Diseos factoriales 2k 1. Competencias Aplicar los diseos factoriales 22 , 23 y 2k y tomar decisiones acerca de cundo se debe aplicar cada diseo. Disear un experimento factorial 25 no replicado para aplicarlo a diversos casos. Explicar las ventajas y desventajas de aplicar el diseo factorial 2k en bloques o con punto al centro. 2. Diseos factoriales 22 Con un diseo factorial 22 se estudia el efecto de dos factores considerando dos niveles en cada uno. Cada rplica de este diseo consiste de 2 2 = 4 combin a- ciones o tratamientos que se pueden denotar de diferentes maneras. En la tabla 1 se muestran diferentes maneras de escribir los cuatro tratamientos qu e conforman el diseo factorial 22 :

La notacin de Yates [(1); a; b; ab] tiene un signicado diferente a las dems: con ella se representa el total o suma de las observaciones en cada tratamiento . En especico, (1) es la suma de todos los datos obtenidos en el tratamiento ( 1; 1); a es la suma de todas las mediciones hechas en la combinacin (1; 1) , y as suce- sivamente. 2.1. Representacin geomtrica. El diseo factorial 22 se representa ge- omtricamente por los vrtices del cuadrado de la gura 1. Cada vrtice representa un punto de di seo o tratamiento. El rea limitada por este cuadrado se conoce como regin exper imental y en principio las conclusiones que se obtengan del ex- perinento slo tie nen validez sobre esta regin. 2.2. Clculo de los efectos . En este diseo hay tres efectos de inters: los dos efectos principales (A y B) y el efecto de interaccin (AB). Con el uso de la no tacin de Yates como los totales de las n repeticiones en cada punto de diseo, se tiene: (2.1) (2.2) Ef ecto A = Ef ecto B = b a (1)] = (1)] =

1 2n [a + ab 1 2n [b + ab 8 3 1 2n [a + ab] 1 2n [b + ab]

1 [b + (1)] 2n 1 [a + (1)] 2n

(2.3)

Ef ecto AB = a b] =

1 2n [ab + (1) 1 2n [ab 1 2n [a b] (1)]

Geomtricamente, el efecto A equivale a promediar los datos del lado derecho del cuadrado de la gura 1 y restarles el promedio de los datos del lado izquierdo; mi entras que para el efecto B se promedian los datos del lado de arriba y se le resta la media de los datos del lado de abajo. Geomtricamente, la interac cin es la diferencia entre las medias de las diagonales del cuadrado de la gura 1 . 2.3. Anlisis de varianza. Aunque los efectos calculados dados sean nmeros disti ntos de cero, esto no implica que el efecto correspondiente sea estadsticamente d iferente de cero. O si en su representacin grca aparentan ser importantes, eso tamp oco es suciente para concluir que afectan de manera signicativa la variable de respuesta. Para poder armar que tales efectos contribuyen a explicar el com- po rtamiento de la respuesta, se debe hacer un anlisis de varianza. Las su mas de cuadrados que componen el ANOVA se pueden calcular apartir de los efectos estimados. 2.3.1. Denicin de contraste. Una combinacin lineal de la forma C = 2k 2k Xci Yi , con Xci = 0 se llama contraste. La suma de cuadrados para cualquie r i=1 i=1 contraste C est dada por

2k (2.4) i=1 i=1

2k SC C = Xci Yi nXc2

la cual tiene slo un grado de libertad. Por ejemplo, los contrastes correspondien tes a los tres efectos A, B y AB en el diseo factorial 22 estn dados por C ontraste A C ontraste B C ontraste AB = = = [a + ab [b + ab [ab + (1) b a (1)] (1)] a b]

que como hemos visto, son las cantidades que denen a los efectos. Son contrastes por el hecho de que son combinaciones lineales donde los coecientes suman ce ro (1+1 1 1 = 0). Una vez obtenido el contraste, el efecto correspondiente se obtiene dividindolo entre la constante que lo convierta en una diferencia d e medias; este nmero es la mitad de las observaciones hechas en el experimento [(vase ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3)]. Por ejemplo, en el factorial 2k con n rp licas, los contrastes se dividen por n2(k 1) para estimar los efectos; en par ticular para el diseo 22 con n rplicas se divide por n2(2 1) = 2n. 2.3.2. Mtodos para calcular contrastes. Los contrastes de cualquier efecto, sea principal o de interaccin en el diseo factorial 2k , se obtienen mediante el au x- ilio de tabla de signos, la cual se construye a partir de la matriz de diseo multi- plicando las columnas que intervienen en la interaccin que se quiera calc ular. Por ejemplo, si se quiere calcular la interaccin doble AB se multiplican la columna de signos A por la columna B, y el resultado son los signos del contras te AB, como se muestra en la siguiente tabla de signos del diseo factorial 22 : A + B AB + Y ates (1) a

+ + + + b ab Por ejemplo, C ontraste A = [a + ab b (1)]. Lo mismo se hace para los dems efectos. 2.3.3. Pasos para llegar al ANOVA . Para investigar cules de los tres efe ctos estn activos o son signicativos se procede a probar las hiptesis dadas por H0 H0 H0 : : : Ef ecto A = 0 Ef ecto B = 0 Ef ecto AB = 0

Cada una contra la alternativa de que el efecto en cuestin es diferente de ce ro. Estas hiptesis se prueban con el anlisis de varianza, y para ello es n ecesario calcular las sumas de cuadrados que corresponden a los efectos A; B y AB, dados por las ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3), respectivamente.

