USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA...
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1 USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA AXIAL JUAN DIEGO CRUZ RODRIGUEZ UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BASICA CON ENFASIS EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2016
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USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA AXIAL
JUAN DIEGO CRUZ RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BASICA CON ENFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ
2016
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USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA AXIAL
JUAN DIEGO CRUZ RODRIGUEZ
Trabajo de grado presentado como requisito para obtener el título de
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
Director
MARTÍN ACOSTA GEMPELER
Doctor en Ciencias de la Educación
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BASICA CON ENFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ
2016
3
Agradecimientos
Este trabajo de tesis fue realizado en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas,
es un esfuerzo en el cual, directa o indirectamente participaron distintas personas,
opinando, corrigiendo, apoyando, teniendo paciencia entre otras cosas. Este trabajo me
ha permitido aprovechar la competencia y experiencia de diferentes personas a las
cuales me gustaría agradecer.
En primer lugar, a mi director de tesis, Dr. Martin Eduardo Gempler, mi más amplio
agradecimiento por haberme confiado este trabajo, por su paciencia y su valiosa
dirección.
Al Prof. Jaime Fonseca, un especial agradecimiento por su disposición a colaborar con
el desarrollo de este proceso, prestando espacios de su clase y de su tiempo para
realizar la sustentación de este proyecto. Además por ser un excelente guía durante mí
proceso a convertirme en profesor de matemáticas.
Por último quería a agradecer a mi familia por el apoyo y la paciencia de todos estos
años para así poder culminar mis estudios universitarios. No obstante doy gracias a
dios pues soy testigo que muchas de las cosas que se dieron para que esto fuera
posible se debe a él.
A todos ustedes, mi mayor reconocimiento y gratitud
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Contenido
Introducción ................................................................................................................................................. 6
Objetivo general ......................................................................................................................................... 8
Objetivos específicos ................................................................................................................................. 8
Justificación ................................................................................................................................................. 9
Descripción ................................................................................................................................................ 10
Marco Teórico ........................................................................................................................................... 11
La teoría de situaciones didácticas ................................................................................................... 11
Aprendizaje por adaptación ................................................................................................................ 11
Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica .................................................................................. 12
Saber Vs Conocimiento ....................................................................................................................... 13
Proceso de Validación ......................................................................................................................... 14
Proceso de devolución ........................................................................................................................ 14
Proceso de institucionalización .......................................................................................................... 14
Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación .................................................................. 14
Metodología .............................................................................................................................................. 16
Ingeniería Didáctica ............................................................................................................................. 16
Análisis preliminar ................................................................................................................................ 16
Diseño .................................................................................................................................................... 16
Experimentación ................................................................................................................................... 16
Análisis a posteriori .............................................................................................................................. 16
Población ............................................................................................................................................... 17
Recolección de datos .......................................................................................................................... 17
Actividad 3 (Análisis) ............................................................................................................................... 18
Análisis actividad 3 (Moviendo los triángulos) ................................................................................. 18
Análisis serie 3-1, 3-2, 3-3 .................................................................................................................. 24
Análisis serie 3-4 y 3-5 ........................................................................................................................ 30
Análisis Actividad 3 (Sin mover los triángulos) ................................................................................ 32
Análisis conjunto series 3-1 ,3-2, 3-3 ................................................................................................ 34
Análisis 3-4 y 3-6 .................................................................................................................................. 38
Análisis Actividad 3 (Puesta en común y serie 3-7) ........................................................................ 39
Análisis serie 3-7 .................................................................................................................................. 45
5
Actividad 4 (Análisis) ............................................................................................................................... 51
Análisis estrategia medir distancias (Serie 4-1 y 4-4) .................................................................... 59
Análisis estrategia lado AB paralelo (Serie 4-1 y 4-6) .................................................................... 67
Análisis Estrategia ocultar mostrar (Series 4-2 y 4-3) .................................................................... 74
Conclusiones............................................................................................................................................. 76
Conclusiones generales ...................................................................................................................... 76
Dificultades en gestión ........................................................................................................................ 76
Referencias Bibliográficas ...................................................................................................................... 78
Anexos ....................................................................................................................................................... 78
Anexo A ................................................................................................................................................. 78
ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES SIMETRÍA AXIAL ............................................................................ 78 Anexo B ............................................................................................................................................... 117
Transcripciones de la profesora Marta ....................................................................................................... 117
6
Introducción
En la última década la incorporación de la tecnología en el currículo ha sido de gran
preocupación para los investigadores en educación, pues se piensa en un vínculo entre
las matemáticas y la tecnología. Según Murillo (2005), la integración y la utilización de
la tecnología en el proceso educativo de las matemáticas es un asunto que hace
tiempo viene ocupando el trabajo de los investigadores en Educación Matemática,
intentando determinar los posibles beneficios que su utilización conlleva en conjunto
con los diseños metodológicos y entornos multimedia de aprendizaje de tal manera que
se produzcan mejoras en los procesos de aprendizaje. Fiallo (2015), afirma que la
vinculación de las Tecnologías Digitales en el aula de clase es un proceso complejo
que requiere acompañamiento constante además de una preparación adecuada de tal
manera que se alcance la actividad matemática esperada.
Una de las ramas de las matemáticas beneficiada con la incorporación de la tecnología
es la geometría; de acuerdo al MEN (2004), los software de Geometría Dinámica
cambian la forma de enseñanza de la geometría puesto que permiten la
implementación de actividades totalmente nuevas para esta área.
Atendiendo a lo anterior en la Universidad Industrial de Santander se creó un grupo de
investigación en educación Matemática (EDUMAT-UIS) y la universidad Distrital ha
desarrollado un proyecto se encuentran involucrados dos colegios de Bucaramanga,
uno en Cajicá, docentes investigadores (coordinadoras de grupo) y estudiantes de
Licenciatura en Matemáticas, cada integrante se une al grupo por diferentes razones;
sin embargo los estudiantes se vinculan con el fin de desarrollar su trabajo de grado.
Este proyecto se basa en una serie de actividades que se encuentran fundamentadas
teóricamente desde la teoría de Situaciones Didácticas y metodológicamente desde el
proceso ingeniería didáctica. Nuestro trabajo consiste en la trascripción de videos de la
implementación en Cajicá y el correspondiente análisis a- posteriori
Para llevar a cabo esta investigación se expondrá la estructura del documento.
En la primera parte se encuentra la fundamentación teórica y los dos ejes de
investigación, el primero de ellos la teoría de situaciones didácticas en la que se
fundamenta cada una de las actividades y el segundo las características de Cabri como
medio didáctico.
Para la segunda parte se expone la metodología de este trabajo (Ingeniería Didáctica)
y sus conceptos más relevantes, además de mostrar cual fue nuestro objeto de estudio.
En una tercera parte se mostrará el análisis de las actividades, donde se expondrá el
análisis a-priori, la transcripción del video y un análisis a-posteriori, lo cual nos
permitirá realizar la confrontación de los dos análisis.
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Por último tendremos las conclusiones, en donde escribiremos nuestras apreciaciones
respecto al cumplimiento de los objetivos propuestos para esta investigación, además
de hacer contribuciones y sugerencias para reformular el análisis a-priori basándonos
en el análisis a-posteriori.
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Objetivo general
Analizar la implementación de las actividades 3 y 4 para la enseñanza de la simetría
axial en un grado sexto del colegio Pompilio Martínez, para identificar los aprendizajes
por adaptación que se produjeron y las dificultades de gestión de las actividades por
parte de la profesora.
Objetivos específicos
1) Efectuar la trascripción de los videos de clase
2) Identificar los episodios en los que se produjo aprendizaje por adaptación
3) Identificar las dificultades de gestión de las actividades realizadas por la
profesora.
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Justificación
La inclusión de las tecnologías informáticas en la vida social y cultural del ser humano
ha aumentado a gran escala y en el campo de las matemáticas no es la excepción
pues se han desarrollado software especializados tanto para la práctica como para su
enseñanza, además investigaciones muestran el gran potencial de estas tecnologías
para el aprendizaje (Lagrange J.B, Artigue M., Laborde C. & Trouche L. (2003). Tanto
en Colombia como en otros países se han realizados esfuerzos para difundir tecnología
informática con internet para enseñar matemáticas, pero se han encontrado diferentes
dificultades (Acosta, 2010a, Haspekian, 2005).
El grupo EDUMAT-UIS identificó dos de los principales problemas que dificultan esa
incorporación de nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas; La ausencia de
actividades de clase que utilicen al máximo el potencial de las tecnologías que cubran
todo el currículo en matemáticas; 2) La falta de instrucción didáctica que promueva el
uso de la tecnología en la teoría y en la práctica, con el fin que los profesores
trasformen sus clases.
Con la idea de aportar a la superación de estas dificultades se creó el PIUSGD de
donde se diseñaron una serie de actividades de clase para la enseñanza de la
geometría, específicamente simetría axial para el grado sexto basándose en el modelo
didáctico de la Teoría de Situaciones Didácticas (Acosta 2010). Estas actividades
fueron implementadas tanto en la zona metropolitana de Bucaramanga como en el
municipio de Cajicá y se considera que la generalización de estas actividades al resto
del terreno nacional e internacional mostraría un gran avance en la Educación
Matemática.
Si se quiere llegar a una ampliación e instalación de esta práctica, es necesario
comprobar la posibilidad de trasferir las actividades diseñadas para Bucaramanga y
Cajicá a otros lugares del país además de diseñar una formación de profesores que
garantice que los docentes tienen una apropiación del modelo didáctico planteado.
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Descripción
En este documento se presentara el análisis a posteriori de unas actividades enfocadas
a la simetría axial, las cuales fueron planteadas por el director del proyecto y diseñadas
en el software Cabri II Plus. Estas actividades fueron aplicadas en el año 2013 a todos
los niños de grado sexto del Colegio Pompilio Martínez. Haciendo uso de la Teoría de
Situaciones Didácticas (TSD) se evaluó el aprendizaje de los estudiantes con respecto
a simetría axial confrontando el análisis a priori con las evidencias fílmicas de la
actividad 3 y 4 en una pareja de estudiantes.
El análisis a priori realizado por Pérez (2011) adjunto en los anexos, contiene hipótesis
de los posibles caminos de solución de los estudiantes a las actividades propuestas en
Cabri, las retroacciones del medio y el aprendizaje por adaptación que obtendrá cada
estudiante de acuerdo con su interacción con el software.
Este trabajo de grado presenta el análisis a posteriori de dos de las cuatro actividades
diseñadas para simetría axial, donde Cabri se usó como instrumento de geometría
dinámica. Además se realiza una confrontación entre las hipótesis del análisis a priori y
los resultados obtenidos de una pareja de estudiantes interactuando con el software.
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Marco Teórico
La teoría de situaciones didácticas
Este trabajo se desarrollara bajo la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy
Brousseau el cual servirá como marco teórico y del mismo modo será una herramienta
de análisis de tal manera que podamos realizar un contraste entre la TSD y lo que
sucedió en cada actividad que se llevo a cabo. Atendiendo a lo anterior se procederá a
exponer los principales conceptos de esta teoría (TSD).
Aprendizaje por adaptación
Como afirma Patricia Sadovsky (2005) que cita a Brousseau (1986), la idea del
aprendizaje por adaptación se da como resultado de la concepción constructivista de
Brousseau quien declara que el sujeto produce conocimiento después de haberse
adaptado a un medio resistente con el que interactúa.
” El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones,
de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad
humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por
respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje” (Brousseau, 1986).
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Carreño y Díaz (2014) cita a Martin E. Acosta (2010) quien afirma que:
El primer elemento del aprendizaje por adaptación en una intención del sujeto;
es decir, el sujeto tienen una necesidad, un propósito, un objetivo. Para alcanzar
esa intención, el sujeto realiza una acción sobre el medio. El medio reacciona a
la acción del sujeto; esta reacción recibe el nombre de retroacción. El sujeto
interpreta esta retroacción del medio, que adquiere un sentido para él y así
puede validar o invalidar la acción, es decir, puede decir si la acción realizada le
sirvió para alcanzar su intención o no. Esta validación puede tomar dos valores:
validación negativa, en cuyo caso el sujeto abandona la acción realizada y
comienza un nuevo ciclo de interacción con una acción diferente; o validación
positiva, en cuyo caso el sujeto refuerza la acción, es decir la integra como una
respuesta automática a su intención.
De los cinco elementos mencionados anteriormente son únicamente observables la
acción y la retroacción, puesto que los restantes son internos del sujeto, aunque
también son observables los efectos de la validación (cambio o refuerzo de la acción),
los cuales son señales de aprendizaje.
Según Corzo y Delgado (2010) el medio es un ente que el profesor puede manipular
con el fin de llegar a obtener los objetivos de aprendizaje esperados. Este debe tener
las siguientes características:
1) Ser exterior al estudiante: El estudiante debe reconocerle una existencia objetiva
2) Ser material: El estudiante puede interactuar con él por medio de acciones
3) No debe tener ninguna intención: no debe ser percibido como una persona
4) Imponer restricciones a la acción: no cualquier acción es posible
En conclusión se puede decir que un aprendizaje por adaptación se da cuando un
sujeto, al interactuar con un medio, cambia o refuerza sus acciones para alcanzar sus
objetivos.
Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica
La TSD define situación didáctica como aquella en la que intervienen 3 factores: un
profesor, un estudiante y un saber. De acuerdo a la TSD no es posible trasmitir el saber
de forma directa a los estudiantes. Más bien se debe propiciar el aprendizaje por
adaptación promoviendo la interacción de los estudiantes con un medio
intencionalmente diseñado. La TSD llama situación a-didáctica a esta estrategia
indirecta.
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Saber Vs Conocimiento
Según Carreño y Díaz (2014), para la Teoría de Situaciones Didácticas el saber y el
conocimiento son conceptos distintos:
El conocimiento es fruto de una experiencia, y por lo tanto es personal y
contextualizado. Cada sujeto tiene un conocimiento diferente, marcado por su
experiencia personal y por el contexto de la misma. Por su parte, el saber es
impersonal y descontextualizado, por lo tanto se opone al conocimiento. El saber
es un “saber sabio”, porque es producto de una comunidad con autoridad
reconocida y por ende es institucional.
Se podría concluir que el conocimiento se da como resultado de un ciclo de
aprendizaje por adaptación, completando de esta manera lo que llamamos situación a-
didáctica; la cual es la estrategia que usa el profesor para que el estudiante construya
determinado conocimiento personal y contextualizado y de esta manera pueda realizar
la institucionalización que consiste en: “explicitar las relaciones entre el conocimiento
construido por los estudiantes y el saber” (Carreño, 2014, p 24).
El hecho de introducir un saber partiendo de los conocimientos construidos por ellos
mismos, asegura que el saber adquiera sentido para los estudiantes, puesto que lo
podrán relacionar con su experiencia personal. Pero si se intenta introducir
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directamente el saber, los estudiantes no tendrán una experiencia con cual relacionar
dicho saber lo que tendrá como consecuencia una pérdida del sentido.
Según tales Ramón (2015) que cita a Margolinas (1993), al analizar la enseñanza
debemos prestar atención a tres procesos esenciales: proceso de validación, proceso
de devolución y proceso de institucionalización.
Proceso de Validación
Es aquel que abarca los cinco elementos de interacción del sujeto con el medio. Incluye
todo lo que hace o piensa el estudiante, que le posibilita concluir si lo que hizo está bien
o mal. Como la validación es indispensable para el aprendizaje por adaptación, el
profesor debe acompañar y guiar el proceso de validación.
Proceso de devolución
Es el proceso de acompañamiento que realiza el profesor al proceso de devolución del
estudiante. El profesor debe cuidar y favorecer la interacción del sujeto con el medio e
impedir que dicho proceso se interrumpa. Por esta razón tiene que estar presente en la
fase a-didáctica con el fin de hacer comprender el problema a los estudiantes, mostrarles
las posibilidades de acción y hacer tomar conciencia al estudiante de las retroacciones
del medio. Sin embargo no debe olvidar que tiene que cuidar del proceso de validación
absteniéndose de dar juicios sobe el trabajo del estudiante o proporcionar alguna idea
de las acciones que permiten la solución del problema.
Proceso de institucionalización
De acuerdo a Margolinas (1993), la institucionalización da inicio desde la presentación
del problema y tiene dos momentos importantes: La fase de balance y la fase de
institucionalización. La fase de balance es aquella donde el profesor busca los
conocimientos conseguidos en la fase a-didáctica y llega a acuerdos sobre los
procedimientos correctos o incorrectos. En la fase de institucionalización el profesor da a
conocer el saber matemático, poniéndolo en relación con las experiencias obtenidas en
la fase a-didáctica y con los acuerdos logrados en el balance. El propósito principal en el
proceso de institucionalización es: “independizar gradualmente la validación del medio
material, para lograr que los alumnos puedan validar utilizando el saber” (Ramón, 2015,
p 16)
Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación
Según Ramón (2015), el software de geometría dinámica está programado para producir
fenómenos visuales en la pantalla que corresponden a propiedades teóricas de la
geometría. Estos fenómenos visuales, tanto estáticos como dinámicos, serán las
retroacciones a las acciones de los estudiantes. De esta manera, se garantiza que los
conocimientos construidos en la interacción con el software tendrán una relación con el
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saber geométrico que se quiere enseñar, y que está a la base de la programación del
software. (p 17)
Para que haya un aprendizaje por adaptación según Carreño y Díaz (2014) que citan a
Margolinas (2006), el profesor debe abstenerse de intervenir señalando los errores de
los estudiantes confiando plenamente en el medio, pues este generará las retroacciones
necesarias para que el estudiante mismo encuentre sus errores.
Cabri realiza dos tipos de retro-acciones según Acosta, Monroy y Rueda (2010):
1) Acción construir: Haciendo uso de las herramientas de Cabri, se puede pedir a Cabri
que dibuje en la pantalla diferentes objetos geométricos (rectas, segmentos, círculos,
polígonos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia, perpendicularidad,
paralelismo, etc.). La retroacción correspondiente a construir es un dibujo estático en
la pantalla, que corresponde a lo que se le pidió que construyera. Ejemplo: si se
selecciona la herramienta segmento y se hacen dos clics en la pantalla, aparece un
segmento de recta limitado por dos puntos.
2) Acción arrastrar: La herramienta apuntador permite asir los objetos ya construidos y
desplazarlos en la pantalla, garantizando que las relaciones geométricas construidas
se mantienen durante el movimiento. Las retroacciones correspondientes a la acción
arrastrar son: Algunos objetos se mueven, y ese movimiento tiene patrones
determinados.
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Metodología
Ingeniería Didáctica
Según Carreño y Díaz (2014)
La ingeniería didáctica es una metodología de investigación de la escuela francesa que
hace una confrontación entre un análisis a priori y un análisis a posteriori. El análisis a
priori es un conjunto de hipótesis sobre el aprendizaje que se puede lograr
considerando a un estudiante y controlando un conjunto de variables didácticas en el
funcionamiento del medio con el cual el estudiante va a interactuar para resolver un
problema. El análisis a posteriori es la confrontación de esas hipótesis con los datos
recogidos de un experimento aplicado a una población determinada. ( p 29)
Como lo aclara Artigue (1995), una ingeniería didáctica tiene 4 fases a considerar:
Análisis preliminar
Este hace referencia al análisis del saber, a las concepciones de los estudiantes,
dificultades, hipótesis y el contexto sobre el que se desarrollara la situación a-didáctica.
Para esta fase se analizan y determinan todos los factores que intervienen en el sistema
didáctico y las relaciones entre ellos.
Diseño
Para Carreño y Díaz (2014) en esta fase el investigador es el encargado de tomar la
decisión de actuar sobre variables del sistema que no estén fijadas por las restricciones.
Se conocen dos tipos de variables:
Variables macro-didácticas o globales y Variables micro-didácticas o locales, las cuales
desde Artigue (1995) “Ambas variables pueden ser generales o bien independientes del
contenido didáctico en el que se enfoca la enseñanza” aunque la segunda va enfocada
más a la gestión y secuencia de clase.
Experimentación
En esta fase la actividad diseñada se aplica tal cual esta especificada en el análisis a
prori. Para esta fase el investigador controla las actividades además de tomar registro de
los sucesos, puesto que los datos que se obtengan serán la base de la siguiente etapa
(Análisis a posteriori).
Análisis a posteriori
Para esta fase se analizan los datos recolectados en la etapa anterior en el cual se
encuentran las observaciones realizadas, las producciones de los estudiantes fuera y
dentro del aula, cuestionarios, entrevistas entre otras, confrontándolos con el análisis a
priori.
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Este trabajo de grado consiste en desarrollar la cuarta fase
Población
La experimentación se realizó en grado sexto del I.E.D Pompilio Martínez de Cajicá,
aproximadamente a 35 estudiantes a los cuales se les aplicaron 4 actividades de simetría
axial. Las actividades se realizaron en la sala de informática y con la dirección del profesor
de matemáticas.
Para este caso la profesora Marta de matemáticas fue instruida por parte de los autores
del trabajo a lo largo de la experimentación, con el fin de lograr un manejo adecuado tanto
de las actividades como de la metodología de trabajo. Cabe aclarar que en este
documento solo se encuentran las trascripciones y el respectivo análisis de las actividades
3 y 4 para simetría axial.
Recolección de datos
Se filmó el trabajo de una pareja de estudiantes durante todas las actividades, en este
trabajo encontramos toda la información relacionada a las trascripciones y el análisis de
las actividades 3 y 4 para simetría axial, además de las intervenciones de la docente
durante las puestas en común.
