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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS SOCIALES CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN FÍSICO MATEMÁTICAS MODALIDAD PRESENCIAL TEMA “APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN BÁSICA SUPERIOR DEL CENTRO EDUCATIVO 9 DE MAYO DE LA PARROQUIA EL RETIRO DEL PERIODO LECTIVO 2014 – 2015” AUTORES OCHOA RAMON ABIGAIL ALEXANDRA OCHOA RAMON GABRIEL ALEXANDER MACHALA – EL ORO – ECUADOR 2016
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS SOCIALES
CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MENCIÓN FÍSICO MATEMÁTICAS
MODALIDAD PRESENCIAL
TEMA
“APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS DE LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN BÁSICA
SUPERIOR DEL CENTRO EDUCATIVO 9 DE MAYO DE LA PARROQUIA EL
RETIRO DEL PERIODO LECTIVO 2014 – 2015”
AUTORES
OCHOA RAMON ABIGAIL ALEXANDRA
OCHOA RAMON GABRIEL ALEXANDER
MACHALA – EL ORO – ECUADOR
2016
II
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS SOCIALES
CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MENCIÓN FÍSICO MATEMÁTICAS
MODALIDAD PRESENCIAL
TEMA
“APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS DE LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN
BÁSICA SUPERIOR DEL CENTRO EDUCATIVO 9 DE MAYO DE
LA PARROQUIA EL RETIRO DEL PERIODO LECTIVO 2014 –
2015”
AUTORES OCHOA RAMON ABIGAIL ALEXANDRA
OCHOA RAMON GABRIEL ALEXANDER
TESIS DE GRADO
PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN CIENCIAS
DE LA EDUCACIÓN, MENCIÓN DOCENCIA EN FÍSICO MATEMÁTICO
TUTOR
ING. GREGORY NARANJO VACA
MACHALA – EL ORO – ECUADOR
III
IV
V
VI
DEDICATORIA
El trabajo de investigación que hemos realizado lo dedicamos en primer lugar a
Dios que es quien nos brinda la fortaleza y salud para poder alcanzar nuestras
metas, a nuestros padres, familiares y amigos quienes con su apoyo
incondicional han ayudado para la culminación de nuestra carrera.
Abigail Alexandra Ochoa Ramón
Gabriel Alexander Ochoa Ramón
VII
AGRADECIMIENTO
Como una forma de reconocer el apoyo brindado para la realización de la
presente tesis es menester extender nuestros sinceros agradecimientos al:
Ing. Gregory Naranjo, nuestro tutor, quien con sus conocimientos y
orientaciones permitió la culminación exitosa del proceso investigativo
A la Universidad Técnica de Machala por habernos permitido ser parte de ella y
obtener una carrera profesional.
Y a todas las personas que de alguna u otra forma hicieron posible la
realización de esta tesis.
Gracias
VIII
INDICE GENERAL
CONTENIDO Pág.
CERTIFICACIÓNCESION III CESION DE DERECHO DE AUTORIA Y PUBLICACION
RESPONSABILIDAD IV V
DEDICATORIA V AGRADECIMIENTO VI RESUMEN EJECUTIVO XI ABSTRACT XII INTRODUCCIÓN
XIII
1. EL PROBLEMA OBJETO DE ESTUDIO 15
1.1 Planteamiento del problema de investigación 15
1.2 Localización del problema objeto de estudio 15
1.3 Justificación 16
1.4 Sistematización del problema 17
1.4.1 Problema central 17
1.4.2 Problemas complementarios 17
1.5. Objetivos de la investigación 17
1.5.1 Objetivo general 17
1.5.2 Objetivos específicos 17
2. MARCO TEÓRICO Y REFERENCIAL 18
2.1 Enseñanza de las matemáticas 18
2.1.1 Teorías aplicadas al proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática
19
2.1.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de las matemáticas
20
2.1.3 Sentido de las estrategias metodológicas 21
2.1.4 Naturaleza de las estrategias metodológicas 21
2.1.5. Importancia de las estrategias metodológicas 22
2.1.6 Estrategias metodológicas para la enseñanza aprendizaje de las matemáticas
22
2.1.6.1 Resolución de problemas 22
2.1.6.2 Actividades lúdicas 26
2.1.6.3. Modelaje 26
2.1.6.4 Grupos cooperativos de aprendizaje 28
2.1.6.5 El Proyecto como estrategia en el área de matemáticas 30
2.2 Marco contextual 32
2.2.1 Nombre de la institución 32
2.2.2 Ubicación 32
2.2.3 Infraestructura 32
2.2.4 Recursos Humanos 33
2.3 Marco administrativo legal 33
2.3.1 La constitución en el ámbito de derechos y responsabilidades.
33
2.3.2 Código de la Niñez y Adolescencia 34
IX
3. METODOLOGÍA 35
3.1 Análisis crítico del problema de investigación 35
3.1.1 Descripción del problema 35
3.1.2. Formulación de hipótesis 36
3.1.2.1. Hipótesis central 36
3.1.2.2. Hipótesis particulares 36
3.2. Operacionalización de variables 37
3.2.1. Identificación y conceptualización de variables 37
3.2.2. Variables e indicadores 38
3.2.3. Selección de técnicas de investigación 39
3.3. Población y muestra 40
3.3.1 Identificación y descripción de unidades de investigación
40
3.3.2 3.3.2 Estimación del tamaño y distribución de la muestra 40
3.4 Características de la investigación 41
3.4.1 Recorrido del proceso metodológico operacional 41
3.4.2 Nivel o alcance de la investigación 42
3.4.3 Modalidad de la investigación 42
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN DE CAMPO
43
4.1. RESULTADOS DE LA ENTREVISTA APLICADA A LOS DOCENTES
43
4.1.1. Causas del bajo rendimiento escolar en la asignatura de matemáticas
43
4.1.2. Conocimiento científico, pedagógico y metodológico de los docentes de matemáticas
43
4.1.3. Tipo de aprendizaje que adquieren los alumnos en el área de matemáticas
44
4.1.4. Estrategias metodológicas para enseñar y aprender matemáticas
45
4.1.5. Importancia de la parte afectiva y motivacional en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas
45
4.1.6. Adquisición de aprendizajes significativos en la asignatura de matemáticas
46
4.2. RESULTADOS DE LA ENCUESTA APLICADA A LOS ESTUDIANTES
47
4.3. VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS 55
4.4. CONCLUSIONES 56
4.5. RECOMENDACIONES 56
5. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN 58 5.1. TÍTULO 58 5.2. ANTECEDENTES 58 5.3. UBICACIÓN 59 5.4. BENEFICIARIOS 59
5.5. JUSTIFICACIÓN 59 5.6. OBJETIVOS 60 5.6.1. OBJETIVO GENERAL 60
X
5.6.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 60 5.7. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 61 5.8. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA PROPUESTA 64
5.9. ACTIVIDADES 64
5.10. RECURSOS 65
5.11. CRONOGRAMA 65 5.12. PRESUPUESTO 66 5.13. ORGANIZACIÓN 67 5.14. ESTRATEGIAS DE IMPLEMENTACIÓN 68 5.15. EVALUACIÒN 69 5.16. 5.17 5.17.
EL MANUAL BIBLIOGRAFIA ANEXOS
70 138 141
XI
INCIDE DE CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
No. TÍTULO DEL CUADRO Y GRÁFICO
Pág.
1 TIPOS DE APRENDIZAJE ADQUIRIDOS POR LOS ESTUDIANTES EN RELACIÓN A LAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
47
2 NIVEL DE INTERES DE LOS ESTUDIANTES EN RELACIÓN A LAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
48
3 MÉTODOS MÁS UTILIZADOS EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
49
4 TÉCNICAS MÁS UTILIZADAS POR EL DOCENTE EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
50
5 ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS QUE APLICAN FRECUENTEMENTE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA
51
6 NIVEL DE DESARROLLO DEL PESAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EN LOS ESTUDIANTES
52
7 PARTICIPACIÓN ESTUDIANTIL EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
53
8 ACTIVIDADES QUE REALIZAN LAS ESTUDIANTES EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
54
XII
RESUMEN EJECUTIVO
El desarrollo de la presente tesis titulada: “APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS DE
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES DE
EDUCACIÓN BÁSICA SUPERIOR DEL CENTRO EDUCATIVO 9 DE MAYO
DE LA PARROQUIA EL RETIRO DEL PERIODO LECTIVO 2014 – 2015”,
consiste en un trabajo de investigación orientado determinar las validez de las
estrategias de enseñanza utilizadas en la asignatura de matemáticas en los años de
educación básica superior; para lo que se desarrolló un proceso metodológico
fundamentado en los métodos inductivo, deductivo, descriptivo, estadístico e
hipotético, los mismos que se apoyaron en las técnicas de la observación, entrevista y
encuesta.
La modalidad de investigación fue diagnóstica y propositiva, de tipo bibliográfica y de
campo ya que se consultaron textos científicos actualizados y además se procedió a
aplicar instrumentos de investigación en el lugar donde se presentó la problemática
objeto de estudio. El universo de investigación estuvo conformado por 240
estudiantes y 4 docentes del área de matemáticas.
Este proceso de investigación permitió concluir que las estrategias de enseñanza
utilizadas en el proceso de aprendizaje en Educación Básica Superior, es
tradicionalista debido a la falta de capacitación de los docentes en el área de
matemáticas.
PALABRAS CLAVES: estrategias metodologías, proceso enseñanza aprendizaje,
matemáticas.
XIII
ABSTRACT
The development of this thesis entitled "APPLICATION OF STRATEGIES OF
TEACHING MATHEMATICS OF BASIC HIGHER EDUCATION STUDENTS OF
SCHOOLS MAY 9 PARISH RETREAT the school period 2014-2015" it consists
of a research paper aimed to determine the validity of the teaching strategies
used in the mathematics in the years of high school education; for which a
methodological process based on inductive, deductive, descriptive statistical
methods and hypothetical, the same as those supported in the techniques of
observation, interviews and survey was developed.
The research was diagnostic mode and purposeful, bibliographic and field type
as updated scientific texts were consulted and also proceeded to apply
research instruments where was presented the problem under study. The
research universe consisted of 240 students and 4 teachers in the area of
mathematics.
This research process led to the conclusion that the teaching strategies used in
the learning process in Basic Education Superior, a traditionalist because of
lack of teacher training in the area of mathematics.
KEYWORDS: strategies, methodologies, teaching and learning process,
mathematics.
XIV
INTRODUCCIÓN
La preocupación por la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas va en
aumento en nuestro contexto, los congresos, jornadas y conferencias cuyo eje central
es cómo, cuándo y qué se debe enseñar (y aprender) en esta área son constantes.
Pero hay unas cuestiones que deben preocupar más al futuro maestro; como por
ejemplo, el proceso de estrategias metodológicas mediante el cual el estudiante
aprende y obtiene aprendizajes significativos en el área de Matemáticas
En este contexto surge la Tesis titulada “APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS DE LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES DE
EDUCACIÓN BÁSICA SUPERIOR DEL CENTRO EDUCATIVO 9 DE MAYO
DE LA PARROQUIA EL RETIRO DEL PERIODO LECTIVO 2014 – 2015” la
misma que se ha estructurada en los siguientes apartados:
En el primer apartado denominado EL PROBLEMA OBJETO DE ESTUDIO, se
describe el problema de investigación, localización del problema objeto de estudio, la
justificación, sistematización del problema y objetivos.
En el segundo apartado, MARCO TEÓRICO Y REFERENCIAL, hace referencia
bibliográfica sobre razonamiento, matemático, el proceso de enseñanza aprendizaje,
el pensamiento, entre otros, además también encontramos el marco teórico contextual
de la institución con temas como origen y creación, visión, misión, objetivos, entre
otros aspectos y por último el marco administrativo legal donde se encuentran los
reglamentos, estatutos, entre otros.
En el tercer apartado, denominado METODOLOGÍA, hace referencia a los procesos
metodológicos utilizados para la identificación de variables e indicadores, además de
la selección de técnicas de investigación, la delimitación del universo y muestra, el tipo
de análisis que se realizó.
El cuarto apartado, ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA
INVESTIGACIÓN DE CAMPO, presenta la información obtenida de forma cuantitativa
XV
y cualitativa, a través de cuadros y gráficos estadísticos en conformidad con los
objetivos, variables y las hipótesis que se plantearon y por ultimo las conclusiones y
recomendaciones.
El quinto apartado, presenta la PROPUESTA DE INTERVENCIÓN que sintetiza el
aporte que la presente investigación ofrece a la colectividad educativa a través de un
manual de apoyo docente para la aplicación de estrategias metodológicas activas y la
adquisición de aprendizajes significativos
16
1. EL PROBLEMA OBJETO DE ESTUDIO
1.1. Planteamiento del problema de investigación
Tradicionalmente, las matemáticas es la asignatura que infunde mayor temor entre los
estudiantes; los métodos habituales de transmisión del saber y las diversas no
producen los resultados esperados.
En la enseñanza tradicional de las matemáticas el profesor es el cimiento y condición
del éxito educativo, a él le corresponde organizar el conocimiento, aislar y elaborar lo
que debe ser aprendido, trazar el camino por el que marcharán sus alumnos. El
profesor es modelo y guía, al que se debe imitar y obedecer.
El método de enseñanza es el mismo para todos los alumnos y en todas las
ocasiones. El repaso entendido como la repetición de lo que el maestro dijo, tiene un
papel fundamental en ese método.
Por consiguiente es muy importante considerar dentro del acto didáctico los procesos
de enseñar a pensar y de enseñar a aprender, basados en estrategias metodológicas
que fomenten la adquisición de aprendizajes significativos, frente al número
considerable de estudiantes con bajo rendimiento en esta área que desemboca en la
pérdida del año escolar.
1.2. Localización del problema objeto de estudio
El problema objeto de estudio se encuentra localizado en:
Provincia: El Oro
Cantón: Machala
Parroquia: El Retiro
Institución: Red Autónoma Rural Centro Educativo Escuela “9 de Mayo”
17
1.3. Justificación
El presente trabajo tiene como propósito contribuir a la formación integral del
estudiante en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la
interpretación del medio que lo rodea, tomando en cuenta el desarrollo científico y
tecnológico dentro del campo educativo y los persistentes cambios que ha tenido el
mundo en los últimos años, lo que implica una constante innovación y búsqueda de
actuales modelos educativos, superando las diferentes pedagogías tradicionales e
incorporando al proceso de enseñanza – aprendizaje, métodos alternativos dentro del
campo de la matemática.
Al difundir nuestra investigación y propuesta el docente va a generar
una actitud favorable hacia la matemática haciendo posible que el educando adquiriera
conocimientos, habilidades y destrezas que van a contribuir a un desarrollo intelectual
armónico, permitiéndole su incorporación a la vida cotidiana, individual y social.
La matemática implica la consideración de una nueva visión para sustituir y revisar la
planificación de estrategias que se han venido haciendo hasta ahora, así como
también las creencias que han influido sobre ellas. Se apoya en un conjunto
de teorías, métodos y procedimientos para alcanzar una visión compleja y
comprometida de la realidad; educar para la vida.
El presente estudio estará basado en investigaciones y teorías referidas a la
planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática que deben tener
presente para desarrollar contenidos de manera que el estudiante desarrolle su
capacidad lógica aplicando el reforzamiento e incrementando su creatividad, aprenda
a utilizar los textos de forma correcta, en una adecuada interrelación docente-
estudiante que guie la práctica pedagógica. Esto contribuirá a que se fomente una
serie de capacidades, acciones y pensamientos que se interrelacionan en los aspectos
individuales y sociales de la educación.
Esta investigación es de transcendental importancia ya que permite guiar al docente
con estrategias sencillas y adecuadas en el proceso de enseñanza – aprendizaje en el
área de matemática, así contribuiremos humilde y sencillamente con un granito de
arena a los estudiantes de Educación Básica Superior a mejorar la calidad educativa
en la asignatura antes mencionada.
18
1.4. Sistematización del problema
1.4.1. Problema central
¿Qué tipo de estrategias de enseñanza utilizan los docentes del área de matemáticas
para que los estudiantes de Educación Básica Superior del Centro Educativo “9 de
mayo” de la Parroquia El Retiro obtengan un aprendizaje significativo?
1.4.2. Problemas complementarios
¿Qué estrategias metodológicas designan los docentes en el proceso enseñanza-
aprendizaje en el área de matemáticas?
¿Qué nivel de conocimiento tienen los docentes del área de matemáticas acerca
de estrategias metodológicas para obtener aprendizajes significativos?
¿Qué tipo de aprendizajes generan en los estudiantes las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes del área de matemáticas?
1.5. Objetivos de la investigación
1.5.1. Objetivo general
Determinar el tipo de estrategias de enseñanza que utilizan los docentes del área de
matemáticas para que los estudiantes de Educación Básica Superior del Centro
Educativo “9 de mayo” de la Parroquia El Retiro obtengan un aprendizaje significativo
1.5.2. Objetivos específicos
Describir las estrategias metodológicas que designan los docentes en el proceso
enseñanza-aprendizaje en el área de matemáticas.
Establecer el nivel de conocimiento que tienen los docentes del área de matemáticas
acerca de estrategias metodológicas para obtener aprendizajes significativos.
Puntualizar el tipo de aprendizajes que generan en los estudiantes las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes del área de matemáticas.
