UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.
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UNLA Organización de Computadoras (2014)
ALGEBRA DE BOOLE
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Indice
1. Reseña Histórica
2. Algebra de Boole
3. Postulados
4. Teoremas
5. Ejercicios
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1. Reseña Histórica Algebra de Boole
En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para eltratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso(variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipularrelaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a lastécnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitosmas económicos. Las expresiones booleanas serán unarepresentación de la función que realiza un circuito digital. En estasexpresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas (AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en lascuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quieredecir variables binarias).
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2.3 Definiciones
Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej.A, X, X)
Término producto: es un grupo de literales que seencuentran relacionados entre si por un AND(por ej.A·B, C·A, X ·Y·Z )
Término suma:es un grupo de literales que se encuentranrelacionados entre si por un OR(por ej. A+B, C+A, X +Y+Z )
Término normal: termino producto o termino suma en el queun literal no aparece mas de una vez
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Término canónico: termino en el que se encuentra exactamenteuno de cada uno de los literales de la función.Si el terminocanónico es un producto, se denominará mintérmino. Si esuna suma se denominará maxtérmino.
Forma normal de una función: es la que está constituida portérminos normales. Puede estar en la forma suma de términosproductos o productos de términos sumas.
Forma canónica de una función: es aquella constituidaexclusivamente por términos canónicos que aparecen una solavez.
2.3 Definiciones
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2.4 Forma Canónica
La importancia de la forma canónica,es el hecho de serUNICA. Como vimos anteriormente una función puede tenerinfinidad de representaciones, pero solo una representaciónen forma canónica.
Existen dos formas canónicas de una función: Suma deProductos o Producto de Sumas. (También de una maneramas formal Suma de mintérminos o Producto demaxtérminos)
Para obtener algebraicamente la forma canónica de unafunción podemos utilizar los teoremas de expansióncanónica:
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2.4 Forma Canónica suma de Productos
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicosproductos (mintérminos) sumados que aparecen una sola vez.Por ejemplo:
F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + XY’Z + X Y Z+ XYZ
Acada mintermino se le asocia un numero binario de n bitsresultante de considerar como 0 las variables complementadasy como 1 las variables no complementadas.Así por ejemploel mintermino X Y Z corresponde a combinación X=0, Y=0,Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimales 1.Aeste mintermino lo identificaremos entonces como m1.
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2.4 Forma Canónica suma de Productos
De esta forma, la función :
F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + XYZ
Se puede expresar como:
F(X,Y,Z) = m(1, 4,5,6,7)
que quiere decir la sumatoria de los mintérminos 1,4,5,6,7.
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2.4 Forma Canónica producto de sumas
Es aquella constituida exclusivamente por términos
canónicos sumas (maxtérminos) multiplicados que aparecenuna sola vez. Por ejemplo:
F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z)
Análogamente al caso anterior, podemos simplificar laexpresión de la función, indicando los maxtérminos. Sinembargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cadamaxtermino se le asocia un numero binario de n bitsresultante de considerar como 1 las variablescomplementadas y como 0 las variables no complementadas.
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2.4 Forma Canónica producto de sumas
Así por ejemplo el maxtermino X + Y + Z corresponde acombinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numerobinario 100, cuyo valor decimal es 4.Aeste maxtermino loidentificaremos entonces como M4.
De esta forma, la función:
F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z)
se puede expresar como: F(X,Y,Z) = M(0,2,3) que quieredecir el producto de los maxterminos 0,2,3
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2.4 Forma Canónica
Teorema 1: Para obtener la forma canónica de una funciónsuma de productos se multiplicará por un termino de laforma (X + X ) donde falte un literal para que el termino seacanónico.
Teorema 2: Para obtener la forma canónica de una funciónproducto de sumas se sumará un termino de la forma X · Xdonde falte un literal para que el termino sea canónico.
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Otra manera importante de expresar expresiones booleanas esla forma normal. Tiene la misma estructura básica suma deproductos o producto de sumas, pero no se requiere que lostérminos sean minterminos o maxterminos.