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Actividad 3 (Análisis)
Análisis actividad 3 (Moviendo los triángulos)
Imagen Cita Textual
1.
Posición Inicial
2.
(El estudiante inicia tomando el extremo
M del segmento y moviendo el cursor
hacia la derecha y alarga el segmento y
lo deja en posición diagonal en el
espacio que hay entre los dos triángulos.
Luego toma el segmento desde el
extremo N y subiendo el cursor modifica
la posición del segmento dejándolo
aparentemente superpuesto con el lado
AB del triángulo rojo.
[Aparentemente el estudiante busca
poner el segmento sobre los vértices A y
B del triángulo rojo]
19
3.
(Por último el estudiante hace clic sobre
la parte central del segmento y moviendo
el cursor hacia abajo aparece el letrero
muy bien)
20
Serie 3-2
4.
Posición Inicial
21
5.
(El estudiante inicia tomando el
segmento en la posición que aparece
y haciendo clic en el centro de del
segmento mueve el cursor
trasladándolo al espacio que hay
entre los dos triángulos. Luego en la
posición que se encuentra el
segmento mueve el cursor de arriba
hacia abajo haciendo que el
segmento se mueva de arriba hacia
abajo.)
[Se podría decir que con estos
movimientos de arriba hacia abajo el
estudiante está buscando que le
aparezca el letrero muy bien]
22
6.
(Por último el estudiante sigue
realizando el mismo movimiento de
arriba hacia abajo con el segmento en
posición diagonal y de esta manera
parece en su pantalla el letrero muy
bien).
Serie 3-3
7.
Primer pantallazo
8.
(El estudiante toma el segmento
desde el extremo M y moviendo el
cursor en forma circular pone el
segmento en posición vertical)
23
24
9.
(Luego toma el segmento desde su
parte central y moviendo el cursor
traslada el segmento al espacio que
hay entre los dos triángulos. Luego
sin soltar el segmento empieza a
hacer movimientos de derecha a
izquierda hasta que en su pantalla
aparece el letrero muy bien)
Análisis serie 3-1, 3-2, 3-3
El análisis de las 3 primeras series se realizara de forma conjunta puesto que fue
posible evidenciar el uso de una misma estrategia para poder completar la
correspondiente tarea de cada serie. La estrategia usada en estas 3 series consistió en
que el estudiante tenía que identificar cuáles son los lados correspondientes que están
paralelos y colocar el segmento hasta superponerlo a uno de esos lados y luego
arrastrar el segmento sin cambiar la inclinación hasta la mitad del espacio que hay
entre los triángulos. Esta es una estrategia que no se encuentra en el análisis a priori,
la llamaremos acción paralela puesto que es una acción que será usada en series
posteriores.
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Atendiendo a lo anterior se puede decir que hubo un aprendizaje por adaptación puesto
que el estudiante hace un refuerzo de la acción paralela para completar las 3 primeras
series.
Imagen Cita Textual
29.
Es estudiante se dirige a archivo,
elige serie 3-4 y aparece el siguiente
pantallazo.
(El estudiante toma el segmento
desde su parte central y moviendo
el cursor hacia abajo, baja un poco
el segmento, luego hace clic sobre
el extremo M del segmento y
moviendo el cursor hacia abajo
intenta dejar el segmento paralelo al
lado AB del triángulo rojo.)
(Seguidamente toma el segmento
desde su parte central y moviendo
el cursor hacia arriba sube el
segmento y lo deja en el espacio
que hay entre los dos triángulos)
30.
(Continua tomando el extremo M del
segmento y bajando el cursor deja
al segmento en posición diagonal y
en el espacio que hay entre los dos
triángulos)
26
31.
(Ahora sin soltar el segmento
empieza a mover el cursor de arriba
hacia abajo)[Aparentemente el
estudiante está buscando que
aparezca el letrero muy bien]
32.
Continua tomando el extremo N del
segmento y moviendo el cursor
empieza a cambiar la posición del
segmento dejando el extremo M
quieto.
[El estudiante toma el extremo N del
segmento y moviendo el cursor
mueve el segmento hacia diferentes
direcciones, pero dejando siempre
quieto el extremo M]
(El estudiante dejando estático el
extremo M del segmento
(Luego tomando el extremo N del
segmento y dejando el extremo M
estático posiciona el segmento en el
espacio que hay entre los dos
triángulos.
27
33.
Ahora toma el segmento desee el
extremo M y moviendo el cursor
mueve el segmento hacia diferentes
lugares manteniendo el extremo N
del segmento estático)
34.
(Por último toma el segmento desde
el centro y moviendo el cursor
posiciona el segmento en otro lugar
entre el espacio que hay entre los
dos triángulos.
35.
Por último deja estático el extremo
N del segmento, toma el extremo M
y empieza a mover el cursor
suavemente de derecha a izquierda
hasta que en su pantalla apare ce el
letrero muy bien.)
[En esta serie el estudiante
posiciona en dos lugares diferentes
el segmento dentro del espacio que
hay entre los dos triángulos para
poder llegar a encontrar la simetría ]
Imagen Cita Textual
28
36.
(Estudiante se dirige a archivo elige abrir y
selecciona serie 3-5 y aparece el siguiente
pantallazo)
37.
(El estudiante toma el segmento desde su
extremo M y moviendo el cursor hacia
arriba deja el segmento en posición
vertical, luego tomándolo desde su centro
y moviendo el cursor hacia la derecha
pone el segmento en el espacio que hay
entre los dos triángulos manteniendo la
verticalidad)
38.
(Toma el segmento desde su centro y
moviendo el cursor hacia la izquierda,
mueve el segmento un poco a la izquierda
sin salirse del espacio que hay entre los
dos triángulos, continua tomando el
extremo M del segmento y moviendo el
cursor hacia la derecha deja el segmento
en posición diagonal )
[Puede que el estudiante esté intentando
dejar el segmento paralelo al lado A*B*]
29
39.
(Luego toma el segmento desde su parte
central y moviendo el cursor hacia la
izquierda traslada el segmento un poco
hacia la izquierda)
(Continuando toma el extremo N del
segmento y dejando estático el extremo M
mueve el cursor de derecha a izquierda)[A
aparentemente busca que aparezca el
letrero muy bien con estos movimientos
mencionados anteriormente]
40.
(Toma el segmento desde su parte central
y moviendo el cursor hacia diferentes
posiciones traslada el segmento y luego
suelta el cursor sin salirse del espacio que
hay entre los dos triángulos)
[El estudiante toma el segmento desde su
centro e intenta trasladarlo si salirse del
espacio que hay entre los dos triángulos,
pero lo que hace es tomarlo y soltarlo
aparentemente buscando que aparezca el
letrero muy bien]
[La profesora interviene, busca en el
computador el grabador de voz, lo activa y
le pregunta al estudiante Como hace para
encontrar el espejo entre los dos
triángulos]
[Estudiante responde, miro los dos
triángulos como están y calculo donde
poner el segmento ….. pero lo contrario,
yo miro los dos triángulos pongo el
segmento y muevo así despacito hasta
que me aparezca el muy bien ]
[Profesora pregunta, a encontrado alguna
30
relación para poderlo hacer o algo que le
indique como hacerlo o una pista.]
Estudiante se queda callado y dice que el
segmento debe ponerlo entre los dos
triángulos siempre
Profesora dice, eso es importante eso es
lo que debería estar anotando, si
encuentra algo más que este teniendo en
cuenta anótelo.
(Por último el estudiante toma el segmento
desde el extremo M y moviendo el cursor
hacia la izquierda y dejando estático el otro
extremo, en su pantalla aparece el letrero
muy bien)
Análisis serie 3-4 y 3-5
Teniendo en cuenta la cita textual de la serie 3-4, es posible evidenciar que al principio
el estudiante intenta hacer uso de la estrategia acción paralela, intentando dejar el
segmento paralelo al lado AB del triángulo rojo y luego trasladar el segmento al espacio
que hay entre los dos triángulos, pero al no aparecer el letrero invalida esta acción.
Por último el estudiante después de muchos intentos hace movimientos al azar sin
mostrar una estrategia clara para dar solución a la tarea, pero al final logra dar
respuesta a la serie 3-4 a partir del uso de la acción 1 presentada en el análisis a
priori, puesto que después de cambiar la inclinación del segmento varias veces y hacer
uso de la acción 1 después de cada cambio de inclinación del segmento logra que
aparezca el letrero Muy Bien.
Con respecto a la serie 3-5, se puede decir que el estudiante después de poner el
segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos hace uso de la acción paralela
para llegar a dar respuesta la tarea, pero al no aparecer el letrero muy bien invalida la
acción, luego recurre a empezar a modificar la inclinación del segmento para después
hacer uso de la acción 1 y llegar a dar a la serie 3-5.
Sin embargo para esta serie el estudiante aclara verbalmente que para dar solución a
la tarea el solo ubica la posición de los triángulos y calcula a estimación donde más o
menos poner el segmento para que en la pantalla aparezca el muy bien.
31
Por conclusión de la serie 3-4 y 3-5 se puede decir que el estudiante siempre busca
hacer uso de la acción paralela, es decir el estudiante persiste en seguir usando la
estrategia acción paralela a pesar que no le funciona, lo cual sucede porque para estas
dos series no hay lados paralelos en los triángulos, pero no es posible evidenciar si el
estudiante es consciente de por qué no le funciona la estrategia. A consecuencia de no
funcionarle la estrategia la cambia, lo cual nos lleva concluir que hubo un aprendizaje
por adaptación puesto que el estudiante inválida o valida una estrategia dependiendo
de los resultados que obtiene respecto a la retroacción que le proporciona el medio.
32
Análisis Actividad 3 (Sin mover los triángulos)
Acá se toma desde la línea 3 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una
estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
3.
Serie 3-1
(Luego toma el extremo N del segmento
que esta verticalmente y lo pone de forma
horizontal en el espacio que hay entre los
triángulos, seguido de esto toma el
segmento desde su parte central y lo
traslada más o menos al centro del espacio
entre los triángulos, luego toma el extremo
N del segmento que esta horizontalmente y
lo mueve de arriba hacia abajo. Mientras
hace el movimiento mencionado anterior
mente de arriba y abajo, en ese intervalo le
va a pareciendo la palabra muy bien. )
[El estudiante mueve el cursor con el
extremo izquierdo del segmento hasta que
en su pantalla aparece muy bien.]
33
Acá se toma desde la línea 5 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una
estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
5.
Serie 3-2
Luego el estudiante toma el segmento
desde su parte central y traslada este
segmento al espacio entre los dos
triángulos, enseguida toma el segmento
desde su parte central y baja un poco de tal
manera que queda el segmento más cerca
al vértice C* del triángulo verde.
Ahora el estudiante toma de nuevo el
segmento desde su parte central y con el
cursor haciendo movimientos de arriba
hacia abajo aparece en su pantalla el
letrero muy bien
34
Acá se toma desde la línea 7 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una
estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
7.
Serie 3-3
(El estudiante toma el segmento desde su
parte central, y moviendo el cursor traslada
el segmento hacia el espacio que hay entre
los dos triángulos, luego toma el segmento
desde el extremo M y dando clic sobre este
mueve el segmento de tal manera que queda
en posición vertical sobre el triángulo rojo,
luego toma el segmento desde su parte
central y lo traslada quedando el segmento
vertical entre el espacio de los dos
triángulos.)
(Ahora toma el segmento desde el extremo
M y haciendo un pequeño movimiento con el
cursor hacia la derecha el segmento que
aparentemente en posición vertical. Por
último toma el segmento del extremo N y lo
mueve un poco hacia la derecha hasta que
en su pantalla aparece un letrero diciendo
muy bien.)
Análisis conjunto series 3-1 ,3-2, 3-3
Con respecto a las anteriores citas textuales se puede evidenciar que el estudiante
hace siempre uso de la misma estrategia para completar las tareas. Es decir, las
acciones presentadas por el estudiante muestran el uso de la acción 1 presentada por
el análisis a priori, puesto que el estudiante toma el segmento y lo traslada al espacio
que hay entre los dos triángulos y luego intenta acomodarlo hasta que le aparezca el
letrero Muy Bien.
35
Atendiendo a lo anterior se puede decir que para el trabajo con estas tres series, el
estudiante tuvo un aprendizaje por adaptación puesto que después de validar la
primera acción (acción 1) el hizo un refuerzo de la misma para completar la tarea en
las 2 siguientes series.
Serie 3-4
Cita textual
El estudiante desde la línea 8 a la 12 hace uso de la misma estrategia que uso en la
tres series anteriores. Desde la fila 12 el estudiante empieza a usar una nueva
estrategia. La cita textual comprende solo el uso de esta nueva estrategia y como con
esta llega a la solución de la tarea.
8.
[Estas serán la convecciones que se usaran
para esta actividad]
12.
(Señala con el cursor el extremo M del
segmento, luego elige el vértice C del
triángulo rojo, pero finalmente toma el
vértice B y desplaza los triángulos, uno
contra el otro y logra cruzarlos un poco),
[aparentemente uno de los vértices del
triángulo rojo está sobre puesto con el
vértice del triángulo verde]
36
13.
(Luego toma el segmento por el extremo N
y moviendo el cursor hacia arriba
superpone el segmento sobre el lado mayor
del triángulo verde)
(Por último el estudiante separa los
triángulos tomando con el cursor el vértice
B del triángulo rojo y deja quieto el
segmento, luego toma el segmento del
extremo N y moviendo el cursor
diagonalmente repetidas veces va
apareciendo en su pantalla el letrero muy
bien.) [Pero dicho letrero aparece mientras
el mueve el segmento, entonces a través de
movimientos al azar de derecha a izquierda
con el cursor, el estudiante logra que
aparezca de forma intermitente el letrero de
muy bien y cuando consigue que aparezca
el letrero permanente deja quieto el
segmento]
37
Serie 3-6
Cita Textual
El estudiante desde la línea 14 empieza usar una nueva estrategia que uso por primera
vez en la serie 3-4. La cita textual comprende solo el uso de esta nueva estrategia y
como con esta llega a la solución de la tarea.
14.
[Estas serán la convecciones que se
usaran para esta actividad]
15.
(Luego el estudiante toma el vértice C del
triángulo rojo y moviendo el cursor hacia
la derecha rota el triángulo más o menos
45 grados)
[Intenta rotar los triángulos de tal manera
que intenta cuadrar el lado mayor del
triángulo rojo con el lado mayor del
triángulo verde y mantener el segmento
entre el espacio de los dos triángulos]
[Es de aclarar que al momento en que el
estudiante intenta cuadrar el lado mayor
del triángulo rojo con el lado mayor del
verde, los vértices C y C* aparentemente
se encuentran uno sobre el otro]
38
16.
(Ahora toma el segmento desde su parte
central e inicia a mover el cursor de
arriba hacia abajo repetidamente lo cual
hace que el segmento se mueve también
de arriba hacia abajo en el espacio que
ahí entre los triángulos y deja quieto el
segmento cuando este se encuentra
sobre los vértices C y C*)
[El estudiante intenta acomodar el
segmento en el espacio que hay entre los
dos triángulos, pero esta vez pone el
segmento sobre los dos vértices C y C*
puesto que por la posición los vértices
están uno sobre el otro.]
(Luego ya teniendo el segmento sobre
los vértices C y C*, toma el extremo N del
segmento y moviendo el cursor hacia
arriba y hacia abajo modifica la
inclinación del segmento hasta que en
su pantalla aparece el letrero Muy bien).
Análisis 3-4 y 3-6
El análisis de estas dos series se hará conjunto puesto que para estas dos series se
piensa que hubo uso de una misma estrategia a diferencia que para la serie 3-4 se
gesta y para la serie 3-6 ya es aplicada.
Con respecto a la serie 3. 4 en un primer momento el estudiante sobrepone el
segmento sobre el lado más largo del triángulo rojo, luego realiza la misma acción pero
esta vez sobre el segmento del lado más largo del triángulo verde, luego intenta
encontrar la simetría moviendo la inclinación del segmento, pero finalmente no lo
consigue. Ahora decide separar los triángulos y mover un poco la inclinación del
39
segmento pero mientras realiza esta acción aparece la palabra muy bien en su
pantalla.
Por lo anterior se piensa que el estudiante ha encontrado una nueva estrategia la cual
consiste en dejar el segmento paralelo a uno de los lados del triángulo verde (Lado
A*B*) de tal forma que dicho segmento mantenga la misma inclinación y luego empezar
a desplazar los triángulos hasta que aparezca el letrero “muy bien”, pero para dar
solución a esta serie después de hacer uso de esta nueva estrategia el estudiante
recurre a modificar un poco la inclinación y de esta manera aparece el letrero “muy
bien”
Para la serie 3-6 el estudiante traslada el segmento al espacio que hay entre los dos
triángulos, luego rota los triángulos e intenta hacer coincidir las hipotenusas de estos
con sus respectivos vértices, de tal manera que el segmento quede entre el espacio
que hay al juntar las hipotenusas o sobre alguna de ellas. Seguidamente al momento
de realizar esta acción el estudiante recurre a modificar un poco la inclinación del
segmento hasta que aparece el letrero muy bien.
Atendiendo a lo anterior, es posible evidenciar que para estas dos series el estudiante
hace uso de una misma estrategia para completar las tareas, pero en la serie 3-4 tiene
una primera aproximación de nueva estrategia y para la serie 3-6 la profundiza y la usa
para llegar a la respuesta. Con respecto a la estrategia presentada en la serie 3-4 se
podría decir que no se encuentra prevista en el análisis a priori puesto que es como
una acción reciproca de la acción 2 del análisis a priori. Pero la acción de hacer
coincidir las hipotenusas y los vértices de los triángulos y entre ellas tener el segmento,
corresponde a la acción 2 presentada por el análisis a priori. Entonces por lo anterior se
puede evidenciar que hubo un refuerzo por parte del estudiante de una nueva
estrategia para completar la tarea, por tanto se puede decir que hubo un aprendizaje
por adaptación.
Análisis Actividad 3 (Puesta en común y serie 3-7)
La metodología utilizada por la profesora para trabajar la puesta en común consistía en
proponer una de la series trabajadas por los niños (Serie de la 3-1 a 3-6, sin mover los
triángulos) y pasar a uno de los estudiantes con un marcador para que dibujara el
segmento que representara el espejo entre los dos triángulos. Luego elegía a otro
estudiante al azar para que pasara y ubicara el segmento nuevamente pero esta vez
usando el software, de tal manera que se pudiera hacer un contraste entre la ubicación
del segmento que hizo el primer estudiante y la ubicación que realizo el segundo
estudiante.
La puesta en común fue llevada a cabo pasando 6 estudiantes a ubicar el segmento, 3
ubicando con el marcador y 3 ubicando con el software.
40
Ahora con respecto al trabajo que se debió tener en la puesta en común se puede decir
que fue deficiente puesto que a medida que la profesora pasaba los estudiantes, ellos
arrojaban ciertas respuestas en las cuales la profesora debía haber intervenido. Es
decir algunas de las respuestas de los estudiantes podían ayudar a dar una mejor
comprensión de la actividad, pero la profesora paso por alto intervenir, lo cual conlleva
a que no se aclaren dudas y queden muchos vacíos.
Por otro lado muchas veces los estudiantes hacían uso de una estrategia y la profesora
no intervenía haciendo uso de contraejemplos, lo cual conlleva a pensar que cualquier
acción podía llegar a cumplir la tarea y que no hay estrategias precisas que ayuden a
completar la tarea.
41
Por ejemplo:
El estudiante pasa a dibujar el segmento que representa el espejo entre los dos
triángulos y en la cita textual solo se pone la explicación que da el estudiante con
respecto a la estrategia que uso para poner el segmento
12
Eduard: Tuve en cuenta la punta de estos
triángulos va a la mitad.
[El estudiante señala los vértices B y B*
de los respectivos triángulos]
La punta de los triángulos tiene una mitad
que en ella se debe colocar
Profesora: Todos están de acuerdo con
lo que acaba de decir Eduar
Estudiantes: Si, si señora
Eduar: Aquí hay unas puntas y en la
mitad de esas dos siempre debe ir una
línea recta, según el ángulo que tengan
los triángulos
[Señala los vértices B y B* de los
triángulos con el fin de explicar a sus
compañeros]
[El estudiante señala tanto los vértices
del triángulo como las hipotenusas de los
mismos, es decir él tuvo en cuenta los
vértices B y B* y la inclinación que tenían
las hipotenusas de los triángulos para
ubicar el segmento]
42
13
Profesora: Eduard está diciendo que él
tuvo en cuenta la mitad entre esas dos
puntas.
Profesora: ¿Cómo se llaman esas dos
puntas?
[Señala los vértices B y B* de los
triángulos con el fin de explicar a sus
compañeros]
[El estudiante señala tanto los vértices
del triángulo como las hipotenusas de los
mismos, es decir él tuvo en cuenta los
vértices B y B* y la inclinación que tenían
las hipotenusas de los triángulos para
ubicar el segmento]
Profesora: Eduard está diciendo que él
tuvo en cuenta la mitad entre esas dos
puntas.
Profesora: ¿Cómo se llaman esas dos
puntas?
Estudiantes: Vértices
Profesora: Entonces el segmento va
entre las puntas del vértice.
Profesora: ¿Cómo pueden calcular esa
mitad?
Estudiantes: Viendo los vértices y entre
los dos ahí.
(Profesora se dirige a archivo y elige la
serie 3-7 y parece el siguiente pantallazo)
43
Uno de los estudiantes es pasado al tablero a dibujar el segmento y toma como
estrategia tener en cuenta un par de vértices como referencia para ubicar el segmento.
