Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional La ... · El bloque de adelanto de...

Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional La Rioja

Sistemas de Control Aplicado

Guía de Trabajos Prácticos y Actividades 2007

JTP: Ing. Juan Pablo Pedroni

Cronograma de Actividades Fecha Actividad

31-Mar Clase de Presentación. Introducción al Simulink. Resolución de Trabajo Práctico Nº 1, Parte 1: Modelado

14-Abr

Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 1, partes 2 a 4: Métodos prácticos de compensación, Control en cascada, Compensación de perturbación por adelanto de señal

21-Abr Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 2; Control de plantas inestables

28-Abr Clase Teórica: Elementos no lineales. Función descriptiva. Aplicación de elementos no lineales en control

05-May Clase Práctica: Resolución del Trabajo Práctico Nº 1, parte 3, aplicando elementos no lineales.

12-May Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 3: Aplicaciones de control digital

19-May Ausente por enfermedad

26-May Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 4: Aplicaciones de control digital

02-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 5: Aplicaciones de control digital

09-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajos Prácticos Nº 6 y Nº 7: Aplicaciones e control digital

16-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 8: Control con actuador saturable

23-Jun Coloquio Integrador

Asistencia

Asistencia

Alumno Matrícula 31-

Mar 14-Abr

21-Abr

28-Abr

05-May

12-May

26-May

02-Jun

09-Jun

16-Jun

23-Jun

De la Fuente, Mauro

30-01394-2

A P P A A P P A P A T

Gómez, Mario R 30-1820

A P A P A A P T P P T

Kaliciñski, Matías 30-1486

P A A P A A P T P A T

Lobo, Gonzalo 30-1492

P A A P A T P P A T T

Orquera, Mariano 30-07014

P P P P T P P P A P P

Vilte, Víctor Julián 30-1504

A P P P A A P A P T T

Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 4

UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007

Trabajo Práctico Nº1

Tema 1. Modelado.-

1.1. Empleando Simulink, modelar la planta de tercer orden P(s)=1/(s+1)3 con un

compensador PID teórico:

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

d

i

de tu t K e t e d T

T dtτ τ

= + +

∫

esquematizar el modelo utilizado (diagrama en bloques de Simulink).

1.2. Usar compensador puramente proporcional y verificar el límite de estabilidad que

puede obtenerse por aplicación del diagrama de Nyquist de la planta (Klim)

>> P=tf(1,[1 3 3 1]) >> nyquist(P)

Incluya en su informe el lugar de Nyquist esquemático de la planta. Verifique en

Simulink la condición de oscilación calculada.

Aplicar lugar de raíces y volver a verificar el límite de estabilidad calculado. >> K=0:.1:10; >> rlocus(P,K)

Hallar el ajuste de ganancia proporcional que conduce a polos dominantes con factor de

amortiguamiento 0.707

Incluya en su informe el andar del lugar de raíces y los valores leídos en el mismo.

1.3. Emplear ahora un compensador PI y con ganancia proporcional K=1.25 analizar

el comportamiento de la respuesta al escalón en la variable de referencia para valores de

Ti ∈[0.5, 5].

Para ello se deberá realizar la tabla de sobrepasamiento porcentual y tiempo de

respuesta al 5%

Explicar mediante el lugar de raíces la inestabilidad que se observa para bajos valores

de Ti.

1.4. Completar el controlador PID con K=1.25; Ti=2.5s; y variar Td desde 0 hasta

obtener una respuesta transitoria aceptable. También en este caso tabular

1.5. Sustituir el derivador teórico por un derivador restringido Td s/(αTd s+1) y

comentar la influencia del valor del parámetro α>0 sobre la respuesta al escalón del

sistema a lazo cerrado y sobre la variable manipulada.

Ti (seg) Sobrep. (%) tr.5% (seg)

... ... ...

... ... ...

Td (seg) Sobrep. (%) tr.5% (seg)

... ... ...

... ... ...



Tema 2. Métodos prácticos de compensación.

2.1. Una planta posee la respuesta al escalón dada por la Fig. 2.1. Calcular los

parámetros del controlador PI por las reglas de Chien, Hrones y Reswick (Apuntes pág.

20) midiendo Ke, Ta y Tr según el método de la Fig.1.22 de los Apuntes. Emplear las

reglas para respuesta oscilatoria al escalón de comando.

Fig. 2.1.

2.2. Siempre en base a la resp al escalón de la Fig. 2.1. identificar la constante de

tiempo equivalente Te del sistema y la ganancia Ke. (Apuntes pág 22 a 26).

Dimensionar un controlador PI para amortiguamiento 0.707.

2.3. Si la función de transferencia de la planta considerada es

1.5 0.5( )

(2 1)(3 1) (10 1)(20 1)P s

s s s s= ⋅

+ + + +

simular el comportamiento del sistema a lazo cerrado con los parámetros del

controlador PI calculados en los puntos 2.1 y 2.2. Comparar resultados. Discutir.



