ESTIMACION ROBUSTA

HERIBERTO L. URBISAIA y JUANA Z. BRUFMAN (UBA)

1.- GENERALIDADES La robustez de un método de estimación se refiere a su condición para obtener estimaciones insensibles ante posibles violaciones de alguno de los supuestos fijados al especificar un modelo, en particular, el relativo a la distribución admitida para la perturbación aleatoria. Un estimador robusto produce “buenas” estimaciones” (en algún sentido), ante una amplia variedad de posibles procesos generadores de datos. De acuerdo con la formalización habitual en la estadística matemática, se supone que las observaciones del fenómeno en estudio son generadas a partir de un proceso aleatorio, representado por un miembro

Fθ de la familia paramétrica F de funciones de distribución:

{ }; Fθ θ ∈ΘF =

Se admite que el mecanismo es totalmente conocido salvo el parámetro θ , que debe ser estimado utili-

zando un estimador θ , con las propiedades desables conocidas: insesgadez y eficiencia. En general el

método de Máxima Verosimilitud (MV) satisface tales requerimientos y en gran parte de las aplicaciones se admite la distribución normal ó gaussiana como modelo teórico de distribución.

En el modelo lineal general: i i iy = +ε′x β , con errores normales, independientes e idénticamente distri-

buidos, el estimador mínimo cuadrático clásico (MCC) ββββ es el más eficiente de los estimadores insesga-

dos ( best unbiased estimator). Cuando los errores no están normalmente distribuidos, ββββ sigue siendo

el más eficiente, pero dentro de una clase más restringida de estimadores, esto es, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados (best linear unbiased estimator). Ahora bien; si la distribución de los errores es leptocúrtica, en el sentido de generar frecuentemente erro-res grandes, la linealidad es una condición extremadamente restrictiva: se prueba que los estimadores MCC resultan inferiores a otros estimadores no lineales insesgados, que se denominan estimadores robustos. Es sabido que la distribución subyacente de la perturbación aleatoria no se conoce con certeza; de ahí que el área de la estimación robusta que ha merecido mayor atención, dentro del campo econométrico, se refiere a estimadores que si bien son algo menos eficientes que los MCC cuando los errores se hallan normalmente distribuidos, resultan considerablemente más eficientes que los MCC para errores no normales. Otros desarrollos referentes a la robustez incluyen estimadores que son robustos ante es-pecificaciones alternativas de la matriz de varianza-covarianza de los errores y estimadores que son ro-bustos con respecto a la especificación de la forma funcional; también en la Inferencia Bayesiana la elec-ción de un estimador robusto con respecto a la especificación de la distribución a priori, ha sido tema de interés para los econometristas bayesianos. La robustez de las estimaciones constituye actualmente un tema preocupante entre economistas teóri-cos y aplicados, dada la extrema sensibilidad de algunos procedimientos de estimación ante la no nor-malidad del término de error. 2.- OBSERVACIONES ATÍPICAS. OBSERVACIONES INFLUYENTES. Cuando se analizan datos muestrales es fácil captar visualmente discrepancias respecto a una distribu-ción normal: en datos microeconómicos ó financieros de alta frecuencia, se observan a menudo distri-buciones empíricas con colas más densas que la normal.

2

La falta de normalidad obedece a la presencia de datos anómalos (outliers)1 : puede ocurrir que una

pequeña fracción de la muestra, digamos entre el 2% y el 10% aparezca como atípica, debido a errores de medición, alteraciones en la metodología de recolección de datos, etc. Valores extremos en la muestra pueden tener, a priori, una incidencia desproporcionada en las estima-ciones MCC; estos valores se denominan observaciones de efecto palanca, que deberán ser analizados a los efectos de decidir sobre el tratamiento más adecuado al objetivo del modelo. Con frecuencia, la función estimada resulta desplazada en exceso, con el correspondiente aumento de los errores están-dar de las estimaciones. En este caso se habla de valores influyentes y su identificación puede realizar-

se corriendo dos regresiones: una con la muestra completa y otra quitando la i -ésima observación.

Todo dato cuya eliminación altera marcadamente la estimación MCC se considera observación influyen-te. 2.1.- DETECCION DE OBSERVACIONES INFLUYENTES. La metodología para identificar valores influyentes ha sido formalizada por Belsley, Kuh y Welsch,

( )1980 ; los autores utilizan medidas de diagnóstico que apuntan a cuantificar el impacto de observacio-

nes potencialmente influyentes en la estimación MCC del Modelo de Regresión.