Acá la profesora debió haber intervenido y mostrar un contraejemplo donde un
segmento pase por un par de vértices y no sea el segmento que represente el espejo
entre los dos triángulos, de tal manera que los estudiantes se den cuenta que no solo
es necesario tener en cuenta un par de vértices si no que se necesita tener en cuenta 3
pares de vértices.
Por último cuando algún estudiante lograba completar la tarea y ese estudiante
justificaba sus acciones, la profesora no profundizaba en las respuestas de sus
estudiantes, si no que dejaba muchas cosas en el aire y no aterrizaba las acciones
realmente importantes.
44
4. Carol Estefanía
Pasa Carol Estefanía al tablero y dibuja con
el marcador un segmento en el espacio que
hay entre los dos triángulos)
Profesora: Miremos que ella va a trazar un
segmento y luego nos va a describir que
hizo
Profesora: ¿Qué tuvieron en cuenta
ustedes para trazar el segmento? o
¿Cuándo movieron el segmento que
hicieron?
Profesora: ¿Qué tuvieron en cuenta
ustedes para trazar el segmento?
Carol: Teníamos en cuenta que los
triángulos quedaran casi juntos y ubicar el
segmento al pie de ellos.
(La profesora se dirige a archivo y elige la
serie 3-1 y aparece el siguiente pantallazo)
Para este caso la docente pasa a una estudiante a ubicar el segmento y le plantea la
pregunta “¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento? “Y la estudiante
responde “Teníamos en cuenta que los triángulos quedaran casi juntos y ubicar el
segmento al pie de ellos”. A partir de esta respuesta la docente debió haber seguido
indagando sobre la respuesta de su estudiante, y preguntarle casi juntos que los lados
del triángulo, o los vértices.
Por último algo que se pudo observar de los 2 niños que pasaron al tablero es que
están utilizando una estrategia en la que de manera implícita o inconsciente determinan
45
la inclinación que debe tener el segmento y solo hablan de la posición de un punto que
es la mitad entre los 2 vértices más cercanos pero no hablan de la inclinación,
entonces la profesora debía haber intervenido o bien para explicitar que hay que tener
en cuenta la inclinación y por lo tanto para que ellos digan como determinan esa
inclinación o bien para mostrar que no es suficiente con considerar un punto.
Por conclusión la profesora no siguió el diseño de la actividad propuesta en el análisis a
priori hay que recordar que en el análisis a priori al terminar la puesta en común la
conclusión de esta debe ser que hay que considerar por lo menos dos parejas de
vértices correspondientes y hacer que el segmento pase por la mitad de ellos,
conclusión a la que no se llegó para esta puesta en común. (Decir que los estudiantes
pasaron al tablero pero no hubo una observación que mostrara si estaba correcto o
incorrecto lo que hicieron en el tablero).Concluimos que la puesta en común es una
actividad difícil de llevar a cabo por los profesores y que la docente procedió de
acuerdo a su interpretación del trabajo que había que desarrollar.
Análisis serie 3-7
Para la serie 3-7 la profesora inicio leyendo la tarea correspondiente a la serie 3-7,
luego empezó a explicar cómo solucionarla usando las herramientas del software, es
decir mostro cuales eran los cuestionamientos que plantea la serie y como las
herramientas de Cabri ayudan a solucionar cada uno de estos interrogantes. La serie
se dio por finalizada cuando la profesora logro construir un segmento que representa el
espejo entre los dos triángulos y que al mover el punto que se encuentra en la
circunferencia el segmento se moviera con el triángulo.
46
Acá se muestra toda la trascripción de la serie 3-7, puesto que es importante evidenciar
como se llevó a cabo esta serie.
14.
(Profesora se dirige a archivo y elige la
serie 3-7 y parece el siguiente
pantallazo)
Profesora: Resulta que en la tarea dos
ya no me dan el segmento. Dice la
tarea dos que debemos ubicar un
segmento entre estos dos triángulos
que represente el espejo.
15.
Profesora: Acá vemos una serie de
herramientas, entonces la herramienta
que vamos a utilizar es esta tercera
que dice SEGMENTO, y vamos a
ubicar un segmento de tal forma que
cumpla las condiciones que ustedes
dijeron. Que sea el espejo entre los dos
triángulos. Bueno ¿Pero será que con
eso ya es suficiente para que me
quede en la mitad?
Estudiantes: No señora
47
16.
Profesora: Entonces miremos si yo
mueve este punto ¿qué pasa?
Profesora ( toma el punto que esta
sobre circunferencia y lo mueve, y al
mover ese punto el triángulo verde se
empieza a desplazar)
Estudiante: Se mueve el triángulo
verde
17.
Profesora: Bueno pero con eso no
sabemos si ese segmento quedo en la
mitad cierto
Estudiantes: no
Profesora: En este caso lo que hay que
hacer es lo siguiente: Como no
sabemos si realmente ese segmento
me representa el espejo
(Profesora toma el segmento desde su
parte central y moviendo el cursor de
arriba hacia abajo traslada el
segmento sin salirse del espacio que
hay entre los dos triángulos)
[Con el movimiento mencionado
anteriormente la profesora explica que
si mueve ya sea el segmento o los
triángulos ya no quedaría el espejo y
dice que para evitar eso van a usar una
herramienta llamada punto medio]
48
18.
Profesora: Se debería mover el
segmento con los triángulos
Profesora: ¿Y punto medio entre que lo
voy a hacer?
Estudiantes: Entre los dos triángulos
Profesora: ¿Y para hacerlo como debo
hacer? , entre los dos vértices.
(La profesora se dirige a herramientas
y elige punto medio, luego hace clic
sobre el vértice B del triángulo rojo y
clic sobre el vértice B* del triángulo
verde y parece un punto entre los
vértices B y B*que selecciono)
19.
Y pregunta: ¿Con un solo punto será
suficiente?
Estudiantes: Si
Estudiante: Si ahora solo es poner la
línea encima, el segmento encima.
Profesora: Necesitamos otro por acá,
voy a ubicar otro por acá, o sea puntos
correspondientes.
[La profesora toca cada uno de los
vértices correspondientes y usando la
herramienta punto medio crea 3 puntos
49
en el espacio que hay entre los dos
triángulos]
(Profesora se dirige a herramientas
elige segmento y usando los 3 puntos
mencionados anteriormente pasa el
segmento por los tres)
20.
(La profesora selecciona el punto que
esta sobre la circunferencia y lo mueve,
mientras hace este movimiento)
Profesora: ¿Qué pasa con ese
segmento?
Estudiantes: Se mueve junto con el
triángulo verde
Profesora: Voy explicando 3
herramientas, una para hacer el
segmento, otra para hacer el punto
medio, pero yo voy a comprobar
también si realmente ese segmento me
da la simetría del triángulo, entonces
voy a buscar una que dice simetría
axial, entonces señalo este triángulo y
este segmento y me sale otro
triangulito, efectivamente si me cambio
de color es porque es simétrico. Eso
quiere decir que me quedo bien el
segmento.
(La profesora se dirige a herramientas
y elige simetría axial, luego selecciona
el triángulo rojo y el segmento, y al
hacer estos dos movimientos , aparece
un triángulo de color vino tinto sobre el
50
triángulo verde)
Estudiante: ¿Si cambia de color es
porque quedo bien?
Profesora: Exacto
Profesora: La próxima clase ustedes
van a hacer la construcción
De esta manera termina la puesta en
común y la serie 3-7
Análisis
Esta serie fue abordada por la docente no como una actividad en la cual los
estudiantes tenían que llegar por necesidad a usar las herramientas que ofrece el
software, sino más bien fue utilizada para explicar de qué manera las herramientas del
software nos ayudan a construir un segmento que represente el espejo de los
triángulos.
Entonces se puede decir que en esta serie hubo un aprendizaje por imposición puesto
que la docente no dejó que sus estudiantes exploraran el software sino que impuso las
herramientas y no dejó que sus estudiantes experimentaran la necesidad de usarlas o
de buscar otro elemento que les ayudara a completar la tarea.
Evidentemente la profesora tuvo una mala interpretación de la actividad y por tal razón
organizó una actividad totalmente diferente a la propuesta por el análisis a priori.
Hacemos la hipótesis que para la profesora es difícil aceptar plantear un problema a los
estudiantes sabiendo que no podrán resolverlo por si mismos; es decir, no acepta que
objetivo de una actividad sea la invalidación de las estrategias propuestas por los
estudiantes así que decide mostrarles la solución, incluso sin haber planteado
claramente el problema.
51
Actividad 4 (Análisis)
Cuadrar a ojo triangulo verde y medir distancias
Serie 4-1
3
Primer pantallazo
4
Estudiante: Considerando que la recta
representa un espejo, mover el triángulo
verde hasta ser el reflejo del triángulo
rojo por ese espejo
(Toma el vértice B y desplaza el
triángulo hacia la derecha, luego toma el
vértice A gira el triángulo en sentido anti
horario)
52
5
( Toma el vértice B y mueve hacia abajo
el triángulo)
[Aparentemente el estudiante intenta
dejar el triángulo verde a la misma
distancia del triángulo rojo con respecto
a la recta.]
Estudiante: Por ahí yo creo
6
(Selecciona la herramienta punto y
dibuja un punto sobre la recta)
7
(Selecciona la herramienta distancia y
longitud y mide desde el vértice B del
triángulo verde hasta el punto construido
sobre la recta, y aparece el valor 2.55
cm. Enseguida hace clic en el vértice B*
y en el punto que construyó sobre la
recta aparece el valor 2.59 cm)
Estudiante 2: Uyyy por 4
53
8
Estudiante 2: Venga le ayudo
[Posiblemente el estudiante 2 toma el
mouse]
(Toma el vértice B y mueve el triángulo
hacia abajo)
[Como ya tienen las medidas de las
distancias buscan que las distancias
sean iguales]
Estudiante1 : Noooo queda 58 59
54
9
Estudiante2 (Dibuja un segundo punto
sobre la recta y luego traza un segmento
desde A hasta el punto sobre la recta,
luego desde A* hasta el mismo punto
sobre la recta. Enseguida traza un
segmento desde B hasta el primer punto
sobre la recta, luego desde B* hasta
este mismo punto)
10
(Mide las distancias entre esos puntos
2,40 cm y 2,61 cm)
55
11
(Toma el vértice A y gira el triángulo
hasta que las medidas coinciden)
12
Estudiante 1: Profe mire
[Estudiantes charlan acerca del
problema pero la profesora está dando
indicaciones del trabajo al mismo tiempo
por tanto no se escucha lo que dicen los
estudiantes]
56
13
Estudiante 1 ( Mueve el computador y lo
desenfoca de la pantalla)
Estudiante 2: Toca abrirlo otra vez
(Los estudiantes abren de nuevo la serie
4-1 y es la imagen que se presenta)
Serie 4,4
50
[El estudiante abre la serie 4-4, aparece
el siguiente pantallazo]
57
51
Estudiante1 (Toma el vértice B y mueve
el triángulo al otro semiplano)
52
(Luego toma el vértice A y rota el
triángulo )
53
(Toma el vértice B y traslada un poco el
triángulo hacia la derecha, luego toma el
vértice A y modifica un poco la
inclinación del lado AB del triángulo
verde)
58
54
Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la
recta )
55
(Toma la distancia desde el punto sobre
la recta hasta el vértice A* y aparece la
medida, luego toma la medida desde el
punto sobre la recta hasta el vértice A y
aparece la medida)
56
(Toma el vértice B y moviendo el cursor
suavemente un poco hacia abajo y luego
hacia la izquierda, aparece el letrero
“muy bien “ en su pantalla)
[El estudiante hace uso de las medidas
para ubicar el triángulo de tal manera
que las medidas fueran las mismas y al
hacer coincidir las medidas aparece el
letrero “muy bien “ en su pantalla]
59
Análisis estrategia medir distancias (Serie 4-1 y 4-4)
En estos dos extractos puede verse que el estudiante desplaza el triángulo verde al
triángulo rojo con respecto a la recta, lo gira para ponerlo en posición contraria y
ajustar perceptivamente las distancias del triángulo a la recta para que sean iguales
alas del triángulo rojo a la recta, como el letrero muy bien no aparece el estudiante
utiliza la herramienta distancia longitud para medir las distancias de uno a más
puntos de los triángulos a la recta. En el caso de la serie 4-4 la estrategia le permite
solucionar el problema mientras que en las otras series no.
Esta estrategia no se encuentra prevista en el análisis a priori, pues en el análisis a
priori se establece que la única herramienta disponible es el arrastre. No es una
estrategia valida por que no considera la perpendicularidad de los segmentos entre
puntos correspondientes con respecto al eje de simetría. En la serie 4-4 la posición
vertical del eje de simetría y la posición del triángulo rojo (con un cateto paralelo al
eje de simetría y otro perpendicular), facilitaron la obtención perceptiva de la
perpendicularidad.
Se puede decir que hubo un aprendizaje por adaptación puesto que fue utilizada en
las series 4-1 y 4-4 y en otras también fue utilizada en combinación con otros
herramientas como veremos más adelante.
60
Lado AB paralelo
Estudiante 1 ( Mueve el computador y lo
desenfoca de la pantalla)
Estudiante1: se borró, será que no
guardo eso
Estudiante 2: Toca abrirlo otra vez
(Los estudiantes abren de nuevo la serie
4-1 y es la imagen que se presenta)
14
Estudiante 2: Ahora yo. Usted ya hizo
mucho.
(Toma el vértice A y rota el triángulo.)
61
15
Profesora: Dibujan la figura 4-1 y cómo
la hicieron, escriben aquí qué
estrategias utilizaron para la solución y
qué encontraron ¿vale?
16
(Toma el vértice B y baja el triángulo)
17
(Toma el vértice B y traslada el triángulo
de tal manera que el lado AB quede
superpuesto sobre la recta. Luego
mueve el vértice A hasta ponerlo sobre
la recta)
Estudiante: Estoy mirando para que
quede recto acá.
62
18
(Toma el vértice B y sube el triángulo)
19
Estudiante 2
(Selecciona la herramienta longitud,
hace clic sobre el vértice B y luego en la
recta. De la misma manera toma las
medidas desde los vértices A, A* y B,B*
hasta la recta)
63
20
(Toma el vértice B y empieza a mover el
triángulo hacia arriba, luego toma la
medida del lado AB y aparece el número
2.12cm)
[Aparentemente intenta que las medidas
que hay entre la recta y los vértices del
triángulo rojo sean las mismas que entre
la recta y los vértices del triángulo verde]
[Como tenia seleccionada la herramienta
distancia, al hacer clic sobre el vértice B
mide la longitud del lado AB]
21
Estudiante 1: Casi. Le queda más subido
aquí un lugar
64
22
(Mueve el vértices A hasta que las
medidas quedan iguales)
[Sin embargo no aparece el “muy bien”]
23
(Mide la distancia del vértice C del
triángulo verde hasta el vértice C* del
triángulo rojo).
65
24
(Selecciona la herramienta simetría axial
y hace clic en el triángulo verde y luego
en la recta)
Estudiante 1: Desde el punto no, que
desde el punto no.
(Aparece un triángulo verde sobre el
triángulo rojo).
Estudiantes: Uyyyyyyy casi un poquito
que nos faltó.
Estudiante 1: Profe ya nos quedó y ya
usamos simetría axial y todo.
Estudiante 2: Venga intentemos otra vez
25
(Abren de nuevo la serie 4-1)
Serie 4-6
66
95
[Los estudiantes abren la serie 4-6, les
aparece el siguiente pantallazo]
96
(Toma el vértice B del triángulo verde y
moviendo el cursor traslada el triángulo
hacia abajo)
97
(Toma el vértice A y rota el triángulo)
67
98
(Toma el vértice A y moviendo el cursor
rota el triángulo, luego tomando el vértice
B traslada el triángulo dejando cerca el
lado AC a la recta)
[Aparentemente el estudiante intenta
dejar el lado AC del triángulo verde
paralelo a la recta]
Análisis estrategia lado AB paralelo (Serie 4-1 y 4-6)
En estos extractos podemos observar como el estudiante acomoda el triángulo
verde haciendo coincidir uno de sus lados con el eje de simetría y luego lo aleja
para obtener la equidistancia de los puntos correspondientes al eje. Al igual que la
estrategia anterior el estudiante hace uso de la herramienta distancia y longitud para
obtener esa equidistancia.
Esta estrategia no se encuentra prevista en el análisis a-priori y solo es válida
cuando el triángulo rojo tiene uno de sus lados paralelo al eje de simetría. En la
serie 4-1 el triángulo rojo parece tener un lado paralelo al eje de simetría y esta
situación pudo llevarlos a desarrollar esta estrategia. En ninguno de los dos casos
analizados la estrategia les permite solucionar el problema.
68
Ocultar Mostrar
34
(Abren la serie 4-2)
(Posición inicial)
[Discuten sobre quién desarrolló la primera
serie y a quién le correspondería la
segunda]
35
Estudiante 1
(Dibuja un punto en la recta y mide la
distancia que hay entre el punto y el vértice
A del triángulo verde)
Estudiante 2: Venga que encontré otra
herramienta
69
36
(Abren de nuevo la serie 4-2 )
(Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y
aparece el simétrico del triángulo rojo en
punteado)
37
(Toma el vértice A y gira el triángulo, luego
toma el vértice B y baja el triángulo hasta
hacer coincidir el vértice B con el vértice
correspondiente del triángulo punteado)
38
(Toma el vértice A y gira el triángulo)
(Un estudiante señala la pantalla)
Estudiante 1: Toca que lo ponga acá
[Aparentemente se refiere a que el lado AC
del triángulo verde no coincide con el lado
del triángulo punteado]
Estudiante 2: Eso es solo como para medio
ubicarlo
70
39
(Toma la medida desde el vértice B del
triángulo verde hasta la recta y la del vértice
B* hasta la recta)
40
Estudiante 1: Pero es que tiene que estar
más lejos
41
(Toma vértice B y sube el triángulo hasta
que coinciden las medias)
71
42
(Miden las distancias del vértice A a la recta
y del vértice A* a la recta)
(Dibujan un punto sobre la recta y miden la
distancia desde el vértice A al punto sobre la
recta y de A* hasta el punto en la recta)
43
(Toma el vértice A del triángulo verde y
moviendo primero hacia arriba y luego hacia
abajo rotan un poco el triángulo hasta que
es su pantalla aparece el letrero “muy bien”)
Serie 4-3
72
44
[Serie 4-3 pantalla inicial]
45
(Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y
aparece el simétrico del triángulo rojo en
punteado)
73
46
(Toma el vértice B traslada el triángulo)
47
(Rota el triángulo y lo superpone al triángulo
punteado)
[En la imagen es posible evidenciar que los
estudiantes logran poner los vértices del
triángulo verde sobre el triángulo punteado]
74
48
Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la recta
y toman las medidas correspondientes a la
distancia entre el vértice A y el punto sobre
la recta y la distancia del vértice A* hasta el
punto sobre la recta)
Estudiante: Uyyy esta re lejos
[Él estudiante hace referencia a que las
medidas son bastante diferentes]
49
(Toma el vértice B y mueve el cursor hacia
abajo y mientras hace este movimiento
aparece el letrero “muy bien” en su pantalla)
Análisis Estrategia ocultar mostrar (Series 4-2 y 4-3)
En estos extractos vemos como el estudiante muestra los objetos ocultos de la
construcción y acomoda el triángulo verde de manera que el vértice B coincida con
el vértice correspondiente del triángulo que está oculto. De esta manera obtiene la
perpendicularidad del segmento BB* con respecto a la recta. Luego gira el triángulo
alrededor del punto B buscando la equidistancia de los puntos correspondientes a la
recta. En algunos casos los estudiantes utilizan las medidas de las distancias.
Esta estrategia no se encuentra prevista en el análisis a priori debido a que utiliza la
herramienta ocultar/mostrar. Es una estrategia exitosa pues les permite a los
estudiantes obtener la perpendicularidad de los segmentos entre puntos
75
correspondientes con respecto a la recta. Sin embargo los estudiantes no toman
conciencia de esta propiedad.
Se puede decir que hubo un aprendizaje por adaptación puesto que los estudiantes
utilizan esta estrategia en 4 de las series y obtiene la solución del problema. Sin
embargo, este aprendizaje no corresponde a un conocimiento sobre la simetría axial
ya que los estudiantes no buscan la perpendicularidad, si no que se limitan a
superponer dos puntos en la pantalla.
76
Conclusiones
Teniendo en cuenta que nuestro objetivo principal es analizar la implementación de las
actividades 3 y 4 para la enseñanza de la simetría axial en un grado sexto del colegio
Pompilio Martínez, para identificar los aprendizajes por adaptación que se produjeron y
las dificultades de gestión de las actividades por parte de la profesora, basaremos este
segmento del trabajo en los resultados obtenidos a lo largo de la investigación; para
esto dividiremos el capítulo en 2 secciones: en la primera de ellas presentaremos las
conclusiones generales del objetivo principal del proyecto, en un segundo momento se
mostraran unas reflexiones en cuanto al trabajo de la profesora en el momento de
implementar las actividades.
Conclusiones generales
Después de realizar un análisis de las situaciones de clase se puede decir que tanto
las actividades como el medio cumplieron con el objetivo de posibilitar un aprendizaje
por adaptación. Por ejemplo, gracias al trabajo que se desarrolló en la actividad 3, los
estudiantes aprendieron que el eje es equidistante de los puntos correspondientes de
los dos triángulos y utilizaron este conocimiento durante la actividad 4. Aunque en la
actividad 4 no encontramos evidencia de que los estudiantes adquirieran un
aprendizaje por adaptación sobre la necesidad de que los segmentos entre puntos
correspondientes sean perpendiculares al eje de simetría, este hecho se debió a un
error de gestión por parte de la profesora, quien dejó disponibles herramientas que
permitían resolver las tareas sin utilizar o tomar conciencia de esa perpendicularidad.