19
2. MARCO TEÓRICO Y REFERENCIAL
2.1. Enseñanza de las matemáticas
Las matemáticas a través de los siglos, ha jugado un papel relevante en la educación
intelectual de la humanidad. Las matemáticas son lógica, precisión, rigor, abstracción,
formalización y belleza, y se espera que a través de esas cualidades se alcance la
capacidad de discernir lo esencial de lo accesorio, el aprecio por la obra
intelectualmente bella y la valoración del potencial de la ciencia.
La actividad matemática no sólo contribuye a la formación de los estudiantes en el
ámbito del pensamiento lógico-matemático, sino en otros aspectos muy diversos de la
actividad intelectual como la creatividad, la intuición, la capacidad de análisis y de
crítica. También puede ayudar al desarrollo de hábitos y actitudes positivas frente al
trabajo, favoreciendo la concentración ante las tareas, la tenacidad en la búsqueda de
soluciones a un problema y la flexibilidad necesaria para poder cambiar de punto de
vista en el enfoque de una situación. Así mismo, y en otro orden de cosas, una
relación de familiaridad y gusto hacia las matemáticas puede contribuir al desarrollo de
la autoestima, en la medida en que el educando llega a considerarse capaz de
enfrentarse de modo autónomo a numerosos y variados problemas.
Tal como se estipula en los fines de la Educación, las matemáticas son importantes
porque busca desarrollar la capacidad del pensamiento del estudiante, permitiéndole
determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva,
potenciar su razonamiento y su capacidad de acción; promover la expresión,
elaboración y apreciación de patrones y regularidades, así como su combinación para
obtener eficacia; lograr que cada estudiante participe en la construcción de su
conocimiento matemático; estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la
participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas. La
importancia de las matemáticas, se refleja en cada una de las actividades del ser
humano, las matemáticas son útiles para que el hombre desarrolle su creatividad
tecnológica y obtenga maneras de vivir mejor, y en la sede la Laguna, los docentes y
comunidad educativa en general, afirmaron que las matemáticas es el área más
importante dentro de la programación académica, y el estudiante que le gusta las
matemáticas, da mejores resultados en toda las otras actividades escolares, porque
desarrolla el pensamiento crítico - social, crea hábitos de responsabilidad y
honestidad; de igual manera se vuelve competente en su contexto.
20
2.1.1. Teorías aplicadas al proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática
La Teoría conductista se concentra en el estudio de conductas que pueden observar
y medir en el sentido de que las respuestas a estímulos se pueden observar
cuantitativamente ignorando totalmente la posibilidad de todo proceso que pueda
darse en el interior de la mente según Pavlov, Watson, Thorndike y Skinner.
La Teoría cognitivista afirma que el conocimiento no es una simple acumulación de
datos. “La esencia del conocimiento es la estructura: elementos de información
conectados por relaciones, que forman un todo organizado y significativo” (ABELI,
2005, pág. 28). Esta teoría indica que, en general, la memoria no es fotográfica.
Normalmente no hacemos una copia exacta del mundo exterior almacenando
cualquier detalle o dato. En cambio, tendemos a almacenar relaciones que resumen la
información relativa a muchos casos particulares. De esta manera, la memoria puede
almacenar vastas cantidades de información de una manera eficaz y económica.
La Teoría constructivista. “El constructivismo término utilizado por Piaget significa
que el sujeto, mediante su actividad (tanto física como mental) va avanzando en el
progreso intelectual en el aprendizaje; pues el conocimiento para el autor no está en
los objetos ni previamente en nosotros es el resultado de un proceso de construcción
en el que participa de forma activa la persona.” (SÁNCHEZ Iniesta, 2004, pág. 36)En
esta teoría se hace más importancia al proceso interno de razonar que a la
manipulación externa en la construcción del conocimiento; aunque se reconoce la
mutua influencia que existe entre la experiencia de los sentidos y de la razón.
Piaget quiso demostrar que el aprendizaje no se produce por acumulación de
conocimiento, como pretendían los empiristas sino porque existen mecanismos
internos de asimilación y acomodación.
Para la asimilación es establecimiento de relaciones entre los conocimientos previos y
los nuevos; para la acomodación es la reestructuración del propio conocimiento.
Piaget, establece la diferencia entre el aprendizaje en sentido restringido, cuando se
adquiere nuevos conocimientos a partir de la experiencia y el aprendizaje en sentido
amplio, en este caso se refiere a la adquisición de técnicas o instrumento de
conocimiento.
21
Podemos resumir el pensamiento de Piaget, en relación con el aprendizaje del
siguiente modo:
Es un proceso de construcción activa por parte del sujeto, el cual mediante su
actividad física y mental determina sus reacciones ante la estimulación ambiental.
No depende sólo de la estimulación externa, también está determinado por el nivel
de desarrollo del sujeto.
Es un proceso de reorganización cognitiva.
Las relaciones sociales favorecen el aprendizaje, siempre que produzca
contradicciones que obliguen al sujeto a reestructurar sus conocimientos.
La experiencia física es una condición necesaria para que se produzca el
aprendizaje, pero no es suficiente, se necesita además la actividad mental.
La Teoría del aprendizaje significativo. Ausubel plantea que “el aprendizaje del
alumno depende de la estructuras cognitiva previas que se relaciona con la nueva
información, al conjunto de conceptos, ideas de un individuo posee en un determinado
campo del conocimientos así como su organización.” (GIMENOS, 2009, pág. 52)
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información se conecta con un
nuevo concepto relevante pre existente en la estructura cognitiva esto implica que las
nueva ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente.
Una relación sustantiva porque no es arbitraria, no es memorizada; sino
construido otorgándole significatividad.
Es transferible a nuevas situaciones, para solucionar nuevos problemas.
Motiva a nuevos aprendizajes, nuevos deseos de aprender.
Moviliza la actividad interna que es lo que permite relacionar los nuevos
contenidos y procedimientos con los disponibles en la estructura interna.
2.1.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de las matemáticas
Estrategia es el conjunto de métodos, técnicas, acciones, recursos y procedimientos,
utilizados racionalmente para lograr un objetivo propuesto.
Estrategia metodológica es el conjunto de métodos, técnicas y procedimientos que el
docente utiliza en clase para desarrollar las capacidades, a partir del desarrollo de
22
destrezas y habilidades que conforman cada una de ellas. Se refieren a las
intervenciones pedagógicas realizadas con la intención de potenciar y mejorar los
procesos espontáneos de aprendizaje y de enseñanza, como un medio para contribuir
a un mejor desarrollo de la inteligencia, la afectividad, la conciencia y las competencias
para actuar socialmente.
Según Nisbet Schuckermith (1987) son procesos ejecutivos mediante los cuales se
eligen, coordinan y aplican las habilidades. Se vinculan con el aprendizaje significativo
y con el aprender a aprender.
2.1.3. Sentido de las estrategias metodológicas
“Estudios realizados acerca de la educación tradicional, arrojan resultados negativos,
los que se pueden resumir en una enseñanza receptiva, memorística, mecánica y
autoritaria; la escuela lejos de convertirse en un ambiente placentero y grato, se
convierte en un ambiente hostil, obligando a que el niño asista presionado por sus
padres antes que por el interés propio.” (TORANZOS, 2003, pág. 127)
Frente a esta problemática, surgen las estrategias metodológicas como un conjunto
coherente de acciones que realiza el docente, y que le permite crear condiciones
óptimas para que los estudiantes desplieguen una actividad mental constructiva rica y
diversa basada en los conocimientos previos que poseen los alumnos posibilitando el
desarrollo individual y social, ofreciendo a los estudiantes la posibilidad de ser
gestores de sus aprendizajes reales y significativos y dejar atrás viejas prácticas
educativas.
2.1.4. Naturaleza de las estrategias metodológicas
“Las estrategias metodológicas permiten identificar principios, criterios y
procedimientos que configuran la forma de actuar del docente en relación con la
programación, implementación y evaluación del proceso de enseñanza
aprendizaje.” (GIMENOS, 2009, pág. 29) La naturaleza de las estrategias se puede
identificar con un cierto plan de acción que facilita el aprendizaje del estudiante y
tiene, un carácter intencional y propósito.
23
2.1.5. Importancia de las estrategias metodológicas
Las estrategias metodológicas son importantes debido a que permiten una mayor
riqueza perceptiva, una mayor motivación y una mejor adecuación a las diferencias
individuales de los estudiantes, además permite que el alumno como actúe como
un agente activo en las acciones de aprendizaje y potenciar el campo perceptivo:
mayor almacenaje de la información, fluidez en su recuperación, integración,
transferencia de los aprendizajes
2.1.6. Estrategias metodológicas para la enseñanza aprendizaje de las
matemáticas
Existen varias estrategias metodológicas para la enseñanza de la matemática como
resolución de problemas, actividades lúdicas y modelaje, entre otras las cuales están
desarrolladas con la preocupación de proponer el uso de recursos variados que
permitan atender a las necesidades y habilidades de los diferentes estudiantes,
además de incidir en aspectos tales como: (GIMENOS, 2009, pág. 18)
• Potenciar una actitud activa.
• Despertar la curiosidad del estudiante por el tema.
• Debatir.
• Compartir el conocimiento con el grupo.
• Fomentar la iniciativa y la toma de decisión.
• Trabajo en equipo
2.1.6.1. Resolución de problemas
Al resolver problemas se aprende a matematizar, lo que es uno de los objetivos
básicos para la formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza,
tornándose más perseverantes y creativos y mejorando su espíritu investigador,
proporcionándoles un contexto en el que los conceptos pueden ser aprendidos y las
capacidades desarrolladas. Por todo esto, la resolución de problemas está siendo muy
estudiada e investigada por los educadores.
Su finalidad no debe ser la búsqueda de soluciones concretas sino facilitar el
desarrollo de las capacidades básicas, de los conceptos fundamentales y de las
24
relaciones que pueda haber entre ellos. Entre las finalidades de la resolución de
problemas tenemos: (JONES, 2010, pág. 251)
Hacer que el estudiante piense productivamente.
Desarrollar el razonamiento.
Enseñar a enfrentar situaciones nuevas.
Dar la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la matemática.
Hacer que las sesiones de aprendizaje de matemática sean más interesantes y
desafiantes.
Equipar al estudiante con estrategias para resolver problemas.
Dar una buena base matemática.
La resolución de problemas matemáticos tiene algunas propuestas sobre su
enseñanza, distinguiendo diversas fases en el proceso de resolución, entre las cuales
podemos citar las de Dewey, Pólya, De Guzmán y Schoenfeld.
John Dewey (1933) señala las siguientes fases en el proceso de resolución de
problemas: (REYNOLDS, 2006, pág. 71)
1) Se siente una dificultad: localización de un problema.
2) Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto.
3) Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución.
4) Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.
5) Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.
El plan de George Pólya (1945) contempla cuatro fases principales para resolver un
problema: (POLYA, 2007, pág. 769)
1) Comprender el problema.
2) Elaborar un plan.
3) Ejecutar el plan.
4) Hacer la verificación.
25
Miguel de Guzmán (1994) presenta el siguiente modelo: (RILCH, 2003, pág. 24)
1) Familiarizarse con el problema.
2) Búsqueda de estrategias.
3) Lleva adelante tu estrategia.
4) Revisa el proceso y saca consecuencias de él.
La resolución de problemas, según Alan Schoenfeld (1985)
“Este investigador se considera continuador de la obra de Pólya, sin embargo sus
trabajos están enmarcados en otra corriente psicológica, la del procesamiento de la
información. Sus investigaciones se han centrado en la observación de la conducta de
expertos y novicios resolviendo problemas.” (MONEREO, 2004, pág. 59)
Su trabajo juega un papel importante en la implementación de las actividades
relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las
matemáticas y se fundamenta en las siguientes ideas: En el salón de clase hay que
propiciar a los estudiantes condiciones similares a las condiciones que los
matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo de esta ciencia.
Para resolver problemas, necesitamos desarrollar determinadas estrategias que, en
general, se aplican a un gran número de situaciones. Este mecanismo ayuda en el
análisis y en la solución de situaciones donde uno o más elementos desconocidos son
buscados
Es importante que los estudiantes perciban que no existe una única estrategia, ideal e
infalible de resolución de problemas. Asimismo, que cada problema amerita una
determinada estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias
estrategias.
Algunas de las que se pueden utilizar son: (REYNOLDS D. y., 2006, pág. 71)
Tanteo y error organizados. Consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y
aplicar las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar
el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible.
Después de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en
consideración los ensayos ya realizados.
26
Resolver un problema similar más simple.- Para obtener la solución de un
problema muchas veces es útil resolver primero el mis problema con datos más
sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del problema
planteado, más complejo.
Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla.- En otros problemas se
puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un dibujo, esquema o diagrama; es
decir, si se halla la representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho
mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.
Buscar regularidades o un patrón.- Esta estrategia empieza por considerar algunos
casos particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solución general que sirva
para todos los casos. Es útil cuando el problema presenta secuencias de números o
figuras. Lo que se hace es usar el razonamiento inductivo para una generalización.
Trabajar hacia atrás.- Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema
implica un juego con números. Se empieza a resolverlo con sus datos finales,
realizando las operaciones que deshacen las originales.
Imaginar el problema resuelto.- En los problemas de construcciones geométricas es
muy útil suponer el problema resuelto. Para ello se traza una figura aproximada a la
que se desea.
Utilizar el álgebra para expresar relaciones.- Para relacionar algebraicamente los
datos con las condiciones del problema primero hay que nombrar con letras cada uno
de los números desconocidos y en seguida expresar las condiciones enunciadas en el
problema mediante operaciones, las que deben conducir a escribir la expresión
algebraica que se desea.
27
2.1.6.2. Actividades lúdicas
“Las estrategias metodológicas para la enseñanza de las matemáticas a través del
juego permiten al docente que el educando se apropie de los conocimientos de
manera significativa. De este modo se puede afirmar que el aprendizaje se logra para
la vida.” (GRUNFELD, 2008, pág. 187)
Es fundamental conocer estrategias que sean atrayentes, innovadoras que estimulen a
alumnos y alumnas, ya que de esta forma existirán altos niveles de disposición hacia
la enseñanza - aprendizaje de las matemáticas.
En el proceso de adquisición de conceptos se hace necesario innovar en la
enseñanza, por esto, la técnica de los juegos permite a través de niveles de
aprendizaje, desarrollar una comprensión entretenida de los contenidos. Por esta
razón, los juegos pueden ser útiles para presentar contenidos matemáticos, para
trabajarlos en clase y para afianzarlos. En este contexto los juegos pueden ser
utilizados para motivar, despertando en los alumnos el interés por lo matemático y
desarrollando la creatividad y habilidades para resolver problemas.
2.1.6.3. Modelaje
Tradicionalmente se presentan los problemas prácticos, aquellos relacionados con la
realidad, en forma de tareas verbales. Esto no significa un capricho por parte de los
docentes de matemáticas o de los autores de materiales instruccionales como libros
de texto, por ejemplo. Constituyen la esencia de las aplicaciones, ya que según Ole
Skovsmose y Hans Freudenthal, por citar dos autores conocidos en el campo de la
aplicaciones y la modelación matemática, la realidad está escrita en un lenguaje
natural, complejo y fenomenológico la cual hay que expresarla necesariamente en el
lenguaje materno manejado por los participantes en los cursos de matemáticas.
Existe poca familiaridad, tanto de los docentes como de los estudiantes, con una
educación matemática que exija el manejo de diferentes formas de lenguaje, desde la
construcción verbal de un problema a partir de una situación realista, pasando por el
manejo correcto del lenguaje escrito, hasta el manejo adecuado del lenguaje
algorítmico de aquellos contenidos matemáticos necesarios para la solución de la
problemática original y la presentación, usando diferentes tipos de lenguaje, de los
resultados definitivos.
28
Un objetivo de la educación matemática radica, precisamente, en desarrollar
capacidades y habilidades en los estudiantes para que se desenvuelvan exitosamente
dentro de esta variedad de lenguajes que están presentes explícita o implícitamente
en la solución de un problema realista. Allí podemos observar que se trata realmente
de un proceso de cambio o traducción entre varios tipos o formas de lenguaje.
Los problemas prácticos se presentan, casi siempre, en forma de situaciones
especiales complejas, éstas tienen que cumplir, según la opinión generalizada de la
mayor parte de los autores que han teorizado sobre esta materia, los siguientes
requisitos:
Las situaciones y las informaciones tienen que ser reales; es decir, ellas deben
provenir de la vida genuina y de fenómenos verdaderos.
Las situaciones problemáticas tienen que ser claramente entendidas por todos los
estudiantes.
Las situaciones iniciales deben contener, en lo posible, informaciones ricas en
contenidos interesantes para los estudiantes e incluir diversas interrogantes, lo
cual permitirá un trabajo diversificado y diferenciado de acuerdo con las
características del curso.
Las situaciones realistas deben, en lo posible, incorporar otras áreas del
conocimiento científico, lo cual posibilita una educación matemática holística y
temática.
Las situaciones realistas deben permitir el tratamiento de amplios y variados
contenidos matemáticos en correspondencia con el grado donde se desarrolla el
proceso de aprendizaje y enseñanza.
Para facilitar el trabajo con los estudiantes dentro de esta concepción didáctica se
recomienda, por una parte, seguir alguno de los diversos modelos existentes en la
respectiva literatura sobre el proceso de modelación matemática. El más conocido
consiste en cuatro momentos (análisis de la situación real, elaboración del modelo
real, construcción del modelo matemático y resultados matemáticos) y cinco fases
(idealización, matematización, trabajo matemático, interpretación de los resultados y
validación). En cada uno de los cuatro momentos interviene una forma de lenguaje, En
segundo lugar, se recomienda dentro de esta perspectiva didáctica, la elaboración de
esquemas estructurales conceptuales, lo cual ayudará en la construcción de
relaciones matemáticas tales como funciones o fórmulas que explican compactamente
la situación real originalmente planteada.
