Vectores en el espacio

Vectores

FISICA I

Capitulo I

1.- vectores.-

Magnitud escalar: aquella que queda completamente especificada mediante un nmero, con la unidad apropiada

Magnitud vectorial: aquella que debe ser especificada mediante su mdulo, direccin y sentido.- Un Vector Es una magnitud fsica que tiene direccin sentido y modulo.

.- Un Vector es un segmento orientado, a los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: origen y extremo del vector.

Todo vector se caracteriza por:

Mdulo: que es la distancia del punto P al Q.

Direccin: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.

(cada direccin tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

2.- Clases de Vectores

a.- Vectores Fijos o ligadoso posicin. Son aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posicin de un cuerpo o representan una fuerza en el espacio.

b.- Vectores deslizantes: Son aquellos que pueden cambiar de posicin a lo largo de su directriz. Ejemplo.

c.- Vectores libres: Son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.

d.- Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que las contienen son paralelas. Ejemplo

.e.- Vectores coplanarios: Cuando las rectas que lo contienen estn en un mismo plano. Ejemplo

.f.- Vectores concurrentes: Cuando sus lneas de accin o directrices se cortan en un punto. Ejemplo.

g.- Vectores colineales: Cuando sus lneas de accin se encuentran sobre una misma recta.Ejemplo.

h.- Vectores Opuestos: cuando dos vectores tienen la misma direccin, el mismo mdulo pero distinto sentido reciben el nombre de vectores opuestos.

i.- Vectores iguales si tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido.

Los vectores: y cumplen las tres condiciones de igualdad, de ah que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a l. Todos ellos son representantes de un nico vector.

Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minscula:(por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orgen y el extremo con una flecha encima: (por ejemplo)

3.- PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NMERODado un nmero y un vector definimos el vector [o simplemente ] como aquel que:a.- *tiene la misma direccin que .b.- *el mismo sentido que si y sentido contrario al de si

c.- *su mdulo es igual al de multiplicado por el valor absoluto de: .

Si el vector se denomina opuesto del vector , se escribe:

Si el vector es el vector cero: cuyo extremo y orgen coinciden.

4.- SUMA Y RESTA DE VECTORES.

Dados dos vectores y cualesquiera.

Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orgen comn(O).

En ese caso el vector suma: es la diagonal cuyo orgen es (O).

El vector resta: es la diagonal que va del extremo deal extremo de.

5.- Vectores Unitarios.- son vectores adimensionales de longitud 1. Y que tienen la misma direccin y sentido del vector que los originan. Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la mismadireccinque un vector dado. A tal vector se le llamaversor asociado al vectory se puede representar bien sea poro pore indica una direccin en el espacio.La operacin que permite hallares ladivisindel vector entre sumdulo.

5.1-- Vectores Unitarios en el espacio

Los vectoresson:a)unitariosporque su mdulo vale 1.b)independientesporquecada uno ocupa un eje del sistema de coordenadas.

c)crean un espacio vectorialdonde cualquier vector que se encuentre dentro del mismo, es unacombinacin de esos valores como

d)determinan la base cannicaporque los ejes, adems porque adems de serunitariossonortonormales,que quiere decir, por un lado,ortogonales(perpendiculares) y denorma(canon, regla)1.6.- Producto Escalar De Dos Vectores. Propiedades.Se define el producto escalar de dos vectores y como el nmero que se obtiene del siguiente modo.

Si es agudo, y por tanto:

Si es obtuso, y por tanto: Propiedad fundamental del producto escalar.El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir:

y ;

Propiedades del producto escalar.

Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a continuacin, por ello se pondrn en prctica con los ejercicios para que las memorices de forma natural.

Conmutatividad del producto escalar: (inmediato). Propiedad asociativa: (inmediato). Propiedad distributiva:

Mdulo de un vector: (inmediato de la definicin). ngulo de dos vectores:(inmediato). ; ; ; ;

7.- Proyeccin escalar de un vector sobre otro vectorSean los vectores:

Al proyectar ortogonalmente el vector sobre la direccin del vector u se obtiene un segmento p .

Se denomina: proyeccin escalar del vector sobre la direccin del vector a la longitud del segmento p, y se determina de l siguiente manera

8.- Proyeccin vectorial de un vector sobre otro vectorSean los vectores:

Se denomina: proyeccin vectorial del vector sobre la direccin del vector al vector , y se determina de l siguiente manera

8.- Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.El producto vectorial de dos vectores, y escribimos, es un nuevo vector que se define del siguiente modo:

Si son linealmente independientes, entonces el vector se caracteriza por:

Sentido: depende del ngulo que forman los vectores Donde es un vector unitario perpendicular a los vectores y siguen la regla de la mano derecha Mdulo:

Direccin: perpendicular a ambos: y

Si son (LD), o sea alguno de ellos es el vector o tienen la misma direccin, entonces el vector es el vector cero, es decir,.Propiedades del producto vectorial de dos vectores.- El mdulo del vector es igual al rea del paralelogramo definido por los vectores rea paralelogramo( coloreado amarillo)

(rea paralelogramo = base por altura) cualquiera que sea

(propiedad anticonmutativa). Efectivamente pues son dos vectores que tienen el mismo mdulo, la misma direccin y sentidos opuestos. Los vectores de la base cumplen las igualdades:

a) b) c)

siendo una constante cualquiera. ( no asociativo).En efecto:

Ejemplo.-Determina un vector de mdulo 9 perpendicular a los vectores:

Sol.-

El vector y tambin , usando la regla nemotcnica:

Un vector unitario en la direccin de es:

y por tanto basta multiplicar por 9: o su opuesto

Ejemplo.- Calcula el rea del tringulo definido por los vectores:

Sol.-

Segn vemos en el grfico adjunto el rea del paralelogramo definido por los vectores viene dado por el mdulo del producto vectorial de ambos, es decir:

rea paralelogramo

rea tringulo= mitad del rea del paralelogramo=

10.- Producto mixto de tres vectores.