Por otro lado, después de analizar las actividades fue posible ver que algunas de las
acciones de los estudiantes y de la profesora no estaban previstas en el análisis a
priori, como por ejemplo, en la actividad 3 los estudiantes exhiben una estrategia que
consiste en superponer el segmento que representa el espejo a un lado de uno de los
triángulos y luego desplazarlo para buscar la equidistancia. Esta estrategia no estaba
prevista en el análisis a priori, sin embargo las retroacciones del software permitieron
su invalidación.
Dificultades en gestión
Uno de los factores que más afectan el desarrollo de la actividad es la gestión del
docente. Durante el análisis identificamos decisiones de gestión que no están de
acuerdo con el diseño de las actividades; por ejemplo, para un primer momento en la
actividad 3-7 en la cual se tenía como finalidad que los estudiantes abandonaran las
estrategias perceptivas y se centraran en las estrategias basadas en propiedades de la
simetría axial, la docente no dejo que los estudiantes invalidaran sus estrategias
perceptivas y no espero a que explicitaran las propiedades necesarias antes de
decirles como construir.
77
Por otra parte una segunda decisión inadecuada de la docente consistió en no
controlar las herramientas disponibles pues esto hace que los estudiantes tengan otras
formas de completar las tareas y se pierda el objetivo de la actividad. Por ejemplo, en
la actividad 4 la herramienta ocultar mostrar se encontraba disponible, lo cual ayudó a
que los estudiantes completaran la tarea sin tener en cuenta la propiedad de
perpendicularidad. Además, en la actividad 4 los estudiante hicieron uso de medidas
que en algunos casos estaban en contradicción con la retroacción del letrero “muy
bien” (Línea 43 actividad 4). Esta situación no es deseable, pues se presentan dos
retroacciones del medio que se contradicen.
Por último, en la puesta en común (actividad 3 series 3-1 - 3-6) puede apreciarse que la
gestión de la profesora se limita a hacer pasar a los estudiantes a exponer su trabajo,
sin intervenir para hacer tomar conciencia de las propiedades geométricas necesarias
para resolver los problemas ni para lograr acuerdos grupales sobre dichas
propiedades. Por ejemplo, la docente no propone contraejemplos que lleven a los
alumnos a invalidar las estrategias de solución que son claramente insuficientes. Esta
dificultad de gestión por parte de la docente es en parte resultado de una insuficiencia
del análisis a priori de la puesta en común, en el que solo se hicieron recomendaciones
sobre la gestión socio-afectiva. Se pone en evidencia así, la necesidad de incluir
recomendaciones de gestión cognitiva y del saber.
Atendiendo a lo anterior podríamos hacer recomendaciones respecto a futuras
implementaciones. Por ejemplo, antes de aplicar las actividades se debería trabajar
mejor la formación de los docentes que van a aplicar la actividad, con el fin mejorar la
gestión de las puestas en común y las puestas en escena. Por otro lado es necesario
ser más cuidadoso al momento de la recolección de los datos puesto que hubo
información perdida, lo cual dificulto el análisis de las actividades.
78
Referencias Bibliográficas
Acosta, M., Monroy, L., & Rueda, K. (2010).SITUACIONES A-DIDACTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRIA AXIAL UTILIZANDO CABRI COMO MEDIO. INTEGRACION, Vol.28 (numero2), pág. 173-189
Acosta, M. (en prensa). MARCO TEÓRICO DEL PROYECTO INSTITUCIONAL DE USO DE SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA. Artigue, M. D. (1995). INGENIERIA DIDÁCTICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Bogotá: Iberoamérica. Margolinas, C. (2009).LA IMPORTANCIADE LO VERDADERO Y LO FALSO EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS. (Primera edición en español; Acosta M.E. y Fiallo J.E. MEN. M. d. (2004).PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y TEGNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. Bucaramanga: Enlaces Editores.
Pérez, L., Quiñones, J. (2012) ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES DE SIMETRÍA AXIAL.
Documento no publicado del subgrupo Nuevas Tecnologías EDUMAT-UIS Parada, S., & Fiallo, J. (2012) UNA MIRADA CON PROFESORES DE SANTANDER (COLOMBIA)
SOBRE EL USO DE TEGNOLOGIAS EN CLASE DE MATEMÁTICAS. (Ed) Memoria Congreso iberoamericano de Aprendizaje Mediado por Tecnología. Universidad Nacional Autónoma de México.
Murillo, R. (2005). IMPLEMENTACIÓN DEL SOFWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN LA ENSEÑANZA DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA. Universidad de Granada
Anexos
Anexo A
ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES SIMETRÍA AXIAL
79
En este informe presentamos un análisis de una secuencia de cuatro actividades de
clase, alrededor del concepto de simetría axial. Cada actividad está compuesta de
series, y en cada una de las series se les pedirá a los estudiantes que realicen tareas
específicas. Para cada serie hay un archivo con una figura, hecha en Cabri II plus,
sobre la que los estudiantes trabajarán para desarrollar las tareas (Los estudiantes no
necesariamente deben saber manejar el programa).
La secuencia está planteada para que los alumnos se familiaricen con algunos
fenómenos que caracterizan la simetría axial, de modo que esto les permita predecir o
anticipar las posiciones de los objetos simétricos, dados ciertos elementos de la
simetría. Para que identifiquen el eje, lo ubiquen de manera perceptiva y
posteriormente sean capaces de construirlo, además que puedan construir alguno de
los componentes de la simetría dados los otros; por ejemplo, dado un triángulo y el eje
de simetría, construir el simétrico.
Además, en cada actividad, las series tienen una secuencia que detallaremos a medida
que avancemos en el documento. Para ello analizaremos una a una las actividades,
haciendo una descripción, especificando los objetivos, precisando las tareas y lo que
esperamos que los estudiantes hagan.
Actividad 1
Saber en juego
Una simetría axial es una transformación geométrica, es decir una correspondencia
entre parejas de puntos del plano. Decimos que dos puntos del plano A y A’ son
simétricos con respecto a una recta e (llamada eje de simetría) si y sólo si e es
mediatriz del segmento AA’. Esta condición implica que el segmento AA’ debe ser
perpendicular a e y que e debe pasar por el punto medio de AA’. También se deduce
que A y A’ deben quedar en semiplanos opuestos con respecto a e. Por lo tanto, si dos
figuras (por ejemplo polígonos) son simétricas con respecto a e, deben tener
orientaciones contrarias con respecto a e, ya que la distancia de cada punto a e debe
ser igual a la distancia de su homólogo a e.
Una simetría axial es una isometría, puesto que conserva la forma y el tamaño de las
figuras; es decir, si dos figuras son simétricas con respecto a un eje, entonces son
congruentes.
Objetivo
La finalidad de esta actividad es que los alumnos se familiaricen con algunos
fenómenos visuales concernientes al movimiento de figuras simétricas, tales como la
80
dependencia de una con respecto a la otra, los movimientos contrarios con respecto al
eje (Los alumnos podrían asimilarlo como un espejo imaginario). Esto implica que
logren identificar el eje de simetría y predecir su ubicación.
Descripción del medio
Para esta actividad, se trabaja con 12 figuras, en cada una de las cuales hay 6
triángulos con los vértices ocultos, tres rojos y tres verdes, simétricos con respecto a un
eje que permanece oculto. Los tres triángulos rojos tienen diferentes formas, cada
triángulo verde es congruente con un triángulo rojo. En las figuras numeradas 1-1 a 1-
6, aparece también un círculo; en las figuras numeradas 1-1a a 1-6a aparecen tres
círculos cada uno con un punto sobre él. La diferencia entre las seis series es la
orientación (inclinación) del eje. Las 12 figuras se presentan a continuación.
Serie 1-1
Serie 1-1ª
1-2
1-2a
1-3 1-3a
81
1-4
1-4a
1-5
1-5a
1-6 1-6a
82
De acuerdo con las características del software, los triángulos verdes no se pueden
arrastrar directamente, dada la dependencia de éstos con respecto a los rojos, lo cual
no es una propiedad específica de la simetría, sino una particularidad del programa;
pero los triángulos rojos sí se pueden arrastrar agarrándolos por un lado o un vértice,
permitiendo llevarlos libremente a cualquier lugar de la pantalla sin que cambien su
forma y tamaño, para ello basta hacer clic sostenido sobre el triángulo y arrastrar.
Adicionalmente, al arrastrar los triángulos rojos, los verdes se mueven de manera que
conservan la simetría. Del mismo modo, los círculos de las series 1-1 a 1-6 no se
pueden arrastrar, mientras que los de las series 1-1a a 1-6a se pueden mover
libremente agarrándolos por el punto que aparece sobre ellos.
En todas las series, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.
Descripción de la actividad
Se quiere que los estudiantes descubran los siguientes fenómenos visuales:
Si dos figuras son simétricas, una depende de la otra. Es decir, una podrá
arrastrarse directamente en la pantalla, pero la otra no, sin embargo se moverá
cuando la primera se mueva. En particular, se quiere que los alumnos descubran
que los triángulos verdes no se pueden arrastrar y los rojos si, y que al arrastrar
uno delgado se mueve uno grueso.
Si dos figuras son simétricas, tienen movimientos contrarios con respecto al eje
de simetría. En concreto se quiere que los alumnos descubran que un triángulo
83
rojo y el verde correspondiente tienen movimientos contrarios con respecto al eje
se simetría.
Si dos figuras son simétricas, se tocan en el eje de simetría. Específicamente, se
quiere que los estudiantes descubran que hay lugares en los que el triángulo
rojo se superpone con el verde (su simétrico).
Dos figuras simétricas coinciden a lo largo de una recta llamada eje de simetría.
Queremos que los alumnos constaten que las distintas posiciones en las que se
superponen un triángulo rojo y su simétrico están a lo largo de una recta.
Para alcanzar los objetivos propuestos, y para que los alumnos identifiquen esos
fenómenos visuales y se familiaricen con ellos, se les pedirá que realicen cuatro
tareas.
Presentamos a continuación en detalle las acciones que se prevé que los
alumnos efectúen, las retroacciones correspondientes que recibirían por parte
del medio, las interpretaciones y validaciones que se esperan del alumno luego
de la respuesta del medio.
Primera tarea: llevar los triángulos rojos dentro del círculo
El propósito de esta tarea es que los alumnos usen el arrastre para tratar de mover los
triángulos. Se espera que agarren los triángulos rojos directamente y los metan dentro
del círculo. No deberían tener ninguna dificultad para hacerlo. Al desplazar los
triángulos rojos, se darán cuenta de que los verdes también se mueven, y que en algún
momento se superponen con los rojos. Es de suma importancia que los alumnos
descubran por sí solos cómo funciona la figura, de modo que el profesor debe limitar
sus intervenciones, es decir, sólo intervendrá para evitar que los estudiantes
abandonen la tarea o para recordar la misma.
Análisis a-priori
Intención: llevar los triángulos rojos dentro del círculo.
Acción 1: agarrar un triángulo rojo para llevarlo al círculo.
Retroacción 1: el triángulo se mueve.
Retroacción 2: un triángulo verde también se mueve.
Interpretación 1: se puede arrastrar el triángulo rojo hacia el círculo.
Validación 1: la acción 1 permite lograr el objetivo.
84
Como la validación es positiva, se genera un refuerzo de la acción: el estudiante
tomará los otros triángulos rojos y los meterá dentro del círculo
Segunda tarea: llevar los triángulos verdes dentro del círculo
El propósito de esta tarea es que los alumnos usen el arrastre para tratar de mover los
triángulos. Se espera que intenten agarrar los triángulos verdes directamente y no
puedan moverlos. Si los alumnos dicen que no es posible mover los triángulos verdes
el profesor puede hacerles caer en cuenta que la posición inicial de esos triángulos no
es la actual, por lo tanto sí se mueven. Se espera que los alumnos caigan en cuenta
que al mover los rojos se mueven los verdes. Es de suma importancia que los alumnos
descubran por sí solos cómo funciona la figura, de modo que el profesor sólo debe
intervenir para evitar que los estudiantes abandonen la tarea o para recordar la misma.
Análisis a-priori
Intención: llevar los triángulos verdes dentro del círculo.
Acción 1: agarrar un triángulo verde para llevarlo al círculo.
Retroacción 1: el triángulo no se mueve.
Interpretación 1: no se puede arrastrar el triángulo hacia el círculo.
Validación 1: la acción 1 no permite lograr el objetivo, por lo cual se debe
cambiar de acción.
Acción 2: agarrar un triángulo rojo y arrastrarlo hasta que el verde
correspondiente quede dentro del círculo.
Retroacción 2: el triángulo rojo se deja arrastrar, siguiendo el movimiento del
ratón, y el verde correspondiente se mueve hasta quedar dentro del círculo.
Interpretación 2: para meter un triángulo verde en el círculo se debe mover el
rojo correspondiente y además sus movimientos son contrarios, es decir, se
acercan entre sí cuando se arrastra el rojo hacia el verde, y se alejan entre sí
cuando el rojo se arrastra en sentido opuesto al verde.
Validación 2: la acción 2 permite lograr el objetivo, de modo que la tarea ha sido
concluida y no se necesita cambiar de acción.
En este caso, al darse cuenta los alumnos de que los triángulos verdes no se
dejan arrastrar, deberían cambiar de acción e intentar arrastrar los otros
triángulos. Si no lo hacen espontáneamente, el profesor puede sugerirles
hacerlo.
85
De acuerdo al análisis hecho, el desarrollo de esta tarea genera un aprendizaje
por adaptación en el alumno, puesto que si decide arrastrar los triángulos
verdes el medio no lo dejará y tendrá que cambiar de estrategia. En cambio, si
decide arrastrar los triángulos rojos podrá resolver la tarea. Al arrastrar los
triángulos rojos constatará que el movimiento de los verdes depende del de los
rojos que es el objetivo de la actividad.
Tercera tarea: llevar todos los triángulos dentro del círculo
El objetivo es que los alumnos confirmen que los movimientos de un triángulo y su
simétrico son contrarios e intenten argumentar que es imposible ejecutar la tarea.
Análisis a-priori
Intención: llevar todos los triángulos dentro del círculo.
Acción 1: meter los triángulos rojos en el círculo.
Retroacción 1: los triángulos verdes quedan por fuera del círculo.
Interpretación 1: no basta meter los triángulos rojos en el círculo para que
queden todos dentro de él.
Validación: la acción 1 no es válida, se debe cambiar de acción.
Acción 2: meter los triángulos verdes dentro del círculo.
Retroacción 2: los triángulos rojos quedan por fuera del círculo.
Interpretación 2: no basta meter los triángulos verdes en el círculo para que
queden todos dentro de él.
Validación: La acción 2 no permite realizar la tarea, es necesario cambiar de
acción nuevamente.
Acción 3: juntar todos los triángulos.
Retroacción 3: los triángulos quedan por fuera del círculo.
Interpretación 3: no hay manera de ubicar todos los triángulos dentro del
círculo.
Validación 3: la acción 3 no es válida, y como no es posible juntar todos los
triángulos dentro del círculo, es imposible realizar la tarea.
Acción 4: juntar todos los triángulos y arrastrar el círculo.
Retroacción 4: el círculo no se mueve
Interpretación 4: No es posible poner el círculo donde se juntan los triángulos.
Validación 4: la acción 4 no es válida.
86
Esta vez los alumnos se percatan de que los triángulos solo se unen en algunos
sitios de la pantalla, y que allí debería estar ubicado el círculo. Pero por no
darse estas condiciones, la tarea es imposible.
Como resultado de llevar a cabo estas acciones previstas, los alumnos
descubren que si se meten los triángulos rojos en el círculo, los verdes quedan
por fuera; y en caso de querer meter los verdes, es necesario sacar los rojos.
Pero mientras se realizan estas acciones, se evidencia que al arrastrar un
triángulo rojo en algunas direcciones, el verde correspondiente se mueve en
sentido contrario. En particular, estando en la figura 1 donde el eje de simetría
(oculto) es horizontal, al mover el triángulo rojo hacia arriba el verde se mueve
hacia abajo, y viceversa. Lo cual implica que el aprendizaje por adaptación
producto de concluir la tarea, corresponde con el propósito de la misma.
Aquí es importante que el profesor solicite a los alumnos que justifiquen por qué
no es posible realizar la tarea. Se espera que den justificaciones como las
siguientes: “si meto los rojos se salen los verdes”, “los triángulos verdes y los
rojos se mueven en sentidos opuestos”, “el círculo no está en el lugar donde se
juntan los triángulos”… De esta manera los alumnos comienzan a verbalizar las
características de las figuras que se pretende que observen.
Cuarta tarea (con la serie 1-1a): colocar los tres círculos en algún lugar de la
pantalla donde puedan ponerse todos los triángulos dentro de ellos
(sucesivamente).
La intención es que los alumnos se percaten de que los círculos deben ubicarse a lo
largo de una recta (por eso se utilizan tres círculos), y el profesor debe asegurarse de
que los alumnos son conscientes de que hay más posiciones en las que se pueden
ubicar los círculos.
También debe asegurarse de que en cada círculo pueden meterse todos los triángulos.
Se espera que los alumnos arrastren un triángulo rojo para juntarlo con su pareja en
algún lugar, dado que en la actividad anterior se percataron de que un triángulo y su
pareja se unen en algunos sitios de la pantalla; de esta manera podrán mover uno de
los círculos a esa posición, quedando un triángulo y su simétrico dentro de él. Luego se
esperaría que hagan lo mismo para meter las dos parejas de triángulos restantes en los
otros dos círculos.
87
Análisis a-priori
Intención: colocar los tres círculos en la pantalla de modo que puedan ponerse
dentro de ellos todos los triángulos.
Acción 1: ubicar los tres círculos en cualquier lugar de la pantalla e intentar
llevar los triángulos dentro de cada uno.
Retroacción 1: Como la posición de los círculos es escogida al azar, será muy
improbable que queden los tres sobre el eje de simetría oculto, y por lo tanto no
podrán meterse dentro de ellos todos los triángulos.
Interpretación: las parejas de triángulos no se pueden superponer en cualquier
parte de la pantalla.
Validación: la acción no es válida, se debe usar otra estrategia.
Acción 2: arrastrar los triángulos rojos hasta superponerlos con los triángulos
verdes, pero no los simétricos. Luego colocar un círculo sobre cada pareja.
Retroacción 3: tres pares de triángulos quedan superpuestos. Al intentar meter
todos los triángulos dentro de un círculo quedarán algunos por fuera
Interpretación: se pueden unir dos pares de triángulos (verde-rojo) en algunos
sitios de la pantalla.
Validación: la acción no es válida dado que no pueden meterse todos los
triángulos dentro de cada círculo.
En caso de que el alumno lleve a cabo esta acción, el profesor deberá intervenir
y pedirle que meta todos los triángulos dentro de cada círculo.
Acción 3: arrastrar cada triángulo rojo hasta donde se superponga con su
correspondiente verde y llevar un círculo a esa posición.
Retroacción 4: las parejas se superponen en algunos puntos de la pantalla.
Interpretación: los triángulos se unen en distintas posiciones y éstas están a lo
largo de una línea recta.
Validación: la acción permite completar la tarea.
En este momento, se espera que los alumnos hayan descubierto la dependencia
entre las figuras simétricas, los movimientos opuestos de las mismas.
Nuevamente el aprendizaje por adaptación producto de efectuar las posibles
acciones, termina siendo que las parejas de triángulos solo se unen a lo largo de
una recta, y que además no hay otras posiciones donde suceda esto. Ello
88
implica que la única manera de concluir la tarea es percatándose de la presencia
del eje de simetría, que es en últimas lo que se quiere.
Es importante que el profesor le solicite a los alumnos que han terminado la
tarea que efectivamente metan todos los triángulos sucesivamente en cada uno
de los círculos. Además, debe preguntarles: “¿Si tuvieras más círculos dónde
podrías colocarlos de manera que puedan meterse todos los triángulos?”. Se
espera que los alumnos hagan un gesto con su mano indicando una línea recta.
Análisis a-priori de la secuencia
En general en cada una de las cuatro actividades, cuando los alumnos avancen de una
serie a otra esperamos que renuncien a las acciones que anteriormente no les han
permitido lograr sus intenciones, y que refuercen las que sí. Además, esperamos que
tomen conciencia de las diferencias entre una serie y otra.
En esta primera actividad esperamos que los alumnos al pasar de la primera a la
segunda serie (o en su defecto, de la segunda a la tercera), no intenten agarrar los
triángulos verdes sino que arrastren directamente los rojos cuando quieran mover los
verdes. Esto para cada tarea.
Primera y segunda tareas: esperamos que tomen conciencia de que en distintas
series los movimientos de un triángulo y su pareja tienen diferentes orientaciones. Es
decir, que en la primera serie al arrastrar un triángulo rojo hacia arriba su pareja se
mueve hacia abajo y viceversa, pero al arrastrarlo en dirección horizontal la distancia
entre ellos no varía; mientras que en la segunda serie al arrastrar un triángulo rojo
hacia la derecha su pareja se mueve hacia la izquierda y viceversa, pero al arrastrarlo
en dirección vertical la distancia entre ellos no varía.