29
2.1.6.4. Grupos cooperativos de aprendizaje
“Hay que reconocer que la enseñanza debe individualizarse en el sentido de permitir a
cada alumno trabajar con independencia y a su propio ritmo. Pero es necesario
promover la colaboración y el trabajo grupal, ya que este establece mejores relaciones
con los demás alumnos, aprenden más, les agrada la escuela, se sienten más
motivados, aumenta su autoestima y aprenden habilidades sociales más efectivas al
hacer en grupos cooperativos.” (REYNOLDS D. , 2006, pág. 91)
Cooperar es trabajar juntos para lograr metas compartidas. El aprendizaje cooperativo
se caracteriza por dos aspectos: un elevado grado de igualdad y un grado de
mutualidad variable. No todo grupo de trabajo es un grupo de aprendizaje
cooperativo. En los grupos de trabajo tradicionales algunos alumnos habilidosos en lo
que asumen un liderazgo solo ellos se benefician de la experiencia a expensas de los
miembros menos habilidosos. Solo algunos son los que trabajan académicamente y
otros cubren funciones de apoyo (fotocopiado o escriben a máquina).
Hay componentes esenciales del aprendizaje cooperativo como lo son: (SÁNCHEZ
Iniesta, 2004, pág. 271)
“Interdependencia Positiva: se proporcionan apoyo, coordinan sus esfuerzos y
celebran junto su éxito. Su frase Todos para uno y uno para todos.
Interacción cara a cara: se necesita de gente talentosa, que no puede hacerlo sólo.
Aquí se realizan actividades centrales donde se promueve el aprendizaje significativo
en donde hay que explicar problemas, discusiones, explicación, etc.
Valoración personal-responsabilidad: aquí se requiere fortalecer académicamente y
afectivamente al grupo. Se requiere de una evaluación en cuanto al esfuerzo del grupo
y proporcionar retroalimentación en el ámbito individual o grupal.”
A continuación se describen los pasos que permiten al docente estructurar el proceso
de Enseñanza-Aprendizaje cooperativo:
30
1) Especificar objetivos de enseñanza.
2) Decidir el tamaño del grupo.
3) Asignar estudiantes a los grupos.
4) Preparar o condicionar el aula.
5) Planear los materiales de enseñanza.
6) Asignar los roles para asegurar la interdependencia.
7) Explicar las tareas académicas.
8) Estructurar la meta grupal de interdependencia positiva.
9) Estructurar la valoración individual.
10) Estructurar la cooperación inter-grupo.
11) Explicar los criterios del éxito.
12) Especificar las conductas deseadas.
13) Monitorear la conducta de los estudiantes.
14) Proporcionar asistencia con relación a la tarea.
15) Intervenir para enseñar con relación a la tarea.
16) Proporcionar un cierre a la lección.
17) Evaluar la calidad y cantidad de aprendizaje de los alumnos.
18) Valorar el funcionamiento del grupo.
De acuerdo a estos pasos el profesor puede trabajar con cinco tipos de actividades:
Especificar con claridad los propósitos del curso o lección.
Tomar ciertas decisiones en la forma de ubicar a los alumnos en el grupo.
Explicar con claridad a los estudiantes la tarea y la estructura de meta.
Monitorear la efectividad de los grupos.
Evaluar el nivel de logros de los alumnos y ayudarles a discutir, que también hay
que colaborar unos a otros.
31
2.1.6.5. El Proyecto como estrategia en el área de matemáticas
La estructuración de proyectos en los centros escolares influye considerablemente en
el éxito como estrategia didáctica. Existen diferentes variaciones en cuanto a las fases
que deberían conformar un proyecto. La mayor parte de los autores coinciden en
señalar las siguientes como las más importantes: (ABELI, 2005, pág. 48)
Iniciativa del proyecto.- Con cierta frecuencia, las ideas e iniciativas que preceden el
trabajo pedagógico mediante el método por proyectos surgen de los docentes. Sin
embargo, algunos autores insisten en que la iniciativa debe provenir de los propios
estudiantes. Otros incluyen también a los padres o demás miembros de la comunidad
escolar y extra escolar como impulsores de temáticas que deben ser trabajadas como
proyectos generadores.
Lo importante es que los temas que se trabajarán, dentro de esta perspectiva, sean
del interés de la mayor parte de los estudiantes y se relacionen con sus experiencias,
lo cual podría motivarlos para el desarrollo exitoso de los aprendizajes.
Discusión previa sobre el proyecto seleccionado.- Cada participante en un
determinado proyecto debe tener la posibilidad de expresar su opinión o punto de vista
en torno a las características del proyecto elegido para ser trabajado durante cierto
tiempo. Cada cual debe estar consciente de su papel en el trabajo por proyectos, lo
cual le permitirá aportar sus propias ideas, conocimientos y experiencias. Se trata de
llegar a un acuerdo en cuanto a la planificación del trabajo y la observancia a un
conjunto de reglas sociales necesarias para el buen éxito del trabajo con los
proyectos.
Desarrollo de un plan de acción conjunto.- A partir de la variedad de ideas y
sugerencias aportadas por todos los participantes en la fase anterior, se pasa a la
elaboración de un plan de trabajo realizable en el tiempo previsto. Aquí cada
integrante debe suministrar sugerencias e iniciativas de acuerdo con sus posibilidades,
disposición y potencialidades. Igualmente, es muy importante que todos los
participantes asuman una conducta activa y tengan presente cuál será su papel en
cada una de las actividades que conforman el respectivo proyecto.
32
Los detalles del plan de trabajo tienen que ser publicados de tal manera que todas las
personas involucradas directa o indirectamente en el proyecto tengan acceso
inmediato a él. De la misma manera, el plan de trabajo debe ser lo suficientemente
flexible de tal forma que los participantes puedan hacer modificaciones a algunas
actividades de acuerdo con los acontecimientos y las circunstancias que se vayan
presentados durante el desarrollo del trabajo conjunto.
Realización del proyecto.- Los participantes, previamente organizados e informados
sobre las respectivas actividades planificadas en la fase anterior, pasan ahora a la
ejecución detallada de cada aspecto del proyecto. En esta fase, obviamente, pueden
hacerse cambios importantes al proyecto de acuerdo con las variables y problemáticas
que vayan surgiendo, siempre que se mantengan los objetivos iniciales.
El trabajo pedagógico por proyectos requiere de una forma de organización social
estricta y coherente de todos los participantes. Ésta puede ser mediante el trabajo en
parejas o grupos pequeños de 4 ó 5 personas. Por supuesto que algunos participantes
se ofrecerán de manera individual para la realización de algunas tareas muy
concretas.
Estas informaciones deben ser compartidas y discutidas por los miembros del grupo al
cual pertenece. Igualmente, cada grupo de trabajo se responsabilizará por la
presentación de los resultados de su trabajo parcial ante todos los miembros de la
clase. De esta manera se podrán discutir con mayor profundidad los adelantos,
inconvenientes y nuevas ideas surgidas de la realidad investigada.
Culminación y presentación de resultados.- Los proyectos tienen normalmente dos
orientaciones; por una parte, existen proyectos que están centrados en el proceso;
mientras que en otros el objetivo fundamental es la obtención de un producto.
En cada caso se debe tener en cuenta que los participantes hayan logrado
satisfactoriamente los objetivos previstos con la realización del proyecto. Según el
desarrollo del proyecto y los resultados del mismo, se debe hacer una presentación
final al colectivo de la clase y, si el tiempo y las circunstancias lo permiten, desarrollar
una discusión en cada caso. Las presentaciones parciales hechas durante la ejecución
del proyecto ayudan grandemente a la preparación y presentación final de los
resultados.
33
2.2. Marco contextual
2.2.1. Nombre de la institución
Centro Educativo “9 de Mayo”
2.2.2. Ubicación
Provincia: El Oro
Cantón: Machala
Parroquia: El Retiro
Límites:
Norte: Calle s/n
Sur: Cancha – varios propietarios
Este: Calle principal – av. Harry Álvarez
Oeste: Calle 3 de julio
2.2.3. Infraestructura
Infraestructura física
Número de aulas: 15
Ventilación: Natural
Iluminación: Adecuada
Cubierta: Dura Techo
Paredes: Ladrillo Enlucido
Piso: Cerámica
Cerramiento: Ladrillo
Infraestructura técnica
Sistemas de abastecimientos de agua, Red pública
Sistemas de aguas servidas, Pozo de riego
Tipos de servicios higiénicos Sanitarios y Urinario colector
Eliminación de la basura, Carro recolector
Otros servicios
Energía eléctrica
Teléfono
Internet
34
Equipamiento
Para el docente: escritorio
Para los estudiantes: pupitres personales
Tipo de pizarrón: pizarrón de tiza liquida
Infraestructura Recreacional
Canchas deportivas: Futbol y de Basquek
Otros espacios recreativos: Áreas Verdes
2.2.4. Recursos Humanos
En la Unidad Educativa Escuela 9 de Mayo laboran 23 docentes que prestan sus
servicios en esta institución educativa.
La Unidad Educativa Escuela 9 de Mayo cuenta con un número de 601 estudiantes
La Unidad Educativa Escuela 9 de mayo se encuentra estructurada de la siguiente
manera:
Dirección
Conserje
bodega
2.3. Marco administrativo legal
2.3.1. La constitución en el ámbito de derechos y responsabilidades.
Art. 26.-“La educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber
ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria de la política pública
y de la inversión estatal, garantía de la igualdad e inclusión social y condición
indispensable para el buen vivir. Las personas, las familias y la sociedad tienen el
derecho y la responsabilidad de participar en el proceso educativo.”
35
2.3.2. Código de la Niñez y Adolescencia
Art. 37.- Derecho a la educación
Los niños, niñas y adolescentes tienen derecho a una educación de calidad. Este
derecho demanda de un sistema educativo que:
1. “Garantice el acceso y permanencia de todo niño y niña a la educación básica, así
como del adolescente hasta el bachillerato o su equivalente.
36
3. METODOLOGÍA
3.1 Análisis crítico del problema de investigación
3.1.1. Descripción del problema
El Plan Decenal de Educación, aprobado mediante consulta popular el 26 de
noviembre de 2.006 contiene, entre otras, la política sexta que hace referencia al
Mejoramiento de la calidad y equidad de la educación e implementación de un Sistema
Nacional de Evaluación y Rendición Social de Cuentas; un componente de este
sistema de evaluación, cuya creación tiene como objetivo monitorear la calidad del
sistema educativo ecuatoriano, es la evaluación del desempeño del estudiante.
En este contexto, el Ministerio de Educación expidió el Acuerdo No. 195 el 30 de mayo
del 2.007, con la finalidad de “Oficializar la aplicación de pruebas de rendimiento al
logro académico en los establecimientos educativos del país, fiscales, fiscomicionales,
municipales y particulares hispanos y bilingües de manera censal, cada tres años a
partir del 2008.
Las calificaciones promedio de la mayoría de estudiantes en las áreas Lenguaje y
Comunicación y Matemáticas, no alcanza los niveles de desempeño esperados para
el año de estudio. De ahí que la mala calidad de la educación en el país se refleja en
los bajos logros académicos que muestran una tendencia al deterioro en áreas como
las matemáticas, toda vez que sin los conocimientos fundamentales, los niños y niñas
seguramente fracasarán en niveles superiores de instrucción y, por lo tanto, no se
puede esperar un mejoramiento de su calidad de vida.
Si bien la información mostrada resulta preocupante, lo es aún más la constatación de
que “la calidad docente incidió sobre el desempeño de los alumnos más que cualquier
otra” (Sistema Nacional de Evaluación y Rendición de Cuentas, 2013)incidencia que
responde a ejes puntuales como formación profesional, inadecuado uso de estrategias
metodológicas en la enseñanza- aprendizaje, entre otras.
37
3.1.2. Formulación de hipótesis
3.1.2.1. Hipótesis central
Las estrategias de enseñanza que utilizan los docentes del área de matemáticas son
del tipo superficial con énfasis en el estudio metódico y actividades repetitivas, las
cuales no potencian el desarrollo de aprendizajes significativos en los estudiantes,
debido a que no fomentan la comprensión de conceptos, el conocimiento de procesos
y la resolución de problemas.
3.1.2.2. Hipótesis particulares
Las estrategias metodológicas que designan los docentes en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en el área de matemáticas son la lección magistral y el
trabajo individual orientado a la realización en actividades de aprendizaje
memorístico y mecánico, lo que ocasiona un escaso desarrollo del pensamiento
lógico matemático.
El nivel de conocimiento que tienen los docentes del área de matemáticas acerca
de estrategias metodológicas para obtener aprendizajes significativos es bajo,
debido a que no se han capacitado en esta temática, lo que ocasiona que en el
proceso enseñanza aprendizaje desarrollen estrategias metodológicas poco
activas.
El tipo de aprendizajes que generan en los estudiantes las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes del área de matemáticas es
memorístico debido a que fomenta en el estudiante la memorización de reglas-
fórmulas y la aplicación de procedimientos sin entenderlos, lo que ocasiona que
los estudiantes perciban las matemáticas como una asignatura difícil.
38
3.2. Operacionalización de variables
3.2.1. Identificación y conceptualización de variables
Las variables seleccionadas de las hipótesis particulares de las cuales se
determinaron los indicadores, mismos que sirvieron de insumo para la elaboración de
los instrumentos de investigación fueron las siguientes:
Estrategias Metodológicas.- Son los modos como se utilizan los medios para la
conversión de aprendizajes y son los: métodos, procedimientos, técnicas, operaciones
cognitivas, metacognitivas y recursos.
Docente.-Persona que enseña e instruye una determinada ciencia o arte.
Estudiante.-Sujeto que recibe los beneficios de la acción educativa, asimilando,
transformando y creando conocimientos.
Aprendizaje.-Proceso a través del cual se adquieren conocimientos, habilidades,
destrezas, conductas o valores como resultados del estudio, la experiencia,
instrucción, razonamiento y observación.
Pensamiento lógico matemático.-Pensamiento que es correcto, es decir que se
ajuste a lo real, incluye cálculos matemáticos, pensamiento numérico, capacidad para
problemas de lógica, solución de problemas, capacidad para comprender conceptos
abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones.
39
3.2.2. Variables e indicadores
De las variables descritas se desagregaron los siguientes indicadores:
VARIABLES
INDICADORES
Docente
Formación profesional
Experiencia docente
Conocimiento
Capacitación recibida
Estrategias Metodológicas
Clases de estrategias
Características
Orientación cognitiva
Aprendizaje
Tipo de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
Pensamiento lógico matemático
Nivel de desarrollo
Procedimiento para la adquisición de nuevos conocimiento
Procedimiento para la aplicación de nuevos conocimientos
Estudiante
Edad
Sexo
Rol en la clase
Nivel de motivación
40
3.2.3. Selección de técnicas de investigación
VARIABLES E INDICADORES
TÉCNICAS
EN
CU
ES
TA
EN
TR
EV
IST
A
OB
SE
RV
AC
ION
AR
CH
IVO
BIO
BL
IOG
RA
FIA
Docente
Formación profesional X X
Experiencia docente X X X
Conocimiento X X X X
Capacitación recibida X X X
Estrategias Metodológicas
Clases de estrategias X X X X X
Características X X X X X
Orientación cognitiva X X X X X
Aprendizaje
Tipo de aprendizaje X X X X X
Actividades de aprendizaje X X X X X
Pensamiento lógico matemático
Nivel de desarrollo X X X X X
Procedimiento para la adquisición de nuevos conocimiento X X X X X
Procedimiento para la aplicación de nuevos conocimientos X X X X X
Estudiante
Edad X X X X
Sexo X X X X
Rol en la clase X X X X
Nivel de motivación X X X X
41
3.3. Población y muestra
3.3.1. Identificación y descripción de unidades de investigación
Las unidades de investigación fueron:
Docentes del área de matemática del Centro Educativo 9 de Mayo de la parroquia
El Retiro del periodo lectivo 2014 – 2015
Estudiantes de los años de Educación Básica Superior del Centro Educativo 9 de
Mayo de la parroquia El Retiro del periodo lectivo 2014 – 2015
3.3.2. Estimación del tamaño y distribución de la muestra
En el caso de los docentes del área de matemática del Centro Educativo 9 de
Mayo de la parroquia El Retiro del periodo lectivo 2014 – 2015 cuyo número
asciende a 4 profesores, no se aplicó muestra, debido a que el tamaño del
universo es inferior a 100.
En el caso de los estudiantes de Educación Básica Superior cuyo número
asciende a 601 alumnos, y al resultar mayor a 100 hubo la necesidad de
seleccionar una muestra probabilística a partir de la aplicación de la siguiente
fórmula estadística considerando un margen de error admisible del 5%.
( )( )
M = muestra
N= población
E2 = error (0.05)2
Tm = 601 O Tm = 240 estudiantes 1 1 + (0,0025) x 601
Por consiguiente, la muestra representativa de estudiantes es 240 estudiantes, a
quienes se les aplicó una boleta de encuesta.
