Valor Absoluto
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VALOR ABSOLUTO
Universidad CentroccidentalLisandro AlvaradoDecanato de Administración y ContaduríaM.Sc. Jorge E. Hernández H.
VALOR ABSOLUTO
En esta clase vamos a presentar un nuevo concepto que tiene su origen en la geometría clásica, cuando medimos una distancia. Para
ciertos aplicaciones de la ciencia necesitamos valores numéricos representativos de la cantidad.
VALOR ABSOLUTO
Contenido de la Presentación
Definición de Valor AbsolutoPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades con valor absolutoEjerciciosFin de la Presentación
VALOR ABSOLUTO
Definición de Valor Absoluto.
Dado un número real x cualquiera, el valor absoluto de éste es un nuevo número definido de la siguiente forma:
⎩⎨⎧
<−≥
=0x,x0xx
x si si ,
A veces es común encontrar lossiguiente
2xx =
VALOR ABSOLUTO
Definición de Valor Absoluto.
Hagamos una interpretación de ladefinición dada.El símbolo | . | representa la noción devalor absoluto del contenido que estádentro de las barras.
Este valor absoluto será el mismo queestá dentro de las barras cuando seapositivo o cero, y será el mismo valormultiplicado por -1 cuando seanegativo.
VALOR ABSOLUTO
Definición de Valor Absoluto.
De acuerdo a esta definición, veamosque número es
Respuesta: Según la definición es lo que está,exactamente, dentro de las barras, si es mayoro igual a cero, ó lo que está dentro de lasbarras multiplicado por si es menor que cero:
3 −x
⎩⎨⎧
<−−−≥−−
=−03x),3x(03x3x
3x si si ,
VALOR ABSOLUTO
Propiedades del Valor Absoluto.
Para cualesquiera números reales x,yse cumplen las siguientespropiedades:
0 , )
.. )
)
0 )
≠=
=
+≤+
≥
yyx
yxd
yxyxc
yxyxb
xa
VALOR ABSOLUTO
Desigualdades con Valor Absoluto.
De importancia fundamental para laresolución de desigualdades convalor absoluto son las siguientes:
axaxaxd
axaxaxc
axaaxb
axaaxa
−≤≥⇔≥
−<>⇔>
<<−⇔≤
<<−⇔<
ó )
ó )
)
)
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
Resolver:
.25x ≤−
Solución: Leyendo la expresión dadaencontramos una forma que contiene elsímbolo menor o igual, entonces, paraencontrar una desigualdad equivalente sin lasbarras de valor absoluto usamos la parte a) delas propiedades anteriores:
25x225x ≤−≤−⇔≤−
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
La solución a esta inecuación la encontramosresolviendo las siguientes:
7y 3 52y 5225y 52
≤≤+≤≤+−≤−−≤−
xxxxxx
Cuyas soluciones son
[ ) ( ]7,y ,3 ∞−∈∞∈ xx
Solución General: [ ]7,3 ∈x
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
Resolver:
.1 2 3 ≥−x
Solución: Leyendo la expresión dadaencontramos una forma que contiene elsímbolo mayor o igual, entonces, paraencontrar una desigualdad equivalente sin lasbarras de valor absoluto usamos la parte c) delas propiedades anteriores:
12x312x312x3 −≤−≥−⇔≥− ó
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
La solución a esta inecuación la encontramosresolviendo las siguientes:
3/1 ó 1 213 ó 213123 ó 123
≤≥+−≤+≥−≤−≥−
xxxxxx
Cuyas soluciones son
[ ) ( ]3/1, ó ,1 ∞−∈∞∈ xx
Solución General: ( ] [ )∞∞−∈ ,13/1, ∪x
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
Resolver:
1 2 3 +≤− xx
Solución: Usaremos la definición segunda devalor absoluto
( ) ( )( ) ( )
124129123
123
1 23
22
22
22
++≥+−
+≥−
+≥−
+≥−
xxxxxx
xx
xx
VALOR ABSOLUTO
Ejercicios con Valor Absoluto.
03148124129
2
22
≥+−
++≥+−
xxxxxx
Factorizando:
( )( ) 03214 ≥−− xx
Usando Sturm:
( ] [ )∞∞−∈ ,3/24/1, ∪x
VALOR ABSOLUTO
Fin de la Presentación
Gracias por la atención prestada.
M.Sc. Jorge E. Hernández H.