Tercera tarea: esperamos que al avanzar de una serie a otra demoren menos tiempo
intentando meter todos los triángulos en el círculo antes de argumentar que no es
posible resolver la tarea, incluso no sería extraño que al pasar de la segunda a la
tercera serie o de la tercera a la cuarta argumenten que no es posible resolver la tarea
antes de intentar arrastrar los triángulos.
Cuarta tarea: esperamos que los alumnos tomen conciencia de que para diferentes
series los círculos quedan ubicados en distintas direcciones (horizontal, vertical …).
Sería importante que el profesor solicite a los alumnos dibujar en su cuaderno la
posición en que quedaron los círculos en cada serie al terminar la tarea.
Puesta en común
89
Es de esperarse que haya grupos de trabajo más adelantados que otros, entonces el
profesor puede disponer una puesta en común una vez finalizadas las cuatro tareas
con las seis series, con el fin de constatar que los alumnos manifiestan los fenómenos
visuales que se pretendía que descubrieran y que de alguna manera se hayan
familiarizado con ellos. El profesor pedirá a algunos alumnos que pasen al frente del
grupo para que expliquen a los demás cómo desarrollaron las tareas. Es importante
que el profesor identifique cuáles grupos terminaron y cuáles no, con el propósito de
pasar primero a los grupos más rezagados. También es conveniente que en su
mayoría los grupos expongan su trabajo.
Es importante que los alumnos hablen (con sus propias palabras) de la dependencia de
los triángulos verdes con respecto a los rojos, de los movimientos contrarios, de que los
triángulos se juntan a lo largo de una línea recta.
Concurso (para finalizar la primera actividad)
En esta instancia se supone que ya los alumnos están familiarizados con los
fenómenos visuales que hemos mencionado anteriormente, pero para ello solo han
utilizado estrategias meramente perceptivas. El propósito de este concurso es bloquear
esas estrategias, y llevar a los alumnos a que utilicen los conocimientos que han
adquirido para anticipar la posición del eje de simetría.
Para este concurso se organizan equipos competidores dentro del salón de clase (entre
6 y 8 alumnos por equipo), el profesor explica que deberán solucionar la cuarta tarea:
colocar los círculos donde puedan meterse todos los triángulos dentro de ellos, pero no
podrán mover los triángulos antes de colocar los círculos. Para garantizar que los
alumnos se comuniquen y se pongan de acuerdo en una estrategia, el profesor explica
que él seleccionará un representante de cada equipo para realizar la tarea.
El representante escogido por el profesor deberá ubicar los tres círculos sin mover los
triángulos y luego otro alumno, o en su defecto el profesor, moverá los triángulos para
comprobar si es posible meter todos los triángulos dentro de cada círculo. Del mismo
modo lo harán los representantes de los otros equipos. En caso de que uno de los
representantes no logre resolver la tarea puede repetirse el concurso, y finalmente
organizar una puesta en común para que los grupos expongan sus estrategias.
Para resolver la tarea, los alumnos deben identificar cuál es la pareja de cada triángulo
(sin moverlos), y además identificar los puntos donde se unen, que deben estar sobre
el eje de simetría.
Para el análisis a-priori de este concurso tendremos en cuenta que se llevará a cabo en
dos etapas; la primera consiste en ubicar los círculos, acción llevada a cabo por parte
90
del representante del grupo escogido por el profesor. La segunda consiste en validar la
acción intentando meter las parejas de triángulos en los círculos.
Análisis a-priori
Intención: ubicar los círculos de modo que luego se pueda llevar una pareja de
triángulos simétricos dentro de cada uno. Sin mover los triángulos.
Estrategia 1: arrastrar cada uno de los tres círculos y ubicarlos en cualquier
lugar de la pantalla.
Acción de validación 1: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los
triángulos dentro de cada círculo.
Retroacción 1: Como la posición de los círculos es escogida al azar, será muy
improbable que queden los tres sobre el eje de simetría oculto, y por lo tanto no
podrán meterse dentro de ellos un triángulo rojo y su correspondiente verde.
Interpretación: las parejas de triángulos no se pueden juntar en cualquier lugar
de la pantalla.
Validación: la estrategia no es válida, se debe llevar a cabo otra.
Estrategia 2: ubicar los círculos de modo que queden alineados (línea distinta
del eje de simetría).
Acción de validación 2: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los
triángulos dentro de cada círculo.
Retroacción 2: no es posible meter las parejas de triángulos simétricos dentro
de cada círculo.
Interpretación: no es suficiente que los círculos queden alineados para alcanzar
la meta.
Validación: la estrategia no permite lograr el objetivo, se debe cambiar.
Estrategia 3: Colocar cada círculo ‘en la mitad’ de cada pareja de triángulos
correspondientes.
Acción de validación 3: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los
triángulos dentro de cada círculo.
Retroacción 3: los triángulos pueden meterse todos en cada círculo.
Interpretación: las parejas de triángulos se unen a lo largo de una recta que
pasa por la mitad de cada una.
Validación: la estrategia usada es la ganadora.
Los alumnos siempre tienen la posibilidad de invalidar las estrategias
perdedoras gracias a las retroacciones del medio, y de darse cuenta que la
91
estrategia ganadora consiste en identificar las parejas de triángulos simétricos
para anticipar la posición del eje de simetría y ubicar los círculos sobre este eje,
ya que de la tarea tres, ellos han descubierto que un objeto y su simétrico se
superponen sobre el eje de simetría.
Como consecuencia del concurso, es ineludible que los alumnos intenten
anticipar la posición del eje de simetría, siendo esta la única estrategia
ganadora, porque las demás no permiten concluir la tarea. Además, si no todos
han descubierto la estrategia, la puesta en común permite confrontar esta
situación, ya que los distintos grupos expondrán la manera como planearon
desarrollar la tarea.
En conclusión, como producto del desarrollo de las cuatro tareas de esta primera
actividad, los alumnos lograrán identificar la dependencia de los triángulos verdes y los
rojos; los movimientos contrarios con respecto a una recta que pasa por la mitad de de
un triángulo rojo y su pareja; las orientaciones contrarias de los triángulos con respeto a
tal recta; además precisar su ubicación; por último, del concurso lograrán anticipar la
posición del eje de simetría sin mover los triángulos. Correspondiendo estos hechos al
objetivo de la actividad.
Es importante que el profesor institucionalice estas conclusiones utilizando las palabras
de los propios alumnos, y haga tomar nota de las mismas en el cuaderno.
Actividad 2
Objetivos
1. Además de reforzar la identificación de los fenómenos visuales concernientes al
movimiento de figuras simétricas trabajados en la actividad 1, se busca que los
alumnos constaten que las figuras simétricas con respecto a un eje giran en
sentidos contrarios.
2. Se busca que los alumnos pasen de una visión global de los triángulos, a
considerar sus vértices y lados.
Descripción del medio
Para el desarrollo de esta actividad, los alumnos trabajarán con seis figuras, en cada
una de ellas se presentan tres triángulos congruentes (rojo, verde y punteado). El verde
simétrico del rojo con respecto a un eje que permanece oculto y el punteado
permanece fijo (no se puede mover) de modo que el verde pueda hacerse coincidir con
él.
92
El triángulo rojo pude moverse arrastrando dos de sus vértices: uno permite trasladarlo
por cualquier lugar de la pantalla y el otro permite girarlo alrededor del primero. El
tercer vértice no se deja arrastrar. El triángulo verde no puede arrastrarse, pero se
mueve al arrastrar el rojo.
93
Al igual que en la actividad 1, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.
Descripción de la actividad
El propósito de esta actividad es que los alumnos descubran los mismos fenómenos
visuales de la primera actividad, más el hecho de que si una figura gira en el sentido
horario, su simétrica gira en sentido antihorario. Además, que pasen de una percepción
global de las figuras a una percepción local; los triángulos no serán únicamente formas
globales, sino que estarán compuestos por tres vértices y tres segmentos.
Para lograr lo anterior, se les pide a los alumnos desarrollar la siguiente tarea.
Tarea: Superponer el triángulo verde y el triángulo punteado
Se espera que los alumnos descubran que el triángulo rojo se puede mover por dos de
sus vértices, teniendo en cuenta que ya saben que para mover el verde deben arrastrar
el rojo, y esta vez no se moverá igual que en la primera actividad.
También se supone que ellos podrían intentar agarrar el triángulo punteado para
llevarlo hacia el verde, y éste no se dejará arrastrar, entonces llevarán el verde sobre el
punteado, pero una vez logrado esto deberán girarlo para hacer que coincidan. Esto
último les permitirá descubrir que al girar en sentido horario el rojo, el verde lo hará en
sentido contrario.
Análisis a-priori
94
Intención: superponer el triángulo verde y el punteado
Acción 1: agarrar el triángulo punteado para llevarlo hacia el triángulo verde.
Retroacción 2: el triángulo punteado no se mueve.
Interpretación: el triángulo punteado no se deja arrastrar.
Validación: la acción no es válida, se debe cambiar.
Acción 2: agarrar el triángulo verde para llevarlo hacia el triángulo punteado.
Retroacción 2: el triángulo verde no se deja arrastrar.
Interpretación: el triángulo verde depende del rojo (como en la actividad
anterior).
Validación: la acción no es válida, se debe cambiar.
Acción 3: agarrar el triángulo rojo por sus lados para mover el verde.
Retroacción 3: el triángulo rojo no se mueve.
Interpretación: el triángulo rojo no se deja arrastrar por sus lados.
Validación: la acción no permite resolver la tarea.
Acción 4: agarrar los puntos del triángulo rojo para moverlo.
Retroacción 4: un punto no se deja arrastrar, los otros dos sí. Además los
triángulos verdes se mueven cuando se arrastran dos puntos específicos del
triángulo rojo.
Interpretación: de los puntos que se mueven uno hace que el triángulo gire y el
otro que se traslade.
Validación: la acción no es suficiente para resolver la tarea, se deben ejecutar
otras.
Acción 5: mover un punto del triángulo rojo para llevar el verde sobre el
punteado.
Retroacción 5: el triángulo verde queda sobre el punteado pero no superpuesto.
Interpretación: no basta mover el triángulo verde hacia el punteado, se necesita
que gire.
Validación: la acción es válida pero la tarea aún no está resuelta.
Acción 6: girar el triangulo verde arrastrando un punto del rojo hasta que
coincidan.
Retroacción 6: el triángulo rojo y el verde quedan superpuestos.
Interpretación: para superponer los triángulos se necesita girar y trasladar el
verde con movimientos del rojo.
Validación: la acción es válida.
95
Lo más probable es que los alumnos utilicen las acciones 5 y 6 combinadas para
hacer coincidir los triángulos, esto les permitirá concluir la tarea, pero también
podrían presentarse otras acciones válidas.
Acción 7: arrastrar el punto que permite trasladar el triángulo rojo hasta
superponer el punto correspondiente del triángulo verde con el del punteado,
luego arrastrar el punto que permite girar el triángulo.
Retroacción 7: el triángulo verde y el punteado quedan superpuestos.
Interpretación: al trasladar el triángulo rojo por uno de sus puntos, el punto
correspondiente del verde se mueve en sentido contrario con respecto al espejo.
Validación: la acción es válida.
Acción 8: girar el triángulo rojo de modo que el verde quede ‘en la misma
posición que le punteado, luego arrastrar el triángulo rojo hasta hasta hacer
coincidir el verde con el punteado.
Retroacción 8: el triángulo verde coincide con el triángulo punteado.
Interpretación: para girar el triángulo verde en cierto sentido se debe girar el
rojo en sentido contrario.
Validación: la acción es válida a.
Note que para poder finalizar la tarea es necesario que el alumno descubra que
una figura y su simétrica giran en sentidos contrarios, ya que para girar el
triángulo verde debe girar el rojo, y no hay otra forma de hacerlo. Además, ellos
al intentar hacer coincidir los triángulos, se fijarán en los vértices, siendo que al
girar el triángulo rojo sin trasladarlo, un punto de éste y el verde permanecen
fijos, mientras los otros dos se giran tanto en el triángulo rojo como en el verde,
pero en sentidos opuestos. Entonces se concluye que el aprendizaje producto
del desarrollo de la actividad corresponde al objetivo propuesto.
Análisis a-priori secuencia
A medida que los alumnos avancen por las seis series, esperamos que abandonen
algunas estrategias que no le son útiles para lograr su objetivo, las cuales con bastante
probabilidad usarán en la primera serie. Esperamos que al pasar a la segunda serie, no
usen las acciones uno y dos que serían intentar arrastrar el triángulo punteado y el
triángulo verde respectivamente, puesto que estos no se dejarán arrastrar. Otra acción
que esperamos que no repitan a partir de la segunda o tercera serie es intentar
arrastrar el triángulo rojo por sus lados, puesto que sólo se podrá arrastrar por sus
vértices.
96
También esperamos que tomen conciencia de que en cada serie la posición del eje de
simetría es diferente (horizontal, vertical y oblicua). Teniendo en cuenta que ellos
podrían identificar éste eje como una recta imaginaria que se comporta como espejo
entre los dos triángulos.
Lo más importante de esta actividad es que ellos refuercen la percepción y
manipulación de la figura por los elementos que la conforman y no de una manera
global, que independientemente de la posición de lo que la mayoría llamaría espejo (eje
de simetría) un triángulo y su imagen giran y se mueven en sentidos opuestos. Todos
estos elementos deberían ser nombrados en una puesta en común al terminar toda la
actividad.
Actividad 3
Objetivo
En las dos actividades anteriores los alumnos han aprendido a predecir la posición del
eje de simetría de manera aproximada, esta vez se quiere que precisen esa posición.
Más concretamente, que argumenten que el eje de simetría pasa por los puntos
medios de los puntos simétricos, de modo que puedan construir el eje haciendo uso de
herramientas geométricas.
Descripción del medio
Para el desarrollo de esta actividad se usan siete figuras. En las cuatro primeras se
presenta un triángulo rojo, uno verde y un segmento. El triángulo verde es simétrico del
rojo con respecto a un eje que permanece oculto, por lo tanto no se deja arrastrar. EL
triángulo rojo se deja arrastrar por dos de sus vértices; uno permite trasladarlo y el otro
rotarlo, de modo que no cambia su forma ni tamaño. El segmento puede desplazarse
arrastrándolo directamente o arrastrando sus puntos extremos. Cuando el segmento
coincida ‘aproximadamente’ con el eje de simetría, aparecerá en la pantalla un punto
con el letrero ‘Muy bien!’.
La diferencia entre cada una de las seis primeras figuras es la inclinación del eje.
En la séptima figura se presenta un triángulo verde, uno rojo y un círculo con un punto
sobre él. El triángulo rojo se deja arrastrar por dos de sus vértices; uno permite
trasladarlo y el otro rotarlo, de modo que no cambia su forma ni tamaño mientras el
verde se mueve de modo que conserva la simetría. El círculo funciona como interruptor
al mover el punto para cambiar la pendiente del eje de simetría.
97
En las series 1 a 6 la única herramienta Cabri disponible es el apuntador, en la serie 7
todas las herramientas están disponibles.
Descripción de la actividad
98
Al trabajar con las seis primeras figuras se quiere que los alumnos comprendan que el
eje de simetría debe ubicarse de modo que pase por los puntos medios de puntos
simétricos; esto puede ser manifestado por los alumnos con frases como “el espejo
debe quedar en la mitad de los triángulos” o aún más preciso, “el segmento debe
quedar en la mitad entre este punto y este punto (señalando dos puntos simétricos)”.
Para ello se les pide que realicen dos tareas.
Primera tarea: (En las seis primeras figuras) mover el segmento hasta que
represente el espejo entre el triángulo rojo y el verde.
Se espera que en las actividades anteriores los alumnos hayan hecho referencia
espontáneamente a un espejo, diciendo que los triángulos verdes parecen imagen de
los rojos con respecto a un espejo. Si no lo han hecho, el profesor podrá hacer esta
referencia para poder referirse al segmento como representación de un espejo.
En esta tarea, se espera que los alumnos lleven el segmento a la posición en la que
ellos creen que debe ubicarse el espejo. Logrado esto con cierta precisión, debe
aparecerles un punto con un letrero que dice ‘Muy bien!’. Por ejemplo en el caso de la
primera figura:
Es posible que algunos alumnos utilicen una de las siguientes estrategias para
solucionar la tarea:
1. Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y hacer que el
segmento pase por los puntos de intersección.
99
2. Mover el triángulo rojo hasta que uno de sus lados coincida con el lado
correspondiente del triángulo verde y hacer que el segmento pase por ese lado.
Estas estrategias son correctas, pero el profesor deberá pedirles a estos alumnos que
intenten resolver el problema sin mover los triángulos, a fin de que utilicen las
relaciones entre los puntos simétricos y el eje.
Análisis a-priori
Intención: ubicar el segmento de modo que represente el espejo entre el triángulo
rojo y
el
verde.
Acción
1:
llevar
el
segme
100
nto a la mitad de una pareja de triángulos y acomodarlo hasta que salga el letrero
‘Muy bien!’.
Retroacción 1: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y sale el
letrero ‘muy bien!’.
Interpretación: el segmento queda ubicado en la mitad entre los dos triángulos.
Validación: la estrategia es válida.
Acción 2: arrastrar y girar el triángulo rojo hasta hacer coincidir un lado de éste con
el lado correspondiente del verde y ubicar el segmento sobre ese lado.
Retroacción 2: el triángulo queda unido al otro por un lado, el segmento queda
ubicado en esa posición y aparece el letrero ‘Muy bien!’.
Interpretación: se pueden unir los dos triángulos por un lado y ubicar el segmento
en esa posición para que represente el espejo.
Validación: la estrategia es válida.
Acción 3: Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y hacer
que el segmento pase por los puntos de intersección de los dos triángulos.
Retroacción 3: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y aparece el
letrero ‘Muy bien!’.
Interpretación: basta hacer que los triángulos se crucen y ubicar el segmento
sobre las intersecciones.
Validación: la estrategia es válida.
Como ya mencionamos antes, cuando los alumnos utilicen las dos últimas
estrategias, es necesaria la intervención del profesor para pedirles que resuelvan la
tarea nuevamente sin mover los triángulos, con el propósito de que los alumnos
usen la relación entre los puntos simétricos y el eje.
Acción 4: ubicar una regla (o un dedo, una hoja de papel) sobre la pantalla para
medir la distancia entre dos pares de puntos correspondientes y calcular la mitad
entre ellos, luego llevar el segmento sobre la “mitad” de cada par de puntos.
Retroacción 4: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y aparece el
letrero ‘Muy bien!’.
Interpretación: el segmento debe ubicarse en la mitad entre los puntos
correspondientes.
Validación: la acción es válida.
Como producto de llevar a cabo estos ciclos de acción-retroacción-interpretación-
validación para esta tarea, los alumnos interpretan que el espejo debe ubicarse
sobre los puntos medios de los puntos simétricos, lo que es el propósito de esta
101
tarea. Al terminar estas seis series debe realizarse una puesta en común para
introducir la segunda tarea, como se explica a continuación.
Segunda tarea: (En la séptima figura) construir un segmento de modo que
represente el espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde
En esta tarea se introducirá por primera vez el arrastre para validar una construcción,
invalidando las estrategias de ajuste perceptivo de las figuras. Este cambio en el
contrato didáctico no será fácilmente comprendido o aceptado por los estudiantes. Por
eso es necesario que el profesor lo ‘ponga en escena’, delante de todo el grupo, para
convencerlos mediante un ejemplo:
Una vez terminada la primera tarea con las seis figuras iniciales, el profesor organizará
una puesta en común para resaltar las condiciones que debe cumplir el segmento para
que represente el ‘espejo’ entre el triángulo rojo y el verde. Se espera que en esa
puesta en común se llegue al acuerdo de que la estrategia para obtener el ‘muy bien’
debe ser ‘colocar el segmento de manera que pase por la mitad entre los dos
triángulos’. Luego mostrará la quinta figura, pasará a un estudiante al frente y planteará
la tarea: debe construir el segmento que represente el espejo que refleja el triángulo
rojo en el triángulo verde.
Se espera que inicialmente el estudiante se pregunte cómo construir el segmento, de
modo que el profesor debe intervenir para orientar el manejo de la herramienta
‘segmento’, dado que es la primera vez que se les pide que construyan. El alumno
construirá el segmento en cualquier parte de la pantalla y lo arrastrará para ubicarlo
entre los dos triángulos, buscando que represente el espejo entre los dos triángulos.
Una vez el alumno ha ajustado perceptivamente el segmento, el profesor explicará que
en esta figura no sale el letrero ‘muy bien’ y que por lo tanto se necesita otra forma de
verificar si el segmento está correctamente colocado; mostrará la herramienta ‘simetría
axial’ para construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al segmento que el
alumno ha construido perceptivamente. Pueden presentarse dos situaciones:
El triángulo construido (rojo) no coincide con el triángulo verde, lo cual
indicaría que el segmento quedó mal construido. Entonces el alumno buscará
acomodar el segmento hasta que los triángulos coincidan completamente.
102
El triángulo construido (rojo) coincide con el triángulo verde, lo cual indicaría
que el segmento quedó ‘bien ubicado’.
Una vez validada esta tarea perceptiva, el profesor pedirá al alumno que
mueva el punto sobre el círculo, provocando la siguiente situación:
Al mover el punto sobre el círculo el eje de simetría (oculto) cambia de pendiente,
provocando el cambio de posición del triángulo verde, y queda en evidencia que el
espejo queda mal ubicado; el profesor explicará que ‘ahora se trata de construir un
103
segmento que siempre sea el espejo entre los dos triángulos, aunque el triángulo verde
se mueva’.