42
Distribución de estudiantes
Dm = Tm x n O
Dm: Distribución de la muestra Tm: Tamaño de la muestra
n : Tamaño del estrato N : Tamaño del universo
Estudiantes de Educación Básica Superior
CURSOS
UNIVERSO
Octavo Año de Educación Básica
108 estudiantes
Noveno Año de Educación Básica
75 estudiantes
Décimo Año de Educación Básica
57 estudiantes
TOTAL 240 estudiantes
3.4. Características de la investigación
3.4.1. Recorrido del proceso metodológico operacional
El recorrido investigativo operacional se inició con la revisión bibliográfica referente al
objeto de estudio, seleccionada y guardada a través del fichaje para la construcción
del marco teórico. La problematización nos posibilitó elaborar el sistema problema-
objetivos e hipótesis. Una vez operacionalizadas las variables intervinientes en cada
hipótesis, se inició el proceso de recolección de información para la demostración de
las mismas.
Para la obtención de la información empírica hubo la necesidad de identificar y
seleccionar las unidades de investigación y el procedimiento para establecer su
cuantificación.
43
Una vez seleccionadas las unidades de investigación se procedió a diseñar los
instrumentos de recolección de información y probar su consistencia mediante de una
prueba piloto. Cumplidos los procesos de recolección y procesamiento de la
información, cada uno de los elementos se analizaron e interpretaron cuanti-
cualitativamente.
Los ejes de análisis fueron las variables de estudio presentes en los objetivos y las
hipótesis, se consideró las frecuencias y porcentajes mayores siendo comparados
entre sí para establecer conclusiones y elaborar la propuesta, tomando como insumo
los resultados de la investigación
3.4.2. Nivel o alcance de la investigación
El nivel de investigación es de carácter Descriptiva - Explicativa y Propositiva.
Descriptiva porque nos permite describir la investigación sobre “Las Estrategias de
enseñanza que utilizan los docentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje en el
área de Matemática”. Explicativa porque se indagó, constató y determinó si los
docentes utilizan o no métodos y técnicas activas y propositiva porque una vez
obtenidos los resultados de la investigación planteamos alternativas de solución a la
problemática, a través de una propuesta de intervención que consiste en un manual de
apoyo docente.
3.4.3. Modalidad de la investigación
Por las características de esta investigación es diagnóstica-propositiva ya que se
utilizaron fuentes de investigación de campo, para acceder a la información pertinente
a nuestro objeto de estudio, y fuentes bibliográficas que permitieron obtener
información científica que ayudo al fortalecimiento del análisis de los datos empíricos
44
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
DE CAMPO
4.1. RESULTADOS DE LA ENTREVISTA APLICADA A LOS DOCENTES
4.1.1. Causas del bajo rendimiento escolar en la asignatura de matemáticas
A juicio de los entrevistados muchas son las causas a las que se puede atribuir este
rendimiento deficiente en nuestros estudiantes, entre ellas las prácticas pedagógicas
tradicionales enraizadas por muchos años en el profesorado, desvinculadas de la
realidad, la selección de estrategias poco o nada activas desarrolladas en clases
frontales sin mayor participación del alumno y la escasa formación de los docentes.
Por otro lado también resulta escaso el tiempo ocupado por los profesores en preparar
sus clases y la sobrecarga horaria de ellos.
Estos malos resultados han traído consigo un fuerte cuestionamiento a la labor
docente.
Los resultados obtenidos en la entrevista sugieren que de todas las causales
descritas, hay una que particularmente afecta los aprendizajes de los alumnos, ésta es
la naturaleza de las estrategias de enseñanza utilizadas por los docentes.
4.1.2. Conocimiento científico, pedagógico y metodológico de los docentes de
matemáticas
El conocimiento científico, pedagógico y metodológico de los docentes de matemáticas
acerca de la aplicación de estrategias metodológicas activa es a criterio de ellos bajo,
debido a que asisten con escasa frecuencia a capacitarse, porque son muy pocos los
eventos en el área de matemáticas, por lo que en la mayoría de sus clases utilizan
estrategias que ya conocían desde ya un tiempo atrás.
La evidencia sugiere que el nivel de conocimiento científico y pedagógico -
metodológico (formación profesional, experiencia y capacitación profesional) está
asociado a un buen rendimiento, especialmente en las áreas de matemática y
ciencias.
45
En este punto de análisis cabe destacar que a criterio de la mayoría de docentes el
hecho de que los profesores a través de su metodología de enseñanza incidan en
forma tan poco consciente y deliberada en la forma de aprender de sus alumnos
puede llegar a tener efectos muy poco deseables como: inducir a los alumnos a
modalidades de tratamiento de la información que favorezcan un pensamiento rígido y
un aprendizaje mecánico, y confundir a los alumnos sobre cuál es la mejor manera de
estudiar una disciplina.
En este sentido la investigación realizada refleja que a juicio de los docentes nuestra
educación falla en primera instancia debido a que el profesor aplica en forma
constante durante sus clases estrategias metodológicas orientadas a enseñar a los
alumnos a seguir instrucciones al pie de la letra, donde la memoria juega un papel
fundamental, el rol del alumno es pasivo, y los alumnos reproducen lo que el profesor
hace, donde el alumno alcanza sólo el conocer, remitiéndose a una tarea repetitiva
utilizando especialmente el texto oficial.
4.1.3. Tipo de aprendizaje que adquieren los alumnos en el área de matemáticas
Cómo el alumno adquiere, procesa y aplica el conocimiento es otro de los grandes
problemas señalados por los docentes entrevistados quienes de manera unánime
expresan que el aprendizaje de los alumnos, en el área de matemáticas, es superficial
y no se consigue desarrollar el potencial intelectual de éste, puntualizan además que
las causas son múltiples y van desde las metodologías utilizadas por el profesor, hasta
las formas de evaluar, en donde la enseñanza se centrada en la entrega y medición de
conocimientos, que finalmente son reproducidos memorísticamente por los alumnos
sin una reelaboración y profundización de los mismos, por parte de ellos.
La mediación del profesor parece ser lo fundamental del proceso de enseñanza. La
mediación en este caso, tiene el sentido de acercar al alumno al conocimiento, a
través de estrategias que le permitan a éste, sentir que lo aprendido es significativo y
que está adquiriendo una serie de habilidades que no sólo podrá aplicar en una
situación específica sino a lo largo de toda su vida. Desde este punto de vista se
interrogó a los docentes acerca de cómo mejorar las prácticas educativas y obtener
mejores niveles de desarrollo del pensamiento lógico matemático en nuestros
estudiantes.
46
4.1.4. Estrategias metodológicas para enseñar y aprender matemáticas
Para la mayoría de los docentes la enseñanza con énfasis en la resolución de
problemas es actualmente la estrategia metodológica más utilizada para llevar a cabo
el principio general del aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue es transmitir
una manera de enfrentar los problemas reales de la vida, haciendo uso de la
sistematicidad y el rigor que pueden entregar las matemáticas.
En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias
globales adecuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la
resolución autónoma de verdaderos problemas, más bien que la mera transmisión de
recetas adecuadas.
4.1.5. Importancia de la parte afectiva y motivacional en la enseñanza
aprendizaje de las matemáticas
Por otro lado es necesario rescatar el hecho de que un número considerable de
docentes reconoce la importancia de los elementos afectivos, sobre todo, en la
enseñanza de la matemática.
En este sentido señalan que muchas de las entradas al mundo de la matemática por
parte de nuestros estudiantes, están teñidas por el fracaso propiciado en muchos
casos por los propios profesores, de ahí que hacen un llamado a propiciar desde el
aula el amor a matemáticas a través de estrategias metodológicas activas que
desarrollen las potencialidades intelectuales y afectivas de los educandos, es decir,
que motiven al estudiante a participar en la construcción de aprendizajes significativos
en un clima integrador que permita educar con calidad y calidez, erradicando el miedo
que las matemáticas genera en la mayoría de los estudiantes.
El educador debe acudir a estrategias motivacionales que le permitan al estudiante
incrementar sus potencialidades ayudándolo a incentivar su deseo de aprender,
enfrentándolo a situaciones en las que tenga que utilizar su capacidad de discernir
para llegar a la solución de problemas.
Desde este punto de vista es importante que el docente haga una revisión de las
prácticas pedagógicas que emplea en el aula de clase y reflexione sobre la manera
cómo hasta ahora ha impartido los conocimientos, para que de esta manera pueda
47
conducir su enseñanza con técnicas y recursos adecuados que le permitan al
educando construir de manera significativa el conocimiento y alcanzar el aprendizaje
de una forma efectiva.
4.1.6. Adquisición de aprendizajes significativos en la asignatura de matemáticas
Finalmente se interrogó a los docentes acerca de cómo propiciar la adquisición de
aprendizajes significativos en sus estudiantes, obteniendo las siguientes reflexiones:
Se hace necesario formar profesores estratégicos, que aprendan los contenidos de su
especialidad de forma intencional, empleando estrategias metodológicas activas, que
planifiquen, regulen y evalúen reflexivamente su actuación docente y no lo que el
alumno aprendió o dejo de aprender. El docente debe pasar de la enseñanza repetitiva
a una enseñanza que tenga sentido, que integre a los conocimientos ya adquiridos por
los alumnos.
Los docentes deben seleccionar y aplicar estrategias metodológicas adecuadas para
que los alumnos aprendan un contenido determinado, en forma activa y participativa,
en la que su participación sea directa y dinámica. Dar oportunidad a que investiguen
por sí mismos, poniendo en juego sus aptitudes físicas y mentales es una alternativa
muy aceptada en la comunidad estudiantil. El educador debe adaptar a la instrucción
el texto, puede asignarles trabajos a través de preguntas o actividades donde se les
permitan expresar opiniones o dar respuestas personales al contenido. Tomando en
cuenta estos señalamientos, el profesor debe propiciar el uso de textos de Matemática
porque estos ayudan a incrementar la comprensión lectora del alumno, lo adiestra en
la lectura del lenguaje personal y simbólico de esta asignatura y le permitirá entender
con mayor facilidad el contenido matemático presentado en el texto, sin limitarse
exclusivamente al texto oficial sino ofrecer una amplia bibliografía.
48
4.2. RESULTADOS DE LA ENCUESTA APLICADA A LOS ESTUDIANTES
CUADRO N° 1
TIPOS DE APRENDIZAJE ADQUIRIDOS POR LOS ESTUDIANTES EN
RELACIÓN A LAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
TIPOS DE APRENDIZAJE f %
Significativo 25 10
Memorístico 180 76
Receptivo 15 6
Cognitivo 20 8
TOTAL 240 100 FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO N° 1
TIPOS DE APRENDIZAJE ADQUIRIDOS POR LOS ESTUDIANTES DEL OCTAVO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICA
FUENTE: Cuadro N° 1
De los 240 estudiantes encuestados 180 alumnos que corresponden al 75%
manifiestan que el tipo de aprendizaje que adquieren en relación a las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes, son memorísticos; 25 de ellos que
representan el10% que son significativos, 20 de ellos que representan el 20%
cognitivos y 15 de ellos que son el 6% receptivos.
Los resultados obtenidos evidencia la incidencia que tienen las estrategias
metodologías en el tipo de aprendizaje que adquieren los estudiantes, de ahí la
necesidad de involucrar estrategias activas que permitan al estudiante acceder a
aprendizajes de tipo significativo.
10%
75%
6% 9%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Significativo Memorístico Receptivo Cognitivo
49
CUADRO N° 2
PERCEPCIÓN DE LOS ESTUDIANTES EN RELACIÓN A LAS ASIGNATURA
DE MATEMÁTICAS
PERCEPCIÓN DE LA ASIGNATURA f %
Fácil 10 4
Medianamente difícil 41 17
Difícil 189 79
TOTAL 240 100 FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO N° 2
PERCEPCIÓN DE LOS ESTUDIANTES EN RELACIÓN A LAS ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS
FUENTE: Cuadro N° 2
De los 240 estudiantes encuestados 189 alumnos que corresponden al 79%
manifiestan que la asignatura de matemáticas le resulta difícil, a 41 de ellos
medianamente difícil y tan solo 10 de ellos manifiestan que le es fácil.
Los resultados obtenidos demuestran que la naturaleza de las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes, pueden facilitar el aprendizaje de las
matemáticas o no hacerlo, de ahí la necesidad de que sean dinámicas y activas.
4% 17%
79%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Fácil Medianamente difícil Difícil
50
CUADRO NO. 3
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS MÁS UTILIZADOS EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICAS
TIPOS DE ESTRATEGIAS f %
Lección magisterial 80 33
Conferencia 35 15
Trabajo individual 41 17
Inductivo 24 10
Analítico 21 9
Sintético 10 4
Heurístico 29 12
Total 240 100
FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO NO 3
MÉTODOS MÁS UTILIZADOS POR EL DOCENTE EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICAS
FUENTE: Cuadro N° 3
De los 240 estudiantes encuestados 80 alumnos que corresponden al 33% manifiestan
que la estrategia metodológica más utilizada por el docente en las clases de
matemáticas es la lección magistral, para el 17% el trabajo individual, para el 15% la
conferencia, para el 12% el heurístico, para el 10% el inductivo, para el 9% el analítico
y para el 4% el sintético.
En base a la información obtenida podemos concluir que el proceso enseñanza
aprendizaje se centra en la actividad del profesor, quien suele ocupar todo el tiempo
de la clase realizando una exposición continua y fundamentalmente monologa tal
como es el caso de la clase magistral.
33%
15% 17%
10% 9%
4%
12%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Lecciónmagisterial
Conferencia Trabajoindividual
Inductivo Analítico Sintético Heurístico
51
CUADRO NO. 4
TÉCNICAS MÁS UTILIZADAS POR EL DOCENTE EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICAS
TÉCNICAS f %
Expositiva 101 42
Interrogativa 76 32
Trabajo Cooperativo 12 5
Trabajo Grupales 51 21
Total 240 100 FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO NO. 4
TÉCNICAS MÁS UTILIZADAS POR EL DOCENTE EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICAS
FUENTE: CUADRO No.4
De los 240 estudiantes encuestados 101 alumnos que corresponden al 42%
manifiestan que la técnica más utilizada por el docente en las clases de matemáticas
es la expositiva, para el 32% la interrogativa, para el 21% el trabajo grupal y para el
5% el trabajo cooperativo
En base a los datos obtenidos cabe destacar que la técnica expositiva como mera
presentación verbal y descriptiva del nuevo conocimiento por parte del docente y los
interrogatorios orientados únicamente a repetir y conocimientos no son suficientes
para un aprendizaje significativo, se debe implementar durante las clases técnicas
activas en las que el alumno participe, pregunte, analice y discuta los conocimientos
presentados, es decir que construya su propio conocimiento.
42%
32%
5%
21%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Expositiva Interrogativa Trabajo Cooperativo Trabajo Grupales
52
CUADRO N° 5 ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS QUE APLICAN FRECUENTEMENTE
LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA
ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS f % Juegos 10 4
Solución de Problemas 105 44
Maquetas 10 4
Gráficos 41 17
Talleres 84 35
TOTAL 240 100
FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO N° 5 ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS QUE APLICAN FRECUENTEMENTE
LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA
FUENTE: Cuadro N° 5
De los 240 estudiantes encuestados 105 alumnos que corresponden al 44%
manifiestan que la estrategia más utilizada por el docente en las clases de
matemáticas es la solución de problemas de aplicación, para el 35% talleres, para el
17% gráfico y para el 4% juegos y maquetas
Las Estrategias Metodológicas que utilizan los docentes con mayor frecuencia son
tradicionales, lamentablemente dentro de su práctica diaria no incluyen estrategias
metodológicas activas y que generan aprendizajes activos y significativos.
4%
44%
4%
17%
35%
0%5%
10%15%20%25%30%35%40%45%50%
Juegos Solución deProblemas de
aplicación
Maquetas Gráficos Talleres
53
CUADRO NO. 6
NIVEL DE DESARROLLO DEL PESAMIENO LOGICO MATEMÁTICO EN
LOS ESTUDIANTES
NIVEL DE DESARROLLO f %
Medio 42 19
Bajo 198 81
Total 240 100 FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO NO.6
NIVEL DE DESARROLLO DEL PESAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
EN LOS ESTUDIANTES
FUENTE: CUADRO No. 6
De los 240 estudiantes encuestados 198 alumnos que corresponden al 81%
manifiestan han alcanzado un nivel bajo de desarrollo del pensamiento lógico
matemático y el 19% manifiestan haber alcanzado un nivel medio de desarrollo.
Los datos expuestos evidencian que las estrategias metodológicas utilizadas por los
docentes escuálidamente ayudan a ejercitar las habilidades cognitivas y metacognivas
en los estudiantes, por lo que el nivel de desarrollo del pensamiento lógico matemático
es escaso.
19%
81%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Medio Bajo
54
CUADRO NO. 7
PARTICIPACIÓN ESTUDIANTIL EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
PARTICIPACIÓN ESTUDIANTIL f %
Cuando se les hace preguntas 160 67
De manera espontánea 80 33
Total 244 100 FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO NO. 7
PARTICIPACIÓN ESTUDIANTIL EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
FUENTE: CUADRO No. 7
De acuerdo a los datos obtenidos en la encuesta aplicada a las estudiantes sobre su
participación en el proceso enseñanza aprendizaje tenemos que 160 estudiantes que
corresponden al 67 % manifiestan que participan cuando se les hace preguntas y 80
que representan el 33%, lo hacen de manera espontánea.
Los datos analizados guardan estrecha relación con el tipo de técnicas utilizadas (ver
cuadro 4) ya que al aplicar técnicas como la expositiva e interrogativa la participación
estudiantil se reduce a los espacios en los que el profesor le cede la palabra al
alumnado para responder exclusivamente aquello que se ha preguntado, el resto del
tiempo debe estar en silencio y atendiendo lo que el profesor dice.
