van Frassen

INFORME SOBRE LOS CONDICIONALES

BasC. van FraassenUniversidad de Toronto

EL PROPSITODEC. l. LEWISera desarrollar una teora axio-

mtica de los condicionales. El resultado fue la lgica mo-dal, en la que(Si A, entonces B)se trata como equivalentea .Necesariamente (no A o B).Durante los aos cuarenta,los escritos deN. Goodman y R. Chisholm sobre condicio-nales subjuntivo s y contrafcticos demostraron los lmitesde aquel tratamiento. Sin embargo, fue slo en los aos 60cuando se desarroll una nueva lgica de condicionales quese ajustase a la tratada por Goodman y Chisholm. Este ar-tculo es un breve informe sobre las principales aportacionesal respecto. Los nmeros entre parntesis cuadrados hacenreferencia a la bibliografa. En la ltima seccin har algu-nas especulaciones sobre futuros desarrollos.

l. Condicionales Estrictos y Contrafcticos

El paradigma utilizado por C. l. Lewis era ste: el con-dicional(Si A, entonces B)es verdadero si y slo si el argu-mento(A; por tanto B)es vlido. Utilizar el smbolo -+como conectiva condicional, & para "y" y /"8Jpara "no". Elsmbolo 1- denota la relacin lgica Al, ...,An 1- B exacta-mente si el argumento de las premisas Al, ...,An a la con-clusin B es vlido. El paradigma requiere entonces lossiguientes principios para la lgica de condicionales:

Modus Ponens:Debilitamiento:Transitividad:

~A-+B~BA-+B~~&N-+BA-+~B-+C~A-+B

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6 Informe sobre los condicionales

Si un condicional obedece estos principios lo llamar condi-cionalestricto.

Goodman y Chisholm sealaron que muchos condiciona-les en el lenguaje natural no obedecen al principio de Debi-litamiento [2, 4]. Por ejemplo, podemosafirmarque unacerilla se encendera si se frotase, y, sin embargo,negarque,si esa cerilla estuviese mojada y se frotase, se encendera.Este ejemplo depende de la circunstancia de tener un an-tecedente falso en al menos uno de los condicionalesinvolucrados. De acuerdo con ello, Goodman llam a esteproblelna el problema de loscondicionales contrafcticos(brevemente,contrafcticos).

Si un condicional no obedece el principio de Debilita-miento, puede tan1bin violar el de Transitividad. Por ejem-plo, yo afirmo que, si la polica tuviese que arrestarme porasesinato, yo sera injustamente arrestado (A-+B). Tambindebo adlnitir que, si la polica tuviese un testigo fidedignoque me acusase de asesinato, entonces me arrestaran porasesinato (C-+A). Pero no puedo concluir, ciertamente, que,si la polica tuviese un testigo verdadero, yo sera injusta-mente arrestado. As que tambin falla la Transitividad. Sinembargo, el Modus Ponens se mantiene para todos los con-dicionales.

2. La Semntica de la LgicaModal

Gracias a los trabajos de Kanger, Hintikka, Kripke, Mon-tague y Scott, hemos conseguido una aproximacin semn-tica general a la lgica, a menudo referida como una aproxi-macin a los "mundos posibles". Uno de los primeros logrosde esta aproximacin fue proporcionar un tratamiento siste-mtico y unificado de las diversas teoras axiomticas decondicionales estrictos debidas a C. 1. Lewis. Tambin tuvolugar gracias a esta aproximacin, la eventual acomodacinde los condicionales contrafcticos. Dado que esta aproxi-Inacin, siendo la misma, se presta a diferentes formulacio-nes, la recapitular aqu brevemente, de una forma espe-cfica.

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Informe sobre los condicionales

Un lenguaje est constituido por una sintaxis y una se-mntica. La sintaxis consiste en una definicin del vocabu-

lario y de las diversas categoras gramaticales; por ejemplo,el conjunto de sentencias. La semntica es una especificacinde un conjunto demodelos,y de cmo debe serinterpre-tada la sintaxis en estos modelos. Cada modelo comprendeun conjunto bsico K, a cuyos miembros se hace referenciacomo "mundos posibles". Los conjuntos de mundos posiblesse l]aman "proposiciones", por razones que explicar des-,pues.