Sea el Modelo = +y X β εβ εβ εβ ε , con K variables explicativas, a ser estimado con n observaciones. La con-

tribución de la observación i -ésima en la estimación ββββ se define como:

( ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ1

i i

i

DFBETA ih

ε−′ ′= − =

−

X X xβ ββ ββ ββ β

expresión que mide diferencias entre los coeficientes ββββ , estimados: i) con la totalidad de la información ;

ii) quitando la observación i .

En esta expresión i′x es la fila i -ésima de la matriz X y ( ) 1

i i ih−′ ′= x X X x mide la influencia a priori de

la observación i . 2 Del mismo modo, la expresión

( )ˆ

ˆ ˆ1

i ii i

i

hDFFIT y y i

h

ε= − =

−

mide diferencias entre valores ajustados y : i) con la totalidad de la información ; ii) quitando la observa-

ción i . Dado que estas diferencias dependen de las unidades de medición, es conveniente normalizarlas divi-diendo cada una de ellas por sus correspondientes errores estándar. Las medidas estandarizadas se

indican como DFBETAS y DFFITS .

Por tanto, si se desea medir el cambio en la estimación del coeficiente kβ , originado por la supresión de

la información i , se deben calcular:

( )

( ) ( ) 1

ˆ ˆ

ˆ

k k

ki

kk

iDFBETAS

i

β β

σ −

−=

′X X;

( )( ) ( )( )1 2

1 2 ˆ

ˆ ˆ 1i i i i

i i

i hDFFITS

i h i h

εσ σ

′ ′= =

−

x xβ − ββ − ββ − ββ − β

1Toda observación que no parece seguir el patrón de agrupamiento de la mayoría de los datos recibe el nombre de

observación anómala ó atípica.

2

ih es el i -ésimo elemento diagonal de la matriz de proyección MCC: ( ) 1−′ ′=H X X X X , denominada Matriz

“Hat” ; H es matriz idempotente; por tanto 0 1ih≤ ≤ . Además, la traza de H = K , por lo que

1

n

i

i

h K=

=∑ . El

tamaño promedio de un elemento diagonal es K n .

3

Como regla práctica ó valor de corte, los autores consideran observaciones influyentes cuando:

2kiDFBETAS

n> ;

1 2

2i

KDFFITS

n

>

La detección de valores influyentes no implica que deban ser desechados del grueso de la información. A menudo, tales valores pueden ser indicio de cambios estructurales cuyos efectos deben ser detectados a partir de las estimaciones del modelo. Completada la etapa de identificación, efectuadas la correcciones que correspondan, por ejemplo, por fallas en la carga de datos ó errores de medición, se procederá a la búsqueda de estimadores robustos que permiten la inclusión de toda observación influyente considerada por el investigador como informa-ción confiable y valiosa. 3.- ESTIMADORES ROBUSTOS Existen propuestas alternativas para la estimación robusta de medidas de posición y de escala. Una cla-sificación apropiada, efectuada por Huber (1964) es la siguiente: 1.- Estimadores M 2.- Estimadores Lp 3.- Estimadores L 4.- Mínimos Cuadrados Recortados 5.- Estimadores con influencia acotada En lo que sigue ejemplificamos cada uno de los estimadores refiriéndonos al campo econométrico, espe-cíficamente al Modelo de Regresión:

0 1 1 2 2 K ... i i i K i i i iy = + x + x + + x = +β β β β ε ε′ + x β

Estimadores M: Esta clase de estimadores pueden considerarse como generalización de los de Máxima

Verosímil; de ahí la denominación “estimadores- M”. Consisten en minimizar la función suma ponderada

de errores absolutos: 1

n

i i i

i

w y=

′−∑ x ββββ utilizando diferentes ponderaciones, según la magnitud del error. 3.

Por ejemplo:

i) Fijando todas las ponderaciones iguales, esto es 1iw = , ∀ i ; en este caso el estimador minimiza la

suma de errores absolutos; el estimador se denomina “Desviación Absoluta Mínima”:

1

n

i i

i

MAD y=

′= −∑ x ββββ

ii) Utilizando un esquema de ponderaciones que dependa de la magnitud del error en términos absolu-

tos: si éste es menor a un valor arbitrario b , se lo toma como ponderación; en caso contrario, la ponde-

ración se estabiliza en b :

( )

i i

i i i i i

i i iy

w y y b

w b sgn y b′−

= − − <′ ′

= − ≥′x

x x

xββββ

β ββ ββ ββ β

ββββ

si

si

iii) Aplicando un esquema similar al anterior, pero con valores iw decrecientes hacia cero si

i i by ≥− ′x ββββ ; cuando i iy − ′x ββββ alcance un valor arbitrario d , iw se tomará =0. Esta opción implica

desechar observaciones que generen errores absolutos mayores que d .

