DINMICA

Facultad de Arquitectura e Ingeniera Carrera de Ingeniera Civil

Semana 1. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

1. Hallar el ngulo formado por los vectores

A 2 i 2 j k

y B 6 i 3 j 2k

.

2. Hallar el valor de a de modo que A 2 i a j k

y

B 4 i 2 j 2k

sean perpendiculares. 3. Hallar un vector unitario perpendicular al plano

formado por A 2 i 6 j 3k

y B 4 i 3 j k

. Nota.

El vector C

es perpendicular a A

y B

.

4. Usando producto vectorial, determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los

vectores A 2 i 6 j 3k

y B 4 i 3 j k

. Nota. El

producto vectorial es perpendicular a A

y B

. 5. Determinar la primera y segunda derivada de las

siguientes funciones vectoriales:

a. jt

2ti

1t

1t)t(r

b. jt51i4t)t(r 12

6. Si una partcula se mueve a lo largo de una cierta trayectoria, de modo que su vector velocidad est

dado por: j2t

1it)t(v 2

m/s, y adems

se conoce que el vector posicin para t = 3s, es:

j5i2)3(r

m, determinar el vector posicin

de la partcula para cualquier instante de tiempo

t: )t(r

7. Una partcula se mueve a lo largo de una curva

cuyas ecuaciones paramtricas son tx(t) e ,

y(t) 2 cos3t y z(t) 2 sen3t , siendo t el

tiempo. a. Hallar la velocidad y la aceleracin en

funcin del tiempo. b. Hallar el mdulo de la velocidad y la

aceleracin en el instante t=0 s. 8. La aceleracin de una partcula que se mueve en el

espacio tridimensional est dada por:

k2j3)t(a

m/s2, mientras que

k1i1)1(v

m/s y j4i2)1(r

m.

Determinar el vector posicin )t(r

de la partcula.

9. Dados 2 3A 5t i t j t k

y B sent i cost j

, hallar

a) d

A Bdt

, b)

dA B

dt

y c)

dA A

dt

.

10. Una partcula se mueve de modo que su vector

posicin viene dado por r cos t i sen t j

,

siendo una constante. Demostrar (a) que la aceleracin es perpendicular a la posicin y (b) la aceleracin est dirigida hacia el origen.

11. Si 4 22xz x y , hallar en el punto (2, -2, -1).

12. Siendo 2 2A 2x i 3xy j xz k

y 32z x y , hallar

A

y A

en el punto (1, -1, 0).

13. Siendo 2 y/xF x z e y 2 2G 2z y xy , hallar

(F G) y (F G) en el punto (1,0,2)..

14. Suponga que

. Evale

de (0,0,0) a (1,1,1), a lo largo de las

trayectorias C siguientes:

a. .

b. La lnea recta que va de (0,0,0) a (1,0,0), que luego va a (1,1,0) y despus a (1,1,1).

c. La lnea recta que une al punto (0,0,0) con (1,1,1).

15. Calcule el trabajo total realizado cuando se mueve una partcula en el campo de fuerzas

dado por ,a lo largo de la hlice C, dada por , y , de a .

16. Sea . a) Calcule . b) Evale

alrededor de cualquier trayectoria cerrada y explique los resultados.