Tema 3. Control en cascada.

3.1. Dada la planta en cascada 1 2( ) ( ) ( )P s P s P s= ⋅ identificar gráficamente las

ganancias y constantes de tiempo equivalentes de las plantas parciales, sobre las

respuestas al escalón de las Figs. 3.1. y 3.2.

Fig. 3.1.

Fig. 3.2.

3.2. Calcular el control en cascada, de acuerdo al siguiente esquema pero conociendo

analíticamente P1 y P2:



1 2 1 2

1.5 0.5( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ( )

(2 1)(3 1) (10 1)(20 1)P s P s P s P s P s

s s s s= = = ⋅

+ + + +

_

_

d

C2 (PI) P1 (rápida) C1 (P) P2 (lenta)

y1(t) y2(t)

Fig. 3.3.

(De la perturbación por el momento decimos tan sólo que es medible). El controlador

del lazo interno debe ser proporcional con amortiguamiento óptimo. El lazo externo

debe contener un controlador PI para asegurar buena precisión.

Simular y comentar. Comparar con resultados anteriores.

3.3. En el punto precedente hemos calculado los controladores C1(s)=K1 y

C2(s)=K2(1+ 1/T2s);

como hemos realizado cálculos aproximativos, podemos mejorar más la respuesta

transitoria de la variable controlada y2(t) ajustando manualmente el valor de K2.

Comprobarlo.



4. Compensación de perturbación por adelanto de señal.

Siempre sobre nuestra P(s), consideramos el problema de compensar la perturbación

D(s) que incide sobre P2(s). Ver diagrama en bloques de la Fig. 3.3.

4.1. Consideremos un control convencional de un solo lazo de realimentación como el

calculado en 2.2. Simulemos el comportamiento de la variable controlada y2(t) ante un

escalón de perturbación d(t)=u(t). Si bien el rechazo de perturbación es total (ya que el

controlador es PI), el transitorio resulta excesivamente prolongado.

4.2. Aplicamos el concepto de adelanto de señal, midiendo la perturbación y

adicionándola a través de una dinámica conveniente a la entrada de P1(s). Apuntes pag.

57 y ss.

El bloque de adelanto de perturbación debiera tener la f.t. negativa inversa de P1(s).

1

1( )

( )D

G sP s

= −

Como GD(s) no puede ser realizada, usamos una aproximación de P1(s) por constante

de tiempo equivalente y diseñamos una aproximación GDa(s) con un compensador de

adelanto-atraso de fase. Comparar resultados con el caso anterior, empleando una

realimentación exclusivamente estática y realimentación dinámica.-



Material de Apoyo para los Alumnos

Tema 1

1.1 Modelo en Simulink



1.2. Modelo en Simulink



1.2 Archivo de ayuda .m

% Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.2 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007

close all; clear all; clc % La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1])

% La F de T de lazo cerrado es: P_lc=feedback(P,1,-1)

% El diagrama de Nyquist del sistema es: figure nyquist(P_lc)

% Ajustando los ejes... figure nyquist(P_lc);axis([-.16 -.01 -.02 .02])

% Vemos que el diagrama de Nyquist corta al eje real en -.14. Por lo

tanto, % el valor de K0=1/.142

% Para encontrar el valor de K0 que asegure psita=0.7 construímos el

Lugar % de Raíces del sistema. figure rlocus(P) sgrid(.707,[.2 .4 .6 .8 1 1.2 1.4])

% De donde K0=0.408

% Se puede comprobar haciendo: Ppsita=.408*P; Ppsita_lc=feedback(Ppsita,1,-1); figure step(Ppsita_lc) grid



1.3 Modelo en Simulinlk

1.3 Archivo de .m

% Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.3 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007

close all; clear all; clc

% La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1]);

% La función de Transferencia del Controlador PD es: K=1.25; Ti=[.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5];

% El siguiente paso consiste en multiplicar las F de T de la planta y

el % compensador para luego cerrar el lazo:

P_comp1_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(1) 0]))*P,1,-1); P_comp2_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(2) 0]))*P,1,-1); P_comp3_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(3) 0]))*P,1,-1); P_comp4_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(4) 0]))*P,1,-1); P_comp5_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(5) 0]))*P,1,-1); P_comp6_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(6) 0]))*P,1,-1);



P_comp7_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(7) 0]))*P,1,-1); P_comp8_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(8) 0]))*P,1,-1); P_comp9_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(9) 0]))*P,1,-1); P_comp10_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(10) 0]))*P,1,-1); % Finalmente se grafican las respuestas al escalón de los sistemas. figure step(P_comp1_lc) grid title('Resp al escalón del primer sistema')

figure step(P_comp2_lc,P_comp3_lc,P_comp4_lc,P_comp5_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 2 al 5')

figure step(P_comp6_lc,P_comp7_lc,P_comp8_lc,P_comp9_lc,P_comp10_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 6 al 10')