3 En este sentido, los estimadores MCC utilizan como ponderación la magnitud de cada error absoluto.

4

Estimadores Lp : Resultan de minimizar la función 1

np

i i

i

y=

′−∑ x ββββ ; es decir, la suma de errores abso-

lutos elevados a la potencia .p Si 2,p = estamos ante los Estimadores MCC; si 1,p = el estimador coin-

cide con el MAD. Como regla práctica para decidir sobre el valor de p , debe tenerse en cuenta que,

cuanto más densas son las colas de la distribución empírica, menor debe ser .p

Estimadores L: Son combinaciones lineales de estadísticos de orden muestrales.

4

Así, el estadístico de orden 0.25 ó primer cuartil: ( )0.25Yq , separa la distribución de modo que el 25%

de las observaciones son menores que ( )0.25Yq y el 75% mayores que ( )0.25Yq ; la mediana es el se-

gundo cuartil ó cuantil de orden 0.50, etc.

Se recordará que, dada una variable aleatoria Y , con función de distribución ( ) ( )F y P Y y= ≤ , se

define el cuantil de orden τ ( )0 1τ< < , como el menor y que satisface la relación ( )F y τ≥ . Formal-

mente:

{ }( ) inf : ( )q y F yτ τ= ≥

Si se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n , la función de distribución empírica tradicional vie-

ne dada por:

( ) ( )n ik

F y I Y y= ≤∑

donde ( )I z es una función indicativa que toma valor 1 cuando el argumento es cierto y 0 en los demás

casos. La correspondiente función empírica de los cuantiles viene dada por la expresión:

{ }( ) inf : ( )n nq y F yτ τ= ≥

o lo que es lo mismo, considerado como un problema de optimización:

( ): :

1( ) argmin

( ) min ( )

n i iiY iY

n ii

q Y Y

q arg Y

ξ

ξ

ξ ξ

τ

ττ τ ξ ξ

τ ρ ξ

≥ <

−

= − + −

= −

∑ ∑

∑

donde ( ) ( ( 0))u u I uτρ τ= − < se denomina función de chequeo (check function) que pondera asimétri-

camente valores positivos y negativos. Los estimadores L se obtienen combinando linealmente cuantiles de diferente orden; de este modo es

posible construir estimadores robustos de una medida de posición. Se han propuesto, por ejemplo, las combinaciones:

( ) ( ) ( )% % %0.30 0.25 + 0.40 0.50 + 0.30 0.75q q q

ó bien:

( ) ( ) ( )% % %0.25 0.25 + 0.50 0.50 + 0.25 0.75q q q

4 Las observaciones ordenadas de la muestra aleatoria ( )1 2, ,..., ny y y se indican como: ( ) ( ) ( )1 2, ,...,

ny y y siendo

( ) ( ) ( )1 2 ...n

y y y≤ ≤ ≤ . Entonces ( ) , 1,2,...,i

y i n= , se denomina estadístico de orden i de la muestra.

5

Mínimos Cuadrados Recortados: El método consiste, básicamente en desechar algunas observacio-

nes. Por ejemplo, después de calcular los cuantiles 0.05 y 0.95, se descartan observaciones con resi-

duos negativos respecto a ( )% 0.05q y positivos respecto a ( )% 0.95q . En total se elimina el 10% de las

observaciones; se practica una regresión mínimo- cuadrática con las observaciones remanentes y se

obtiene un estimador MCC α -recortado, siendo en este caso 0.10α = . Estimadores con influencia acotada : Estos estimadores se diseñan de modo de limitar la incidencia

que una observación anómala pueda tener sobre las estimaciones MCC. Se trata de minimizar la suma ponderada de errores cuadráticos, disminuyendo el peso otorgado a la observación atípica, respecto de las restantes, las que conservan ponderación unitaria. La cota se elige generalmente, admitiendo que la eficiencia del nuevo estimador resulte hasta, por ejemplo, un 5% menor que la correspondiente a los estimadores MCC. 4.- REGRESIÓN POR CUANTILES Ó REGRESIÓN CUANTÍLICA

