la misma recta de acción, resulta entonces dl= -dr. Luego:

𝑉 = −𝑘. 𝑞 𝑑𝑟/𝑟2𝑟

∞


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En donde se ha reemplazado el límite superior P por el valor que la variable toma en

ese punto.

Resolviendo la integral resulta:

V=k.q/r (4.6)

Potencial debido a una distribución discreta de cargas

Cuando se tiene un sistema formado por un conjunto de cargas puntuales, y se quiere

calcular el potencial eléctrico en un cierto punto, primero se calculan potenciales (Vi)

debidos a cada carga (qi), como si las demás cargas no existieran, y luego se suman

algebraicamente esos potenciales para hallar el potencial resultante (V), o sea:

V=∑Vi (4.7) (Suma algebraica)

El potencial debido a cada carga se calcula mediante la expresión:

V=k. qi/ri donde ri es la distancia de cada carga (qi) al punto.

Como el potencial es un escalar, al calcularlo hay que tener en cuenta el signo de las

cargas.

Potencial debido a una distribución continua de cargas

Cuando se tiene un cuerpo extenso cargado y se quiere calcular el potencial en un

punto P, se divide la carga total en elementos infinitesimales de carga (dq). Luego se

calcula el potencial (dV) debido a cada dq en el punto P, tratando a los elementos de

carga como si fueran cargas, o sea que el dV se calcula con:

dV= k.dq/r (4.8)


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r= distancia del dq al punto P

El V resultante en P se halla integrando la ecuación (4.8):

𝑉 = 𝑑𝑉 = 𝑘.𝑑𝑞/𝑟 (4.9) (Integral escalar)

ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas (U) es el trabajo que un agente

exterior debe realizar para colocar las cargas en su posición, moviéndolas desde el

infinito, donde se supone se encuentran en reposo (o sea sin energía cinética).

Sistema discreto de cargas

Si WI es el trabajo necesario para colocar la carga i en su posición, la energía potencial

eléctrica del sistema es:

U=∑wI (4.10), donde la sumatoria se realiza a partir de i=2, ya que no hay que realizar

trabajo pata colocar la primer carga.

Sistema continuo de cargas

Si De es el trabajo necesario para colocar una carga dq en su posición, la energía

potencial eléctrica del sistema es:

𝑈 = 𝑑𝑊 (4.11) (Integral escalar)


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5. CAPACITORES

Un capacitor o condensador es un conjunto de dos conductores cercanos, de cualquier

forma, cargados con cargas de igual valor y signo contrario. Los conductores que

forman el capacitor se llaman armaduras.

Capacitancia (C)

La capacitancia del capacitor se define así:

C=Q/V (5.1) donde:

Q= carga de una de las armaduras.

V= diferencia de potencial entre armaduras.

La unidad de capacitancia en el sistema internacional es el faradio (F), o sea que:

1F= 1C/V

Aplicaciones

Los capacitores se usan con diferentes fines, entre ellos: a) Para obtener determinadas

configuraciones de campo eléctrico. b) Para almacenar energía. c) Para disminuir

fluctuaciones de voltaje.

CALCULO DE LA CAPACITANCIA

El procedimiento a seguir es.

a) Calcular el campo eléctrico entre las armaduras, aplicando la ley de Gauss.


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b) Calcular la diferencia de potencial entre armaduras. c) Aplicar la ecuación (5.1).

Capacitor de armaduras planas y paralelas.

Sea un capacitor de armaduras de área A, separadas una distancia d. Si la carga de

cada armadura es Q, la densidad superficial de carga es: σ=Q/A (5.2)

Aplicando la ley de Gauss, se demuestra que el campo eléctrico entre las armaduras

vale:

E=σ/ε0 (5.3)

Suponiendo que el modulo del campo es constante entre las armaduras, la diferencia

de potencial entre ellas es:

V=E/d (5.4)

Combinando las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4), resulta V=Q.d/A.ε0

Luego, la capacitancia es:

C=Aε0/D (5.5)

CAPACITANCIA CON DIELECTRICO

Sean dos capacitores de armaduras paralelas exactamente iguales. En uno se pone un

dieléctrico entre las armaduras, y en el otro no se coloca nada. Si se aplica la misma


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diferencia de potencia a ambos, se comprueba experimentalmente que el capacitor

con dieléctrico adquiere una carga k veces mayor que el capacitor sin dieléctrico o sea:

Qd= k.q (5.6)

Donde k se lama constante dieléctrica del dieléctrico. Esta constante depende del

dieléctrico y su valor se obtiene de tablas, siendo 1 para el vacío, aproximadamente 1

para el aire, y mayor que 1 para los demás dieléctricos.

Teniendo en cuenta la ecuación de definición de capacitancia (C= q/V), y como la

diferencia de potencial V es la misma en ambos casos, resulta:

Cd= k.C (5.7)

O sea que “la capacitancia de un capacitor aumenta si se coloca un dieléctrico entre

sus armaduras”.

Se realiza otra experiencia, cargando ahora los capacitores hasta que adquieren la

misma carga. Se comprueba que para lograr lo anterior, al capacitor con dieléctrico

hay que aplicarle una diferencia de potencial k veces menor que al capacitor sin

dieléctrico, o sea:

Vd= V/k

Luego, lo mismo que antes, resulta que Cd=k. C

Esta conclusión, si bien se obtuvo para un capacitor de armaduras paralelas, es

general.