67%
33%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Cuando se les hace preguntas De manera espontánea
55
CUADRO NO. 8
ACTIVIDADES QUE REALIZAN LOS ESTUDIANTES EN LAS CLASES
DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES frecuencia %
Memorización de reglas-formulas 96 40
Aplicación mecánica de procedimientos 99 41
Participar en la construcción del conocimiento 45 19
Total 240 100
FUENTE: Investigación directa ELABORACIÓN: Los Autores
GRÁFICO NO. 8
ACTIVIDADES QUE REALIZAN LOS ESTUDIANTES EN LAS CLASES DE
MATEMÁTICAS
FUENTE: CUADRO No. 8
De acuerdo a los datos obtenidos en la encuesta realizada a las estudiantes sobre el
tipo de actividades que realizan en clase de matemáticas tenemos que 99 de ellos que
representan el 41% realizan la aplicación mecánica de procedimientos, 96 de ellas que
representan el 40% memorizan reglas y fórmulas y 45 de ellas que representan el 19%
participan activamente en la construcción del conocimiento.
Los resultados obtenidos demuestran que la mayoría de los docentes fundamentan su
metodológica en actividades pasivas en donde el estudiante se ve impedido de
desarrollar procesos creativos - mentales de nivel cognitivo y metacognitivo que le
permitan construir aprendizajes significativos.
40% 41%
19%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Memorización de reglas-formulas Aplicación mecánica deprocedimientos
Participar en la construcción delconocimiento
56
4.3. VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS
La hipótesis particular I que textualmente dice: • Las estrategias metodológicas que
designan los docentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje en el área de
matemáticas son la lección magistral y el trabajo individual orientado a la realización
en actividades de aprendizaje memorístico y mecánico, lo que ocasiona un escaso
desarrollo del pensamiento lógico matemático, es verdadera, en relación a los datos
obtenidos en la investigación de campo y presentados en los cuadros y gráficos
estadísticos.
La hipótesis particular II que textualmente dice: El nivel de conocimiento que tienen
los docentes del área de matemáticas acerca de estrategias metodológicas para
obtener aprendizajes significativos es bajo, debido a que no se han capacitado en esta
temática, lo que ocasiona que en el proceso enseñanza aprendizaje desarrollen
estrategias metodológicas poco activas, es verdadera, en relación a los datos
obtenidos en la investigación de campo y presentados en los cuadros y gráficos
estadísticos
La hipótesis particular III que textualmente dice: El tipo de aprendizajes que generan
en los estudiantes las estrategias metodológicas utilizadas por los docentes del área
de matemáticas es memorístico debido a que fomenta en el estudiante la
memorización de reglas-fórmulas y la aplicación de procedimientos sin entenderlos, lo
que ocasiona que los estudiantes perciban las matemáticas como una asignatura
difícil, es verdadera, en relación a los datos obtenidos en la investigación de campo y
presentados en los cuadros y gráficos estadísticos.
57
4.4. CONCLUSIONES
Al término del proceso investigativo y una vez realizada la verificación de hipótesis
hemos llegado a las siguientes conclusiones.
El tipo de estrategias de enseñanza que utilizan los docentes del área de
matemáticas para que los estudiantes de Educación Básica Superior del Centro
Educativo “9 de mayo” de la Parroquia El Retiro obtengan un aprendizaje
significativo es de tipo tradicional y memorístico.
Las estrategias metodológicas que designan los docentes en el proceso
enseñanza-aprendizaje en el área de matemáticas son la lección magistral y el
trabajo individual.
El nivel de conocimiento que tienen los docentes del área de matemáticas acerca
de estrategias metodológicas para obtener aprendizajes significativos es bajo.
El tipo de aprendizajes que generan en los estudiantes las estrategias
metodológicas utilizadas por los docentes del área de matemáticas es
memorístico.
4.5. RECOMENDACIONES
En base al sistema de conclusiones, nos permitimos realizar las siguientes
recomendaciones:
Desde un análisis sustentado en las dificultades cotidianas que enfrentan docente
y estudiantes, es prioritario considerar que el perfeccionamiento y la capacitación
son herramientas fundamentales en un proyecto que pretenda elevar la calidad de
enseñanza
Utilizar estrategias de aula basadas en metodológicas activas para potenciar el
desarrollo de un pensamiento lógico matemático en los estudiantes, para que
éstos logren aprendizajes significativos que les permitan transformar la información
en conocimiento.
58
Brindar permanentemente al personal docente los espacios académicos para el
perfeccionamiento y capacitación docente como una herramienta para incrementar
la reflexión, la flexibilidad y el compromiso por la profesión.
Que los docentes desarrollen dentro del aula de clases, talleres, juegos,
actividades varias que generen aprendizajes más activos basados en el
razonamiento y no más bien memorístico, lo mismo que les permitirá a los
estudiantes, resolver ejercicios matemáticos con mayor facilidad.
Elaborar un manual de apoyo docente para la aplicación de estrategias
metodológicas y la promoción de aprendizajes significativos en el área de
matemáticas
59
5. PROPUESTA DE INTERVENCIÓN
5.1. TÍTULO
MANUAL DE APOYO DOCENTE PARA LA APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS
METODOLÓGICAS Y LA PROMOCIÓN DE APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS EN
EL ÁREA DE MATEMÁTICAS
5.2. ANTECEDENTES
A través de los resultados obtenidos en la presente investigación, la misma que ha
permitido establecer los siguientes puntos críticos, en cuanto a las estrategias
metodológicas en la enseñanza aprendizajes de las matemáticas:
La actual metodología de enseñanza-aprendizaje para el área de matemáticas no
está obteniendo un rendimiento académico favorable.
Escasa utilización de estrategias metodológicas por parte del docente debido a la
falta de actualización y profesionalización.
Elevados niveles de incomprensión, temores y bajas calificaciones en los
estudiantes.
El aprendizaje obtenido por los estudiantes es mecánico y fuera de contexto.
La mayoría de estudiantes tienen un bajo rendimiento escolar y un marcado
desinterés por aprender matemáticas.
Falencias que evidencian las dificultades que tienen los docentes para aplicar
estrategias metodológicas y la obtención de aprendizajes significativos en los
estudiantes, al mismo tiempo que constituyen el antecedente que orienta la
elaboración y ejecución de la presente propuesta encaminada a brindar a la
comunidad docente un manual de apoyo que permita mejorar los estándares de
calidad en el área de matemáticas.
60
5.3. UBICACIÓN
La presente propuesta se encuentra ubicada en:
Provincia: El Oro
Cantón: Machala
Parroquia: El Retiro
Institución: Centro Educativo “ 9 de Mayo”
5.4. BENEFICIARIOS
Beneficiarios Directos:
Docentes del área de Matemáticas del Centro Educativo “ 9 de Mayo”, de la parroquia
El Retiro.
Estudiantes de Educación Básica Superior del Centro Educativo “ 9 de Mayo”, de la
parroquia El Retiro.
Beneficiarios Indirectos:
Docentes del área de Matemáticas de la provincia de El Oro y el país.
Estudiantes del nivel de educación básica y bachillerato de la provincia de El Oro y el
país.
5.5. JUSTIFICACIÓN En la actualidad, la matemática es una rama del saber que goza de un amplio prestigio
social, debido a la asociación que se hace de ésta con el desarrollo científico y
tecnológico. Un estudiante de buen rendimiento en matemática es asociado también, a
una persona capaz, con amplias perspectivas de desarrollo profesional. Pero para el
común de los estudiantes, la Matemática sigue siendo una asignatura compleja,
provista de un lenguaje críptico y de escasa significancia en su vida cotidiana.
61
Un gran número de factores contribuyen a que esta situación no cambie se debe a que
con frecuencia el docente está acostumbrado a desarrollar metodologías que más que
formativas son de carácter instruccional
Una de las actividades de gran importancia para cambiar estas viejas concepción son
las estrategia metodológicas que se utilizan en el proceso enseñanza aprendizaje, de
ahí que es necesario que estas sean revisadas cuidadosamente para lograr un mejor
rendimiento en el aprendizaje de los alumnos y de ser necesario adoptar nuevas
estrategias que optimicen la adquisición de aprendizajes significativos en los
estudiantes.
Bajo este enfoque la presente propuesta pretende constituirse en un documento de
apoyo a la gestión del docente, que le permita en un primer momento una reflexión
profunda de su propia práctica educativa para de esta forma dar paso al cambio de un
sistema de creencias basado en una concepción instrucciones de la educación hacia
un nuevo modelo de conducir la clase, basado en estrategias metodológicas y la
promoción de aprendizajes significativos.
Ante las argumentaciones expuestas consideramos se justifica la realización de la
presente propuesta.
5.6. OBJETIVOS 5.6.1. OBJETIVO GENERAL Brindar al docente del área de Matemáticas un documento de apoyo actualizado bajo
los lineamientos de la Reforma Curricular para la Educación Básica Superior y el Plan
Decenal de Educación; para la aplicación de estrategias metodológicas en el proceso
enseñanza y la promoción de aprendizajes significativos en sus estudiantes
5.6.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar los fundamentos teóricos pedagógicos, psicológicos y didácticos de las
estrategias metodológicas y el aprendizaje significativo en el proceso enseñanza –
aprendizaje del área de matemáticas
62
Incorporar estrategias metodologías activas y cooperativas en el proceso
enseñanza –aprendizaje del área de matemáticas para generar aprendizajes
significativos en los estudiantes
Contribuir a la superación de las dificultades educativas causadas por la mala
selección y aplicación de estrategias metodológicas en el área de matemáticas.
5.7. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
La elaboración del manual de apoyo docente para la aplicación de estrategias
metodológicas y la promoción de aprendizajes significativos en el área de matemáticas
se fundamenta en la Teoría del Aprendizaje significativo de David Ausubel bajo el
enfoque constructivista de la educación, de la cual rescatamos los siguientes
argumentos como ejes rectores de la presente propuesta.
El objetivo de la enseñanza de las matemáticas no es sólo que los niños aprendan las
tradicionales cuatro reglas aritméticas, las unidades de medida y unas nociones
geométricas, sino su principal finalidad es que puedan resolver problemas y aplicar los
conceptos y habilidades matemáticas para desenvolverse en la vida cotidiana. De ahí
que tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas abarca básicamente las
habilidades de numeración, el cálculo aritmético y la resolución de problemas.
También se consideran importantes la estimación, la adquisición de la medida y de
algunas nociones geométricas
En la actualidad la reforma educativa ecuatoriana establece claramente, que los
aprendizajes de los alumnos deben ser significativos, que el profesor debe pasar de la
enseñanza repetitiva a una enseñanza que tenga sentido, que integre a los
conocimientos ya adquiridos por los alumnos.
Una de las formas de conseguir que el aprendizaje sea significativo para los alumnos
es mediante el aprendizaje por descubrimiento, propuesto por Ausubel, el aprendizaje
por descubrimiento sucede cuando los aprendices llegan a hacer, por ellos mismos,
generalizaciones sobre los conceptos o fenómenos. El descubrimiento al que se llega
en clase es descubrimiento guiado
Según D. Ausubel, el aprendizaje significativo surge como un intento de contrarrestar
el aprendizaje repetitivo y el carácter no significativo del aprendizaje tradicional y va
63
dirigido a garantizar el establecimiento de las relaciones esenciales y no de un modo
arbitrario entre lo que debe aprenderse y lo que es conocido, es decir, lo que se
encuentra en las estructuras cognitivas de la persona que aprende.
D. Ausubel y sus seguidores consideran, desde el punto de vista cognitivo, que
aprender de un modo significativo consiste en realizar un proceso de actualización de
los esquemas de conocimientos relativos a la situación en consideración, es decir,
poder atribuirle un significado al material objeto de estudio.
En este tipo de aprendizaje los esquemas cognitivos del que aprende no se limitan a
asimilar la nueva información sino que el mismo entraña una constante revisión,
modificación y ampliación; produciéndose nuevos vínculos entre ellos. De esta forma,
permite una mayor funcionalidad y una memorización comprensiva de los contenidos
asimilados de un modo significativo.
La noción del aprendizaje significativo llevó necesariamente a re-analizar el papel que
los contenidos juegan en el proceso de enseñanza aprendizaje ampliando su
significación hasta considerar también a las estrategias y distintos tipos de
procedimientos tales como: el sistema de preguntas para indagar, explorar y observar
con un carácter científico.
Uno de los principales exponentes de estas teorías es el español César Coll que al
reconocer el carácter no espontáneo del aprendizaje significativo fundamenta las
condiciones en que este se produce:
1. El contenido de la enseñanza debe ser potencialmente significativo desde el punto
de vista de su estructuración interna, significatividad lógica, coherencia, claridad y
organización. Esta condición no se reduce a la estructura misma del contenido,
sino que abarca también la presentación que de él se efectúa que tiene en cuenta
los esquemas de conocimientos previos existentes en la estructura cognitiva de la
persona que aprende.
2. El alumno debe disponer del bagaje indispensable para efectuar la atribución de
significados, o sea, disponer de los conocimientos previos necesarios que le van a
permitir abordar el nuevo aprendizaje.
64
3. La actitud favorable a la realización de aprendizajes significativos que requiere
realizar una actividad cognitiva compleja (seleccionar esquemas previos de
conocimientos y aplicarlos a la nueva situación, revisarlos, modificarlos, proceder a
su reestructuración, al establecimiento de nuevas relaciones, evaluar su
adecuación, etc.) para la cual el alumno debe estar suficientemente motivado.
Como condición primaria del aprendizaje significativo se considera el papel que los
contenidos desempeñan en la enseñanza y la importancia de que en la forma de
presentarlo se ponga de manifiesto, en mayor o menor medida, su estructura, lo que
posibilita la autonomía del alumno para enfrentar nuevas situaciones, para identificar
problemas, para sugerir soluciones interesantes.
En síntesis: “El concepto principal de la teoría de Ausubel es el de aprendizaje
significativo, en contraposición al aprendizaje memorístico. Para aprender
significativamente, el individuo debe tratar de relacionar los nuevos conocimientos con
los conceptos y proposiciones relevantes que ya conoce. Por el contrario, en el
aprendizaje memorístico, el nuevo conocimiento puede adquirirse simplemente
mediante la memorización verbal y puede incorporarse arbitrariamente a la estructura
de conocimientos de una persona, sin ninguna interacción con lo que ya existe en
ella.” (Novak, J, 1988)
El constructivismo es la idea que mantiene que el individuo tanto en los aspectos
cognitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos su conocimiento no es
copia fiel de la realidad, sino una construcción de ser humano. La concepción
constructivista del aprendizaje escolar se sustenta en la idea de que la finalidad de la
educación que se imparte en la escuela es promover los procesos de crecimiento
personal del alumno en el marco de la cultura del grupo al que pertenece. Uno de los
enfoques constructivistas es el "Enseñar a pensar y actuar sobre contenidos
significativos y contextuales". El aprendizaje ocurre solo si se satisfacen una serie de
condiciones: que el alumno sea capaz de relacionar de manera no arbitraria y
sustancial, la nueva información con los conocimientos y experiencias previas y
familiares que posee en su estructura de conocimientos y que tiene la disposición de
aprender significativamente y que los materiales y contenidos de aprendizaje tienen
significado potencial o lógico.
65
5.8. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA PROPUESTA
Nuestra propuesta consiste en la elaboración de manual de apoyo docente para la
aplicación de estrategias metodológicas y la promoción de aprendizajes significativos
en el área de matemáticas, de tipo técnico, el mismo que consiste en un medio de
comunicación didáctica, que a través de textos específicos y elementos icónicos
(ilustraciones, gráficas, etc.), coadyuva al docente en la aplicación de estrategias
metodológicas al mismo tiempo que viabiliza la adquisición de competencias
(habilidades, destrezas, conocimientos y actitudes) que el estudiante debe adquirir de
acuerdo al diseño curricular, a través de procesos de aprendizajes significativos.
5.9. ACTIVIDADES
Las actividades que se realizaron para la elaboración del manual de apoyo docente
para la aplicación de estrategias metodológicas y la promoción de aprendizajes
significativos en el área de matemáticas fueron:
Planificación.- Fase de proyección en la cual se estableció el tipo de manual, la
población al que va dirigido, los objetivos, el enfoque epistemológico y la estructura
de los contenidos teóricos y prácticos que lo conforman.
Investigación.- Fase de búsqueda de los elementos teóricos, metodológicos y de
diseño que forman parte del manual, mediante un proceso de selección de
conceptos, principios y procedimientos cognitivos, prácticos instrumentales y
actitudinales, idóneos, en relación al sistema educativo vigente.
Ejecución.- Fase operativa de confección y elaboración del manual, donde se concretó
los contenidos, la bibliografía, presentación, índice, preliminares, anexos.
Diagramación.-Es el trabajo que el diseñador gráfico realiza para ordenar textos,
gráficas, esquemas, fotografías y otros elementos gráficos dentro del manual, con el
objetivo de comunicar visual y estéticamente los contenidos en forma didáctica.
Evaluación.- Consistió en la socialización del manual, a través de reuniones con
expertos, lo cual permitió realizar correcciones en el estilo, lenguaje y presentación del
documento final.