Una vez que se ha invalidado la estrategia de ajuste perceptivo mediante el arrastre,
finaliza la puesta en común y cada pareja debe intentar resolver el problema.
Esta actividad es de tipo II según nuestro marco teórico. Es decir, sirve para invalidar
las estrategias perceptivas de los alumnos, pero no se espera que ellos encuentren una
estrategia ganadora. Solamente se espera que formulen de manera suficientemente
precisa el problema al que se enfrentan y la necesidad que tienen para resolverlo. En el
momento que los alumnos manifiesten que necesitan crear un punto ‘que siempre esté
en la mitad de dos puntos correspondientes’, el profesor debe intervenir para
mostrarles la herramienta punto medio y enseñarles a usarla. De esta manera la
herramienta punto medio se convierte en la respuesta a una necesidad de los alumnos.
Es importante que los alumnos experimenten el uso de dicha herramienta y que midan
(con la regla o con la herramienta distancia de Cabri) las distancias del punto medio a
los dos puntos de referencia, y que arrastren los puntos para constatar que
independientemente de la posición de los puntos, el punto medio siempre está en la
mitad de los otros dos.
Es posible que algunos estudiantes formulen el problema como que ‘se necesita que el
segmento se mueva al mismo tiempo que el triángulo’, e incluso intenten utilizar el
punto sobre el círculo para construir el segmento. Esta formulación no es suficiente,
pues no hace referencia a la propiedad que se quiere introducir, que el punto medio. El
profesor deberá intervenir con preguntas sobre cómo se acordó en la puesta en común
que es la estrategia para ubicar correctamente el espejo, de manera que los alumnos
vuelvan a hacer referencia a una posición a igual distancia de los dos triángulos.
Análisis a-priori
Intención: construir un segmento de modo que represente el espejo que refleja
el triángulo rojo en el triángulo verde.
Acción 1: usar la herramienta ‘segmento’ y construir perceptivamente un
segmento que pase por la mitad de los puntos correspondientes.
Acción de validación 1a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto
al segmento.
Retroacción 1a: el triángulo construido coincide con el verde, en caso contrario
el estudiante podría mover el segmento hasta que los dos triángulos coincidan
completamente.
Acción de validación 1b: mover el interruptor.
104
Retroacción 1b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal
ubicado.
Interpretación: la acción 1 no permite concluir la tarea.
Validación: es necesario cambiar de estrategia.
Acción 2: arrastrar el triángulo rojo hasta hacer coincidir un lado de éste con el
lado correspondiente del verde y construir un segmento sobre ese lado.
Acción de validación 2a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto
al segmento.
Retroacción 2a: el triángulo construido coincide con el verde.
Acción de validación 2b: mover el interruptor.
Retroacción 2b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal
ubicado.
Interpretación: la acción 2 no permite concluir la tarea.
Validación: es necesario cambiar de estrategia.
Acción 3: Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y
construir un segmento que pase por los puntos de intersección de los dos
triángulos.
Acción de validación 3a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto
al segmento.
Retroacción 3a: el triángulo construido coincide con el verde.
Acción de validación 3b: mover el interruptor.
Retroacción 3b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal
ubicado.
Interpretación: la acción 2 no permite concluir la tarea.
Validación: es necesario cambiar de estrategia.
Acción 4: construir un segmento utilizando como un extremo el punto sobre el
círculo.
Acción de validación 4a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto
al segmento.
Retroacción 4b: el triángulo rojo no coincide con el triángulo verde.
Acción de validación 4b: mover el interruptor
Retroacción 4b: el segmento gira, pero el triángulo rojo no coincide con el
verde.
Interpretación: la acción 4 no permite realizar la tarea.
Validación: es necesario cambiar de estrategia.
105
Acción 5: usar la herramienta ‘punto medio’ para marcar los puntos medios de
los puntos correspondientes y construir un segmento con extremos en dos de
esos puntos.
Acción de validación 5a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto
al segmento.
Retroacción 5a: el triángulo construido coincide con el verde.
Acción de validación 5b: mover el interruptor.
Retroacción 5b: el segmento se mantiene sobre los puntos medios construidos.
Interpretación: el segmento debe construirse a partir de los puntos medios de
puntos correspondientes.
Validación: la estrategia permite concluir la tarea.
Los alumnos después de ensayar estrategias perceptivas e invalidarlas, harán la
pregunta que se espera que se planteen. ¿Cómo hacer para que el segmento
quede sobre los puntos medios de los puntos correspondientes, aún después de
mover el interruptor? En ese momento el profesor interviene para indicarles
cómo usar la herramienta ‘punto medio’. De este modo se alcanza el objetivo de
la tarea.
Es necesario que los alumnos experimenten con la herramienta punto medio en
un archivo aparte, y luego la utilicen para resolver la tarea realizando las dos
validaciones (estática y dinámica). Debe terminar la actividad con una corta
puesta en común y una institucionalización del concepto de ‘punto medio’ como
un punto que siempre está en la mitad de otros dos, sin importar cómo se
muevan esos puntos.
Como preparación para la cuarta actividad es necesario que los alumnos
construyan los segmentos entre puntos correspondientes de los dos triángulos,
afín de que constaten que esos segmentos son paralelos entre sí y
perpendiculares al eje de simetría. Sin embargo, no es necesario que formulen
estas propiedades.
Actividad 4
Objetivo
El propósito de esta actividad es precisar las condiciones para construir la imagen de
una figura con respecto a un eje de simetría. Específicamente, que los alumnos
106
comprendan que un punto y su imagen quedan sobre una recta perpendicular al eje de
simetría y a igual distancia de dicho eje, pero en semiplanos diferentes.
Descripción del medio
Para el desarrollo de esta actividad se trabaja con siete figuras. En las cuatro primeras
se presenta un triángulo rojo, uno verde y una recta. El triángulo rojo se deja arrastrar
por un solo vértice, y no puede girarse. El triángulo verde puede moverse arrastrando
dos de sus vértices: uno lo gira y el otro lo desplaza. Cuando el triángulo verde está
aproximadamente sobre el simétrico del triángulo rojo con respecto a la recta, aparece
un punto con el letrero ‘muy bien’.
La séptima figura tiene un triángulo verde, una recta y un círculo con un punto. El punto
sobre el círculo modifica la inclinación de la recta.
La diferencia entre las seis primeras figuras es la inclinación de la recta.
107
Descripción de la actividad
Se quiere que los alumnos comprendan que para que una figura sea simétrica de otra,
cada par de puntos correspondientes deben quedar sobre una recta perpendicular al
eje y a igual distancia del mismo, pero en lados opuestos.
En esta actividad los alumnos deben pasar de una problemática de colocar el triángulo
‘aproximadamente’ a construirlo de manera exacta, de manera que se mantenga la
simetría.
Primera tarea: (En las seis primeras figuras) Considerando que la recta
representa un espejo, mover el triángulo verde hasta que sea el reflejo del
triángulo rojo por ese espejo.
Se espera que los alumnos desplacen el triángulo hasta la posición que ellos anticipan
de la imagen del triángulo verde. En ese momento debe aparecer el letrero ‘muy bien’.
Es probable que con las dos primeras figuras no tengan muchas dificultades, pero en la
tercera y cuarta, dada la inclinación del eje, la tarea se torna un poco más compleja, en
vista de que deben identificar tanto la perpendicularidad como la equidistancia. Podrían
presentarse las siguientes estrategias.
108
1. Construir los puntos medios de dos parejas de puntos, y mover el triángulo rojo
hasta obtener que esos puntos medios queden sobre la recta. El profesor debe
mostrar contraejemplos en los que esos puntos medios están sobre la recta,
pero los triángulos no son simétricos (pues no se cumple la perpendicularidad).
En este caso, un posible contraejemplo que podría mostrársele al alumno sería
el siguiente:
Percatándose el alumno, que el triángulo verde no es imagen del triángulo rojo.
2. Colocar sobre la recta el vértice del triángulo rojo que permite trasladarlo, y
hacerlo coincidir con el vértice correspondiente del triángulo verde; luego girar el
triángulo rojo hasta obtener el letrero ‘Muy bien’. Esta estrategia es correcta,
pero el profesor deberá pedirles a estos alumnos que intenten resolver el
problema sin mover el triángulo verde, a fin de que utilicen las relaciones entre
cada par de puntos simétricos y el eje.
109
3. Llevar el triángulo verde y el rojo sobre la recta y hacer que las intersecciones de
dos pares de lados correspondientes queden sobre ella.
Nuevamente esta estrategia es correcta, pero el profesor deberá pedirles a estos
alumnos que intenten resolver el problema sin mover el triángulo verde, a fin de
que utilicen las relaciones entre cada par de puntos simétricos y el eje.
Análisis a-priori
Intención: mover el triángulo verde hasta que sea el reflejo del rojo con
respecto al espejo.
Acción 1: Construir los puntos medios de dos parejas de puntos, y mover el
triángulo verde hasta obtener que esos puntos medios queden sobre la recta.
Retroacción 1: no siempre que los dos puntos medios quedan sobre la recta
aparece el letrero ‘muy bien!’.
Interpretación: no siempre que los dos puntos medios de dos parejas de puntos
quedan sobre la recta, el triángulo rojo es el reflejo del verde. Si no se logra esta
interpretación, el profesor deberá mostrar un contraejemplo.
Validación: la acción 1 no es válida, se debe cambiar de estrategia.
Acción 2: Hacer coincidir dos puntos correspondientes sobre la recta y
acomodar el triángulo verde hasta que salga el letrero ‘Muy bien!’.
Retroacción 2: el triángulo verde queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’
110
Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 2.
Validación: la acción 2 es válida.
Acción 3: Llevar el triángulo verde y el rojo sobre la recta y hacer que las
intersecciones de dos pares de lados correspondientes queden sobre ella.
Retroacción 3: el triángulo rojo queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’
Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 3.
Validación: la acción 3 es válida.
Acción 4: ajustar el triángulo verde perceptivamente hasta que los puntos
medios de dos parejas de puntos queden sobre la recta y en cada pareja de
puntos uno sea imagen del otro con respecto a la recta.
Retroacción 4: el triángulo rojo queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’
Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 4.
Validación: la acción 4 es válida.
Al concluir esta tarea, llevando a cabo las acciones previstas, los alumnos
interpretan que el triángulo verde debe ubicarse de modo que cada vértice de
éste y el correspondiente del triángulo rojo queden a igual distancia de la recta,
pero en lados contrarios y en dirección perpendicular a la recta, refiriéndose ellos
a la perpendicularidad con palabras como ‘derecho’. Lo cual corresponde al
objetivo de la tarea.
Segunda tarea: (En la séptima figura) Construir un triángulo que sea el reflejo del
triángulo dado con respecto a la recta.
Terminada la primera tarea para las seis primeras figuras, el profesor organiza la
puesta en común resaltando condiciones para que el triángulo verde sea el reflejo del
rojo, tales como la equidistancia y la perpendicularidad, sin importar que no sea esta la
palabra que usen los alumnos para referirse a dicha propiedad.
El profesor terminará la puesta en común mostrando la séptima figura. De manera
análoga como se hizo en la segunda tarea de la actividad anterior, se le pide a un
alumno que construya un triángulo que sea el reflejo del rojo con respecto a la recta, y
para verificar construye el simétrico del triángulo rojo con respecto a dicha recta. Si el
triángulo construido no coincide con esta imagen, permite que el alumno lo ajuste hasta
que coincidan exactamente. Luego mueve el punto sobre el círculo, de manera que la
recta cambia de inclinación, y muestra que el triángulo construido ya no coincide con la
imagen del triángulo verde. Entonces borra el triángulo construido por el alumno, y la
imagen del triángulo verde, y devuelve el problema a cada estudiante explicando que
111
se trata de hacer una construcción que siempre coincida con la imagen, incluso cuando
se mueve el punto sobre el círculo.
Para realizar una construcción ‘que resista el arrastre’ es necesario utilizar dos
propiedades diferentes: la perpendicularidad entre los segmentos que unen puntos
correspondientes y la equidistancia entre los puntos correspondientes y el eje de
simetría. Proponemos trabajar por separado esas dos propiedades.
Al igual que en la serie 3-7 de la actividad anterior, esta es una actividad de tipo II,
diseñada para invalidar las estrategias perceptivas de los alumnos, pero en la que no
se espera que encuentren por sí mismos la solución. Sólo se espera que formulen lo
más claramente posible el problema y lo que necesitan para la solución. En este caso,
que enuncien en sus propias palabras la necesidad de producir las dos propiedades de
las que hablamos. Podrían decir por ejemplo, que necesitan que los segmentos entre
puntos correspondientes deben ‘formar una ele’ con el eje de simetría, o que deben
quedar ‘derechos’ (refiriéndose a la perpendicularidad), y que la distancia de un vértice
del triángulo a la recta debe ser la misma que de la recta al punto correspondiente.
Parte 1: perpendicularidad.
Es posible que algunos alumnos en este momento expresen que necesitan medir
distancias o trazar segmentos; y el profesor mostrará cómo hacerlo delante de todos.
Los alumnos trazarán entonces segmentos ‘a ojo’, que cumplen las condiciones de la
simetría, pero al mover el interruptor esos segmentos dejan de ser perpendiculares al
eje.
El profesor debe plantear la pregunta: ‘¿qué es lo que se pierde al mover el punto
sobre el círculo?’ Los alumnos podrán expresar con sus propios términos la
perpendicularidad (‘no está derecho el segmento, se torció el segmento, etc.’).
Entonces el profesor les pedirá a algunos alumnos que muestren cómo debería estar el
segmento con respecto a la recta. Cuando los estudiantes expresen en sus palabras
que necesitan construir de tal manera que los segmentos sean perpendiculares a la
112
recta, el profesor institucionalizará el término ‘perpendicular’ y mostrará cómo usar la
herramienta ‘recta perpendicular’ para obtener la propiedad que ellos esperan.
Es importante dedicar tiempo suficiente para que los alumnos se apropien el uso de la
herramienta recta perpendicular y experimenten las diferentes posibilidades y las
condiciones para poder utilizar dicha herramienta, así como el vocabulario geométrico
asociado a esa propiedad. Se recomienda que trabajen en un archivo aparte, y que se
den cuenta de que para utilizar la herramienta es necesario que exista en la pantalla un
objeto (segmento o recta) de referencia. También es importante que tomen conciencia
de que Cabri espera dos clic para trazar una recta perpendicular: un clic para señalar ‘a
quién debe ser perpendicular’ y un clic para señalar ‘por cual punto debe pasar’; el
profesor deberá llamar la atención de los alumnos sobre los letreros que aparecen en la
pantalla cuando se acerca el cursor a los objetos antes de hacer clic. Igualmente, es
importante que los alumnos se den cuenta que el punto por el que pasará la
perpendicular puede estar sobre la recta de referencia o fuera de ella, o que incluso
puede crearse ‘sobre la marcha’ (no es necesario que esté creado con anterioridad).
Con respecto al vocabulario es necesario evitar expresiones como ‘la recta es
perpendicular al punto X’; el profesor debe señalar que es necesario nombrar dos
parámetros, así como Cabri necesita dos clic para construir la perpendicular: un
parámetro para señalar ‘a quién es perpendicular’ y un parámetro para decir por dónde
pasa esa perpendicular. Una frase correcta debe decir ‘recta perpendicular a ___ por el
punto ____
Una vez que los alumnos hayan practicado el uso de la herramienta, el profesor debe
pedir que la usen en el problema de la serie 4-7.
Parte 2: equidistancia
Una vez que han construido la recta perpendicular al eje por uno de los vértices del
triángulo, podrán ubicar de manera aproximada un punto sobre esa recta, al lado
opuesto del triángulo con respecto al eje, y así construir la imagen del triángulo. Esta
relación de equidistancia se perderá al mover el eje de simetría. El profesor deberá
asegurarse de que los alumnos identifican claramente el problema: ¿qué es lo que no
está funcionando? Los alumnos deberán responder en sus propias palabras que la
distancia de un punto al eje de simetría no es igual a la distancia de su imagen al eje de
simetría.
113
Sólo después de que los alumnos hayan identificado claramente la necesidad de lograr
la equidistancia con respecto al eje, el profesor les mostrará cómo usar la herramienta
círculo para obtenerla, y explicará por qué el círculo asegura la equidistancia (un círculo
está formado por todos los puntos que están a igual distancia del centro, por lo tanto
los dos puntos que están sobre la recta y el círculo están a igual distancia del centro, es
decir, del eje).
Análisis a-priori
Intención: Construir un triángulo que sea el reflejo del triángulo dado con
respecto a la recta.
Acción 1: construir tres puntos para formar un triángulo y acomodarlos hasta
que represente la imagen del triángulo dado con respecto a la recta.
Acción de validación 1a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con
respecto a la recta.
114
Retroacción 1a: los dos triángulos construidos coinciden.
Acción de validación 1b: mover el interruptor.
Retroacción 1b: los triángulos dejan de coincidir.
Interpretación: la acción no permite resolver la tarea.
Validación: la acción no es válida, se debe cambiar de estrategia
Acción 2: construir tres segmentos ‘al ojo’ que cumplan con las condiciones de
la simetría, y construir el triángulo reflejado a partir de los segmentos.
Acción de validación 2a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con
respecto a la recta.
Retroacción 2a: los dos triángulos construidos coinciden.
Acción de validación 2b: mover el interruptor.
Retroacción 2b: los triángulos dejan de coincidir.
Interpretación: la acción 1 no permite resolver la tarea, porque se pierde la
perpendicularidad: ‘los segmentos no quedan derechos’
Validación: la acción no permite concluir la tarea, se debe usar otra estrategia.
Acción 3: construir una recta perpendicular al eje que pase por un punto del
triángulo, ubicar de manera aproximada un punto sobre esa recta, al lado
opuesto del triángulo con respecto al eje, y así construir la imagen del triángulo.
Acción de validación 3a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con
respecto a la recta.
Retroacción 3a: los dos triángulos construidos coinciden.
Acción de validación 3b: mover el interruptor.
Retroacción 3b: los triángulos dejan de coincidir.
Interpretación: la acción 1 no permite resolver la tarea, porque se pierde la
equidistancia.
Validación: la acción no permite concluir la tarea, se debe usar otra estrategia.
Acción 4: construir una recta perpendicular al eje que pase por un punto del
triángulo, trazar un círculo que pase por este último punto, con centro en la
intersección del eje y la recta perpendicular, y así construir la imagen del
triángulo.
Acción de validación 4a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con
respecto a la recta.
Retroacción 4a: los dos triángulos construidos coinciden.
Acción de validación 4b: mover el interruptor.
Retroacción 4b: los triángulos siguen coincidiendo.
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Interpretación: la acción permite resolver la tarea, porque el triángulo construido
sigue siendo la imagen del triángulo dado, aún después de mover el interruptor.
Validación: la acción es válida.
En conclusión, la única manera de que los alumnos logren resolver la tarea, es
que usen tanto la herramienta ‘recta perpendicular’ como la herramienta ‘círculo’
para garantizar la perpendicularidad y la equidistancia respectivamente. De este
modo, el producto del aprendizaje por adaptación concuerda con el objetivo
planteado, es decir los alumnos comprenderán que un punto y su imagen
quedan sobre una recta perpendicular al eje de simetría y a igual distancia de
dicho eje.
Elementos a tener en cuenta en la institucionalización
Para la institucionalización se recomienda introducir el vocabulario oficial: eje de
simetría, figuras simétricas con respecto a un eje, vértices homólogos o
correspondientes, y retomar las distintas actividades para que los alumnos las
describan utilizando los nuevos términos. Es importante que el profesor corrija la
utilización inadecuada de términos, y que los alumnos nombren y escriban
correctamente las relaciones de perpendicularidad y equidistancia. Los alumnos
deben tener claro que para que haya simetría con respecto a una recta es
necesario que los segmentos entre puntos correspondientes sean
perpendiculares al eje y que el eje los corte en sus puntos medios.
Recomendaciones para la evaluación
Aconsejamos realizar una evaluación final por escrito. Se trata de evaluar dos
habilidades: dadas dos figuras simétricas construir el eje de simetría y dada una figura
y un eje construir la figura simétrica. Además es importante que reconozcan figuras en
las que hay simetría y figuras en las que no hay simetría, y que puedan justificar por
qué utilizando el saber enseñado (perpendicularidad y equidistancia).
116
117
Anexo B
Transcripciones de la profesora Marta
Transcripción literal de la actividad 3
1.
[Convenciones para la serie 3-1] (Se abre una ventana de Cabri con la serie 3-1 la cual contiene un triángulo rojo, uno verde y un segmento) [ M, N puntos del segmento] [A,B,C Vértices triángulo rojo] [A*,B*,C* Vértices correspondientes del triángulo verde con respecto al triángulo rojo ] [Cuando el estudiante señala un punto o un lado del triángulo, el cursor se convierte en una mano, la cual permite desplazar o arrastrar el elemento que esta sujetado o seleccionado con el cursor. Cuando el cursor vuelve a tener forma de cruz quiere decir que no está seleccionando ningún elemento]
2.
