ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

PONENTE:

APLICACIONES DE LA DERIVADA

CICLO:

Ing. Diana A. Torres G.

OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010

BIMESTRE: II Bimestre

EXTREMOS DE UN INTERVALO

Definición de Extremos.- Sea f definida sobre un intervalo f que contiene a c: f(c) es el f(c) es el máximo demáximo de f en f en II si f(c) ≤ f(x) si f(c) ≤ f(x)

para toda x en Ipara toda x en I f(c) es el f(c) es el mínimo demínimo de f en f en II si f(c) ≥ f(x) si f(c) ≥ f(x)

para toda x en Ipara toda x en I

Los mínimos y máximos se conocen como valores extremos o extremos o mínimo absoluto o máximo absoluto.

EXTREMOS DE UN INTERVALO

Teorema del Valor Extremo: si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tiene un mínimo y un máximo en ese intervalo

EXTREMOS DE UN INTERVALO

Definición de extremos relativos: si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es:

1. Un máximo, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

2. Un mínimo, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

EJEMPLOEncontrar el valor de La Derivada en los Extremos Relativos:

3

2 )3(9)(

x

xxf

Definición de un número o punto críticoSea f definida en c. si f’(c)=0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico de f

Teorema: Los extremos relativos ocurren solo en números o puntos críticos:Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x = c, entonces c es un punto crítico de f.

Determinación de extremos en un intervalo cerrado

1. Se encuentran los punto críticos de f en (a,b)

2. Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b)

3. Se evalúa en f en cada punto extremo de [a,b]

4. El más pequeño de estos valores es el mínimo y el más grande es el máximo

EJEMPLO

Determinación de los extremos en un intervalo cerrado:

Determinar los Extremos de f(x) = 3x4 – 4x3 en el Intervalo [-1,2]

9

El Teorema de Rolle

Proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.Sea f continua en el Intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).Si

f(a) = f(b)

entonces existe al menos un número c en (a,b) tal que f’(c)=0

EJEMPLO

Ilustración del Teorema de Rolle

Encontrar las dos Intersecciones en x de

f(x) = x2 – 3x + 2

y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x

12

f’(3/2)=0 Tangente Horizontal

El Teorema del valor Medio

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el Intervalo Abierto (a,b) entonces existe un número c en (a,b) tal que

ab

afbfcf

)()(

)('

EJEMPLO

Determinación de una Recta Tangente

Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales que:

14

)1()4()('

ff

cf

Funciones Crecientes y Decrecientes

Definición de Funciones Crecientes y DecrecientesUna función es creciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2)

Una función es decreciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 > x2 implica f(x1) > f(x2)

Funciones Crecientes y Decrecientes

Criterio para las Funciones Crecientes y DecrecientesSea f una función que es continua ene l intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)1. Si f’(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f

es creciente en [a,b]2. Si f’(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f

es decreciente en [a,b]3. Si f’(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f

es constante en [a,b]

EJEMPLO

Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente

Determinar los Intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:

23

2

3)( xxxf

18

Cre

cien

te

Crec

ient

e Decreciente

Criterio de la Primera Derivada1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c,

entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).

2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).

3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni mínimo o máximo.

EJEMPLO

Aplicación del criterio de la primera derivada.

Encontrar los extremos relativos de

3/22 )4()( xxf

21Mínimo Relativo Mínimo Relativo

Máximo Relativo

Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada

Al localizar los Intervalos en los que f’ es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar donde la gráfica de f se curva hacia arriba o hacia abajo.

Definición de la ConcavidadSea f derivable en un Intervalo I. la gráfica es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el Intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ decreciente en el Intervalo

Teorema: Criterio de la Concavidad

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un Intervalo abierto I:

1. Si f’’(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.

2. Si f’’(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

EJEMPLO

Determinar la Concavidad

Determinar los Intervalos Abiertos en los cuales la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo

3

6)(

2 x

xf

25

f’’(x)> 0Cóncava

hacia arriba

f’’(x)> 0Cóncava

hacia arribaf’’(x)> 0Cóncava

hacia abajo

Puntos de Inflexión

Sea f una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c,f(c)), entonces este punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en ese punto.