66
5.10. RECURSOS
5.11. CRONOGRAMA
RECURSOS HUMANOS
RECURSOS MATERIALES
RECURSOS
TECNOLÓGICOS RECURSOS
VARIOS
Dos proponentes
Un diseñador
gráfico
Una secretaria
Reproducciones
Hojas
Cartulinas
Carpetas
Bibliografía
Computadora
Impresora
Cámara fotográfica
Pen drive
Movilización
interna
Teléfono y
Comunicación
Refrigerios
ACTIVIDADES
MESES Y SEMANAS
PRIMER MES
(semanas)
SEGUNDO
MES (semanas)
1 2 3 4 5 6 7 8 Investigación de los elementos teórico y metodológicos del manual Selección temáticas para el manual Selección de elementos gráficos del manual Redacción de los contenidos del manual Redacción de las partes preliminares del manual
Diseño gráfico del manual Revisión ortográfica del manual Impresión de un primer borrador del manual Evaluación del manual y socialización de resultados Impresión del informa final del manual con las correcciones producto de la evaluación Presentación del manual a la comunidad educativa
67
5.12. PRESUPUESTO
PRESUPUESTO
A. RECURSOS HUMANOS
No. DENOMINACIÓN TIEMPO COSTOH/T TOTAL
2 Proponentes 1 Secretaria 1 Diseñador Gráfico
2 meses 1 meses
1 mes
$ 100, 00 $ 100, 00 $ 100, 00
$ 400,00 $ 100,00 $ 100,00
SUBTOTAL
$ 600,00
B. RECURSOS MATERIALES
DESCRIPCIÓN CANT. C/UNIT. TOTAL
Impresora Resma de hojas Cartuchos de tinta Bibliografía
1 2 2
100 5 2
300
$ 100,00 $ 10,00 $ 50,00 $ 50,00
SUBTOTAL
$ 210,00
C. OTROS
DESCRIPCIÓN TOTAL
Movilización interna Teléfono y Comunicaciones Reproducciones Varios y Misceláneos
$ 10,00 $ 10,00 $ 10,00 $ 10,00
SUBTOTAL
$ 50,00
D. IMPREVISTOS 5% DE A + B + C
$ 43,00
COSTO TOTAL
$ 903.00
FINANCIAMIENTO
El 100% del costo de la propuesta será financiado por los proponentes
$ 903.00
68
5.13. ORGANIZACIÓN
El manual de apoyo docente para la aplicación de estrategias metodológicas y la
promoción de aprendizajes significativos en el área de matemáticas está organizado
de la siguiente manera:
Portada.-Es la cubierta delantera donde aparecen el título del manual, el nombre de
los autores y el lugar y año de la impresión.
Hoja interior portada.- Contiene la misma información de la portada externa,
agregando el mes y año en que se finalizó la corrección de estilo
Registro de derechos y edición.- Detalla la originalidad del trabajo y la prohibición de
su reproducción total o parcial.
Índice.- Lista ordenada de unidades, capítulos, sesiones, temas y subtemas, etc. Con
detalle del número de página o de cada apartado.
Objetivo del manual.- Describen las metas que se quieren alcanzar a corto, mediano
y largo plazo.
Presentación.- Destacar los contenidos, alcances y modalidad del manual, así como,
los beneficios que brinda a la comunidad docente.
Portada de identificación de cada unidad de formación.- Presenta el título de cada
bloque temático e Incluye un mensaje motivacional-educativo sobre el tema, que
genere reflexión y una acción propositiva de la unidad.
Desarrollo del contenido.- Consiste en el marco teórico que conforma cada una de
las unidades del manual.
Glosario.- Es un conjunto de definiciones de términos técnicos empleados en el
manual, listados en orden alfabético y que sirve de apoyo para la compresión de los
contenidos.
Bibliografía.- Es una lista de los textos utilizados, tanto de medios impresos como
electrónicos
Anexos.- Consiste en información complementaria a los contenidos temáticos.
69
5.14. ESTRATEGIAS DE IMPLEMENTACIÓN
Las estrategias de implementación de la presente se enmarcan en las siguientes
áreas a considerar:
Informaciones de carácter técnico
El contenido debe ser adaptable al entorno tecnológico, además, el necesario y
suficiente para lograr la competencia del participante, con suficientes ilustraciones y
diagramas de apoyo para la asimilación de las técnicas de trabajo, con contenidos
tecnológicamente actualizados, etc.
La cobertura que debe poseer el manual, tiene que ser suficiente con relación a las
áreas de conocimientos estipulados y satisfacer la totalidad de los temas tratados.
Utilidad
Los contenidos que se presentan deben tener carácter práctico es decir que pueden
ser utilizados por los docentes en su trabajo diario.
Es necesario tomar en cuenta que se debe presentar únicamente la información que
es de utilidad, evitando informaciones de relleno o innecesarias.
Presentación y diagramación
Nitidez y claridad del manual, ordenamiento visual del diseño, orden lógico de la
presentación de la información, uso suficiente de información gráfica y analítica, etc.
Pertinencia entre la necesidad del manual y el manual
El producto debe responder a una necesidad y ser útil para el trabajo docente
Enfoque pedagógico
Corresponde a un orden, desglose de unidades o temas, equilibrio informativo,
ejercicios, investigaciones, instrumentos de medición y control, así como de consulta y
referencia. El manual debe estar diseñado para las características de la población
meta, nivel de escolaridad, capacidades, disponibilidad del tiempo.
70
5.15. EVALUACIÒN El manual será sometido a la evaluación de la comunidad docente considerando como
ejes los siguientes parámetros de evaluación:
Criterios pedagógicos
Se hacen explícitos los objetivos o resultados de aprendizaje propuestos para el
contenido.
Es adecuada la forma de seleccionar la información
Existe coherencia con el contenido
Hay claridad en la información
El lenguaje empleado es adecuado
El material es creativo y original
El manual propicia la relación significativa entre la nueva información y los
contenidos anteriores
Existe claridad en redacción, tipología, diseño gráfico, cuadros, índices analíticos,
señalizaciones, legibilidad, impresión, formatos, guías de lectura, resaltados e
infografías.
Existe coherencia, relación clara y efectiva entre el contenido presentado y el
objetivo planteado, es decir una conexión entre el objetivo y el contenido.
Criterios psicológicos
Logra motivar al participante
Maneja un nivel conceptual adecuado al usuario
Mantiene la atención del participante
Propicia la formación de actitudes positivas
Criterios para el contenido
Se considera y valoriza la cantidad, selección, contemporaneidad y rigor técnico-
científico del manual bajo los siguientes lineamientos:
Es actual
Es veraz
EL MANUAL
72
MANUAL DE APOYO DOCENTE
PARA LA APLICACIÓN DE MÉTODOS Y TÉCNICAS
ACTIVAS, EN EL PROCESO DEL INTERAPRENDIZAJE DE
LA MATEMÁTICA
AUTORES: OCHOA RAMON ABIGAIL ALEXANDRA OCHOA RAMON GABRIEL ALEXANDER
Ecuador
2016
73
MANUAL DE APOYO DOCENTE
PARA LA APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS
METODOLÓGICAS Y LA PROMOCIÓN DE
APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS
EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS
DOCUMENTO BASE DE APOYO A LA GESTIÓN DOCENTE PARA LA APLICACIÓN DE
ESTRATEGIAS METODOLOGÍAS ACTIVAS Y PARTICIPATIVAS EN EL ÁREA DE
MATEMÁTICAS Y LA PROMOCIÓN DE APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS EN LOS
ESTUDIANTES DE NIVEL BÁSICO Y BACHILLERATO.
Machala - Ecuador
2016
74
Esta publicación goza de la protección de los derechos de
propiedad
Intelectual en virtud de la Convención Universal sobre Derechos
de Autor. Por lo tanto queda prohibida la reproducción total o
parcial de la presente obra, bajo cualquiera de sus formas, sin la
autorización previa y escrita de sus autores, excepto citas en
revistas, diarios o libros, siempre que se mencione su
procedencia
75
ÍNDICE DE CONTENIDOS
CONTENIDO
Bloque 1
METODOLÓGICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Bloque 2
LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO ESTRATEGIAS LÚDICAS GLOSARIO BIBLIOGRAFIA ANEXOS
76
OBJETIVO
Potenciar y mejorar los procesos de enseñanza
aprendizaje en el área de matemáticas, a través
de la implementación de estrategias
metodológicas activas y participativas, como
medio para contribuir al desarrollo de la
inteligencia, las competencias y la promoción de
aprendizajes significativos.
77
PRESENTACIÓN
El Manual de apoyo docente para la
aplicación de estrategias metodológicas y la
promoción de aprendizajes significativos en el
área de matemáticas constituye un
instrumento valioso para la gestión del
docente, toda vez que ofrece a los educadores
los fundamentos teóricos, metodológicos,
pedagógicos y didácticos para la aplicación
de estrategias metodológicas activas y
participativas, y la obtención de aprendizajes
significativos.
78
Estrategias metodológicas para
la resolución de problemas
matemáticos
79
Finalidades de la resolución de problemas
Hacer que el estudiante piense
productivamente.
Desarrollar el razonamiento.
Enseñar a enfrentar situaciones nuevas.
Dar la oportunidad de involucrarse con las
aplicaciones de la matemática.
Hacer que las sesiones de aprendizaje
de matemática sean más interesante
y desafiantes.
Equipar al estudiante con estrategias
para resolver problemas.
Dar una buena base matemática.
80
El proceso de resolución de problemas
El reconocimiento dado a este tema ha originado algunas propuestas
sobre su enseñanza, distinguiendo diversas fases en el proceso de
resolución, entre las cuales podemos citar las de Dewey, Pólya, De
Guzmán y Schoenfeld:
John Dewey (1933)
1. Se siente una dificultad: localización de un problema. 2. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en
la mente del sujeto. 3. Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución.
4. Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de
soluciones tentativas. 5. Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.
El plan de George Pólya(1945)
1. Comprender el problema. 2. Elaborar un plan. 3. Ejecutar el plan. 4. Hacer la verificación.
Miguel de Guzmán (1994)
1. Familiarízate con el problema. 2. Búsqueda de estrategias. 3. Lleva adelante tu estrategia. 4. Revisa el proceso y saca consecuencias de él. 5. Hacer la verificación.
81
El Plan de Pólya
Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro
pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las
alternativas de solución que puede tener un problema. Es decir, el plan
muestra cómo atacar un problema de manera eficaz y cómo ir
aprendiendo con la experiencia.
Pero seguir estos pasos no garantizará que se llegue a la respuesta
correcta del problema, puesto que la resolución de problemas es un
proceso complejo y rico que no se limita a seguir instrucciones paso a
paso que llevarán a una solución, como si fuera un algoritmo. Sin
embargo, el usarlos orientará el proceso de solución del problema. Por
eso conviene acostumbrarse a proceder de un modo ordenado, siguiendo
los cuatro pasos.
La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática, eliminando obstáculos y llegando a establecer hábitos mentales eficaces; lo que Pólya denominó pensamiento productivo.
82
Fases y preguntas del plan de Pólya.
Fase 1.Comprender el problema
Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe
leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en
la información proporcionada. Para eso, se puede responder a preguntas
como:
¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
¿Cuáles son los datos y las condiciones del
problema?
¿Es posible hacer una figura, un esquema o un
diagrama?
¿Es posible estimar la respuesta?
Fase 2. Elaborar un plan
En este paso se busca encontrar conexiones
entre los datos y la incógnita o lo desconocido,
relacionando los datos del problema. Se debe
elaborar un plan o estrategia para resolver el
problema. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que
conduce a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la secuencia
en que se debe realizarlas. Estimar la respuesta.
83
Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:
¿Recuerda algún problema parecido?
¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado,
una notación apropiada.
¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta
todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?
¿Se puede resolver este problema por partes?
Intente organizar los datos en tablas o gráficos.
¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?
¿Cuál es su plan para resolver el problema?
Fase 3. Ejecutar el plan
Ejecuta el plan elaborado resolviendo las
operaciones en el orden establecido,
verificando paso a paso si los resultados
están correctos.
Se aplican también todas las estrategias pensadas, completando –si se
requiere – los diagramas, tablas o gráficos para obtener varias formas de
resolver el problema. Si no se tiene éxito se vuelve a empezar. Suele
suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al
éxito.
84
Fase 4. Mirar hacia atrás o hacer la verificación
En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución
obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también con
relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida,
para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del
problema original.
En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la
formulación de otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se
pueden responder en este paso son:
¿Su respuesta tiene sentido?
¿Está de acuerdo con la información del problema?
¿Hay otro modo de resolver el problema?
¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para
resolver problemas semejantes?
¿Se puede generalizar?
85
PROBLEMA
Juan cría en su chacra solamente cuyes y gallinas. Un día, jugando, le dijo a su hijo:“Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas sus patas obtengo 188. ¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas tengo?”
Ejemplos de resolución de problemas
aplicando el plan de Pólya
Cuyes y gallinas
Resolución
Paso 1: Comprendiendo el problema
Hallar cuántos cuyes y cuántas gallinas tiene el papá de Juan.
Se sabe que hay 60 cabezas y 188 patas.
También se sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina2 patas.
Paso 2: Elaborando un plan
Estrategia: Tanteo y error organizados
Se intenta hallar la solución dando valores al azar a la cantidad de cuyes
y a partir de ellos obtener el número de gallinas. Para verificar si la
respuesta es correcta se calcula el total de patas con esos valores. Se
puede construir una tabla para que el trabajo sea más ordenado.
86
Paso 3: Ejecutando el plan
Plan:
En total hay 60 animales.
Todos no pueden ser gallinas porque entonces habría 120 patas.
Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habría 240 patas.
Debe haber exactamente 188 patas.
Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:
Nº de cuyes Nº de gallinas Nº de patas
0 60 120
60 0 240
30 30 180 34 26 188
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas
Paso 4. Hacer la verificación.
Sustituimos los valores de x e y para confirmar que se cumplan las
igualdades que hayamos al inicio:
x + y = 60 4x + 2y = 188
34 + 26 = 60 es correcto. 4(34) + 2(26) = 188
136 + 52 = 188 es correcto
87
PROBLEMA
Antonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. Para esto tiene que construir un muro. En el primer día de construcción usó 3/8de los adobes que tenía; en el segundo día usó 1/6 de los adobes que tenía. Entonces contó los adobes que le quedaban para usar en el tercer día y eran 55. ¿Cuántos adobes tenía cuando comenzó a construir el muro?
Construyendo un muro
Solución
Paso 1: Comprende el problema.
¿Qué pide el problema?
La cantidad de adobes que tenía al comenzar a construir el muro.
¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
Antonio tiene cierta cantidad de adobes.
En el primer día utiliza 3/8 de esa cantidad.
En el segundo día utiliza 1/6 de esa cantidad.
Le quedan 55 de adobes para el tercer día.
88
Paso 2: Elabora un plan
Estrategia: Hacer un esquema.
primer día segundo día tercer día
Observa que la suma de las fracciones que representan al número de
adobes que se utiliza cada día es igual a la unidad, la cual representa
la cantidad total de adobes que tenía para trabajar los3 días.
Hallamos la fracción que representa a los adobes que se utilizan el
primer y segundo día, mediante una suma de fracciones
Luego hallamos la fracción que representa a los adobes que se
utilizan el tercer día, restando a la unidad la fracción anterior.
Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.
Paso 3: Ejecuta el plan
Fracción que representa la cantidad de adobes
utilizados en el primer y segundo días:
3/8+ 1/6= 9/24+ 4/24= 13/23
Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados el tercer día:
13/24=24/24
13/24= 11/24
55 unidad
89
Como el número de adobes que quedaron para el tercer día es 55, se
puede afirmar que: 11/24equivalen a 55
Por lo tanto: 1/24equivalen a 55 ∆ 11 = 5
Finalmente, como 1 = 24/24entonces 24/24equivalen a 5 x 24 = 120
O entonces, completando la unidad, de un modo más esquemático:
3/4 + 1/6 + x = 1
9/24 + 9/24 + ?/24 = 24/24
9/24 + 4/24 + 11/24 = 9/24
55 x 11 = 5 y 5 x 24 = 120
Paso 4. Hacer la verificación
Cantidad de adobes utilizados en el primer día:
3/8 de 120 = 3/8120 = 360/8= 45
Cantidad de adobes utilizados el segundo día:
1/6 de 120 = 1/6120 = 120/60 = 20
Cantidad de adobes utilizados el tercer día: 55
Sumando la cantidad de adobes utilizados cada día:
45 + 20 + 55 = 120
90
Principales estrategias
para la resolución de
problemas
91
Generalizar
DESCRIPCIÓN
La generalización consiste en pasar del estudio de una situación concreta
(o de un objeto) al estudio de un conjunto de situaciones entre las que
está la de partida (o conjunto de objetos entre los que figura el primero),
extrayendo una ley válida para cualquier caso a partir de la comprobación
de las conjeturas que sugieran las regularidades observadas en las
situaciones u objetos analizados.
En realidad, supone la aplicación del método científico, puesto que el
objetivo es extraer una ley válida para cualquier situación en general a
partir de las regularidades obtenidas en algunos ejemplos
(experimentación, planteamiento de hipótesis, comprobación y
elaboración de una ley general
EJEMPLO
Si se divide una circunferencia en 33 partes iguales y se unen
entre sí todas las divisiones, por medio de líneas rectas,
¿cuántas líneas rectas habrá?
92
SOLUCIÓN
La realización gráfica de este problema es
enormemente confusa y pesada, a parte de la
complejidad del procedimiento de división en 33
partes iguales (trazado de un diámetro de la
circunferencia, división del diámetro en 33 partes
aplicando el teorema de Thales, trazado de arcos con
radio igual al diámetro, etc.).Se debe, pues, emplear
otro método.