Por ejemplo: La siguiente es una forma normal para suma deproductos: XY + X Y Z
La siguiente es una forma normal para producto de sumas:(Y+X)(X + Z)Y
Nota: En general la forma más utilizada es: la suma deproductos
2.4 Forma Normal de Funciones Booleanas
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Algebra de Conmutación
Función de ConmutaciónTablas de VerdadFormas CanónicasMinterminos y MaxterminosMapas de Karnaugh
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Función de Conmutación
Una función de conmutación se puedeexpresar de tres maneras:
–
–
–
En forma Algebraica
Por una Tabla de Verdad
En forma Canónica
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Tablas de Verdad
La forma más intuitiva de representar una función deconmutación es por medio de una tabla de verdad.
La tabla de verdad expresa el valor de salida deuna función para cada combinación de entrada.
La tabla de Verdad permite modelar un tipo especialde sistema Digital llamado Sistema Combinacional.
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Ejemplo de Tablas de Verdad
Forma Algebraica:
F (X1, X2, X3)= X1 X2 + X2 X3
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X1 X2 X3 f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Ejemplo de Tablas de Verdad
Tabla de Verdad
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Formas Canónicas
Se llama termino canónico de una función deconmutación a todo termino en que figurantodas las variables de la función, ya seacomplementadas o sin complementar.
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X1 X2 X3
X1 X2 X3
X1 X2 X3
X1 X2 X3 f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Formas Canónicas
Problema:Dada una Tabla deVerdad, obtener la formaalgebraica
X1 X2 X3
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F (X1, X2, X3)= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 +
X1 X2 X3 + X1 X2 X3
Para convertir se observa la combinación de entrada parala cual la salida toma el valor 1.La variable aparece sin complementar: si vale 1 para lacombinación en la cual la salida vale 1 y aparececomplementada si vale 0 para la combinación en la cual lasalida toma el valor 1.
La forma Algebraica queda:Formas Canónicas
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Formas Canónicas: Mintérminos
Se denomina mintérmino a un factor de unaexpresión booleana que está formado por el AND detodas las variables.Una función de conmutación corresponde al OR demintérminos. La función generada de esta manera sedenomina OR canónica de AND.
F (X1, X2, X3)= OR (m0,m1,..,mn)F (X1, X2, X3)= (m0,m1,..,mn)
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Para el ejemplo anterior:
F (X1, X2, X3)= OR (1,3,5,6)
F (X1, X2, X3)= (1,3,5,6)
Formas Canónicas: Mintérminos
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X1 X2 X3 f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
(X1 + X2 + X3)
Una forma alternativade expresar la funciónes examinándo lascombinaciones en las cuales vale 0
Formas Canónicas: Maxtérminos
(X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3)
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La función queda ahora:
F (X1, X2, X3)= (X1 + X2 + X3) (X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3) (X1 + X2 + X3)
Para convertir se observa la combinación deentrada para la cual la salida toma el valor 0. Lavariable aparece sin complementar si vale 0 parala combinación en la cual la salida vale 0 y
Formas Canónicas: Maxtérminos
aparece complementada si vale 1 para lacombinación en la cual la salida toma el valor 0.
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Se denomina maxtérmino a un factor de unaexpresión booleana que está formado por el OR detodas las variables.
Una función de conmutación corresponde al AND demaxtérminos. La función generada de esta manerase denomina AND canónica de OR.
F (X1, X2, X3)= AND (M0,M1,..,Mn)
F (X1, X2, X3)= P (M0,M1,..,Mn)
Formas Canónicas: Maxtérminos
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Para el ejemplo anterior:
F (X1, X2, X3)= AND (0,2,4,7)
F (X1, X2, X3)= P (0,2,4,7)
Formas Canónicas: Maxtérminos
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Dada una función en su forma algebraica,obtener la forma canónica:
F (A,B,C,D)= A C + A B C + A B C D= A C (B+B) (D+D) + A B C (D+D) + ABCD= ABC (D+D) + ABC (D+D) + ABCD + ABCD+ ABCD
F (A,B,C,D)= (7,8,9,10,11,12,13)
Obtención de Formas Canónicas
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Dada una función en OR canónico de AND, obtenerla forma canónica AND canónico de OR.