% La tabla se completa de la siguiente manera:

% Ti (seg)|Sobrep (%) |ts5%(seg) % .5 | ---- | ---- % 1 | 49.1 | 24.8 % 1.5 | 25.6 | 13.6 % 2 | 12.1 | 11.1 % 2.5 | 3.15 | 10.3 % 3 | 0 | 16.2 % 3.5 | 0 | 19.3 % 4 | 0 | 23 % 4.5 | 0 | 26.5 % 5 | 0 | 30.1



1.4 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.4 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007


% La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1]);

% La función de Transferencia del Controlador PD es: K=1.25; Ti=2.5; Td=[0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5];

% El siguiente paso consiste en multiplicar las F de T de la planta y

el % compensador para luego cerrar el lazo:

P_comp1_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(1) 0],1))*P,1,-1); P_comp2_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(2) 0],1))*P,1,-1); P_comp3_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(3) 0],1))*P,1,-1); P_comp4_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(4) 0],1))*P,1,-1); P_comp5_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(5) 0],1))*P,1,-1); P_comp6_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(6) 0],1))*P,1,-1); P_comp7_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(7) 0],1))*P,1,-1); P_comp8_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(8) 0],1))*P,1,-1); P_comp9_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(9) 0],1))*P,1,-1); P_comp10_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(10) 0],1))*P,1,-1);

% Finalmente se grafican las respuestas al escalón de los sistemas. figure step(P_comp1_lc,P_comp2_lc,P_comp3_lc,P_comp4_lc,P_comp5_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 1 al 5')

figure



step(P_comp6_lc,P_comp7_lc,P_comp8_lc,P_comp9_lc,P_comp10_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 6 al 10')

% La tabla se completa de la siguiente manera:

% Td (seg)|Sobrep (%) |ts5%(seg) % 0 | 3.15 | 11.1 % .5 | ---- | 11.5 % 1 | ---- | 10.8 % 1.5 | 0.04 | 10.4 % 2 | 0.41 | 10.5 % 2.5 | 3.15 | 10.8 % 3 | 0.86 | 16.2 % 3.5 | 1.3 | 11.1 % 4 | 1.7 | 11.5 % 4.5 | 2.06 | 18.6 % 5 | 2.38 | 20.8



1.5. Modelo en Simulink



Tema 2




Modelo para verificar la superficie de control



Tema 3




Tema 4





Control de plantas inestables. Introducción a la suspensión magnética.

Tema 1. Problema y modelo asociado.-

Un cuerpo ferromagnético debe quedar suspendido en el espacio bajo un electroimán en

condiciones de equilibrio.

El peso del cuerpo es equilibrado por una fuerza magnética. Su

posición es medida mediante un sensor óptico. El sistema posee

características marcadamente no lineales:

Para una corriente de excitación constante, el campo magnético

generado es fuertemente inhomogéneo. Como consecuencia la

fuerza magnética sobre el cuerpo suspendido depende de la

distancia al electroimán. La fuerza crece al aproximarse el

cuerpo al electroimán ya que el entrehierro se reduce.

Manteniendo constante la distancia, la fuerza magnética es

aproximadamente proporcional al cuadrado de la corriente,

manifestándose efectos de saturación para altos valores de

inducción.

En las condiciones asociadas con el punto de trabajo X0, I0 se cumple:

0 0

m 0 0

ecuación de equilibrio eléctrico

f ( , ) ecuación de equilibrio mecánico

E I R

X I mg

=

= − (1)

Supuesta una perturbación alrededor del punto de trabajo, se tiene

0

0

0

;

;

;

E E e e E

I I i i i

X X x x x

= + = ∆

= + = ∆

= + = ∆

Las ecuaciones de equilibrio (1) se transforman en

2

0 0 2f ( , ) f ( , ) f

m m m

dE RI N

dt

d xX I X I mg m

dt

φ= +

= + ∆ = − +

(2)

En las (2), debemos calcular la variación del flujo magnético φ y de la fuerza magnética fm

alrededor del punto de equilibrio. Por lo que concierne al flujo nos valemos de las expresiones:

P=mg X

Cuerpoferromagnético



0 0 0 0, ,X I X I

CE

d di dxN N N

dt i dt x dt

d di dxN L K

dt dt dt

φ φ φ

φ

∂ ∂= +

∂ ∂

= +

(3)

donde la variación de flujo concatenado se formula en función de la inductancia (L) por la variación

de corriente, y del coeficiente de fuerza contraelectromotriz (KCE) por la velocidad de

desplazamiento del cuerpo suspendido. Reemplazando en la primera de las (2) obtenemos:

0 0( )

y simplificando,

CE

CE

di dxE e R I i L K

dt dt

di dxe Ri L K

dt dt

+ = + + +

= + +

(4)

incluyéndose en R la resistencia interna de la fuente de tensión empleada.

