Você já ouviu falar na folha de papel A4? e nas demais presentes na imagem abaixo?

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Seção A1: Polígonos

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Nomeando polígonos Definição de polígonos: Polígonos são figuras geométricas planas limitadas por

segmentos de retas, chamados lados dos polígonos.

Este polígono é um triângulo. Ele apresenta:

- 3 lados que são segmentos de reta: BC, CA;AB,

- 3 ângulos internos: B e C ;A, ︿︿ ︿

- 3 Vértices: A, B e C.

Agora é a sua vez !

Sua tarefa é terminar de preencher a tabela a seguir com os nomes dos polígonos de acordo com a quantidade de lados. Utilize os nomes que estão no quadro ao lado da tabela.

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Exercícios

1) Entre os polígonos representados abaixo, indique aqueles que são:

a) hexágonos; d) decágonos; g) triângulos; b) quadriláteros; e) octógonos; h) heptágonos; c) pentágonos; f) dodecágonos; i) eneágonos.

2) Decomponha, quando possível, os polígonos dados em:

a) triângulos b) quadriláteros c) pentágonos; d) triângulos e quadriláteros.

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Seção A2: Ampliação e Redução

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Para o nosso método de ampliação/redução teremos que os segmentos começarão, e terminarão, no vértice de algum quadrado da malha. Nos próximos anos aprenderemos algumas técnicas que nos permitirão ampliar, e reduzir, figuras sem o auxílio da malha quadriculada(mas com o uso de um compasso).

Antes de trabalharmos com figuras mais complexas, vamos ver como ampliar

segmentos de reta. Vejamos um caso em que duplicamos os segmentos: Para os segmentos verticais e horizontais precisamos apenas duplicar seu

comprimento. Usando a malha quadriculada isso fica simples.

Para os demais segmentos, faremos o seguinte: Dado o segmento que iremos

duplicar, pegamos suas extremidades e traçamos linhas verticais e horizontais. Perceba que um retângulo será formado:

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Tomamos o retângulo formado, e duplicamo-os.

Veja, esse retângulo é formado apenas por segmentos verticais e horizontais. Já sabemos como duplica-los.

Agora, basta tomar a diagonal desse novo retângulo. Pegamos a que tem a mesma

orientação do segmento que desejamos duplicar.

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Agora é sua vez! Na figura abaixo, tente:

1) Duplicar o segmento AB. 2) Triplicar o segmento CD. 3) Construir a terça parte do segmento EF.

Mas, e se tivermos uma figura que seja mais do que uma simples reta, o que devemos

fazer?

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A resposta é simples: Devemos dividir nossa figura em vários segmentos de reta, e fazer o que acabamos de aprender. Veja nesse exemplo como é fácil.

Vamos reduzir a figura a seguir pela metade, ou seja, dividi-la por 2.

Vamos dividir essa figura em 5 segmentos de reta: AB, BE, ED, DC e CA.

Escolhemos um segmento de reta qualquer para começar nossa redução. Começaremos com o segmento de reta BE, construindo o segmento de reta B'E' de comprimento igual à metade do comprimento do segmento de reta BE.

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A partir do ponto E', traçaremos o segmento de reta E'D' correspondente à metade do comprimento do segmento de reta ED, e depois o segmento de reta D'C' correspondente à metade do comprimento do segmento de reta DC(note que ainda temos as linhas que nos auxiliaram à construção de D'C').

Agora traçaremos o segmento de reta C'A' correspondente à metade do comprimento do

segmento de reta CA, e depois o segmento de reta A'B' correspondente à metade do comprimento do segmento de reta AB, ainda com as retas auxiliares.

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Agora, podemos apagar as retas auxiliares e teremos a figura reduzida que desejávamos.

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Seção A3: Semelhança

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Exercícios:

1) Verifique se os dois triângulos abaixo podem ser semelhantes, isto é, se os ângulos correspondentes são iguais. Em caso afirmativo, diga qual deve ser a medida que falta para que estes triângulos sejam semelhantes.

2) Utilizando a malha quadriculada abaixo, amplie o quadrilátero ABCD, obtendo um outro quadrilátero EFGH semelhante. O ponto E já foi colocado para te ajudar, ele é o correspondente do ponto A.

3) É possível reduzir o quadrilátero ABCD e obter um outro quadrilátero semelhante ? Em caso afirmativo, faça isso na malha.

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E a folha A4? O que ela tem a ver com a semelhança de polígonos? A folha A4 tem uma medida muito especial: Quando se corta a folha A4 pela metade no lado

maior, você terá duas folhas idênticas que são semelhantes à folha A4 original; essas folhas resultantes da dobra da folha A4 são chamadas de folha A5:

Então, fica fácil perceber que a folha A6 é a folha A5 cortada ao meio; dizendo de outra

forma, a folha A6 é uma redução da folha A5, na razão de ½. Da mesma forma, a folha A3 é uma ampliação da folha A4, na razão de 2.

Assim, para transformar uma figura de um pôster em formato A4 para o formato A3 é muito

fácil: basta fazer uma ampliação em razão 2, já que as folhas destes formatos são semelhantes entre si nesta razão, sem risco da figura ficar “esticada” ou “comprimida”.