La regresión cuantílica, introducida por Koenker y Bassett en 1978, constituye actualmente una metodo-logía de aplicación corriente en estudios socioeconómicos orientados al análisis de la desigualdad. Ello ha sido posible gracias a la mayor disponibilidad de información microeconómica, unida a su procesa-miento electrónico a través de paquetes informáticos cada vez más sofisticados. En la mayoría de los estudios econométricos se modelan momentos condicionales; al especificar por

ejemplo, la relación i i iy = +ε′x β , se estima específicamente la función media condicional de y , con-

dicionada a las variables regresoras x . Sin embargo, existe actualmente un interés creciente en méto-

dos que permitan apreciar otros aspectos de la distribución de y . En esta dirección la regresión por

cuantiles apunta a una descripción más detallada al modelizar, no sólo el valor medio condicional, sino la mediana, cuartiles, percentiles, etc., condicionados a los niveles de las variables regresoras. Si se consideran cuantiles equiespaciados, por ejemplo, cada 5% ó 1% de la población, es posible mode-lizar cada una de las posiciones predeterminada de la distribución de y . Por tanto, la regresión por

cuantiles amplifica notablemente el análisis de la distribución de la variable respuesta, condicionada al conjunto de variables regresoras. Un caso importante de la regresión por cuantiles es el estimador “Desviación Absoluta Mínima” (MAD), que corresponde al ajuste de la mediana condicional de la variable respuesta.

Retomando el modelo i i iy = +ε′x β , donde iε es el error correspondiente a la observación i , resulta

que:

i) Mínimos Cuadrados Clásicos minimiza la función objetivo2ii

ε∑

ii) La regresión por la mediana (estimador MAD) minimiza iiε∑

iii) La regresión por quintiles considera como función objetivo una suma que pondera asimétricamente los

errores absolutos: otorga ponderaciónτ a errores por subestimación y ponderación ( )1 τ− para errores

por sobreestimación. 5.- EL MODELO DE REGRESIÓN POR CUANTILES

Como ya dijimos, en un análisis clásico de regresión lineal, formalizado mediante el modelo i i iy = +ε′x β ,

se intenta determinar la incidencia de las variables explicativas i′x sobre el valor medio condicional de

y ; la incidencia resulta cuantificada al obtener las estimaciones ββββ .

En la regresión por cuantiles, en cambio, se analiza la incidencia de las variables explicativas sobre cada uno de los cuantiles de la distribución de y ; se obtiene entonces un vector de estimaciones por cada

cuantil, que simbolizamos como τ%ββββ .

6

GRAFICO I

En el grafico adjunto se ha representado para dos valores de 1 2: ,x x x la distribución condicionada de y

que supondremos en ambos casos normal pero con distinta media y varianza (ambas crecientes con x ).

La recta central representa la recta de regresión mínimo cuadrática, es decir, la esperanza condicional

de y dado x , que coincide en este caso con la mediana 0.50Q . Las líneas punteadas son las regresio-

nes cuantilicas Qτ para 0.05τ = y 0.95τ = .

Como puede observarse, las pendientes dadas por los coeficientes τβ resultan crecientes con τ , lo

que muestra la presencia de heterocedasticidad a medida que crece x .

Si las rectas punteadas fuesen paralelas, 0.05 0.95β β= estaríamos en el caso homocedástico.

La regresión por cuantiles condicionales estándar supone una especificación lineal en las variables re-gresoras x :

( / , )i iQ τ ττ ′=x xβ ββ ββ ββ β

siendo τββββ el vector de coeficientes asociado al τ cuantil .

La función objetivo del párrafo anterior se modifica de manera que el vector cuantílico τ%ββββ resulta de mi-

nimizar, respecto a τββββ , la expresión

( )( )

: :

1i i i i

n n

i i i i

i y x i y x

y yτ τ

τ ττβ β

τ τ′ ′≥ <

′ ′− + − − ∑ ∑x x

βββββ ββ ββ ββ βmin

Obsérvese que se utiliza la notación τββββ , y no ββββ como en el caso de MCC, para destacar que diferentes

elecciones de τ generan distintas estimaciones de ββββ . Por otra parte, si τ es 0.90, por ejemplo, la pon-

deración asimétrica opera con mayor intensidad para observaciones y ′≥ x ββββ que para observaciones

donde y ′< x ββββ

La función objetivo no es diferenciable, por lo que se utilizan métodos de programación lineal para la búsqueda de la solución.