Pasando ahora a la variación de la fuerza magnética,

0 0 0 0, ,

f ff m m

m

X I X I

x ix i

∂ ∂∆ = ⋅ + ⋅

∂ ∂ (5)

por lo que la segunda de las (2) se reduce a:

2

2

2

22

2

1 f 1 fm m

ba

d xx i

dt m x m i

d xa x bi

dt

∂ ∂ = ⋅ + ⋅

∂ ∂

= +

(6)

En síntesis, nuestras ecuaciones dinámicas quedan reducidas al sistema:

2

2

20

CE

dx diK Ri L e

dt dt

d xa x bi

dt

+ + =

− − =

(7)

1.1. Deducir las funciones de transferencia ( ) ( )

e ( ) ( )

X s I s

E s E s.

1.2. Definir el diagrama de simulación en bloques de Simulink y verificar la inestabilidad de la

planta a lazo abierto para los siguientes valores de los parámetros



2 2

2

1

1Hy

1Vs

1s

1m/s A

CE

R

L

K

a

b

−

= Ω

=

=

=

=

1.3. Trazar el diagrama del lugar de raíces considerando E(s) como variable de comando y X(s)

como variable de salida, con controlador proporcional. Extraer conclusiones. Compararlas con

las que se deducen del diagrama de Nyquist de la planta.

Tema 2. Cálculo del controlador que estabiliza el sistema (Factorización coprima).

2.1. Empleando el método de la factorización coprima y el manejo de expresiones simbólicas de

Matlab calcular el controlador K(s) que estabiliza la operación del sistema. Consignar en el informe

de qué manera operan los comandos y funciones: syms, simplify, subs.

Realizar las operaciones intermedias empleando las funciones conv(.,.) y deconv(.,.). Incluir

en el informe la descripción de su manera de operar.

2.2. El controlador obtenido en el punto precedente (controlador de adelanto-atraso de fase)

estabiliza al sistema de lazo cerrado para un rango limitado de valores de ganancia. Determinar ese

rango aplicando lugar de raíces. Verificar con el diagrama de Nyquist del sistema a lazo abierto.

Comprobar el comportamiento temporal en Simulink.

Tema 3. Controlador para error nulo.

3.1. Defina el método que Ud. emplearía para calcular un controlador que incluya un factor PI

destinado a eliminar el error del sistema en estado de régimen. Compruebe la viabilidad de su

propuesta mediante Simulink, lugar de raíces y diagrama de Nyquist.




Tema 2


2.1 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 2 % Tema 2.1 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Abril 2007


syms L R Kce a2 b syms lambda;

s=(1-lambda)/lambda;



n=s^2-a2; m=L*s^3+R*s^2-a2*L*s+b*Kce*s-a2*R;

% Los parametros del sistema son: R=1; %[Ohm] L=1; %[Hy] Kce=1; %[Vs] a2=1; %[seg^-1] b=1; %[m/s^2A]

% Reemplazando los valores en los polinomios: n=subs(n); m=subs(m);

% A continuacion los multiplicamos por lambda^3;

n=collect(n*lambda^3); m=collect(m*lambda^3);

% Algoritmo de Euclides:

n=sym2poly(n); m=sym2poly(m); % Paso 1 [q1,r1]=deconv(n,m);

% usando ploy2sym y sym2poly se eliminan los ceros en el % termino de mayor orden q1=poly2sym(q1); q1=sym2poly(q1); r1=poly2sym(r1); r1=sym2poly(r1);

[q2,r2]=deconv(m,r1);

q2=poly2sym(q2); q2=sym2poly(q2); r2=poly2sym(r2); r2=sym2poly(r2);

[q3,r3]=deconv(r1,r2);

q3=poly2sym(q3); q3=sym2poly(q3); r3=poly2sym(r3); r3=sym2poly(r3);

% Paso 3: Sustitucion de atras hacia adelante:

x=([0 0 1]+conv(q2,q3))/r3; y=(-q1-[0 q3]-conv(q1,conv(q2,q3)))/r3;



% Sustitucion lambda por s

clear s; clear lambda;

syms s

lambda=1/(s+1);

X=x(1)*lambda^2+x(2)*lambda+x(3); Y=y(1)*lambda^2+y(2)*lambda+y(3);

X=simplify(X*(s+1)^2); Y=simple(Y*(s+1)^2);

K=simplify(X/Y); [Knum,Kden]=numden(K); Knum=sym2poly(Knum); Kden=sym2poly(Kden);

Kcomp=tf(Knum,Kden);

% La f de t de la planta es:

P=tf([1 0 -1],[1 1 -1]);

Pcomp=Kcomp*P; rlocus(Pcomp)



Tema 2.2




Aplicaciones de Control Digital.