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Seção A4: Paralelismo

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Exercícios

1) A figura abaixo é uma ilustração de um campo de futebol. Em grupos, escreva quais são os elementos que estão representados na ilustração. dica: a grande área é um destes elementos. depois disso, diga se podemos localizar linhas paralelas na ilustração e, em caso afirmativo, quais são.

2) Joaquim é um estudante novo na Escola Municipal de Ensino Fundamental (E.M.E.F) Jean Mermoz. Sua professora pediu para ele localizar todas as ruas que são paralelas entre si. Forme um grupo com outros colegas e ajude Joaquim nesta tarefa.

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Seção A5: Concorrência

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Exercícios

1) Abaixo o alfinete vermelho representa uma localização no centro de Belo Horizonte - MG. Diga quais das ruas abaixo são concorrentes.

2) Sabrina fez uma busca no google maps e, ao ampliar a imagem, obteve o resultado abaixo. Podemos dizer que a rua Pamplona e a Alameda Rio Claro são concorrentes ? e as ruas Dr Seng e Rocha ? Diga quais outras ruas são concorrentes e compare os resultados com os de seus colegas.

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Seção A6: Perpendicularismo

Duas retas concorrentes que formam entre si ângulos retos são chamadas retas

perpendiculares.

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Exercícios

1) Lembra do campo onde você localizou as linhas paralelas ? Será que neste mesmo campo existem também linhas perpendiculares ? Se houver, diga quais são.

2) Com sua ajuda Joaquim conseguiu localizar todas as ruas paralelas presentes no mapa que a professora passou para ele. Vendo o sucesso de Joaquim, a professora pediu para que ele localiza-se agora as ruas perpendiculares. Ajude Joaquim novamente.

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Seção A7: Ferramentas Como podemos usar régua e compasso para construir retas perpendiculares e paralelas? No seu conjunto escolar, você tem duas ferramentas que podem ser usadas para construir qualquer reta paralela e perpendicular que precisar: a régua e o compasso. Vamos ver primeiro como construir a reta perpendicular:

1) Comece decidindo a primeira reta (na figura, a reta “t”) e um ponto pelo qual a sua reta perpendicular vai passar; vamos chamar este ponto de R.

2) Coloque a ponta seca do compasso em R, e abra o compasso o suficiente para a sua abertura ser maior que a distância entre o ponto R e a sua reta t

3) Mantendo esta abertura, trace os pontos P e Q na reta t

4) Ainda com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso em P, e trace um arco abaixo da linha; faça o mesmo para Q. Os arcos devem ser grandes o suficiente para se cruzarem; chame o cruzamento deles de O

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5) Por fim, trace a reta s que passa por R e por O; esta reta será perpendicular à reta t.

Discussão: Por que a reta encontrada deste jeito é sempre perpendicular à reta t? (Dica: Qual o polígono formado pelos pontos P, R, Q e O? O que as retas perpendiculares representam neste polígono?). Para as retas paralelas, a técnica é muito parecida:

1) Comece decidindo a primeira reta (na figura, a reta “t”) e um ponto pelo qual a sua reta paralela vai passar; vamos chamar este ponto de R.

2) Coloque a ponta seca do compasso em R, e abra o compasso o suficiente para a sua abertura ser maior que a distância entre o ponto R e a sua reta t

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3) Faça um grande arco que cruza a reta t no ponto J

4) Com a mesma abertura, coloque a ponta seca em J, e cruze a reta no ponto E.

5) Ainda mantendo a mesma abertura, coloque a ponta seca em E, e cruze o arco maior que fizemos no começo, marcando o ponto S

6) Aí, é só marcar a reta que passa pelos pontos R e S; essa reta vai ser paralela à reta t.

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Discussão:

1) Por que a reta encontrada deste jeito é sempre paralela à reta t? (Dica: Qual o polígono formado pelos pontos R, S, J e E? O que podemos falar sobre os lados opostos desse polígono?)

2) Uma outra ferramenta para construir retas perpendiculares é o esquadro.

AGORA É SUA VEZ !

1) Utilize o esquadro para verificar que as retas construídas com régua e compasso são perpendiculares.

2) Será que é possível construir retas paralelas utilizando reta e esquadro ? Em caso afirmativo diga como se faz.

CURIOSIDADE: Um instrumento utilizado para ampliação de figuras é o pantógrafo, faça uma pesquisa e converse com seus colegas e com sua professora sobre os resultados encontrados.

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Referências Bibliográficas ANDRINI, Álvaro e VASCONCELLOS, Maria José, Praticando Matemática - 4 ed. renovada, São Paulo: Editora do Brasil, 2015 (Coleção praticando matemática; v. 6) ANDRINI, Álvaro e VASCONCELLOS, Maria José, Praticando Matemática - 4 ed. renovada, São Paulo: Editora do Brasil, 2015 (Coleção praticando matemática; v. 8) CRATO, Nuno, A Matemática das Coisas, São Paulo: Livraria da Física, 2009 DINIZ, Maria Ignez de S.V. e SMOLE, Kática Cristina S., O conceito de ângulo no ensino de geometria, São Paulo: CAEM-IME USP, 2002 OCHI, Fusako H., PAULO, Rosa M., YOSHIDA, Joana H. e IKEGAMI, João K., O uso de quadriculados na geometria, São Paulo: CAEM-IME USP, 2002

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