Un modelo M comprende, adems de un conjunto K demundos posibles, tambin otras varias entidades definidascon referencia a K. Las ms usuales son: una familia F de

"proposiciones significativas", varias operaciones sobre pro-posiciones y varias relaciones entre mundos posibles. Porejemplo, puede haber una relacin R de "acceso" y unaoperacin D de "necesidad" relacionadas por:

DX ={x E K : para todo y en K, si xRy enton-ces y E X}

donde X es cualquier proposicin.Una interpretacinde la sintaxis es una funcin que

asigna a cada frmula bien formada una entidad definidasobre un modelo dado. Por ejemplo, si p es una interpreta-cin, entonces hay un modelo M tal que, para cualquiersentencia A, p(A) es una proposicin enM. Definimos laverdaden un modelo, en relacin a una interpretacin:

Una sentencia A esverdaderaen un mundo x (conrelacin a una interpretacin p y un modelo M) si yslo si xe p(A).

As pues, la proposicin "expresada" por una sentencia esidentificada como el conjunto de mundos posibles en losque la sentencia es verdadera.

Cuando cp es una conectiva sentencial, entonces existeuna operacin cpo sobre proposiciones que es "expresadapor" o "corresponde a" esa conectiva. Generalmente, utili-

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zamos uno y el mismo smbolo para denotar ambas, tantoa la conectiva como a la operacin correspondiente. Porejemplo, y para continuar con "necesidad", podemos insistiren que todas lasinterpretaciones admisiblessatisfacen la. ,ecuaClon:

P (DA) = D p(A)

la cual es equivalente a:

DA es verdad en el mundo x sii: para todos los mun-dos tales que xRy, A es verdad en y.

donde las variables x, y, fluctan sobre el conjunto demundos posibles en un modelo dado.

A una sentencia la llamaremosvlidaexactamente si esverdadera en todos los mundos de todos los modelos, enrelacin a todas las interpretaciones admisibles del lenguaje.Correspondientemente, decimos que Al, ..., Animplica se-mnticamentea B sii B es verdad en todos los mundos (entodos los modelos, en relacin a toda interpretacin admi-sible) en los que todos los miembros de la serie Al, ..., Anson verdaderos.

3. Un Lenguaje para Condicionales

El problema de la explicacin de los condicionales pue-de ser considerado ahora como el problema de la construc-cin de un lenguaje en el cual todos los principios lgicos~'correctos" son vlidos, y no otros. Correspondientemente,el problema de la lgica de condicionales consiste en axio-matizar el conjunto de sentencias vlidas (e implicacionessemnticas) en ese lenguaje. Lo que sean los principios l-gicos "correctos" debe, desde luego, establecerse indagandoqu patrones de inferencia son correctos en el lenguaje na-tural. As concebida, la tarea de la lgica no es normativa,sino descriptiva.

Como quiera que todava existe bastante desacuerdosobre los condicionales, se han propuesto varios lenguajes

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. Informe sobre los condicionales 9

diferentes para su anlisis (De idntica manera, C. l. Lewispropuso varias lgicas diferentes para condicionales estric-tos). Todos estos lenguajes tienen la misma sintaxis. Su vo-cabulario comprende un conjunto desentencias atmicas,laconectiva unaria- ("no")y las conectivas binarias & ("y")Y ~ ("si..., entonces..."). Las dems conectivas de funcionesde verdad V ("o"),::> ("si... entonces material") y== ("equi-valencia material") se definen, como de costumbre, en tr-minos de- y &.

Tambin, los modelos son, en cada caso, triplos M == < K, F,~ >, en donde K es un conjunto no vaco, Funa familia de subconjuntos de K (las "proposiciones signi-ficativas"), y~ una operacin binaria sobre subconjuntos deK. Precisar que~ se define slamente paraalgunosparesde proposiciones ("operacin parcialmente definida"). Encualquier clusula en la que ocurra una expresin de laforma "X~ Y", debe darse por supuesto que la operacin~se define para el par X, Y. Unainterpretacinp sobre unmodelo M= es una aplicacin de todas lassentencias dentro de F, de tal forma que:

p(- A) =K - p(A)p(A & B) =p(A) np(B)p(A ~ B) =p(A) ~ p(B)

(Si ~ no est definida siempre, entonces puede no haberninguna interpretacin sobre M. En tal caso, ese modelo nojuega ningn papel real en el lenguaje, y carece de relevan-cia para la lgica.)

Hay una restriccin sobre estos modelos que necesaria-mente debemos considerar si es que~ ha de llamarse unaconectiva "condicional". Esto sera as aun suponiendo querepresentase no ya implicacin condicional, sino, digamos,obligacin condicional o mandato. Teniendo en cuenta que,al presente, estamos haciendo lgica d~ una manera des-criptiva ms bien que normativa, llamar a esta restriccinuna hiptesis.

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Hiptesis O. En cualquier modelo M= , la ecuacin (X~ Y) =(X ~ . X n Y) es

vlida para todas las proposiciones X, Y (si sondefinidas).