Tema 1. Enunciado, modelización.-

Un actuador lineal constituido por un motor de corriente continua acoplado a un reductor y

posteriormente a un tornillo de precisión (Fig.1), sirve para regular la apertura y cierre de la ventana

de intercambio con el exterior, perteneciente a la planta piloto experimental de un invernadero de

ambiente controlado (ver Fig.2). Nuestro problema consiste en diseñar el controlador digital del

actuador, para lo cual necesitamos formular su modelo matemático.

MOTOR ENCODER REDUCTOR TORNILLO+TUERCA

I E accionamiento

comando posición

Fig. 1. Actuador lineal

Fig. 2. Planta piloto de un invernadero.

El encoder, montado directamente sobre el eje del motor posee una resolución de 512 pulsos por

revolución. La relación de reducción es de 4:1 y el paso del tornillo es de 4 mm.



Los parámetros eléctricos del motor son:

Resistencia R=0.7 Ω

Inductancia L=220 µHy

Cte. del motor K=42 mVs/rad

Los parámetros mecánicos, reducidos al eje del motor son:

Momento de inercia J=2.6 ⋅10-5

Nms2/rad

Fricción viscosa B=9.5 ⋅10-6

Nms/rad

Cupla elástica Te=0.07 Nm/rad

En estos últimos parámetros, se encuentran incluidos los valores propios del rotor del motor como

asimismo los valores reflejados correspondientes a la carga mecánica.

1.1. Determinar la función de transferencia entre la tensión aplicada E(s) y el ángulo rotado θ(s)

por el eje del motor.

1.2. Determinar la función de transferencia entre la tensión aplicada E(s) y el desplazamiento D(s)

del actuador lineal.

1.3. ¿A cuántos milímetros de avance equivale 1 pulso de encoder?

1.4. El diseño mecánico impone al tornillo una carrera máxima de ±20 mm. ¿Qué precisión de

posicionamiento (expresada en milímetros) se obtiene operando con un controlador de 8 bits?

¿Y con uno de 12 bits? ¿Y si elevamos la precisión a 16 bits?

1.5. Empleando Simulink analizar el funcionamiento del actuador. (Modelo lineal, encoder,

convertidor A/D). Suponer que el tornillo de salida sea perfecto (sin juego, ni rozamientos).

1.6. ¿Porqué se necesita un circuito contador para calcular el ángulo rotado? ¿Cómo influye el

período de muestreo que adoptemos para nuestro sistema?

Este problema aplicativo será continuado en sucesivos trabajos prácticos.




Tema 1 Modelo en Simulink





Tema 2. Diseño del controlador digital.-

Tras buscar un poco, hemos encontrado un resorte más blando para la ventana de nuestro

invernadero.

Los parámetros del motor y la carga quedan entonces como:

Resistencia R=0.7 Ω

Inductancia L=220 µHy

Cte. del motor K=42 mVs/rad

Momento de inercia J=2.6 ⋅10-5

Nms2/rad

Fricción viscosa B=9.5 ⋅10-6

Nms/rad

Cupla elástica Te=0.02 Nm/rad

2.1. Determinar la función de transferencia del motor cargado, que para nosotros constituye la

planta a controlar. Calcular los valores de los polos y ceros.

2.2. Determinar la respuesta en frecuencia de la planta y seleccionar una frecuencia de muestreo

adecuada para aplicar el método de diseño simplificado en el plano s.

2.3. Determinar los parámetros del controlador continuo necesarios para lograr una respuesta

sobreamortiguada (ζ=1) con error de régimen nulo.

2.4. Trazar el lugar de raíces del sistema compensado y hallar la posición de los polos de lazo

cerrado.

2.5. ¿Puede mejorarse la respuesta variando algún parámetro del controlador?

2.6. Calcular el controlador discreto aplicando las transformaciones correspondientes.

2.7. Simular el sistema discreto.

2.8. Si por un error constructivo, la frecuencia de muestreo fuera 5 veces menor que la

seleccionada, ¿cómo influiría en el funcionamiento del sistema?




Modelo en Simulink



Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 4



% Ing. Juan Pablo Pedroni - Mayo 2007

close all; clear all; clc %% Parámetros del sistema

R=.7; L=220e-6; K=0.042; J=2.6e-5; Bb=9.5e-6; Ce=0.02; n=4; p=4/(2*pi);

%% Ecuaciones de Estado:

A=[-R/L -K/L 0; K/J -Bb/J -Ce/J; 0 1 0]; B=[1/L 0 0]'; C= [0 0 1]; % No consideramos la reducción ni el tornillo D=0;

motor_ss=ss(A,B,C,D,'statename','i','w','q','inputname','e','outputname','qm')

;

[num_aux,den_aux]=ss2tf(A,B,C,D); %% Función de transferencia del motor: num=K; den=[J*L Bb*L+R*J Ce*L+R*Bb+K*K Ce*R];

motor=zpk(tf(num,den));

%% Respuesta en Frecuencia % figure % bode(motor) % grid

%% Diseño simplificado en s % Trabajando con la F de T y el diagrama de Bode vemos que: fmin=2*3082/2/pi;

%Entonces fmin=5000; T=1/fmin;

% para respetar el criterio de diseño simplificado.