Teorema: Punto de Inflexión

Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de entonces:

f’’(c)=0ó

f’’(c) no existe en x = c

EJEMPLO

Determinación de los Puntos de Inflexión

Determinar los Puntos de Inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x).

34 4)( xxxf

29

Puntos de Inflexión

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

Asíntotas Verticales

La recta Y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f si:

Lxfx

)(lim

Lxfx

)(lim

Teorema: Límites al Infinito

Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces:

Además, si xr se define cuando x < 0, entonces

0lim

rx x

c

0lim

rx x

c

EJEMPLO

Determinación del límite al Infinito

Encontrar el límite:

2

25lim xx

EJEMPLO

Determinación del límite al Infinito

Encontrar el límite:

1

12lim

x

x

x

y = 2 es una asíntota horizontal

Estrategia para determinar límites en ± ∞ de funciones racionales

1. Si el grado del numerador es menormenor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es 0.

2. Si el grado del numerador es igualigual que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes.

3. Si el grado del numerador es mayormayor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional no existe.

Ejemplos: Determinar cada límite

013

522lim

x

x

x

3

2

13

522

2

lim

x

x

x

313

522

3

lim

x

x

x

Análisis de la Gráfica de una Función

Estrategia para Analizar la gráfica de una Función

1. Determinar el Dominio y rango de una función

2. Determinar las intersecciones, asíntotas y simetría de la Gráfica

3. Localizar los valores de x para los cuales f’(x) y f’’(x) son cero o no existen.

Usar los resultados para determinar extremos relativos y puntos de inflexión

EJEMPLO

Dibujo de la Gráfica de una Función racionalAnalizar y Dibujar la Gráfica de f(x)

4

)9(2)(

2

2

x

xxf

40

Mínimo Relativo

Asíntota Horizontal

y = 2

Asíntota Verticalx = -2

Asíntota Verticalx = 2

Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos

Una aplicación del cálculo implica la Determinación de los Valores Máximo y Mínimo.

Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y Máximos

1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Elaborar dibujo.

2. Escribir una ecuación primaria3. Reducir la Ecuación Primaria a una que

tenga una sola variable independiente.4. Determinar el dominio admisible de la

ecuación primaria5. Determinar el valor máximo o mínimo

deseado mediante las técnicas de cálculo.

EJEMPLODeterminación de la Distancia Mínima¿Qué puntos sobre la gráfica de y = 4 – x2 son más cercanos al punto (0,2)?

(x,y)d

Método de NewtonSea f(c) = 0, donde f es derivable en un intervalo abierto que contiene a c. Entonces para aproximar a c, se sigue:

1. Se efectúa una estimación inicial x1 que es cercana a c (Una gráfica es útil).

2. Se Determina una nueva aproximación

3. Si |xn – xn+1|esta dentro de la precisión deseada, dejar xn+1 sirva como la aproximación final. Sino volver al paso 2 y calcular una nueva aproximación (iteración)

)('

)(1

n

nnn xf

xfxx

EJEMPLOAplicación del Método de NewtonCalcular tres iteraciones del Método de Newton para aproximar un 0 de f(x) = x2 – 2

Utilizar x1 = 1 como la estimación inicial

xxf

xxf

2)('

2)( 2

n

nnn

n

nnn

x

xxx

xf

xfxx

2

2

)('

)(

2

1

1

46

n xn f(xn) f’(xn) f(xn)f’(xn)

xn -f(xn) f’(xn)

1 1.000000 -1.00000 2.00000 -0.50000 1.50000

2 1.500000 0.250000 3.00000 0.083333 1.416667

3 1.426667 0.006945 2.833334 0.002452 1.414216

4 1.424216

Diferenciales

Definición de Diferenciales Considerar que y = f(x) representa una

función que es derivable en un intervalo abierto que contiene a x

La diferencial de x (dx) es cualquier número real distinto de 0

La diferencial de y (dy) es

dxxfdy )('

Fórmulas Diferenciales

Sean u y v funciones diferenciables de x:

2:

][:Pr

][:

][:tan

v

udvvdu

v

udCociente

vduudvuvdoducto

dvduvuddiferenciaoSuma

duccudteConsMúltiplo

EJEMPLODeterminación de Diferenciales

y = x2

y = 2 sen x

y = sen 2x

y = 1/x

BIBLIOGRAFÍA

CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.

CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA

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