En adelante, omitir la expresin "si son definidas" cuandoconvenga. La razn en favor de la hiptesis es que, unavez puesto el antecedente X, todos los mundos posiblesfuera de X se convierten en irrelevantes para la evaluacinde la proposicin condicional.

Una vez sentado lo anterior, podemos anotar los princi-pios lgicos bsicos que deben ir al comienzo de cualquierlgica de condicionales. Dar por supuesto que es familiarel uso de 1-.

Ll. Si Al, ..., An 1- B en lgica proposicional defunciones de verdad (para1'OoJ,&), entoncesAl, ..., An 1- B.

L2. Si 1- A ==B, entonces 1- (...A...)==(...B...)L3. (A ~ B) == (A ~ . A & B)

leAqu L3 responde claramente a la Hiptesis O., y Ll a lasclusulas que definen interpretaciones. Pero L2 es ms pro-funda: es una consecuencia del hecho de que las proposi-ciones expresadas por sentencias se identifican como con-juntos de mundos posibles, y todas las conectivas corres-ponden a operaciones sobre estas proposiciones. Porque, encualquier modelo tenemos:

p(A) =p(B) si y slo si p(A== B) =K

Por lo tanto, L2 traiciona los supuestos ms bsicos de nues-tra aproximacin.

En lo que sigue examinaremos otras hiptesis ofrecidaspor filsofos que trataron de los condicionales y sus conse-cuencias para la lgica.

4. La Hiptesis Ceteris Paribus

Goodman y Chisholm formularon la hiptesis de que loscontrafcticos comportan tcitamente una clusulaceteris

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Informe sobre los condicionales 11

paribus."Si esta cerilla se frotase, se encendera" se entien-de como "Si esta cerilla se frotase, yotras cosas se mantu-vieran igual, entonces se encendera." La palabraotrasserefiere a los hechos establecidos en el antecedente; as pues,no es sorprendente que no se mantenga el Debilitamiento.Esta explicacin fue ms detalladamente elaborada (peropara una clase restringida de condicionales) por WilfridSellars en [8] (ver tambin [16]).

Si esta hiptesis es correcta, entonces un condicionalcontrafctico es elptico para un condicional estricto: A~ Bes verdadero si y slo si O (A & Ao . ::> B) es verdadera,donde Ao expresa el contenido de esa oculta clusulaceterisparibus.Qu dice exactamente AO?Bien, si x es el mundoactual, entonces Ao es verdadera en un mundo y justo enel caso de que todos los hechos que prevalecen en x, y sonindependientes del valor de verdad de A, prevalecen tam-bin en y. Es claro que Ao es entonces verdadera al menosen x; pero eso es realmente todo lo que en general pode-mos decir sobre ello.

Una principal conclusin establecida por Goodman fuela de que no podemos dar receta alguna para descifrar elcontenido de esta clusulaceteris paribus.Sin embargo, sislo estamos interesados en la lgica, ello nos har conocersi el contenido de esta clusula es una funcin slo del an-tecedente, o tambin del mundo, o tambin del consecuente,y as sucesivamente. Establecer ahora la hiptesisceterisparibusen la forma fuerte en que fue aceptada por escri-tores posteriores.

Hiptesis l. (Hiptesis Ceteris Paribus)Hay en cadamodelo una funcin q sobre mundos y proposicio-nes tal quex E q(x, X) Y(X ~ Y) ={x EK : X nq(x,X) e Y}para mundos x y proposiciones significativas X eY, en ese modelo.

Ntese que q necesita ser definida slo en tanto que~ esdefinida.


iil~

Podemos leer q(x, X) como la proposicin expresada porla clusula tcitaceteris paribusde un condicional, evaluadaen un mundo x, teniendo de antecedente X. As pues,(A ~ B) es verdad en x exactamente si B es verdad en todoslos mundos y tales que:primero,A es verdad en y, ysegun-do, todos los hechos independientes de A que son ley en xprevalecen tambin en y.

Los principios de la lgica que son vlidos si afirmamoslas hiptesis anteriores, son, adems de L1- 3, tambin:

L4. Si~ A ::> B entonces~A ~ BL5. A, A ~ B ~ BL6. ~ [A ~ .B ::> C] ::> [A ~ B .::> .A ~ C]

Como ejemplo de una prueba semntica, verifiquemos lavalidez de L5 (ModusPonens).Supongamosque A y A~ Bson ambos verdaderos en un mundo x, en un modelo dadoM, y en relacin a una interpretacin dada p. Esto quieredecir que x E p(A) Y x E p(A~ B). Pero esto ltimo signi-fica que p(A)n q(x, p(A))S. p(B). Sabemos que x debetambin estar en q(x, p(A)), por la Hiptesis Ceteris Paribus.As resulta que x E p(A)nq(x, p(A)) y, por tanto, x e p(B).Generalizando, concluimos que, cuando quiera que A yA ~ B sean ambas verdaderas (en cualquier mundo, encualquier modelo, y en relacin a cualquier interpretacin),tambin lo es B.