Se define el producto mixto de tres vectores y se escribe al nmero que se obtiene al operarlos del siguiente modo:

Interpretacin geomtrica del producto mixto.-

es el volumen del paraleleppedo definido por los vectores .

Ejemplo.- Calcula el volumen del paraleleppedo determinado por: Justifica por que el resultado es:

Sol.-

Calculamos el vector :

Volumen paraleleppedo:

Ejemplo.- Determina el valor de k para que el volumen del paraleleppedo determinado por: sea

Sol.-El volumen se obtiene por el determinante:

Como ese volumen es de tendremos dos soluciones posibles de:

A)

B)

11.- Sistema de Referencia en el espacio.

Un sistema de referencia () en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores (que forman una base) y un punto (origen comn de los vectores).

Al punto fijo se le nombra con la letra y se llama Origen. A los vectores de la base: (en adelante, supondremos que la base utilizada es siempre ortonormal).

A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orgen y extremo P que tiene unas coordenadas, , en la base del sistema de referencia dado. Se dice que son las coordenadas del punto P en la referencia .

Recprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un nico punto.

Ejemplo.- Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:

12.- Aplicacin de vectores a problemas geomtricos.-

Coordenadas de un vector que une dos puntos

Observa la siguiente igualdad vectorial:

Por tanto si las coordenadas de los puntos son y

Las coordenadas de son:

Comprobacin de que tres puntos estn alineados.

Los puntos de coordenadas:

, ,

Pero

Ejemplo.- Calcula los valores de m y n para que los puntos:

, , estn alineados.

Sol.-

Sabemos que estn alineados si se cumple:

despejando de las dos igualdades

Punto medio de un segmento

Si los puntos del segmento tienen de coordenadas:

Fjate en la igualdad vectorial:

Las coordenadas del punto medio se obtienen operando en la frmula anterior y obtenemos:

13.- Ecuaciones recta. Posiciones relativas dos rectas.-

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una direccin dada.

Para determinar la ecuacin vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posicin o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuacin a partir de un punto y un vector de posicin, si tuvisemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posicin.La ecuacin de una recta es una expresin analtica que permite identificar todos los puntos de la rectaConsideremos dos puntos en el espacio A y B cuyos vectores de posicin respecto a un sistema de coordenadas son

Del grafico se tiene que:

Si se toma un punto C que est dentro de la recta AB de tal manera que su vector de posicin esta dado por entonces se tiene que

Pero se observa que

Esta ecuacin se llama ecuacin vectorial de la recta (2 en coordenadas)Ecuaciones ParamtricasSi operamos en la expresin en coordenadas de la ecuacin vectorial:

Son las ecuaciones paramtricas de

Para cada valor de obtenemos las coordenadas de un punto de

Ecuacin en forma continaSi en cada ecuacin paramtrica despejamos el parmetro obtenemos:

Esta es la forma continua de la ecuacin de una recta en el espacio.

A veces se nos presenta una recta en forma continua con algn cero en el denominador. Tal expresin no es correcta aritmticamente, pero se admite simblicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director)

Forma implcita de la ecuacin de una recta

De la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (ms adelante veremos que cada una de ellas es la ecuacin de un plano) de forma general:

Se dice que se obtiene como interseccin de dos planos.

Ejemplo.-

Obtn las ecuaciones paramtricas, la ecuacin en forma continua y las ecuaciones implcitas de la recta que pasa por los puntos: ;

Ecuaciones paramtricas

Ecuacin contina

Ecuacines implicitas

Ejemplo.- Comprobar si alguno de los puntos que se dan pertenece a la recta

A(5, 0, 0) B(3,3, 4), C(15, -15, 4) D(1, 4, 4)Para el punto A(5, 0, 0)

No pertenece

Para el punto) B(3,3, 4)

Si pertenece

Para el punto) C(15, -15, 4)

Si pertenece

Para el punto) D(1, -6, 4)

14. Ecuaciones plano. Posiciones relativas planos/rectas.-

Consideremos tres puntos A(x1, y1, z1), B(x2, y2,z2) y C(x3, y3,z3) conocidos y un punto desconocido P(x, y, z) de un plano Un plano () en el espacio queda determinada vectorialmente si conocemos a los vectores y

Ecuacin Vectorial

Ecuacin paramtrica

De

Ecuacin general implcita o cartesiana

Vector normal El vectores unvector normalal plano, es decir,perpendicular al plano.

Si P(x0,y0,z0) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo tambin podemos determinar laecuacin general del plano, a partir de unpuntoy unvector normal.

Ecuacin cannica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), laecuacin cannicaviene dada por:

Lic. Fis. Gustavo Vctor Montalvo Sobern - 17 -

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