(2.5) (2.6) (2.7) SC A SC B SC AB 1 22 n = = =

1 22 n 1 22 n [a + ab [b + ab [ab + (1) b a a (1)]2 (1)]2 b]2

donde cada una de ellas tiene slo un grado de libertad, debido a que cada f actor slo tiene dos niveles. La suma de cuadrados totales se calcula con la exp resin: 2 2 n 1

SC T = X X X Y 2 22 n Y 2 i=1 j=1 l=1 y tiene n22 1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error se calc ula por diferencia: SC E = SC T SC A SC B SC AB; y tiene n22 1 3 = 4(n 1) grados de libertad. Tabla Fuente A 0 B 0 AB 0 Error Total 2. ANOVA para el diseo 22 SC gl CM F0 valor p SCA 1 CMA CMA/CME P(F>FA ) SCB SCAB SCE SCT 1 1 CMB CMAB CMB/CME P(F>FB ) CMAB/CME P(F>FAB )

4(n-1) CME n22 1

Si el valor p es menor que el nivel de signicancia prejado , se concluye que el efecto correspondiente es estadsticamente distinto de cero, es decir, tal efecto est activo o inuye de manera signicativa sobre la respuesta y mientras ms pequeo se a, ms importante es tal efecto. Se recomienda correr el factorial 22 con almen os tres rplicas para poder estimar un C M E conable. Ejemplo 12. Experimento 22 Interesa estudiar el efecto del tamao de broca (facto r A) y de la velocidad (factor B) sobre la vibracin de la ranuradora (respuesta Y). Para ello se decide utilizar un diseo factorial 22 con cuatro rplicas, es decir, cuatro repeticiones en cada tratamiento, lo que da un total de 4 22 = 16 corridas del proceso, que se realizan en orden aleatorio. El tamao de

la broca se prueba en 1 16 y en 1 8 de pulgada y la velocidad en 40 y 90 re voluciones por segundo, segn se describe en la siguiente tabla: Tabla 3 Broca Veloc. 1=16 40 12:9 14:4 1=8 40 22:4 22:5 1=16 90 15:1 14:2 1=8 90 36:3 39:9 Tabla 4 Orden A:Broca 5 8 64:4 = (1) 1 6 96:1 = a 3 7 59:7 = b 2 4 161:1 = ab B:Veloc. 13 14 10 11 9 12 15 16 + Vibracin + + + Totales 18:2 18:9 27:2 15:9 41:0 24:0 14:5 43:9

Al usar el software Statgraphics se generan automticamente cuatro bloques, u no por cada rplica, ya que considera que el experimento se correr rplica por rplica, y entonces pudiera actuar algn factor de bloque en el transcurso de las rplicas. Cuando dicho factor de bloque existe y est identicado debe analiza rse su posible efecto en el ANOVA; pero si no existe un factor a quin atr ibuir los bloques, stos se eliminan a la hora del anlisis activando la opcin para q ue sean ignorados. La representacin geomtrica del experimento se muestra en la gura 3. Ob- serve l a relacin entre las unidades originales y las unidades codicadas y el signi- cado de la notacin de Yates. Las preguntas fundamentales que se quieren responder con el experimento son: la velocidad y el tamao de la broca afectan la vibracin de la ranuradora?, si la afectan, cmo es tal efecto y cul combinacin de velocidad y tamao de broca minim izan la vibracin?, cul es la vibracin esperada en las condiciones ptimas?, se cumplen los supuestos del modelo?

Efectos estimados. De acuerdo con las relaciones (2.1), (2.2) y (2.3), y a la ltima columna de la tabla .4, los efectos estimados estn dados por 1 Ef ecto A Ef ecto B Ef ecto AB 2(4) 1 2(4) 1 2(4) [96:1 + 161:1 [59:7 + 161:1 59:7 96:1 64:4] = 16:64 64:4] = 7:54 [161:1 + 64:4 96:1 59:7] = 8:71 = = =

Se observa que el efecto del tamao de broca (factor A) es ms alto que los otro s dos. Anlisis de varianza. Las sumas de cuadrados de los efectos se calcula a partir de sus contra

stes dados en las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.7) como: SC A SC A 1 22 (4) 1 22 (4) 1 [96:1 + 161:1 [59:7 + 161:1 = 1107:22 = 227:25 SC AB 22 (4) [161:1 + 64:4 96:1 59:7]2 = 303:63 = 59:7 96:1 64:4]2 64:4]2 = =

cada uno tiene un grado de libertad. La suma de cuadrados totales es 2 2 n 1

SC T = X X X Y 2 22 n Y 2 = 1709:83 i=1 j=1 l=1 y tiene 15 grados de libertad. El cuadrado del error se calcula por diferencia: SC E = SC T SC A = 1709:83 1107:22 SC B 227:25 SC AB 303:63 = 71:73