F (A,B,C)= (0,1,2,7)
F (A,B,C)’= (3,4,5,6)= A’BC + AB’C’ + AB’C + ABC’
F (A,B,C)’= (A+B’+C’) (A’+B+C) (A’+B+C’) (A’+B’+C)
F (A,B,C)= P (3,4,5,6)
Conversión entre Formas Canónicas
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Funciones Equivalentes
Dos funciones de conmutación son equivalentescuando sus expansiones en formas canónicas sonidénticas, es decir tienen el mismo valor de salidapara las mismas combinaciones de entradas.
Una forma similar de expresar lo mismo es que dosfunciones de conmutación son equivalentes cuandotienen la misma Tabla de Verdad.
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Minimización de Funciones
Minimizar una función de conmutación
F (X1, X2,.., Xn) es encontrar una función
G (X1, X2,.., Xn) equivalente a F y que contenga elmínimo número de términos y literales en unaexpresión OR de AND.
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Ejemplo:
F(A,B,C,D)= ACD + ACD + ACD + ACD +ABD
= (A+A)CD + (A+A)CD + ABD
= CD + CD + ABD
= (C+C)D + ABD
= (D+D)AB= A B
Minimización de Funciones
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Mapas de Karnaugh
El mapa de Karnaugh es un arreglo matricial detodas las posibles combinaciones que puedenasumir un grupo de variables.
Los mapas de Karnaugh son formas modificadas deTablas de Verdad que permiten minimizar funciones
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Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh permiten un diseñorápido de circuitos combinacionales demínimo costo, es decir, con el mínimonúmero de compuertas.
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m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m0 m1
m2 m3
YX
Construcción de Mapas de Karnaugh
Para construir un Mapa de Karnaugh sesiguen los siguientes pasos:
Para una función de n variables, el MK tiene 2n celdas.En las coordenadas se anotan las combinaciones
1
según código de Grey.
0 1
0
XYZ
0
1
00 01 11 10
n=2 n=3
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m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
Construcción de Mapas de Karnaugh
ABCD
00 01 11 10
00
01
11
10
n=4
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0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB 00
01
11
10
CD00 01 11 10
Construcción de:Mapas de Karnaugh
Cada combinación de unos y ceros de unacelda se le asigna el equivalente decimal dela representación binaria.
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1 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 0 0
Ejemplo, encontrar el mapa de la función:
F (A,B,C,D)= (0,1,5,6,9,13,15)
Construcción de:Mapas de Karnaugh
ABCD
00
01
11
10
00 01 11 10
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Construcción de:Mapas de Karnaugh
Dos celdas son adyacentes si difieren enuna variable.
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Construcción de Mapas de Karnaugh
Un subcubo es un conjunto de 2m celdascon valor 1, las cuales tienen la propiedadque cada celda es adyacente a m celdasdel conjunto.
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1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
ABCD
00
01
11
10
00 01 11 10
Construcción de:Mapas de Karnaugh
SubcuboTamaño 4
SubcuboTamaño 4
SubcuboTamaño 8
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Minimización
Un subcubo se puede expresar por untérmino algebraico que contiene n-m
literales donde n es el número de variablesy 2m es el tamaño del subcubo.
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1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
ABCD
00
01
11
10
00 01 11 10
BD
A
MinimizaciónAB
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Minimización
Una función se puede expresar como la suma delos subcubos necesarios para cubrir todos los unosdel M.K.Para que una función sea mínima, hay que buscarel mínimo número de subcubos, o sea, cadasubcubo debe ser del mayor tamaño posible.El método de M.K. es un método manual. Entérminos prácticos sirve para minimizar funcionesde hasta 6 variables.
![Page 44: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/44.jpg)
1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
ABCD
00
01
11
00 01 11 10
MinimizaciónAB
BD
C
10
F(A,B,C,D) ABBD A
![Page 45: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/45.jpg)
Minimización
En resumen:
–
–
–
–
1 celda representa un mintérmino
2 celdas adyacentes representan un término de 3variables.
4 celdas adyacentes representan un término de 2variables.
8 celdas adyacentes representan un término de 1variables.