(Estudiante 1 Señala con el cursor el triángulo verde y al tocar uno de sus lados el cursor se convierte en una mano, pero al dejar de tocar el lado del triángulo aparece de nuevo el cursor en forma de cruz, luego toma el segmento desde el punto N y lo mueve un poco, después toma el segmento desde el punto M y haciendo clic sobre este y arrastrando el cursor estira el segmento hacia arriba. Continuando, toma el punto M con el cursor y moviendo el cursor en forma circular arrastra el segmento hacia arriba y hacia abajo, de tal manera que el
118
segmento se encoje y se estira según los movimientos que el estudiante realiza con cursor. (Estudiante 1 Luego selecciona el punto M y al mover el cursor estira el segmento de tal manera que queda verticalmente, seguido selecciona el vértice B del triángulo rojo y moviendo el cursor logra desplazar los triángulos los cuales ubica arriba y abajo del segmento.) (Continuando, el Estudiante 1 selecciona el vértice B del triángulo rojo y al mover el cursor hacia arriba el triángulo rojo se desplaza hacia arriba y el verde hacia abajo y al mover el cursor hacia abajo el triángulo rojo se mueve hacia abajo y el verde hacia arriba. Con el triángulo rojo tomado desde el vértice B ubica el triángulo rojo sobre el extremo M del segmento y el triángulo verde sobre el extremo N del segmento)
119
3.
(Estudiante 1 toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor mueve el segmento de tal manera que logra ubicarlo en posición horizontal en el espacio que hay entre los triángulos, seguido de esto toma el segmento desde el centro y moviendo el cursor lo traslada más o menos al centro del espacio entre los triángulos, luego toma el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia arriba y hacia abajo el segmento por el extremo mueve se desplaza un poco y mientras realiza este movimiento le va a pareciendo el letrero de muy bien en su pantalla.) Profesora: Le damos nuevamente a la tarea, por que como que no comprenden las palabras, me preocupa que no tengan comprensión lectora, vamos a ver, palabra mover, ¿Entienden?. Calmaditos los que ya. Ustedes saben que es mover. Profesora: El segmento, ¿Qué es lo que tienen que mover?, hasta que represente ¿qué?, el espejo entre, cuando digo entre, el triángulo ¿qué? Otros estudiantes : En la mitad Profesora: Si ustedes colocaron el segmento, le va a salir un letrero que dice muy bien. ¿si no?. Van escribiendo lo que van a haciendo, escriben lo que hicieron, como lo hicieron para.
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4.
Estudiante 1 (Toma el cursor, se va hasta archivo, elije la opción abrir y abre la serie 3-2) (Al abrir la serie 3-2 aparece un segmento y dos triángulos uno de ellos verde y otro rojo)
5.
Estudiante 1 (Selecciona el vértice B* del triángulo verde, pero no sucede nada, luego toma el cursor y selecciona el vértice C* del triángulo verde y parece el cursor convertido en mano, pero no sucede nada. Seguido toma el cursor y selecciona el vértice B del triángulo rojo y moviendo el cursor hacia arriba desplaza el triángulo rojo hacia arriba y el verde hacia abajo.) (Seguido el estudiante 1 manteniendo el cursor con el vértice B del triángulo rojo en movimiento cruza los dos triángulos y luego los separa. Continuando el estudiante 1 toma el cursor y lo pone en centro del segmento, seguido hace clic y al hacer clic aparece una mano con la cual puede trasladar el segmento, al espacio entre los dos triángulos, continuando el estudiante tomando con el cursor el segmento desde el centro mueve el cursor hacia abajo de tal manera que el segmento más cerca al vértice B* del triángulo verde.) (Ahora el estudiante teniendo el segmento desde el centro y haciendo movimientos con el cursor de abajo hacia arriba y viceversa, empieza a aparecer en su pantalla el letrero muy bien.) [El letrero de muy bien aparece siempre y cuando el estudiante mueva el cursor con el segmento
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sujetado, pero al momento de dejarlo quieto desparece el letrero] (El estudiante sigue moviendo el cursor de arriba hacia abajo y viceversa hasta que logra en un momento dejar el segmento en medio de los dos triángulos con la palabra muy bien). [De esta manera finaliza la serie3-2]
6.
(Ahora con el cursor se dirige a archivo, luego elige abrir y serie 3-3) (Aparece un segmento y un triángulo rojo y uno verde)
7.
(El estudiante toma el segmento desde el centro y hace clic, luego lo traslada hacia el espacio que hay entre los dos triángulos, seguido hace clic en el extremo M del segmento y al con vértice el cursor en una mano mueve el segmento de tal manera que queda vertical sobre el triángulo rojo, luego poniendo el cursor en el centro del segmento y haciendo clic traslada el segmento de tal manera que queda aparentemente en posición vertical entre el espacio de los dos triángulos.)
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8.
(Toma el segmento que está un poco torcido y lo pone totalmente vertical, y tomando con el cursor el extremo M del segmento y mueve el cursor hacia la derecha. Por último toma con el cursor el segmento desde extremo N y lo mueve un poco hacia la derecha, luego un poco hacia la izquierda y viceversa hasta que en su pantalla aparece un letrero diciendo muy bien.)
8
(Ahora con el cursor se dirige a archivo, luego elige abrir y serie 3-4) (Aparece un segmento y un triángulo rojo y uno verde)
9
(Toma el cursor y hace clic sobre el punto M del segmento y parece una mano, con esta mano y moviendo el cursor logra alargar el segmento de tal manera que lo hace pasar por el espacio que hay entre los dos triángulos. Luego toma el vértice C del triángulo rojo y moviendo el cursor rota el triángulo rojo más o menos 270 grados hacia la derecha, pero al rotar el triángulo rojo el verde
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también rota)
10
(Continuando el estudiante toma el segmento del extremo N y moviendo el cursor sube un poco el segmento, luego toma el extremo M del segmento y lo baja un poco, luego toma el segmento por el centro y lo traslada un poco dejándolo en la parte más central del espacio que hay entre los dos triángulos) (Ahora el estudiante toma el cursor y elige el extremo M del segmento y lo baja un poco, quedando el segmento casi paralelo a uno de los lados el triángulo rojo) Otros niños: Profe no entiendo Estudiante: este si está difícil (Estudiante 1 toma el vértice C del triángulo rojo y moviendo el cursor rota el triángulo y al rotar el triángulo rojo el verde también rota). [Los triángulos después de rotarlos quedan como se muestra en la imagen]
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(Seguido el estudiante toma el segmento desde el centro y moviendo el cursor traslada dicho segmento al espacio que hay entre los dos triángulos) [Al trasladar el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos, el segmento aparentemente parece ser el eje de simetría de los dos triángulos] Estudiante 1: Yo ya voy en la 3-4 pero no la he podido hacer
13
(Ahora el estudiante toma el vértice C del triángulo rojo y moviendo el cursor rota el triángulo más o menos 90 grados hacia la derecha lo cual hace que el triángulo verde también rote.) (Luego el estudiante toma el segmento desde el extremo N y mueve el cursor hacia arriba y hacia abajo, luego realiza la misma acción mencionada anteriormente pero con el extremo M del segmento) [Aparentemente el estudiante busca moviendo el segmento encontrar que le salga el letrero de muy bien]
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(Toma el triángulo por el vértice B e inicia a mover el cursor de tal manera que un primer momento cruza los triángulos y luego pasa uno sobre otro y los deja en lados contrarios respecto al segmento. Seguido el estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor estira el segmento, luego toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor hacia abajo deja el segmento en
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posición relativamente horizontal) [Así termina el primer video sin que el estudiante termine la serie 3-4]
15
[El video inicia con el siguiente pantallazo de la actividad 3-6]
16
(Luego el estudiante toma el vértice C del triángulo rojo y moviendo el cursor hacia la derecha rota el triángulo más o menos 45 grados) [Intenta rotar los triángulos de tal manera que intenta cuadrar el lado mayor del triángulo rojo con el lado mayor del triángulo verde y mantener el segmento entre el espacio de los dos triángulos] [Es de aclarar que al momento en que el estudiante intenta cuadrar el lado mayor del triángulo rojo con el lado mayor del verde, los vértices C y C* aparentemente se encuentran uno sobre el otro]
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17
(Ahora toma el segmento desde su parte central e inicia a mover el cursor de arriba hacia abajo repetidamente lo cual hace que el segmento se mueve también de arriba hacia abajo en el espacio que ahí entre los triángulos y deja quieto el segmento cuando este se encuentra sobre los vértices C y C*) [El estudiante intenta acomodar el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos, pero esta vez pone el segmento sobre los dos vértices C y C* puesto que por la posición los vértices están uno sobre el otro.] (Luego ya teniendo el segmento sobre los vértices C y C*, toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor hacia arriba y hacia abajo modifica la inclinación del segmento hasta que en su pantalla aparece el letrero Muy bien).
18 E1: Profesora: Repito nuevamente la acción a realizarla, la mayoría a movido los triángulos, para ubicar el segmento cierto?. Ahora sin mover los triángulos solo vamos a mover el segmento. E1: Estudiante: Solo podemos mover el segmento cierto profe.
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19
Después de la última acción del estudiante, se dirige a archivo, elige serie 3-1 y da clic en abrir y le aparece la siguiente pantallazo.
20
(Toma el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha y alarga el segmento y lo deja en posición diagonal en el espacio que hay entre los dos triángulos.)
21
(Toma el segmento desde el extremo N y subiendo el cursor modifica la posición del segmento dejándolo aparentemente superpuesto con el lado AB del triángulo rojo.) [Aparentemente el estudiante busca poner el segmento sobre los vértices A y B del triángulo rojo] (Hace clic sobre la parte central del
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segmento y moviendo el cursor hacia abajo aparece el letrero muy bien)
22
El estudiante se dirige a archivo, elige serie 3-2 y da abrir.
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24
(El estudiante inicia tomando el segmento en la posición que aparece y haciendo clic en el centro de del segmento mueve el cursor trasladándolo al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego en la posición que se encuentra el segmento mueve el cursor de arriba hacia abajo haciendo que el segmento se mueva de arriba hacia abajo.) [Se podría decir que con estos movimientos de arriba hacia abajo el estudiante está buscando que le aparezca el letrero muy bien]
25
(El estudiante sigue realizando el mismo movimiento de arriba hacia abajo con el segmento en posición diagonal y de esta manera parece en su pantalla el letrero muy bien)
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26
De nuevo el estudiante se dirige a archivo, elije serie 3-3 y da abrir. Luego aparece la siguiente pantalla.
27
(El estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor en forma circular pone el segmento en posición vertical)
28
(Luego toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor traslada el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego sin soltar el segmento empieza a hacer movimientos de derecha a izquierda hasta que en su pantalla aparece el letrero muy bien)
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29
Es estudiante se dirige a archivo, elige serie 3-4 y aparece el siguiente pantallazo.
30
(El estudiante toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia abajo, baja un poco el segmento, luego hace clic sobre el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia abajo intenta dejar el segmento paralelo al lado AB del triángulo rojo.)
31
(Toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia arriba sube el segmento y lo deja en el espacio que hay entre los dos triángulos) (Sin soltar el segmento empieza a mover el cursor de arriba hacia abajo) [Aparentemente el estudiante está buscando que aparezca el letrero muy bien]
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32
(Toma el extremo N del segmento y dejando el extremo M estático posiciona el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos. )
33
(Toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor mueve el segmento hacia diferentes lugares manteniendo el extremo N del segmento estático)
34
Por último deja estático el extremo N del segmento, toma el extremo M y empieza a mover el cursor suavemente de derecha a izquierda hasta que en su pantalla apare ce el letrero muy bien.) [En esta serie el estudiante posiciona en dos lugares diferentes el segmento dentro del espacio que hay entre los dos triángulos para poder llegar a encontrar la simetría ]
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35
(Estudiante se dirige a archivo elige abrir y selecciona serie 3-5 y aparece el siguiente pantallazo)
36
(Toma el segmento desde su extremo M y moviendo el cursor hacia arriba deja el segmento en posición vertical, luego tomándolo desde su centro y moviendo el cursor hacia la derecha pone el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos manteniendo la verticalidad)
37
(Toma el segmento desde su centro y moviendo el cursor hacia la izquierda, mueve el segmento un poco a la izquierda sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, continua tomando el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha deja el segmento en posición diagonal ) [Puede que el estudiante esté intentando dejar el segmento paralelo al lado A*B*]
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38
(Toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia la izquierda traslada el segmento un poco hacia la izquierda) (Toma el extremo N del segmento y dejando estático el extremo M mueve el cursor de derecha a izquierda)[A aparentemente busca que aparezca el letrero muy bien con estos movimientos mencionados anteriormente]
39
(Toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia diferentes posiciones traslada el segmento y luego suelta el cursor sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos) [El estudiante toma el segmento desde su centro e intenta trasladarlo si salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, pero lo que hace es tomarlo y soltarlo aparentemente buscando que aparezca el letrero muy bien] [La profesora interviene, busca en el computador el grabador de voz, lo activa y le pregunta al estudiante Como hace para encontrar el espejo entre los dos triángulos] [Estudiante responde, miro los dos triángulos como están y calculo donde poner el segmento ….. pero lo contrario, yo miro los dos triángulos pongo el segmento y muevo así despacito hasta que me aparezca el muy bien ] [Profesora pregunta, a encontrado alguna relación para poderlo hacer o
135
algo que le indique como hacerlo o una pista.] Estudiante se queda callado y dice que el segmento debe ponerlo entre los dos triángulos siempre Profesora dice, eso es importante eso es lo que debería estar anotando, si encuentra algo más que este teniendo en cuenta anótelo. (Por último el estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor hacia la izquierda y dejando estático el otro extremo, en su pantalla aparece el letrero muy bien)
40
(El estudiante se dirige a archivo, elige abrir y selecciona la serie 3-6 y aparece el siguiente pantallazo)
41
(El estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor hacia abajo, lo posiciona en el espacio que hay entre los dos triángulos) (Manteniendo el extremo N estático mueve el cursor moviendo el extremo M del segmento) [Aparentemente el estudiante moviendo el extremo M del segmento y dejando el otro estático
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busca que aparezca el letrero muy bien]
42
(El estudiante se dirige a archivo, elige nuevo y selecciona nuevamente serie 3-6) [El estudiante reinicia la actividad 3-6]
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(Inicia de nuevo la actividad tomando el segmento desde su centro y trasladándolo en la posición que se encuentra al espacio que hay entre los dos triángulos, luego toma el extremo M del segmento y modifica la posición como se muestra en la imagen) [Aparentemente intenta dejar el segmento paralelo al lado AC del triángulo rojo]
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Actividad 3 (Sin mover los triángulos)
1.
Después de la última acción del estudiante, se dirige a archivo, elige serie 3-1 y da clic en abrir y le aparece la siguiente pantallazo.
2.
(Toma el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha y alarga el segmento y lo deja en posición diagonal en el espacio que hay entre los dos triángulos)
44
(Continua tomando el segmento desde su centro y dejándolo debajo del triángulo rojo)[Aparentemente intenta dejar el segmento paralelo al lado AC del triángulo rojo] De esta manera finaliza el video 3 sin mover los triángulos [El estudiante no alcanza a finalizar la serie 3-6 y se inicia a continuación la puesta en común]
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3.
(Toma el segmento desde el extremo N y subiendo el cursor modifica la posición del segmento dejándolo aparentemente superpuesto con el lado AB del triángulo rojo) [Aparentemente el estudiante busca poner el segmento sobre los vértices A y B del triángulo rojo]
4.
(Hace clic sobre la parte central del segmento y moviendo el cursor hacia abajo aparece el letrero muy bien)
5.
(Se dirige a archivo, elige serie 3-2 y da abrir y aparece el siguiente pantallazo)
139
6.
(El estudiante inicia tomando el segmento en la posición que aparece y haciendo clic en el centro de del segmento mueve el cursor trasladándolo al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego en la posición que se encuentra el segmento mueve el cursor de arriba hacia abajo haciendo que el segmento se mueva de arriba hacia abajo.) [Se podría decir que con estos movimientos de arriba hacia abajo el estudiante está buscando que le aparezca el letrero muy bien]
7.
(Por último el estudiante sigue realizando el mismo movimiento de arriba hacia abajo con el segmento en posición diagonal y de esta manera parece en su pantalla el letrero muy bien)
140
8.
(Se dirige a archivo, elije serie 3-3 y da abrir. Luego aparece la siguiente pantalla.)
9.
(El estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor en forma circular pone el segmento en posición vertical)
10.
(Luego toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor traslada el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego sin soltar el segmento empieza a hacer movimientos de derecha a izquierda hasta que en su pantalla aparece el letrero muy bien)
141
11.
(Se dirige a archivo, elige serie 3-4 y aparece el siguiente pantallazo.)
12.
(El estudiante toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia abajo, baja un poco el segmento, luego hace clic sobre el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia abajo intenta dejar el segmento paralelo al lado AB del triángulo rojo.)
13.
(Seguidamente toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia arriba sube el segmento y lo deja en el espacio que hay entre los dos triángulos)
142
14.
Continua tomando el extremo N del segmento y moviendo el cursor empieza a cambiar la posición del segmento dejando el extremo M quieto. [El estudiante toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor mueve el segmento hacia diferentes direcciones, pero dejando siempre quieto el extremo M] (El estudiante dejando estático el extremo M del segmento (Luego tomando el extremo N del segmento y dejando el extremo M estático posiciona el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos.
(Ahora toma el segmento desee el extremo M y moviendo el cursor mueve el segmento hacia diferentes lugares manteniendo el extremo N del segmento estático)
143
(Por último toma el segmento desde el centro y moviendo el cursor posiciona el segmento en otro lugar entre el espacio que hay entre los dos triángulos)
Por último deja estático el extremo N del segmento, toma el extremo M y empieza a mover el cursor suavemente de derecha a izquierda hasta que en su pantalla apare ce el letrero muy bien.) [En esta serie el estudiante posiciona en dos lugares diferentes el segmento dentro del espacio que hay entre los dos triángulos para poder llegar a encontrar la simetría ]
15.
(Estudiante se dirige a archivo elige abrir y selecciona serie 3-5 y aparece el siguiente pantallazo)
144
(Toma el segmento desde su extremo M y moviendo el cursor hacia arriba deja el segmento en posición vertical, luego tomándolo desde su centro y moviendo el cursor hacia la derecha pone el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos manteniendo la verticalidad)
(Toma el segmento desde su centro y moviendo el cursor hacia la izquierda, mueve el segmento un poco a la izquierda sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, continua tomando el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha deja el segmento en posición diagonal ) [Puede que el estudiante esté intentando dejar el segmento paralelo al lado A*B*]
145
(Luego toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia la izquierda traslada el segmento un poco hacia la izquierda) (Continuando toma el extremo N del segmento y dejando estático el extremo M mueve el cursor de derecha a izquierda)[A aparentemente busca que aparezca el letrero muy bien con estos movimientos mencionados anteriormente]
(Toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia diferentes posiciones traslada el segmento y luego suelta el cursor sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos) [El estudiante toma el segmento desde su centro e intenta trasladarlo si salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, pero lo que hace es tomarlo y soltarlo aparentemente buscando que aparezca el letrero muy bien]
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[La profesora interviene, busca en el computador el grabador de voz, lo activa y le pregunta al estudiante Como hace para encontrar el espejo entre los dos triángulos] [Estudiante responde, miro los dos triángulos como están y calculo donde poner el segmento ….. pero lo contrario, yo miro los dos triángulos pongo el segmento y muevo así despacito hasta que me aparezca el muy bien ] [Profesora pregunta, a encontrado alguna relación para poderlo hacer o algo que le indique como hacerlo o una pista.] Estudiante se queda callado y dice que el segmento debe ponerlo entre los dos triángulos siempre Profesora dice, eso es importante eso es lo que debería estar anotando, si encuentra algo más que este teniendo en cuenta anótelo. (Por último el estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor hacia la izquierda y dejando estático el otro extremo, en su pantalla aparece el letrero muy bien)
147
16.
(El estudiante se dirige a archivo, elige abrir y selecciona la serie 3-6 y aparece el siguiente pantallazo)
17.
(El estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor hacia abajo, lo posiciona en el espacio que hay entre los dos triángulos) (Toma el segmento desde su parte central y mueve el cursor de arriba abajo sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos) [El estudiante aparentemente intenta encontrar el muy bien a partir de tomar el segmento desde su centro y mover el cursor de arriba para abajo]
18.
(El estudiante se dirige a archivo, elige nuevo y selecciona nuevamente serie 3-6) [El estudiante reinicia la actividad 3-6]
148
19.
(Toma el segmento desde su centro y trasladándolo en la posición que se encuentra al espacio que hay entre los dos triángulos, luego toma el extremo M del segmento y modifica la posición como se muestra en la imagen) [Aparentemente intenta dejar el segmento paralelo al lado AC del triángulo rojo]
20.
(Continua moviendo tomando los extremos del segmento y moviéndolos aleatoriamente) [El estudiante toma los extremos del segmento y empieza a moverlos sin un orden o idea aparente de cómo llegar a completar la tarea, es decir busca desesperadamente encontrar el muy bien] De esta manera finaliza el video 3 sin mover los triángulos [El estudiante no alcanza a finalizar la serie 3-6 y se inicia a continuación la puesta en común]
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Actividad 3 (Puesta en Común)
1.
(Se inicia el video con la cámara enfocando el tablero, el cual tiene las dos tareas a cumplir)
2.
Profesora: Escriban segunda tarea, entre paréntesis 3-7. Construir un segmento de modo que represente el espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde.
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3.
Profesora: Entonces, primero vamos a retomar lo que ya trabajaron en la serie 3-1 a la 3-6. Profesora: Si miramos los dos triángulos que se encuentran en el tablero quien vendría y me ubicaría un segmento de tal forma que me represente el espejo entre los dos. Como hay varios voy a mirar la lista y pasa Carol Estefanía.