Lo anterior puede entenderse teniendo en cuenta lo que ocurre cuando se coloca un

dieléctrico en un campo eléctrico.

Sea un capacitor de armaduras paralelas cargado, y llamemos E al campo eléctrico

entre las armaduras cuando existe dieléctrico.

La redistribución de la carga causada por el campo origina la formación de una capa de

carga en cada superficie del material dieléctrico ( q·) , su densidad superficial de carga

se denota con ·. Las cargas no tienen libertad para moverse indefinidamente como lo

harían en un conductor porque cada una está unida a una molécula. En realidad se


21

llaman cargas ligadas (q·) para diferenciarlas de las cargas libres ( q) que se agregan y

se retiran de las placas conductoras de un capacitor y su densidad superficial de carga

se denota con En el interior del material, la carga neta por unidad de volumen

permanece igual a cero. Como se ha visto, esta redistribución de carga recibe el

nombre de polarización, y se dice que el material está polarizado. Al colocar un

dieléctrico entre las armaduras, el campo E provoca un reordenamiento de las cargas

de aquel. El dieléctrico, aunque sigue siendo eléctricamente neutro, se polariza,

acumulándose un exceso de carga positiva en un extremo, y de carga negativo en el

otro. Estas cargas originan un campo, E ,̓ opuesto a E.

Ahora, el campo resultante entre las armaduras, Ed, es:

Como 𝐸 y 𝐸′ tienen igual dirección y sentido contrario, el módulo de 𝐸𝑑 es:

𝐸

𝐸𝑑 𝐸′

𝐸𝑑 = 𝐸 + 𝐸′ (Suma vectorial)


22

Ed= E-E ̓

Luego, Ed<E, por lo tanto Vd<V, lo cual concuerda con el resultado experimental.

ASOCIAICON DE CAPACITORES

Existen dos tipos básicos de asociación: a) en paralelo. b) en serie.

Asociación en paralelo

La figura muestra tres capacitores, de capacitancias C1, C2 Y C3, conectados en paralelo.

Acá las diferencias de potencial entre armaduras son iguales para los tres capacitores, o sea:

V1=V2=V3=V, mientras que las cargas que adquieren ( q1, q2 y q3) son, en general, distintas.

Se llama capacitor equivalente a los asociados en paralelo, al capacitor único que,

cuando se le aplica la misma diferencia de potencial que a los anteriores, adquiere una

carga igual a la suma de la carga de aquellos, o sea que la capacitancia equivalente es.

C= q/V=(q1+q2+q3)/V=(q1/V1)+(q2/V2)+(q3/V3)

C=C1+C2+C3

En general: C=∑Ci (5.8)

Asociación en serie

←V1→ ←V2→ ←V3→

V


23

La figura muestra tres capacitores, de capacitancias C1, C2 y C3, CONECTADOS EN SERIE.

Aca la diferencias de potencial entre armaduras en general son distintas, mientras que

las cargas que adquieren son iguales (q1=q2=q3).

Se llama capacitor equivalente a los asociados en serie, al capacitor único que,

cuando se le aplica la misma diferencia de potencial que al conjunto de los anteriores

(V=V1+V2+V3), adquiere una carga igual a la de aquellos (q=q1=q2=q3), o sea que la

capacitancia equivalente es:

C=q/V= q/(V1+V2+V3)= 1/[(V1/C1)+(V2/C2)+(V3/C3)]

C=1/[(1/C1)+(1/C2)+(1/C3)]

1/C=(1/C1)+(1/C2)+(1/C3)

EN GENERAL: 1/C=∑(1/Ci) (5.9)

ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR

Un capacitor cargado tiene almacenada una energía potencial eléctrica (U) igual al

trabajo (W) que un agente externo realizo para cargarlo. Normalmente un capacitor se

carga conectándolo a una batería, que gasta parte de se energía química para realizar

el trabajo de carga.

Sea un capacitor en un proceso de carga, en el instante en el cual su carga es q y la

diferencia de potencial entre armaduras es V.

El trabajo que un agente exterior debe realizar para darle una carga adicional dq es, de

acuerdo a la definición de diferencia de potencial:

dW=Vdq


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Como V=q/C, resulta: dW=(q/C)dq

El trabajo para cargar totalmente al capacitor es, por lo tanto:

𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝑞

𝐶 𝑑𝑞 = 𝑄2/2𝐶

𝑄

0

Luego, la energía potencial eléctrica del capacitor es:

U=Q2/2C (5.10)

Combinando la (5.10) con la ecuación de definición de capacitancia, se puede

demostrar que:

U=CV2/2 (5.11) y U=Q.V/2 (5.12)

DENSIDAD DE ENERGIA

Sea un capacitor de placas planas y paralelas, de armaduras de área A, separadas una

distancia d. Se considera que la energía esta almacenada en el campo eléctrico, o sea

que está distribuida en un volumen igual a A.d

Luego, la densidad volumétrica de energía (energía por unidad de volumen) es:

E=U/A.d= CV2/2Ad (5.13)

Se vio que, en este caso, V=Ed

También se vio que la capacitancia del capacitor es:

C=kAε0/d

Reemplazando C y V en la ecuación (5.13), resulta:

E=kε0.E2/2 (5.14)

Si bien esta expresión se dedujo para un capacitor de armaduras paralelas, su validez

es general. Por lo tanto, en todo punto del espacio donde existe un campo eléctrico

hay almacenada una energía eléctrica, cuyo valor por unidad de volumen es el dado

por la ecuación (5.14).

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