![Page 46: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/46.jpg)
Construcción de MK: AND de OR
Una función se puede expresar también como elproducto (AND) de los subcubos necesarios paracubrir todos los ceros del MK.
Ejemplo : Minimizar
F(A,B,C,D) (0,2,5,8,10,13,14)
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00
01
11
10
F(A,B,C,D)(BD)(BCD)(ACD)
0 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
0 1 1 0
Construcción de MK: AND de OR
Para minimizar se agrupan ceros del mapa:
ABCD 00 01 11 10
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Fin
![Page 49: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/49.jpg)
Fundamentos de Electrónica
010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
59
Las variables Booleanas sólo tomanlos valores binarios: ó 0.
Una variable Booleana representaun bit que quiere decir:
Binary digIT
![Page 50: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/50.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Operación OR:
60
![Page 51: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/51.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Operación OR:
Si una de las entradas es 1, entonces la salida es 161
![Page 52: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/52.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Compuerta OR:
xx + y
y
62
![Page 53: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/53.jpg)
x y xy
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Operación AND:
63
![Page 54: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/54.jpg)
x y xy
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
64
Operación AND:
Si una de las entradas es 0, entonces la salida es 0
![Page 55: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/55.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Compuerta AND:
xxy
y
65
![Page 56: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/56.jpg)
x x
0 1
1 0
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
66
Operación NOT:
![Page 57: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/57.jpg)
x x
0 1
1 0
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra BooleanaOperación NOT:
La salida es la negación de la entrada
67
![Page 58: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/58.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Compuerta NOT:
x x
68
![Page 59: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/59.jpg)
Fundamentos de ElectrónicaPräsentation
Álgebra Booleana[ Sistemas Digitales ]
Ejercicio:
Encontrar w =xy + yz para todas las combinaciones.
C. Baier 69
![Page 60: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/60.jpg)
x y z xy yz w
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
Fundamentos de ElectrónicaPräsentation
Álgebra Booleana[ Sistemas Digitales ]
Ejercicio: ( Tabla verdad)
Encontrar w =xy +yz para todas las combinaciones.
70
![Page 61: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/61.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Postulados de Identidad:
•
•
0+ x = ?
1 × x = ?
71
![Page 62: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/62.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Postulados de Identidad:
•
•
0+ x = x
1 × x =?
72
![Page 63: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/63.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Postulados de Identidad:
•
•
0+ x = x
1 × x = x
73
![Page 64: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/64.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Propiedad conmutativa:
•
•
x + y
xy
= ?
= ?
74
![Page 65: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/65.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Propiedad conmutativa:
•
•
x + y
xy
= y + x
= ?
75
![Page 66: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/66.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Propiedad conmutativa:
•
•
x + y
xy
= y + x
= yx
76
![Page 67: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/67.jpg)
Fundamentos de Electrónica
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Axiomas de complemento:
•
•
x x = ?
x + x = ?
77
![Page 68: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/68.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
78
Axiomas de complemento:
•
•
x x =0
x + x =?
![Page 69: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/69.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
79
Axiomas de complemento:
•
•
x x =0
x + x =1
![Page 70: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/70.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
80
Teorema de idempotencia:
•
•
xx = ?
x + x = ?
![Page 71: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/71.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
81
Teorema de idempotencia:
•
•
xx = x
x + x =?
![Page 72: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/72.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
82
Teorema de idempotencia:
•
•
xx = x
x + x = x
![Page 73: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/73.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
83
Teorema de elementos dominantes:
•
•
x × 0 =?
x + 1 = ?
![Page 74: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/74.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
84
Teorema de elementos dominantes:
•
•
x × 0 =0
x + 1 = ?
![Page 75: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/75.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
85
Teorema de elementos dominantes:
•
•
x × 0 =0
x + 1 = 1
![Page 76: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/76.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
86
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = ?
• x +( yz ) = ?
![Page 77: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/77.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
87
Propiedad distributiva:
•
•
x ( y + z ) = xy + xz
x +( yz ) = ?
![Page 78: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/78.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
88
Propiedad distributiva:
•
•
x ( y + z ) = xy + xz
x +( yz ) = ( x+y )( x + z )
![Page 79: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/79.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation
Álgebra Booleana
89
[ Sistemas Digitales ]
Ley involutiva:
• ( x )= ?