Empecemos por analizar casos más sencillos:
¿Cuántas líneas hay si se divide la circunferencia en dos partes?
¿Y si se divide en 3? ¿Y en 4?
Estudiemos estos casos haciendo los dibujos a mano alzada:
N° de divisiones Líneas
2 1
3 3
4 6
5 10
Teniendo en cuenta que cada línea une dos puntos, es como si hubiese el
doble de líneas. La línea que une A con B coincide con la que une B con A.
Por lo tanto:
N° de divisiones Líneas Equivalen a
2 1 2
3 3 6
4 6 12
5 10 20
93
¿Qué relación hay entre la primera (n° de divisiones) y la tercera
columna (líneas que debería haber)?
De cada división sale una línea a cada una de las otras divisiones. Si
hay que relacionar 5 objetos con otros 4, el número de relaciones sería:
5 x 4
¡Cuando hay 5 divisiones existen 20 líneas!
Si hay que relacionar 4 objetos con otros 3, el número de relaciones sería:
4 x 3
¡Cuando hay 4 divisiones existen 12 líneas!
Pero, en realidad, al hacer 5 divisiones sólo hay 10 líneas, y al hacer 4,
sólo 6.
¡Que son las que en realidad hay: la mitad de las
que debería haber si se multiplica el número de
divisiones por todas las demás!
¿Eso quiere decir que si se divide en 6 partes, habrá 15 líneas?
¡En efecto!
Por lo tanto, la ley general será:
Y,
en el caso de 33 divisiones, el número de
líneas que habrá será:
94
Empezar por el final
DESCRIPCIÓN
Consiste en partir de la situación final y, extrayendo de ella toda la
información posible, ir retrocediendo hacia el principio.
SOLUCIÓN
Si el resultado de esta complicada operación es 1,
eso quiere decir que toda la torre de fracciones vale
4. De esa manera al restarle 3, sale la solución 1.
Por tanto:
EJEMPLO
Calcular el valor de X en la siguiente expresión
95
El denominador es 3. Si el resultado es
4, será porque el numerador es 12.
Si la torre de fracciones más 8 vale 12. Eso
quiere decir que la torre de fracciones vale 4
Si el denominador es 2 y el resultado es 4, por
fuerza el numerador tiene que ser 8.
La fracción tiene que valer 4.
El numerador forzosamente debe valer 8. De esa forma, al dividirse por 2,
da 4.
3 + X = 8
Y a X no le queda otro remedio que ser 5
96
Descomponer el problema en partes más
pequeñas
DESCRIPCIÓN
Consiste en dividir el problema en pequeñas partes e ir resolviéndolas sin
perder de vista cuál es el objetivo final.
SOLUCIÓN
Si averiguamos cuántos nueves hay en cada centena,
tendremos el problema resuelto. Pero, para saber los
nueves que hay en una centena, es más sencillo
encontrar primero cuántos hay en cada decena.
EJEMPLO
¿Cuántas veces aparece la cifra 9
en los mil primeros números
97
1 x 10 = 10
10 x 20 = 200
Con esto, el problema se ha dividido en las dos partes siguientes:
¿cuántos nueves hay en una decena? y ¿cuántos nueves hay en una
centena?
En cada decena hay 1 nueve:
Además, en la décima decena (90, 91, 92, ... 99) hay otros 10 nueves:
Así, pues, en la primera centena hay 20 nueves.
En cada centena hay 20 nueves:
Además, en la décima centena (900, 901, ... 999) hay otros 100 nueves.
En resumen: del 0 al 999 hay 300 nueves
10 x 1 = 10
98
Sacar partido de la simetría
DESCRIPCIÓN
Sacar partido de la simetría consiste en aprovechar la simetría de ciertas
situaciones, figuras o expresiones para descomponer el problema en otros
más sencillos o para poner de manifiesto alguna regularidad
SOLUCIÓN
Como el rombo de letras tiene simetría horizontal, se
puede considerar sólo la mitad superior y contar
cuántas veces se puede formar la palabra
PROBLEMAS partiendo de la P de arriba.
EJEMPLO
¿Cuántos caminos se pueden seguir para formar la palabra
"problema"?
99
Está claro que todas las palabras tienen que empezar por la P superior, por
tanto ponemos un 1 en el lugar de esta P; de la P se puede ir a la R de la
izquierda o a la de la derecha, en las que ponemos un 1 porque sólo hay una
manera de formar PR que termine en cada una de ellas; desde estas R se
puede ir a las O de los extremos de una sola forma posible, y a la O de en
medio desde cada una de las dos R, por lo tanto ponemos un 1 en las O de
los extremos y un 2 en la O de en medio; y así, sucesivamente.
Se puede formar la palabra PROBLEMAS de tantas formas como indica:
1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1=256
Pero, como sólo hemos considerado la mitad del rombo, tenemos otras
tantas veces la palabra PROBLEMAS empezando por la P de abajo: 256 x
2 = 512
100
Resolver un problema más sencillo
DESCRIPCIÓN
Consiste en tratar de resolver el mismo problema con números más
sencillos, con menos elementos, etc. De esta forma será más fácil
comprender la situación y poder sacar conclusiones aplicables al
problema que realmente se nos plantea.
SOLUCIÓN
Resolvamos el problema con números más
sencillos.
Supongamos que el problema dice "3 camisetas, 4 pantalones y 2
gorras". Las camisetas las denominaremos como c1, c2 y c3, los
pantalones como p1, p2, p3 y p4, y las gorras como g1 y g2
EJEMPLO
¿De cuántas formas diferentes se pueden combinar 11 camisetas, 12
pantalones y 8 gorras?
101
El número de combinaciones camiseta-pantalón que se forman es de:
3 (camisetas) x 4 (pantalones) = 12 combinaciones.
Cada una de estas combinaciones se completará con una de las dos
gorras.
Es decir:
El número toral de combinaciones es:
2 (gorras) x 12 (camisetas con pantalones) = 24
Según esto, el problema inicial (11 camisetas, 12 pantalones y 8 gorras) se
resuelve así:
11 x 12 x 8 = 1.056 combinaciones
102
Sistematizar el trabajo
DESCRIPCIÓN
Consiste en utilizar un método o sistema que nos permita explorar las
diferentes posibilidades de forma ordenada, para evitar que se nos
olvide alguna.
SOLUCIÓN
Para evitar el escribir números a lo loco, vamos a
empezar por escribir los que empiecen por 1-3:
1357
1375
Ahora, los que empiecen por 1-5:
1537
1573
EJEMPLO
¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con
el 1, el 3, el 5 y el 7?
103
Ahora, los que empiecen por 1-7:
1735
1753
Ahora, haremos lo mismo empezando por 3 (primero, seguido del 1,
después seguido del 5 y, por último, seguido del 7).
3157
3175
3517
3571
3715
3751
Este proceso lo repetiremos con el 5 y con el 7.
5137 7135
5173 7153
5317 7315
5371 7351
5713 7513
5731 7531
Por lo tanto hay 24 números posibles
104
Particularizar
DESCRIPCIÓN
Consiste en trabajar con ejemplos concretos cuando se desea comprobar
alguna cuestión o situación general.
SOLUCIÓN
Para contestar a una cuestión como ésta, en la que
plantea un problema en general, lo mejor es arrancar
desde un ejemplo concreto, como punto de partida.
Lo que compramos vale 24,78 euros. Nos tienen que cargar el 17% de
IVA y nos ofrecen un descuento del 20 %.
EJEMPLO
¿Qué prefieres cuando vas de compras, que primero te hagan el descuento y luego te carguen el IVA, o que primero te carguen el
IVA y luego te hagan el descuento?
105
Trabajemos los dos supuestos:
Primero el descuento y luego el IVA
20% de 28,78: (20 x 28,78) : 100 = 5,756 euros de descuento
Precio menos el descuento: 28,78 - 5,756 = 23,024 euros
15% de 23,024: (15 x 23,024) : 100 = 3, 4536 euros de recargo.
Total a pagar: 23,024 + 3,4536 = 26,4776 euros (26,48 según el
redondeo)
Primero el IVA y luego el descuento
15% de 28,78: (15 x 28,78) : 100 = 4,317 euros de recargo
Precio más el IVA: 28,78 + 4,317 = 33,097 euros
20% de 33,097: (20 x 33,097) : 100 = 6,6194 euros
Total a pagar: 33,097 - 6,6194 = 26,4776 euros (26,48 según el redondeo)
¡Da lo mismo!
106
Simular la situación
DESCRIPCIÓN
Se trata de simular o reproducir la acción o la situación que describe el
problema.
SOLUCIÓN
Este es un problema de azar, ya que cada arquero
dispara a la diana que prefiere. Puede ocurrir que todos
disparen a la misma diana, o que dos disparen a una
misma diana y los otros cuatro a otra, etc. En el primer
supuesto quedarían cinco dianas intactas y cuatro en el
segundo supuesto.
Vamos a simular el problema. Para ello, cogemos un dado y lo lanzamos
una vez por cada arquero. El número que salga en el dado es el número
de la diana a la que ha disparado ese arquero.
EJEMPLO
Seis arqueros infalibles disparan sobre seis dianas. ¿Cuántas dianas
no reciben ninguna flecha?
107
Estos son los resultados que me han salido a mí.
Arquero Diana
1 2
2 4
3 1
3 1
4 4
5 4
5 3
Esta simulación da como resultado que a la diana nº 1 sólo le ha llegado
una flecha (la del tercer arquero), a la diana nº 2 sólo le ha disparado el
primer arquero y a la nº 3, el sexto.
A la diana nº 4 le han disparado tres arqueros y a las dianas 5 y 6 no les
ha disparado nadie.
Si repetimos la simulación nueve veces más tendremos los siguientes
resultados.
Arquero
D D D D D D D D D D
1 2 3 1 5 3 4 2 1 1 6
2 4 4 4 3 6 3 3 3 6 6
3 1 1 2 5 1 4 2 6 2 1
4 4 3 5 5 5 6 2 6 1 5
5 4 4 1 2 4 5 2 2 1 3
6 3 4 5 4 6 3 4 5 1 5
108
En el total de las diez pruebas, el número de dianas sin flechas es el
siguiente:
Arquero Dianas vacías
1 2 (nº 5 y 6)
2 3 (2, 5 y 6)
3 2 (3 y 6)
4 2 (1 y 6)
5 1 (nº 2)
6 2 (1 y 2)
7 3 (1, 5 y 6)
8 1 (nº 4)
9 3 (3, 4 y 5)
10 2 (2 y 4)
Total 22
Si dividimos el número total de dianas vacías entre el número de pruebas
realizadas 22 : 10 = 2'2obtenemos que el número de dianas vacías oscila entre
dos y tres, pero que está más cerca de dos que de tres.
Por tanto, la respuesta sería: dos o tres dianas no recibirán ninguna flecha y
lo más probable es que sean dos las que se queden vacías.
Esta simulación permite aproximarse bastante a la respuesta exacta.
Cuantas más pruebas se hagan, mayor aproximación al resultado se
obtendrá.
En mi caso concreto, hice después otras 10 pruebas y las agregué a las
anteriores. El total sobre las 20 pruebas era de 49 dianas vacías, lo que
significa que 2'45 dianas no recibieron flechas. Como se ve, el resultado con
veinte pruebas se ajusta más al resultado
teórico que es:
109
Principio del palomar
DESCRIPCIÓN
Esta estrategia se basa en la siguiente premisa: Si 11 palomas se meten
en un palomar que tiene 10 nidos, indefectiblemente en algún nido debe
haber más de una paloma.
SOLUCIÓN
Al lanzar un dado, los resultados diferentes que se
pueden obtener son seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Si este "palomar" tiene 6 nidos y queremos tener la
seguridad de que "dos palomas se meten en el mismo
nido" (obtener dos veces el mismo resultado), será
necesario contar con 7 "palomas" (efectuar siete
lanzamientos).
En efecto, en el peor de los casos, obtendremos resultados diferentes según
vayamos lanzando el dado. Pero, eso no puede ocurrir más que en los seis
primeros lanzamientos, puesto que el séptimo repetirá necesariamente uno
de los resultados anteriores
EJEMPLO
¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para tener la absoluta
seguridad de obtener una misma puntuación dos veces?
110
Ensayo y error
DESCRIPCIÓN
Consiste en elegir un resultado y comprobar si puede ser la solución del
problema. Si la comprobación es satisfactoria, habremos resuelto el
problema. Si no se logra, se repite el proceso con una segunda solución
supuesta. Y así sucesivamente, hasta encontrar la solución o demostrar
que el problema es insoluble.
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que el cociente es menor que 1,
elegiremos siempre el dividendo menor que el divisor.
Empezaremos por las cantidades más cercanas a 30
que sea posible.
28 : 29 = 0,9655172
EJEMPLO
Un profesor algo despistado ha dividido dos números con su calculadora. El resultado es
0,7307692. Pero, no recuerda qué números eran. Lo único que sabe es que ambos eran menores que
111
El resultado es mayor que el que buscamos. Para conseguir un resultado
menor debemos disminuir el dividendo (también se podría aumentar el
divisor, pero entonces no sería inferior a 30).
27 : 29 = 0,9310344
Sigue siendo mayor. Iremos restando una unidad cada vez al dividendo:
26 : 29 = 0,8965517
25 : 29 = 0,8620689
24 : 29 = 0,8275862
23 : 29 = 0,7931034
22 : 29 = 0,7586206
21 : 29 = 0,7241379
Ahora, el resultado es menor que el que buscamos. Para conseguir un
cociente mayor o aumentamos el dividendo (y volveríamos a 22 : 29) o
disminuimos el divisor.
21 : 28 = 0,75
Otra vez, nos hemos pasado. Esto nos permite fijar un criterio de ensayo:
si el cociente es mayor que el buscado, se resta una unidad al dividendo,
y si el cociente es menor que el buscando, el divisor se disminuye en una
unidad.
21 : 27 = 0,7777...
20 : 27 = 0,7407407
19 : 27 = 0,7037037
19 : 26 = 0,7307692
Ésta es la respuesta!
112
Hacer un dibujo
DESCRIPCIÓN
Consiste en representar, dibujar o esquematizar la situación descrita por
el problema. La contemplación del aspecto gráfico del problema (allí
donde lo haya) contribuye a la mejor comprensión del mismo.
SOLUCIÓN El dibujo de la situación podría ser así:
EJEMPLO
Los sauces Una empresa de acondicionamientos de jardines
recibe un día el encargo de modificar el estanque de un jardín. Los clientes desean que su estanque
cuadrado, siga siendo cuadrado, pero quieren que se duplique su superficie. Sin embargo, hay un
inconveniente: en cada esquina del estanque crece un sauce llorón y, por supuesto, los dueños del jardín desean que sus sauces permanezcan donde están.
¿Es posible cumplir el encargo o no? .
113
Sí es posible cumplir el encargo si se construye el estanque de forma que
cada vértice del cuadrado antiguo coincida con la mitad de cada uno de
los lados del nuevo.
También en esta estrategia se puede sacar partido de la simetría de la
figura. Si se trazan las diagonales del primer cuadrado, se puede llegar a
percibir que el cuadrado se duplica si, por cada triángulo (de los formados
al trazar las diagonales), se dibuja otro igual. Para lo cual, cada lado actúa
como eje de simetría.
El simple hecho de dibujar una situación no garantiza que se llegue a
resolver el problema, pero sí ayuda a clarificar las cosas.
114
Bloque 2
Las matemáticas son un juego
Estrategias lúdicas
115
Importancia de la lúdica en la
enseñanza de la matemática
La actividad matemática ha tenido desde siempre un componente lúdico
que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones
más interesantes que en ella han surgido. La matemática y los juegos han
entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos.
Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste
en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, rompecabezas, chiste, paradoja,
pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de
cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen
frívolas.
La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este
juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico,
que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes
de nuestra cultura.
La matemática es un grande y sofisticado juego que, además, resulta ser
al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa
luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas.
Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos
comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas
características en lo que respecta a su propia práctica.
Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto
número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por
tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder
en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita.
116
El gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste en su potencia
para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su
enfrentamiento con problemas matemáticos
Los juegos sirven al docente para motivar su clase, hacerlas amenas,
interesantes, atrayentes, activas y dinámicas; estimular las
manifestaciones psíquicas en el desarrollo de sus funciones orgánicas,
mentales y fisiológicas. El juego en el niño convierte todo lo aprendido en
una habilidad disponible a ser aprovechado en el proceso educativo.
El juego constituye una natural descarga del exceso de energía que
posee el niño por sus propias características. Para nadie es desconocido
que la mayor parte de la vida del niño la dedica al juego, a través del cual
canalizan sus energías, por ello se suele afirmar que el jugar es la esencia
del niño, además se puede decir que no existe mejor ejercicio para el
niño, que el juego, convirtiéndose en una verdadera gimnasia.
117
Juego Lúdico
El juego lúdico es una estrategia de aprendizaje
Permite estimular el pensamiento
lógico
Es una actividad propia del niño
Facilita la comprensión y
aprendizaje
Ayuda a atención y memoria
Permite el crecimiento y desarrollo
Integrarse y compartir saberes
Desarrolla la creatividad e inventiva
Desarrolla su global del niño.
Característica.
118
Clases y tipos de juegos aplicados en las
matematices
CLASE TIPO DESCRIPCIÓN
Juegos de
enseñanza
Juegos
preinstruccionales
Activan conocimientos previos, preparan el camino hacia el concepto a trabajar
Juegos
instruccionales
Presentan los conceptos desde distintas perspectivas y ayudan al tránsito de lo concreto a lo abstracto.