4. Carol Estefanía
(Pasa Carol Estefanía al tablero y dibuja con el marcador un segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos) Profesora: Miremos que ella va a trazar un segmento y luego nos va a describir que hizo Profesora: ¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento? o ¿Cuándo movieron el segmento que hicieron? Profesora: Pregunta a Carol: ¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento? Carol: Teníamos en cuenta que los triángulos quedaran casi juntos y ubicar el segmento al pie de ellos.
151
5.
(La profesora se dirige a archivo y elige la serie 3-1 y aparece el siguiente pantallazo)
6. Carol Estefanía
Estudiante: Sin mover los triángulos. Profesora: Correcto sin mover los triángulos Estudiante: Profe hay es fácil pues tienen los cuadritos del tablero eso les ayuda resto Profesora: Llama al número 12 de la lista, la cual es Ángela, Aquí Ángela a hacer lo siguiente va a ubicar el segmento de tal manera que le aparezca el muy bien, y vamos a ver si coincide con el que dibujo Estefanía.
7. (Ángela toma el mouse y empieza a ubicar el segmento, hasta que en la pantalla aparece el letrero muy bien) Profesora: Bueno ¿Que podemos decir del segmento que trazo Estefanía? Estudiantes: Que esta re mal
152
8.
(Mientras la profesora habla se mantiene la misma imagen en el tablero) Profesora: Llama al estudiante 4 de la lista el cual se llama Rubén Profesora: Rubén cuéntenos que paso con la línea que hizo Estefanía. ¿Representa el espejo? Estudiante: Esta mal hecha Rubén: No Profesora: Rubén ¿por qué el segmento que hizo Estefanía no representa el espejo? Rubén: Porque no Profesora: Por qué no, no me es suficiente Rubén: No se explicar Profesora: Bueno entonces les devuelvo la pregunta ¿Ustedes como hicieron, o que tuvieron en cuenta para ubicar el segmento? Rubén: El triángulo rojo Profesora: ¿Y que tuvieron en cuenta del triángulo rojo?
153
Rubén: La forma en como estaba Profesora: Solo eso, ósea con eso ya les aparecía el muy bien Rubén: Y pues la mitad entre los dos triángulos Profesora: Vamos a seguir analizando otra persona
9.
Profesora pide a un estudiante que ponga la serie 3-2 (Estudiante se dirige a archivo y elige serie 3-2 y aparece el siguiente pantallazo)
10. Eduard
(Profesora pone la serie 3-2 y llama al número 28 de la lista llamado Eduard) Profesora: Y con el marcador va a poner donde queda el segmento (Eduard pasa al tablero y dibuja un segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos)
154
11.
Profesora: ¿Cuál es la mitad de 28? Estudiantes: 14 Profesora: Entonces el 14 viene y me ubica el segmento con el mouse. (Un estudiante toma el mouse y pone el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos y lo acomoda hasta que le aparece el letrero muy bien) Profesora: ¿Qué podemos decir del segmento que ubico Eduard? Estudiante: Le quedo casi bien Profesora: Podemos decir que se aproximó mucho Profesora: ¿Bueno Eduard, cuéntenos que tuvo en cuenta para ubicar el segmento en ese lugar?
12.
Eduard: Tuve en cuenta la punta de estos triángulos va a la mitad. [El estudiante señala los vértices B y B* de los respectivos triángulos] La punta de los triángulos tiene una mitad que en ella se debe colocar Profesora: Todos están de acuerdo con lo que acaba de decir Eduard Estudiantes: Si, si señora Eduard: Aquí hay unas puntas y en la mitad de esas dos siempre debe ir
155
una línea recta, según el ángulo que tengan los triángulos [Señala los vértices B y B* de los triángulos con el fin de explicar a sus compañeros]
13.
[El estudiante señala tanto los vértices del triángulo como las hipotenusas de los mismos, es decir él tuvo en cuenta los vértices B y B* y la inclinación que tenían las hipotenusas de los triángulos para ubicar el segmento] Profesora: Eduar está diciendo que él tuvo en cuenta la mitad entre esas dos puntas. Profesora: ¿Cómo se llaman esas dos puntas? Estudiantes: Vértices Profesora: Entonces el segmento va entre las puntas del vértice. Profesora: ¿Cómo pueden calcular esa mitad? Estudiantes: Viendo los vértices y entre los dos ahí.
14. (Profesora se dirige a archivo y elige la serie 3-7 y parece el siguiente pantallazo) Profesora: Resulta que en la tarea dos ya no me dan el segmento. Dice la tarea dos que debemos ubicar un segmento entre estos dos triángulos
156
que represente el espejo.
15.
Profesora: Acá vemos una serie de herramientas, entonces la herramienta que vamos a utilizar es esta tercera que dice SEGMENTO, y vamos a ubicar un segmento de tal forma que cumpla las condiciones que ustedes dijeron. Que sea el espejo entre los dos triángulos. Bueno ¿Pero será que con eso ya es suficiente para que me quede en la mitad? Estudiantes: No señora
157
16.
Profesora: Entonces miremos si yo mueve este punto ¿qué pasa? Estudiante: Se mueve el triángulo verde (Profesora toma el punto que esta entre la circunferencia y lo mueve, y al mover ese punto el triángulo verde se empieza a desplazar) Profesora: Bueno pero con eso no sabemos si ese segmento que do en la mitad cierto Estudiantes: no Profesora: En este caso lo que hay que hacer es lo siguiente: Como no sabemos si realmente ese segmento me representa el espejo
17.
(Profesora toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor de arriba hacia abajo traslada el segmento sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos) [Con el movimiento mencionado anteriormente la profesora explica que si mueve ya sea el segmento o los triángulos ya no quedaría el espejo y dice que para evitar eso van a usar una herramienta llamada punto medio]
158
18.
Profesora: Se debería mover el segmento con los triángulos Profesora: ¿Y punto medio entre que lo voy a hacer? Estudiantes: Entre los dos triángulos Profesora: ¿Y para hacerlo como debo hacer? , entre los dos vértices. (La profesora se dirige a herramientas y elige punto medio, luego hace clic sobre el vértice B del triángulo rojo y clic sobre el vértice B* del triángulo verde y parece un punto entre los vértices B y B*que selecciono) Y pregunta: ¿Con un solo punto será suficiente? Estudiantes: Si Estudiante: Si ahora solo es poner la línea encima, el segmento encima.
19.
Profesora: Necesitamos otro por acá, voy a ubicar otro por acá, ósea puntos correspondientes. [La profesora toca cada uno de los vértices correspondientes y usando la herramienta punto medio crea 3 puntos en el espacio que hay entre los dos triángulos] (Profesora se dirige a herramientas elige segmento y usando los 3 puntos mencionados anteriormente pasa el segmento por los tres)
159
20.
(La profesora selecciona el punto que esta sobre la circunferencia y lo mueve, mientras hace este movimiento) Profesora: ¿Qué pasa con ese segmento? Estudiantes: Se mueve junto con el triángulo verde Profesora: Voy explicando 3 herramientas, una para hacer el segmento, otra para hacer el punto medio, pero yo voy a comprobar también si realmente ese segmento me da la simetría del triángulo, entonces voy a buscar una que dice simetría axial, entonces señalo este triángulo y este segmento y me sale otro triangulito, efectivamente si me cambio de color es porque es simétrico. Eso quiere decir que me quedo bien el segmento.
160
21.
(La profesora se dirige a herramientas y elige simetría axial, luego selecciona el triángulo rojo y el segmento, y al hacer estos dos movimientos , aparece un triángulo de color vino tinto sobre el triángulo verde) Estudiante: ¿Si cambia de color es porque quedo bien? Profesora: Exacto Profesora: La próxima clase ustedes van a hacer la construcción De esta manera termina la puesta en común y la serie 3-7
161
Transcripción literal de la actividad 4
1. Imagenes Cita textual
2.
Convenciones
3.
Primer pantallazo
4.
Estudiante: Considerando que la recta representa un espejo, mover el triángulo verde hasta ser el reflejo del triángulo rojo por ese espejo (Toma el vértice B y desplaza el triángulo hacia la derecha, luego toma el vértice A gira el triángulo en sentido anti horario)
5.
( Toma el vértice B y mueve hacia abajo el triángulo) [Aparentemente el estudiante intenta dejar el triángulo verde a la misma distancia del triángulo rojo con respecto a la recta.] Estudiante: Por ahí yo creo
162
6.
(Selecciona la herramienta punto y dibuja un punto sobre la recta)
7.
(Selecciona la herramienta distancia y longitud y mide desde el vértice B del triángulo verde hasta el punto construido sobre la recta, y aparece el valor 2.55 cm. Enseguida hace clic en el vértice B* y en el punto que construyó sobre la recta aparece el valor 2.59 cm) Estudiante 2: Uyyy por 4
8.
Estudiante 2: Venga le ayudo [Posiblemente el estudiante 2 toma el mouse] (Toma el vértice B y mueve el triángulo hacia abajo) [Como ya tienen las medidas de las distancias buscan que las distancias sean iguales] Estudiante1 : Noooo queda 58 59
163
9.
Estudiante2 (Dibuja un segundo punto sobre la recta y luego traza un segmento desde A hasta el punto sobre la recta, luego desde A* hasta el mismo punto sobre la recta. Enseguida traza un segmento desde B hasta el primer punto sobre la recta, luego desde B* hasta este mismo punto)
10.
(Mide las distancias entre esos puntos 2,40cm y 2,61cm)
11.
(Toma el vértice A y gira el triángulo hasta que las medidas coinciden)
164
12.
Estudiante 1: Profe mire [Estudiantes charlan acerca del problema pero la profesora está dando indicaciones del trabajo al mismo tiempo por tanto no se escucha lo que dicen los estudiantes]
13.
Estudiante 1 ( Mueve el computador y lo desenfoca de la pantalla) Estudiante1: se borró, será que no guardo eso Estudiante 2: Toca abrirlo otra vez (Los estudiantes abren de nuevo la serie 4-1 y es la imagen que se presenta)
14.
Estudiante 2: Ahora yo. Usted ya hizo mucho. (Toma el vértice A y rota el triángulo.)
15.
Profesora: Dibujan la figura 4-1 y cómo la hicieron, escriben aquí qué estrategias utilizaron para la solución y qué encontraron ¿vale?
165
16.
(Toma el vértice B y baja el triángulo)
17.
(Toma el vértice B y traslada el triángulo de tal manera que el lado AB quede superpuesto sobre la recta. Luego mueve el vértice A hasta ponerlo sobre la recta) Estudiante: Estoy mirando para que quede recto acá.
18.
(Toma el vértice B y sube el triángulo)
166
19.
Estudiante 2 (Selecciona la herramienta longitud, hace clic sobre el vértice B y luego en la recta. De la misma manera toma las medidas desde los vértices A, A* y B,B* hasta la recta)
20.
(Toma el vértice B y empieza a mover el triángulo hacia arriba, luego toma la medida del lado AB y aparece el número 2.12cm) [Aparentemente intenta que las medidas que hay entre la recta y los vértices del triángulo rojo sean las mismas que entre la recta y los vértices del triángulo verde] [Como tenia seleccionada la herramienta distancia, al hacer clic sobre el vértice B mide la longitud del lado AB]
21.
Estudiante 1: Casi. Le queda más subido aquí un lugar
167
22.
(Mueve el vértices A hasta que las medidas quedan iguales) [Sin embargo no aparece el “muy bien”]
23.
(Mide la distancia del vértice C del triángulo verde hasta el vértice C* del triángulo rojo).
168
24.
(Selecciona la herramienta simetría axial y hace clic en el triángulo verde y luego en la recta) Estudiante 1: Desde el punto no, que desde el punto no. (Aparece un triángulo verde sobre el triángulo rojo). Estudiantes: Uyyyyyyy casi un poquito que nos faltó. Estudiante 1: Profe ya nos quedó y ya usamos simetría axial y todo. Estudiante 2: Venga intentemos otra vez
25.
(Abren de nuevo la serie 4-1)
26.
(Rota el triángulo verde)
169
27.
Estudiante 1 (Toma el vértice B y baja el triángulo)
28.
Estudiante 1 (Toma la medida desde B hasta B*)
29.
Estudiante 1 (Mide la distancia de la recta al vértice B)
170
30.
(Selecciona la herramienta ocultar/ mostrar.) (Aparece en líneas punteadas el simétrico del triángulo rojo con respecto a la recta)
31.
(Tomando el vértice B mueve suavemente el triángulo verde hacia la izquierda) [Aparentemente intenta superponer el vértice B con el vértice correspondiente del triángulo punteado]
32.
(Deselecciona la herramienta ocultar/mostrar) (Mide la distancia de la recta a B*y de la recta a A*, enseguida toma la distancia de la recta a A y de la recta a B. Luego toma la medida entre B y B* y Ay A*, aparecen 6 medidas)
171
33.
(Mueve el vértice A hacia arriba, hasta que en su pantalla aparece el letrero “Muy bien”). Estudiante: Bueno ya acabamos, ahora dibujemos esto.
34.
(Abren la serie 4-2) (Posición inicial) [Discuten sobre quién desarrolló la primera serie y a quién le correspondería la segunda]
35.
Estudiante 1 (Dibuja un punto en la recta y mide la distancia que hay entre el punto y el vértice A del triángulo verde) Estudiante 2: Venga que encontré otra herramienta
172
36.
(Abren de nuevo la serie 4-2 ) (Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y aparece el simétrico del triángulo rojo en punteado)
37.
(Toma el vértice A y gira el triángulo, luego toma el vértice B y baja el triángulo hasta hacer coincidir el vértice B con el vértice correspondiente del triángulo punteado)
38.
(Toma el vértice A y gira el triángulo) (Un estudiante señala la pantalla) Estudiante 1: Toca que lo ponga acá [Aparentemente se refiere a que el lado AC del triángulo verde no coincide con el lado del triángulo punteado] Estudiante 2: Eso es solo como para medio ubicarlo
173
39.
(Toma la medida desde el vértice B del triángulo verde hasta la recta y la del vértice B* hasta la recta)
40.
Estudiante 1: Pero es que tiene que estar más lejos
41.
(Toma vértice B y sube el triángulo hasta que coinciden las medias)
174
42.
(Miden las distancias del vértice A a la recta y del vértice A* a la recta) (Dibujan un punto sobre la recta y miden la distancia desde el vértice A al punto sobre la recta y de A* hasta el punto en la recta)
43.
(Toma el vértice A del triángulo verde y moviendo primero hacia arriba y luego hacia abajo rotan un poco el triángulo hasta que es su pantalla aparece el letrero “muy bien”)
44.
[Serie 4-3 pantalla inicial]
175
45.
(Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y aparece el simétrico del triángulo rojo en punteado)
46.
(Toma el vértice B traslada el triángulo)
47.
(Rota el triángulo y lo superpone al triángulo punteado) [En la imagen es posible evidenciar que los estudiantes logran poner los vértices del triángulo verde sobre el triángulo punteado]
176
Serie 4-4
50. [El estudiante abre la serie 4-4, aparece el siguiente pantallazo]
48.
Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la recta y toman las medidas correspondientes a la distancia entre el vértice A y el punto sobre la recta y la distancia del vértice A* hasta el punto sobre la recta) Estudiante: Uyyy esta re lejos [Él estudiante hace referencia a que las medidas son bastante diferentes]
49.
(Toma el vértice B y mueve el cursor hacia abajo y mientras hace este movimiento aparece el letrero “muy bien” en su pantalla)
177
51.
Estudiante1 (Toma el vértice B y mueve el triángulo al otro semiplano)
52.
(Luego toma el vértice A y rota el triángulo )
53.
(Toma el vértice B y traslada un poco el triángulo hacia la derecha, luego toma el vértice A y modifica un poco la inclinación del lado AB del triángulo verde)
178
54.
Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la recta )
55.
(Toma la distancia desde el punto sobre la recta hasta el vértice A* y aparece la medida, luego toma la medida desde el punto sobre la recta hasta el vértice A y aparece la medida)
56.
(Toma el vértice B y moviendo el cursor suavemente un poco hacia abajo y luego hacia la izquierda, aparece el letrero “muy bien “ en su pantalla) [El estudiante hace uso de las medidas para ubicar el triángulo de tal manera que las medidas fueran las mismas y al hacer coincidir las medidas aparece el letrero “muy bien “ en su pantalla]
57.
[Los estudiantes repiten la serie 4-4, aparentemente la primera vez la realizó el estudiante 1, esta vez la realiza el estudiante 2]
179
58.
(Toma el vértice A y rota el triángulo)
59.
(Toma el vértice B y baja el triángulo)
60.
(Toma el vértice A y rota el triángulo) [Aparentemente el estudiante intenta sobreponer el lado BC sobre el B*C*]
61.
(Toma el vértice B y traslada el triángulo al otro semiplano) [Aparentemente el estudiante traslada el triángulo de manera que el lado BC quede paralelo al lado B*C*]
180
62.
Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la recta)
63.
(Toma la distancia entre el punto sobre la recta y B, luego entre el punto sobre la recta y B*)
64.
(Toma el vértice B y traslada el triángulo) [Aparentemente intenta que las medidas coincidan]
65.
(Abren de nuevo la serie 4-4)
181
66.
(Toma el vértice B y traslada el triángulo al otro semiplano)
67.
(Toma el vértice A y rota el triángulo)
68.
(Toma el vértice B y baja el triángulo)
69.
(Toma el vértice A y rota el triángulo)
182
70.
(Toma el vértice B y sube el triángulo)
71.
(Toma el vértice B y moviendo el cursor traslada la figura hacia arriba y mientras hace este movimiento aparece en su pantalla el letrero “muy bien”) Estudiante 2: Mire lo hice sin nada de nada
72.
[El estudiante al abre la serie 4-5, aparece el siguiente pantallazo]
183
73.
(Toma el triángulo verde desde el vértice A y moviendo el cursor rota el triángulo)
74.
(Mueve el vértice B hacia arriba) Estudiante 2 (Señala con su dedo) Estudiante 2: Está más lejos este que ese. [El estudiante 2 hace referencia a que el vértice A* del triángulo rojo está a una mayor distancia de la recta, que el vértice A del triángulo verde con respecto a la recta]
75.
(Dibuja un punto sobre la recta)
184
76.
(Toma la distancia entre el vértice B* y el punto sobre la recta, y entre el vértice B y el punto sobre la recta)
77.
(Vuelve a abrir la serie 4-5)
78.
(Toma el triángulo verde desde el vértice A y moviendo el cursor rota el triángulo)
185
79.
(Toma el vértice B del triángulo verde y lo mueve hacia abajo) [Aparentemente el lado AB queda paralelo al lado A*B*]
80.
(Baja el triángulo hasta cruzar el lado AB con la recta)
81.
(Toma el vértice A y lo gira hasta ponerlo sobre la recta) [Aparentemente intenta sobreponer el lado AB en la recta]
186
82.
(Enseguida toma el vértice B y sube el triángulo)
83.
(Dibuja un punto sobre la recta y toma la distancia entre el vértice B* y el punto sobre la recta, y entre el vértice B y el punto sobre la recta) (Luego toma el vértice B del triángulo verde y moviendo el cursor hace que las dos medias sean iguales)
84.
(Dibuja otro punto sobre la recta)
187
85.
(Mide la distancia entre el vértice A y el punto sobre la recta y la distancia entre el vértice A* y la recta) (Aparecen las medidas correspondientes) [El estudiante trató de medir la distancia entre el vértice A* y el punto sobre la recta pero no acercó suficientemente el puntero al punto de la recta. El software mostró el mensaje “a esta recta” pero el estudiante no lo leyó]
86.
(Toma el vértice A del triángulo verde y rota el triángulo hasta que las medidas son iguales)
87.
(Muestra los objetos ocultos) (Toma el vértice A y rota el triángulo) [Aparentemente el estudiante rota el triángulo con el fin de superponerlo al triángulo punteado] [Como no aparece el letrero “muy bien”, los estudiantes reinician la actividad]
188
88.
(Vuelven a abrir la actividad 4-5)
89.
(Rota el triángulo verde)
90.
(Muestra los objetos ocultos)
189
91.
Estudiante 2 (Toma el vértice B y baja el triángulo) Estudiante 1 (Hace uso de un metro) Estudiante 1: Déjelo quieto, déjelo quieto, ummm uno
92.
Estudiante2 (Baja el triángulo hasta dejar el vértice B sobre el vértice correspondiente del triángulo punteado)
93.
(Toma el vértice A y rota el triángulo) [Aparentemente intenta superponer el vértice A sobre el correspondiente en el triángulo punteado]
190
94.
(Haciendo este movimiento aparece el letrero “ muy bien”) Estudiante 2: Listo profe, mire encontramos una herramienta que nos dice donde tiene que poner los triángulos [La profesora conversa con los estudiantes pero no se entiende lo que dicen]
95.
[Los estudiantes abren la serie 4-6, les aparece el siguiente pantallazo]
96.
(Toma el vértice B del triángulo verde y moviendo el cursor traslada el triángulo hacia abajo)
97.
(Toma el vértice A y rota el triángulo)
191
98.
(Toma el vértice A y moviendo el cursor rota el triángulo, luego tomando el vértice B traslada el triángulo dejando cerca el lado AC a la recta) [Aparentemente el estudiante intenta dejar el lado AC del triángulo verde paralelo a la recta]
99. Profesora: Si algunos ya llegaron a la 4-6 ahora, van a hacer la misma tarea, pero ahora no van a mover el triángulo rojo, solo el verde. Estudiante: ¿Otra vez? Profesora: Si (Estudiantes abren la serie 4-1) Estudiante: jajajaja es que nosotros lo estábamos haciendo sin mover el rojo
192