![Page 80: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/80.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation
Álgebra Booleana
90
[ Sistemas Digitales ]
Ley involutiva:
• ( x )= x
![Page 81: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/81.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
91
Teorema de absorción:
• x +xy = ?
• x ( x + y ) = ?
![Page 82: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/82.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
92
Teorema de absorción:
• x +xy = x
• x ( x + y ) = ?
![Page 83: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/83.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
93
Teorema de absorción:
• x +xy = x
• x ( x + y ) = x
![Page 84: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/84.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
94
Teorema del consenso:
• x +xy = ?
• x ( x + y ) = ?
![Page 85: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/85.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
95
Teorema del consenso:
• x +xy = x + y
• x ( x + y ) =?
![Page 86: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/86.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
D.Mery 96
Teorema del consenso:
• x +xy = x + y
• x ( x + y ) = xy
![Page 87: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/87.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
D.Mery 97
Teorema asociativo:
• x + ( y + z )= ?
• x ( yz ) = ?
![Page 88: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/88.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
98
Teorema asociativo:
• x + ( y + z )= ( x + y )+ z
• x ( yz ) = ?
![Page 89: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/89.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
99
Teorema asociativo:
• x + ( y + z )= ( x + y )+ z
• x ( yz ) = ( x y) z
![Page 90: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/90.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation
Álgebra Booleana
100
[ Sistemas Digitales ]
Leyes de Morgan:
• ( x + y )= ?
• ( xy ) = ?
![Page 91: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/91.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation
Álgebra Booleana
101
[ Sistemas Digitales ]
Leyes de Morgan:
• ( x + y )= x y
• ( xy ) = ?
![Page 92: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/92.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation
Álgebra Booleana
102
[ Sistemas Digitales ]
Leyes de Morgan:
• ( x + y )= xy
• ( xy ) = x + y
![Page 93: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/93.jpg)
Arquitectura de Computadores
010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
103
Un circuito combinacional es aquelcuya salida depende sólo de las
entradas.
Es decir:
• No depende de la salida• No depende del tiempo
![Page 94: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/94.jpg)
x y xy
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
104
Compuerta AND:
xxy
y
TABLA DE VERDAD
![Page 95: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/95.jpg)
x y xy
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
105
Compuerta NAND:
xxy
y
TABLA DE VERDAD
![Page 96: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/96.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
106
Compuerta OR:
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 97: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/97.jpg)
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
107
Compuerta NOR:
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 98: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/98.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
108
Compuerta XOR (OR exclusivo):
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 99: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/99.jpg)
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
109
Compuerta XNOR (NOR exclusivo):
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 100: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/100.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation110
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w=xy +yz .
Circuitos combinacionales
![Page 101: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/101.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation111
Circuitos combinacionales
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w=xy +yz .
xy
w
z
![Page 102: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/102.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation112
[ Sistemas Digitales ]
Primera Ley de Morgan:
•
Circuitos combinacionales
( x + y )= x y
x
yx + y = x y
![Page 103: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/103.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation113
[ Sistemas Digitales ]
Primera Ley de Morgan:
•
Circuitos combinacionales
( x + y )= x y = xy
x
yxy
![Page 104: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/104.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentationD.Mery 114
[ Sistemas Digitales ]
Segunda Ley de Morgan:
• ( xy ) = x + y
Circuitos combinacionales
xxy = x+y
y
![Page 105: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/105.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation115
[ Sistemas Digitales ]
Segunda Ley de Morgan:
• ( xy ) = x + y = x + y
Circuitos combinacionales
xx+y
y
![Page 106: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/106.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation116
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compuertas NAND de dosentradas.
Circuitos combinacionales
![Page 107: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/107.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 117
Circuitos combinacionales
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compurtas NAND de dosentradas.
xy
w
z
![Page 108: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/108.jpg)
![Page 109: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/109.jpg)
![Page 110: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/110.jpg)
EJERCICIO
![Page 111: UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061222/54c0d433497959591d8b548b/html5/thumbnails/111.jpg)