Juegos
Postinstruccionales
Planteados para adquirir destrezas o profundizar en un determinado concepto, suelen ser básicamente simbólicos y aprovechan todo lo aprendido para que el alumno lo ponga en práctica de manera creativa e integradora.
Juegos de
estrategia
Juegos de
estrategia pura
No tienen elementos de azar. La partida se define en un número finito de jugadas. En todo momento los jugadores tienen información total sobre el estado de la partida. (ajedrez)
Juegos mixtos
Combinan estrategias con elementos de azar.(ludo aritmético)
Enigmas
Acertijos
matemáticos
Situaciones cuyo enunciado promueve interés por presentar un lado misterioso o enigmático.
Rompecabezas
mecánicos
Retos de base matemática con un soporte concreto. Ejemplos el tangrama, la torre de Hanói
Problemas de
pensamiento lateral
Relatos que presentan una situación aparentemente absurda, pero q ue desde novedosos puntos de vista tienen sentido lógico.
Matemática
Juegos de magia de base matemática
Falacias
Proposiciones falsas que se establecen luego de una cadena deductiva de pasas aparentemente justificadas.
119
JUEGOS MATEMÁTICOS
CUADRADOS MÁGICOS
120
Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas
formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas,
de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el
mismo resultado.
Aplicación didáctica
Un cuadrado mágico es una disposición de
varios números distintos dispuestos en un
cuadrado, enfilas y columnas, de tal modo que
sus filas, columnas y diagonales suman todas
lo mismo. A esta sumase le llama “el número
mágico”.
En esta imagen podemos observar un tipo
de cuadrado mágico más bien de nivel
novato y fácil por lo tanto se puede
resolver con bastante rapidez.
Ejercicios de aplicación Completa estos cuadrados mágicos multiplicativos de números enteros.
121
(A partir de 1º de Educación Secundaria)
Soluciones:
Lotería
-1 -2
1 1 1 10 25
-20
-1 1 -1 -5 100 -2
1 1 1 4 10 25
-1 1 -1 -50 1 -20
122
La lotería es uno de los juegos tradicionales que puede adaptarse muy
fácilmente para ser utilizado en la escuela con fines didácticos. Las reglas
son fáciles de comprender aun por niños muy pequeños y es posible jugar
con grupos bastante numerosos.
Propósito
Se busca proponer situaciones en las que los alumnos tengan que
realizar cálculos mentales, explicitar los procedimientos utilizados,
compararlos y analizarlos para hacer evolucionar sus estrategias de
cálculo mental.
Materiales Para este juego se requieren los siguientes materiales:
Tarjetitas con mensajes que pueden ser: operaciones simples,
combinadas, problema u otro similar.
Cartillas de lotería.
Semillas ó fichas para señalar las casillas.
Secuencia
123
1. Prepara tarjetitas que contengan los siguientes mensajes
como“3+2=...”, “8-5=...”, ó “4x5=.”, “12x3=. .”, “El doble de 7es....”,“La
mitad de 18 es...”, etc.
2. Elaborar las tarjetitas en función del nivel y grado de los niños yniñas,
de tal forma que puedas incluir contenidos de operaciones, desde
conceptos de número y operaciones simples, hasta operaciones
complejas, en cualquiera de los conjuntos a tratar en el nivel de
Primaria.
3. Elaborar cartillas de lotería. Éstas pueden ser de 3x3 casillas. Encada
uno de ellas debes escribir un número que responda a las tarjetitas
preparadas anteriormente.
4. Explicar en forma clara y con ejemplos el procedimiento del juego.
5. Indicar a cada grupo que elija un coordinador que sorteará las cartillas.
Los demás integrantes resolverán las diferentes situaciones que se
presenten en las tarjetas sorteadas.
6. Dejar que a medida que se desarrolle el juego
“Lotería”, los niños y niñas descubran por sí
solos la forma de ganar. Es esto lo que les
permitirá ir aprendiendo a construir estrategias y
entender los contenidos relacionados con el
juego.
Habilidades desarrolladas
Interpretan la relación que existe entre las operaciones.
124
Crean y aplican estrategias de cálculo rápido al resolver operaciones.
Desarrollan habilidades de cálculo e indicadores de creatividad
(flexibilidad, fluidez y originalidad) necesarios para el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
Realizar actividades recreativas relacionadas con las matemáticas de
modo que se generan aprendizajes y actitudes positivas tanto en el
nivel individual como grupal, superando el rechazo que algunos
sienten hacia la matemática
.
Lotería de la multiplicación y división
Participan tres o cuatro niños y niñas. Sorteo para elegir quién será el
moderador del juego. Cada niño o niña elige una cartilla. El moderador del
juego “canta” los mensajes uno a uno. Anota el número respectivamente
en cartillas similares a las de los niños o
niñas. Cada mensaje leído
corresponde
a un único número que se
registra en la cartilla. El niño o
niña que complete primero
su cartilla será el ganador.
125
ARITMÉTICA CON DADO
En esta actividad te proponemos un juego en el que podrás practicar
aritmética jugando con tres dados. Puedes jugarlo solo o con amigos.
Para jugar este juego, es necesario que sepas sumar, restar y multiplicar,
126
pero no te preocupes si todavía no eres un experto haciendo operaciones,
las que vas a encontrar aquí son muy sencillas.
Propósitos
Llegar a la resolución del problema por medio del conteo.
Material 1 Tablero 3 dados Fichas de colores
Cada participante usará un color o un tipo de semillas para marcar sus casillas.
¿En qué consiste el juego?
El juego se trata de ir haciendo operaciones con los números de
los dados para obtener los números del tablero. Cada jugador lanzará los
dados y después de hacer operaciones con los números que le hayan
salido, marcará la casilla.
127
En una tabla aparecen unos números, la idea es con los dados y las
operaciones obtengas esos números.
Por ejemplo si al lanzar los dados se obtiene lo
siguiente:
Podemos obtener los siguientes números
11 multiplicando 3 y 4 y después restando 1 ó
13 multiplicando 3 y 4 y después sumando1 ó
12 multiplicando 3 y 4 y después multiplicarlo por 1 ó
7 sumando 3 más 4 y después multiplicarlo por 1 ó
2 restando 4 menos 3 y después sumar 1 ó ………etc.,
En la tabla siguiente están escritas las operaciones anteriores
DADOS OPERACIÓN CON DOS
DADOS OPERACIÓN CON TRES
DADOS RESULTADO:
CASILLA QUE SE MARCA
3, 4, 1 3 x 4 = 12 12 -1= 11 (3 x 4) - 1 = 11
3, 4, 1 3 x 4 = 12 12 + 1 = 13 (3 x 4) + 1 = 13
3, 4, 1 3 x 4 = 12 12 x 1 = 12 (3 x 4) x 1 = 12
3, 4, 1 3 + 4 = 7 7 x 1 = 7 (3 + 4) x 1 = 7
3, 4, 1 4 -3 = 1 1 + 1 = 2 (4 - 3) + 1 = 2
¿Qué números puedes obtener con las siguientes tiradas? Completa la tabla
128
Reglas
Se
jue
ga
con
dos
o más jugadores.
Cada jugador tirará un dado para saber quien empieza. Empezará el que
obtenga el número más alto, y el siguiente será el que esté a la derecha
del ganador.
Cada jugador tira en su turno los tres dados al mismo tiempo.
Cada jugador marca sus casillas con fichas del mismo color o
con semillas del mismo tipo.
Con los tres números que salieron en los dados y haciendo sumas,
restas y multiplicaciones, se intenta conseguir uno de los números que
están en el tablero. Si se logra, el número se marca con la ficha del
jugador.
Cuando un número ya fue marcado, ya no puede volver a marcarse.
En caso de que con los tres números que salieron en los dados no se
pueda conseguir ningún número vació del tablero, se deberá pasar el
turno al siguiente jugador
EL LUDO MATEMÁTICO
DADOS OPERACIÓN
CON DOS DADOS OPERACIÓN
CON TRES DADOS
3, 4, 1
6, 3, 2
6, 3, 2
5, 5 ,5
5, 5 ,5
4, 3, 3
129
El Ludo matemático consiste en un
tablero de aproximadamente 40 x 50
cm en el que se ha trazado una ruta
dividida en casilleros con premios y
castigos cada cierto tramo y que está
sujeto al azar de los números que se
obtienen al tirar por turnos el dado.
Propósito
Esta experiencia pretende que los alumnos refuercen la operatoria básica
aritmética de adición sustracción, de números naturales utilizando el Ludo
matemático.
Secuencia Didáctica
1. El juego es igual al tradicional ludo. Los participantes tiran el dado por
turnos, empieza quien ha sacado 6 puntos, pero tiene la siguiente
modificación
2. Durante el juego si los dados determinan que la ficha caiga en un
casillero que contiene el signo "? debe realizar la operación de la carta
"correspondiente
130
3. Las cartas "? " son revueltas y puestas volteadas para que el alumno no
vea la operación hasta que le corresponda.
4. Si responde correctamente el resultado, avanza un casillero, sino
retrocede tres casilleros.
5. El alumno debe responder en hasta 30 segundos (los otros integrantes
del grupo cuentan mientras el alumno calcula) sino queda como mala la
respuesta retrocediendo tres casilleros
6. Cada vez que se desarrolla una operación la carta correspondiente debe
ser puesta al fina
Habilidades desarrolladas
Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta
familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo
como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros
elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de
un juego o de una teoría matemática.
Con la aplicación de este juego el alumno:
Adquiere velocidad de cálculo
Es capaz de sumar
Es capaz de restar
Analiza situaciones utilizando cálculo
Descubre problemas que requieren cálculo en su entorno.
131
EL GEOPLANO
El geoplano es un recurso didáctico para la introducción de gran parte de
los conceptos geométricos; el carácter manipulativo de éste permite a los
niños una mayor comprensión de toda una serie de términos abstractos,
que muchas veces o no entienden o nos generan ideas erróneas en torno
a ellos.
El Geoplano es un tablero con una
malla de clavos, en el que se
pueden formar figuras
utilizando gomas elásticas,
Propósitos y Objetivos
Los objetivos más importantes que se consiguen con el uso del geoplano
son:
La representación de la geometría de forma lúdica y atractiva, y no
Trabajar nociones topológicas básicas líneas abiertas, cerradas,
frontera, región, etc.
Reconocer las formas geométricas planas.
Desarrollar la orientación espacial mediante la realización de cenefas
y laberintos.
Llegar a reconocer y adquirir la noción de ángulo, vértice y lado.
Introducir la clasificación de los polígonos a partir de actividades de
recuento de lados.
Llegar al concepto intuitivo de superficie
132
Contenidos que se pueden trabajar con el
geoplano
Resolución de problemas con:
Representación de puntos: Ejes de coordenadas, abscisas, ordenadas,
representación de un punto a partir de pares de números ordenados,
externos o internos a una figura…
Representación de líneas: Rectas,
semirrectas, segmentos, curvas, mixtas,
paralelas, tangentes, secantes a una figura,
poligonales, abiertas, cerradas…
133
Representación de figuras:
Representación de polígonos: regulares, irregulares
Representación de ángulos: internos y externos,
operatoria, fracciones, porcentajes, cálculo mental,
vocabulario, expresión y comprensión oral y escrita,
interacción social,
Cálculo y comparación: de puntos, de líneas, de figuras, de ángulos,
semejanzas, mayor, menor igual…
Habilidades desarrolladas
Si el docente conoce el Geoplano, podrá conducir sus alumnos a construir
conceptos matemáticos propios y favorecerá el desarrollo de procesos de
aprendizaje significativo y con ello el estimulará algunas capacidades
cognitivas más complejas: los conceptos de proporcionalidad,
cuadriláteros, triángulos, segmentos, paralelismo, perpendicularidad,
congruencia, medida, relaciones y proporciones, el lenguaje
gráfico y algebraico se encuentren todos integrados en una actividad y en
una sola discusión participativa dentro del ambiente educativo ideal
propiciado por el docente.
134
Ejercicios de aplicación
Realizar las siguientes actividades
Solución
135
glosario
Actividades lúdicas: Juegos didácticos o lúdico-educativos son aquellas
actividades incluidas en el programa de nuestra asignatura en las que se
presenta un contexto real y una necesidad de utilizar el idioma y
vocabulario específico con una finalidad lúdico-educativa.
Aprender a aprender: Principio de intervención educativa. Implica
emprender una serie de medidas orientadas a que el alumno desarrolle
habilidades y estrategias que faciliten futuros aprendizajes de una manera
autónoma.
Aprendizaje Holístico: Es una forma constructivista de entender el
aprendizaje centrada en los procesos de adquisición de conocimientos,
según la cual el estudiante adquiere una comprensión más profunda al
establecer conexiones entre las distintas áreas de conocimiento,
individuo, comunidad y el mundo.
Aprendizaje mecánico: Aquel que aparece caracterizado por notas
como: incorporación arbitraria de los nuevos conocimientos, falta de
integración de los mismos en la estructura cognitiva del sujeto que
aprende, adquisición memorística sin significado (que dificulta su
aplicación a diferentes situaciones y contextos.
136
Aprendizaje por descubrimiento: Aquel en el que el alumno construye
sus conocimientos asumiendo una actitud protagonista, sin la ayuda
permanente del enseñante que puede, no obstante, guiar el proceso y
facilitar medios.
Aprendizaje significativo: Tipo de aprendizaje caracterizado por suponer
la incorporación efectiva a la estructura mental del alumno de los nuevos
contenidos, que así pasan a formar parte de su memoria comprensiva
Aprendizaje.- Acción y efecto de aprender algún arte, oficio u otra cosa.
Ayuda pedagógica: Situación en la cual el sujeto que aprende recibe
orientación y apoyo de otros para progresar tanto en el desarrollo
intelectual como socio-afectivo y motriz.
Conocimientos previos: Conjunto representaciones y significados que
los alumnos poseen en relación con los distintos contenidos de
aprendizaje que se proponen para su asimilación y construcción.
Contenido: Elemento del currículo que constituye el objeto directo de
aprendizaje para los alumnos, el medio imprescindible para conseguir el
desarrollo de capacidades.
Didáctica: Es el arte de saber explicar y enseñar con un mayor número
de recursos para que él y la estudiante entienda y aprenda.
137
Docente.- Perteneciente o relativo a la enseñanza (Sistema y método de
dar instrucción).
Educación.- Acción y efecto de educar; crianza, enseñanza y doctrina
que se da a los niños y a los jóvenes. Instrucción por medio de la acción
docente.
Estrategia Didáctica.- Es el conjunto de procedimientos apoyados en
técnicas de enseñanza, que tienen por objeto llevar a buen término la
acción didáctica, es decir, alcanzar los objetivos de aprendizaje.
Estrategias Metodológicas.- Son los modos como se utilizan os medios
para la conversión de aprendizajes y son los: métodos, procedimientos,
técnicas, operaciones cognitivas, metacognitivas y recursos.
Materiales curriculares.- Instrumentos y medios elaborados con una
intención original y primariamente didáctica, que se orientan a la
planificación y desarrollo del currículo.
Método Didáctico.- Es el elemento que ordena, manipula y conduce la
actividad, para el cumplimiento de los objetivos propuestos por el tutor/a.
138
Metodología de la Didáctica.- Comprende un sistema de acciones o
actividades planificadas y organizadas por el tutor/a para posibilitar el
aprendizaje de los estudiantes, por lo tanto considera el empleo de
métodos, técnicas y recursos, para que la teoría sea aprendida en el
contexto en que va a ser aplicada.
Pedagogía.- Es el conjunto de saberes que como disciplina, organiza el
proceso educativo de las personas, en los aspectos psicológico, físico e
intelectual considerando los aspectos culturales de la sociedad en
general.
Proceso de enseñanza- aprendizaje.- De carácter sistémico y eficiente
en marcos curriculares dirigido a la formación de nuevas generaciones por
personal preparado para desarrollarlo.
Recursos Didácticos.- Es todo el material didáctico al servicio de la
enseñanza y son elementos esenciales en el proceso de transmisión de
conocimientos del tutor/a al estudiante.
Técnica.- proceso que viabiliza la aplicación de métodos, procedimientos
y recursos para la reconstrucción del conocimiento y del aprendizaje
139
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matemáticas. Edit. Mir, España, 2001.
142
ANEXOS
143
MOMENTOS EN QUE SE APLICA LA ENCUESTA A
LOS ESTUDIANTES DE LA INSTITUCIÓN
144
MOMENTOS EN QUE SE APLICA LA ENTREVISTA
A LOS DOCENTES DE LA INSTITUCIÓN
145
146
LICENCIA DE DISTRIBUCIÓN
EL CONTENIDO DE ESTA OBRA ES UNA CONTRIBUCIÓN DEL AUTOR AL
REPOSITORIO ACADÉMICO DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA,
POR TANTO EL (LOS) AUTOR (ES) TIENE EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD
SOBRE EL MISMO Y NO NECESARIAMENTE REFLEJA LOS PUNTOS DE
VISTA DE LA UTMACH.
ESTE TRABAJO SE ALMACENA BAJO UNA LICENCIA DE DISTRIBUCIÓN
NO EXCLUSIVA OTORGADA POR EL AUTOR AL REPOSITORIO, Y CON
LICENCIA CREATIVE COMMONS – RECONOCIMIENTO – NO COMERCIAL
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PALABRAS CLAVES: estrategias metodologías, proceso enseñanza aprendizaje,
matemáticas.