% Planteamos un compensador PI. Para que el integrador cancele el polo más % lento hacemos Ti=1/8.653; %Ti=T1

% aplicamos ahora la técnica del lugar de raíces con la F de T del sistema % Comp + Motor a lazo abierto para encontrar el valor de Kp

CompMot=tf([Ti 1],[Ti 0])*motor;



% % figure % % rlocus(CompMot);sgrid

% De donde obtenemos: Kp=0.867;

%% La F de T del compensador es: numc=Kp*[Ti 1]; denc=[Ti 0]; comp=tf(numc,denc);

%% Cálculo de Controlador Discreto aplicando la transformación de Tustin

Kz=c2d(comp,T,'tustin')

% % r1=Kp*(T/(2*Ti)+1); % % r0=Kp*(T-2*Ti)/(2*Ti); % % % % numz=[r1 r0]; % % denz=[1 -1]; % % Kz=tf(numz,denz,T)

%% Comprobaciones % Rta al escalón del sistema con controlador PI analógico

CompMotorLC=feedback(CompMot,1,-1)





Tema 3. Comparación de métodos de diseño.

Para el motor cargado del T.P. N°4, se ha decidido abaratar el diseño, empleando una frecuencia de

muestreo de 100 Hz (que puede ser generada a partir de la línea de alimentación).

3.1. Determinar la influencia del dispositivo de muestreo y retención en la respuesta del sistema

con controlador continuo diseñado en el TP N°4. Simular.

3.2. Rediseñar para la frecuencia de muestreo 100 Hz el controlador digital calculado por el

método simplificado del TP N°4. Simular.

3.3. Calcular por el método completo en el plano s el controlador discreto para 100 Hz. Simular.

3.4. Comparar las respuestas al escalón obtenidas en los puntos precedentes. Comentar.

3.5. Incluir cuantificadores y convertidores digitales en el lazo de control, como asimismo el efecto

producido por el número de bits c on que opera el microprocesador que implementa el

controlador. Analizar las curvas de respuesta de ángulo, desplazamiento lineal y corriente del

motor en respuesta a un escalón de 1024 pulsos en la variable de comando. Comentar.




Tema 3




3.2 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 5



% Ing. Juan Pablo Pedroni - Junio 2007


%% 3.2

% El controlador en s calculado con anterioridad es: Ki=1; Ti=0.115;

C=tf(Ki*[Ti 1],[Ti 0]);

T=0.01;

K=c2d(C,T,'tustin');

%% 3.3

% La F de T de la planta en s es: Gs=tf(3,conv([324e-6 1],conv([10.89e-3 1],[0.115 1])));

% La F de T en z: GhGz=c2d(Gs,T,'zoh');

% El siguiente paso es obtener la F de T de z en s utilizando la % transformada Tustin

Gts=zpk(d2c(GhGz,'tustin')); % % figure % % rlocus(Gts),sgrid;

%% Controlador PI: Elegimos: Ti=1/8.69; Kp=0.7;

Cs=tf(Kp*[Ti 1],[Ti 0]);

Kz=c2d(Cs,T,'tustin')






Tema 4. Diseño en el plano z.

Para el motor cargado del T.P. N°4, trabajando a la frecuencia de muestreo de 100 Hz, se procede a

diseñar el controlador en el plano z empleando el método de compensación.

4.1. Verificar por simulación que el modelo discreto

2

0.1936( )

1.12 0.3136w

M zz z

=− +

posee un tiempo de respuesta cercano a tr5%=0.087 seg, sin sobrepasamiento.

4.2. Diseñar por el método directo en z el controlador correspondiente al modelo del punto 4.1.

Analizar la respuesta temporal de la variable controlada (ángulo girado) y de la variable manipulada

(salida del controlador). Comentar las particularidades observadas. Evaluar la energía de actuación

correspondiente al intervalo [0, 2.5s].

4.3. Tomamos ahora en cuenta el cero dominante de la planta en el plano z y asimismo el retardo

originado por el polo en z =0 en nuestro modelo de referencia. Verificar por simulación el

tiempo de respuesta al 5% para el modelo:

( )2

0.12187 ( 0.8126)( )

1.06 0.2809w

zM z

z z z

+=

− +

4.4. Calcular por el método directo en z el controlador correspondiente al modelo precedente.

Analizar la respuesta temporal de la variable controlada (ángulo girado) y de la variable manipulada

(salida del controlador). Evaluar la energía de actuación correspondiente al intervalo [0, 2.5s].

Comparar con los valores obtenidos en 4.2. Comentar.