Regresión Cuantílica (Normal)

7

Desde el momento que este enfoque no requiere supuestos fuertes en lo que respecta a la distribución de los errores se lo considera un método robusto para modelizar esas relaciones. Los autores Koenker y Bassett demuestran además la consistencia y normalidad asintótica. 6.- UNA APLICACIÓN AL CÁLCULO DE ELASTICIDADES DEL GASTO En Urbisaia y Brufman (2005), se estimaron elasticidades del Gasto por Deciles de Ingreso. El trabajo se realizó en el marco del Proyecto UBACyT E036 Programación 2001-2004: “La Reforma Tributaria. Impli-cancias sobre la Distribución del Ingreso y el Bienestar”. Se utilizaron datos de la Encuesta Nacional de Gastos de los Hogares 1996-1997, INDEC, correspon-dientes a la Región Metropolitana del Gran Buenos Aires, (Capital Federal y Conurbano Bonaerense), considerándose diversos rubros que componen el presupuesto familiar: Alimentos, Bebidas Alcohólicas, Indumentaria, Vivienda, Equipamiento del Hogar, Salud, Transporte, Esparcimiento, Educación, Bienes y Servicios varios. El análisis y procesamiento de la base de datos estuvo a cargo del Lic. Luis A. Trajtenberg aplicando el programa STATA 8.0. 6.1.- RELEVANCIA DEL TEMA El conocimiento de las elasticidades resulta fundamental para analizar el comportamiento de la demanda ante variaciones de precios e ingresos. La posibilidad de segmentar los estudios según cuantiles de in-greso permite diferenciar aun más las elasticidades y determinar el rango dentro del cuál los bienes se comportan como necesarios o superfluos; en síntesis, en estos casos tendremos, para un mismo bien, el comportamiento de la demanda según tramos de ingreso. Una de las aplicaciones más interesantes de este instrumental se refiere al estudio de la repercusión de los impuestos al consumo (ejemplo el valor agregado), sobre la demanda y finalmente sobre la recauda-ción fiscal. En efecto; un aumento de impuestos, es visto por el consumidor como un aumento de precios, y por ende, una baja en los consumos. La magnitud de este efecto viene dado por las respectivas elasticida-des. Un incremento de precios vía un aumento de impuesto, tiene un efecto doble sobre las cuentas fiscales: uno positivo y otro negativo. El positivo viene dado por la mayor tasa de impuesto, pero dado que simul-táneamente se da el efecto contrario (negativo) por la baja en los consumos, el resultado final puede ser incierto. En este caso, puede establecerse un nuevo nivel del equilibrio de las variables precio-consumo, según elasticidades. Por tanto, el hecho de poder desagregar la demanda por cuantiles, con sus respectivas elasticidades, nos da el instrumento necesario para analizar en forma cuantitativa el resultado final y el impacto social de este tipo de impuestos. 6.2.- CASOS EMBLEMÁTICOS El comportamiento de las elasticidades dentro de cada grupo tiene que ver con el grado de saciedad (medida en unidades físicas) y rapidez y forma con que se llega a la misma, aún cuando luego puede haber un cambio de calidad, que lleva a una extensión de la misma en términos de valor. A partir de es-tos conceptos, cada grupo de bienes sigue su propia dinámica. Así para algunos bienes, la saciedad física llega mas rápidamente que en otros, por ejemplo alimentos respecto a indumentaria, aunque en valores puede la misma puede ser mas extensa. Debemos tener en cuenta, que las elasticidades se refieren al gasto por tipo de bien, lo que implica el efecto conjunto de la cantidad y la calidad. Es decir que al llegar a estratos superiores del ingreso, las cantidades compradas siguen siendo las mismas o aumentan levemente, pero las calidades pueden au-mentar significativamente el valor, acarreando variaciones más pronunciadas en el gasto. Para el rubro Alimentos, como era de esperar, la proporción dedicada a este gasto disminuye a medida que aumenta el ingreso, proporción que no puede ser alterada significativamente por la calidad; ello im-