4.5. ¿Cuál es el concepto subyacente a la formulación de los modelos 4.1. y 4.3.? Explicar.




Modelo en Simulink



Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 6

% Ing. Juan Pablo Pedroni - Junio 2007


%% 4.1 % La F de T en z es: T=1/100; Mwz=tf(0.1936,[1 -1.12 0.3136],T); % figure % step(Mwz)

%% 4.2 Gs=tf([3],[4.086e-7 0.0013 0.1268 1]);

% La F de T en z, con s&h es: GhGz=zpk(c2d(Gs,T,'zoh'));

% El compensador calculado por el modelo sin ceros es: Kz=1/GhGz*Mwz/(1-Mwz);



% La respuesta a lazo cerrado es: % % figure % % step(feedback(Kz*GhGz,1,-1))

%% 4.3 % La F de T en z del modelo de referencia teniendo en cuenta el cero % dominante es:

Mw2z=tf(0.12187*[1 0.8126],conv([1 0],[1 -1.06 0.2809]),T); % % figure % % step(Mw2z)

%% 4.4 % El compensador calculado por el modelo sin ceros es: K2z=1/GhGz*Mw2z/(1-Mw2z);

% La respuesta a lazo cerrado es: % % figure % % step(feedback(K2z*GhGz,1,-1))





Tema 5. Diseño con Dos Grados de Libertad.

Siempre con referencia al motor cargado del T.P. N°4, trabajando a la frecuencia de muestreo de

100 Hz, se procede a diseñar un controlador y prefiltro para realizar rechazo de perturbación y

adecuar la respuesta al escalón de comando a un modelo especificado.

5.1. La perturbación aparece como una cupla originada por el viento al soplar contra la ventana.

Incluir el efecto perturbador en el modelo Simulink del motor cargado.

5.2. Suponer que el controlador digital implementado es el Proporcional Integrador simple

diseñado para frecuencia de muestreo 100 Hz:

( ) ( )00.73 0.92

( ) ; 1/100 seg1 1

z C z rK z T

z z

− −= = =

− −

Mediante sucesivas simulaciones, ajustar los valores de ganancia C y posición del cero r0 del

controlado hasta obtener una respuesta pico de 8 rad y un tiempo de rechazo de 0.14 seg para la

variable controlada θ como respuesta a un escalón unitario de cupla perturbadora. Formar una tabla

de valores de C y r0 hasta encontrar el mejor ajuste

5.3. Dejamos fijos los valores de que acabamos de calcular y registramos la respuesta a un

escalón en la variable de referencia. Indicar los valores de sobrepasamiento porcentual y

tiempo de respuesta obtenidos.

5.4. El diseño si bien resulta satisfactorio desde el punto de vista del rechazo de la perturbación,

dista mucho de serlo para la respuesta al comando. Por lo tanto procedemos a diseñar un

prefiltro ( )w

G z para que la respuesta al comando corresponda al modelo ( )w

M z :

( )wG z ( )K z ( )HG G z W

1W Y

–

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

Hw w

H

Y z K z G G zM z G z

W z K z G G z

⋅= =

+ ⋅

Calcular la función de transferencia discreta del prefiltro ( )w

G z correspondiente al modelo

empleado en el trabajo práctico precedente,

( )2

0.12187 ( 0.8126)( )

1.06 0.2809w

zM z

z z z

+=

− +



Comparar la respuesta al escalón de comando sin prefiltro, con la respuesta de ( )w

G z al escalón y

con la respuesta del sistema completo compensado, todo en un mismo gráfico.

Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 56



Control con actuador saturable.

Sistema a controlar.

En un proceso químico se tiene un tanque de reacción en el que se combinan dos componentes

líquidos A y B para formar un producto C también líquido. Si bien los fluidos A y B llegan

calientes al tanque, como la reacción es endotérmica, resulta necesario suministrar calor adicional

para mantener la temperatura del tanque en el valor correspondiente al máximo rendimiento de

producto C. Esa energía térmica adicional es proporcionada por un serpentín de vapor que rodea al

tanque de reacción y cuyo caudal es regulado por una válvula lineal, comandada por un controlador

dotado de un sensor para medir la temperatura en el interior del tanque de reacción.

El sistema es operado alrededor de un valor nominal de temperatura θ0 =75°C, estableciéndose para

el punto de funcionamiento una apertura de la válvula de vapor AV =50%, tomándose por

convención que una apertura relativa AR =1 corresponderá a la válvula totalmente abierta (100%),

mientras que AR = –1 corresponderá a la válvula totalmente cerrada.

La función de transferencia correspondiente a la variación de la temperatura en el tanque alrededor

del valor nominal provocada por una variación de la apertura relativa de la válvula posee la

siguiente expresión:

10 C/1apert.( )

con 20 seg; 150 seg( ) 1

mT sGG

mR

Ks K e

T TA s Ts

θ − = °=

= =+

El tiempo muerto puede considerarse asociado al retardo de transporte del flujo de vapor, mientras

que el comportamiento del tanque es caracterizado como un sistema de primer orden.

Tarea 1: Diseñar un controlador PI continuo para la planta en cuestión y simularlo teniendo en

cuenta el efecto de saturación de la apertura de la válvula, que se produce cuando ésta llega a los

extremos de su rango de operación. Observar las diferencias entre el funcionamiento lineal (para

comandos en el rango de ±2°C de variación de temperatura) y el funcionamiento no lineal (para

grandes señales) donde se manifiesta el efecto de saturación. Comentar los resultados de las

simulaciones.

Tarea 2: Calcular el controlador discreto correspondiente al punto precedente, para una frecuencia

de muestreo de 50 Hz. Verificar el comportamiento para pequeñas y grandes señales de comando.

Tarea 3: Emplear técnicas de anti-reset windup tanto en el caso continuo, como en el discreto,

diseñando los controladores y llevando a cabo las simulaciones correspondientes. Comentar los

resultados.

♦

Notas.



El controlador continuo diseñado por medio de diagrama de Nyquist, y con ganancia ajustada por

simulación para 12% de sobrepasamiento es:

1

( ) 0.45 1150

K ss

= +

Discretizando K(s) para período de muestreo Ts=1/50 seg se obtiene

0.9999

( ) 0.450031

zK z

z

−=

−

Atención: K(s) debe ser llevado a la forma de ceros y polos antes de aplicar la conversión

c2d()para determinar la forma discreta.

En la página siguiente se incluyen todos los diagramas de simulación.

Para la aplicación de anti-reset windup a la versión continua, recordar los esquemas del Capítulo 1,

punto 1.7.2. El valor de la constante de tiempo de seguimiento Tt lo estimamos en 25 seg.

¿Porqué?

Para la versión discreta recordamos el pseudocódigo desarrollado en el Capítulo 4, apartado 4.3.:

En nuestro caso es h=1/50 seg, Ti=150 seg, Tt=25 seg, Td=0. Observar la realización del integrador:

1 ( / ). ( / ).( )k k P i k t

I I K h T e h T u v+ = + + −

“Cálculo de coeficientes del controlador

bi=Kp*h/Ti “ganancia de integración

ad=Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa

bd=Kp*N*Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa

ao=h/Tt “ganancia de seguimiento (tracking)

“Cambio de parámetros sin sacudidas

I=I+Kpviejo*(bviejo*r-y)-Kp*(b*r-y) “invariancia de P+I

“Algoritmo de control

r=adin(ch1) “ingresar variable de referencia desde ch1

y=adin(ch2) “ingresar variable del proceso desde ch2

P=Kp*(b*r-y) “acción Proporcional

D=ad*D-bd*(y-yviejo) “acción Derivativa

v=P+I+D “salida temporal para acción antiwindup¿

u=sat(v,umin,umax) “simula saturación del actuador

daout(u,ch3) “sacar variable de control u por ch3

I=I+bi*(r-y)+ao*(u-v) “actualiza Integrador con antiwindup

yviejo=y “actualiza variable de proceso vieja



e

I(k+1) I(k)

vu

vu

-K-

h/Tt

-K-

h/Ti

Zero-Order

Hold1

Zero-Order

Hold

Valvula

z

1

Unit Delay

Transport

Delay3

Transport

Delay2

Transport

Delay1

Transport

Delay

10

150s+1

Transfer Fcn4

10

150s+1

Transfer Fcn3

10

150s+1

Transfer Fcn2

150s+1

150s

Transfer Fcn1

10

150s+1

Transfer FcnTemp

ref.

Scope7

Scope6

Scope5

Scope4

Scope3

Scope2

Scope1

Scope

Saturation2

Saturation1

Saturation

Modelo1

Modelo

0.45

Kp1

0.45

Kp 1

s

Integrator

0.45

Gain

zeros(z)

(z-1)

Discrete

Zero-Pole

1/25

1/Tt

-K-

1/Ti

Se muestran todas las implementaciones en un único diagrama a fin de facilitar las comparaciones.



La figura siguiente muestra la temperatura en el tanque de reacción (variable controlada) en las

diferentes realizaciones.

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo (seg)

incre

mento

de

tem

pera

tura

en e

l ta

nque (

°C)

Control continuo

con saturación Control discreto con saturación

Respuesta con anti-reset.

Los casos continuo y discreto

se confunden

Escalón de comando

Temp. ref. + 7.5°C

♦




Modelo en Simulink



Material de Apoyo para las Clases

Modelos en Simulink

Ciclo Límite

Huelgo



Precarga

Relay

Saturación

Zona Muerta



Influencia de las no linealidades

Corriente:

Tensión:



Posición:

Modulación por Ancho de Pulso

Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional La ... · El bloque de adelanto de...

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