8

plica que su valor es más o menos cercano al de saciedad: la elasticidad sufre un aplanamiento más pronunciado a medida que aumentan los deciles. Para Bebidas Alcohólicas y Cigarrillos, en virtud de que se trata de consumos que son más bien vicios, tiene un nivel de saciedad elevado, y por ende, su elasticidad se mantiene constante a través de toda la escala. Un aumento de precios, por aplicación de un impuesto, difícilmente tendrá impacto sobre la de-manda. No obstante en este caso el impuesto tendrá un efecto diferente según se lo aplique a las unida-des consumidas (botellas, atados de cigarrillos) ó al valor de los mismos (unidades x calidad). En los restantes bienes, como transporte, esparcimiento y educación, las elasticidades son notoriamen-te decrecientes, se trata de consumos con alto contenido de servicios. El Cuadro adjunto resume los resultados obtenidos en dicha oportunidad

ELASTICIDADES POR DECILES DE INGRESO

Decil

Aliment.

B.Alcoh

Cigarril.

Indumen

Viviend

Equip

Salud

Transp

Esparc

Educ

1 0.7783 0.9020 0.8199 1.1413 0.8772 1.4721 0.9781 1.7017 1.8846 2.9341

2 0.7627 0.9035 0.8410 1.1277 0.8793 1.4197 0.9766 1.6152 1.7588 2.3438

3 0.7479 0.8940 0.8626 1.1287 0.8860 1.3806 0.9758 1.5608 1.6309 2.5217

4 0.7363 0.8998 0.8410 1.1101 0.8775 1.3968 0.9758 1.4916 1.6017 2.0723

5 0.7251 0.8922 0.8238 1.1081 0.8765 1.3610 0.9711 1.4300 1.5328 2.0145

6 0.7088 0.9013 0.8368 1.1129 0.8819 1.3610 0.9732 1.3987 1.5302 1.7087

7 0.6902 0.8904 0.8346 1.1040 0.8734 1.3152 0.9751 1.4033 1.4566 1.6719

8 0.6670 0.8904 0.8299 1.1101 0.8630 1.3122 0.9756 1.3218 1.4329 1.5981

9 0.6397 0.8792 0.7921 1.1058 0.8541 1.2863 0.9771 1.3070 1.4014 1.4609

10 0.5590 0.8769 0.7205 1.1083 0.8358 1.2149 0.9758 1.2904 1.2773 1.3702

Paralelamente se muestran en los Gráficos que siguen, estimaciones de regresión por cuantiles de las Curvas de Engel del tipo:

ln,

w Gi j j

α β= −

En las que: ,

wi j

representa la proporción del gasto en el rubro i efectuado por el hogar j y jG

el gasto total del hogar. Se consideraron los rubros Alimentos, Bebidas Alcohólicas y Cigarrillos. Por

razones de claridad visual, sólo se exiben 0.10Q 0.50Q 0.90Q .

9

GRÁFICO II

Pro

porc

ión d

el G

asto

destinado a

Alim

ento

s

Curva de Engel Regresión CuantílicaLog Ingreso Per Cápi ta

Regresión Cuantíl ica 10th Regresión Cuantíl ica 50th Regresión Cuantíl ica 90th Alimentos Share

.733569 8.52231

-.013422

1.20053

Pro

porc

ión d

el G

asto

destinado a

Cigarrillos

Curva de Engel Regresión CuantílicaLog Ingreso Per Cápi ta

Regresión Cuantíl ica 10th Regresión Cuantíl ica 50th Regresión Cuantíl ica 90th Cigarril lo Share

.733569 8.52231

-.003002

.2494

Pro

porc

ión d

el G

asto

destinado a

Alc

ohol

Curva de Engel Regresión CuantílicaLog Ingreso Per Cápi ta

Regresión Cuantíl ica 10th Regresión Cuantíl ica 50th Regresión Cuantíl ica 90th Alcohol Share

1.02185 8.52231

.000094

.242588

Las regresiones cuantílicas, muestran en la generalidad de los casos, una reducción pronunciada de la heterocedasticidad a medida que aumenta el ingreso. Sin embargo esta reducción no es idéntica para todos los bienes, sino que defiere según el tipo de bien.

Respecto a los coeficientes τβ (pendientes) de cada una de las regresiones, se obtuvieron:

Alimentos Bebidas Alcohólicas Cigarrillos

0.10β -0.0789 -0.0022 -0.0047

0.50β -0.1193 -0.0044 -0.1139

0.90β -0.1264 -0.0132 -0.0292

Para alimentos, podemos ver una pendiente más pronunciada, en el sentido de que la saciedad opera más rápidamente que para otro tipo de bienes.

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