Al sistema lgico axiomatizado por L1- L6, lo llamarCKE. Este sistema es slo ligeramente ms fuerte (por con-tener L2) que el sistema ms dbil descrito en el artculode Thomason sobre formulaciones de deduccin natural[13]. Parece ser la lgica de contrafcticos segn es enten-dida por Goodman, Chisholm y Sellars.

5. Hiptesis de Tamao y Orden

Todo el trabajo lgico reciente sobre condicionales con-trafcticos debe sus principales lneas de planteamiento alartculo realizado en 1968 por R. Stalnaker [11]. Esta deudaincluye la idea de dar cumplimiento a los pensamientos de


Goodman, Chisholm y Sellars dentro de la semntica des-arrollada para la lgica modal por medio de la HiptesisCeteris Paribus. Adems, Stalnaker, acept algunas otrashiptesis que yo expondr (un tanto redundantemente) encuatro partes. No todas ellas fueron aceptadas por escritoresposteriores.

Para formular esas hiptesis, utilizar "s(y, X)" comoabreviatura de ~~Xn q(y, X)". Usando esta abreviatura, ad-vertimos que A~ B es verdaderaenun mundoy, en relacina una interpretacin p, si y slo si s(y, p(A)).s;;;p(B).

Hiptesis 2.(Factualidad) Si Y E X, entoncess{y, X) = {y}s(y, X) tiene a lo sumoun miembro.

s(y, X U Y) es lo mismoque, o bien s(y, X), os(y, Y) o s(y, X) U s(y, Y).Si s(y, X) .s;;;Y Ys(y, Y) .s;;;X, entoncess(y, X) = s(y, Y).

Hiptesis 3.(Unicidad)

Hiptesis 4.(Unin)

Hiptesis 5.(Orden)

Cada una de estas hiptesis debe ser entendida como go-bernando todos los mundos y, y todas las proposiciones sig-nificativas X, Y en todos los modelos para el lenguaje~~co-rrecto" de condicionales. Fcilmente puede verse que laHiptesis 3 implica la Hiptesis 2, y que las Hiptesis 3y 5 juntas implican la Hiptesis 4.

La motivacin para estas hiptesis es como sigue. LaHiptesis de Factualidad dice que, si un condicional tieneun antecedente verdadero en un mundo dado, no necesita-mos mirar ms all de ese mundo a efectos de verificacin.El principio lgico correspondiente es:

L7. l- A ::> [A ~ B . =B]Esto es razonable si recordamos que s(y, X) es el conjuntode mundos que,primero,son miembros de X; ysegundo,concuerdan con y en todos los hechos independientes de X.

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14 1nforme sobre los condicionales

La Hiptesis de Unicidad va ms lejos. Dice que, inclusosi el antecedente es falso, puede haber a lo sumo un mundoposible que satisfaga tanto el antecedente como la clusulaCeteris Paribus.Esto significa que podemos parafrasear con-dicionales mediante una descripcin definida: A~ B diceque B es verdad enel mundo que sera real si A fuese ver-dad. De aqu obtenemos una especie de principio de "tercioexcluso" para condicionales:

L.8.~ (A ~ B) V (A ~ ~ B)

Las Hiptesis de Unin y Orden derivan ambas de unahiptesis ms fuerte y que, sin embargo, solamente afectaa la lgica a travs de estos dos corolarios. Esa hiptesisms fuerte dice que, en relacin con cada mundo, hay un"orden de proximidad"(pre-ordenacin total) de todos losmundos posibles, y que s(y, X) es el conjunto de aquellosmundos en X que estn ms prximos a y. Los principioslgicos que reflejan esas dos hiptesis son:

L9. ~ [AV B . ~ A] V [A V B . ~ B] V[(A V B . ~ C) == . (A ~ C) & (B ~ C)]

LI0. ~ (A~ B) & (B ~ A) & (A ~ C) .::>(B ~ C)

Segn queda reflejado, LI0 aparece como una forma debi-litada de Transitividad. Pero, si el lenguaje no se amplamediante la adicin de ms conectivas lgicas, entoncesLI0 contiene la consecuencia:

~ [A~ B .& .B ~ A] ::> [---A --- == ---B ---]

De este modo, LI0 proporciona un criterio de identidadpara proposiciones, un robustecimento de L2.

En trminos de los principios lgicos anteriormente ci-tados, podemos axiomatizar tres lgicas ms de condiciona-les. Por razones de conveniencia, har relacin de las hip-tesis semnticas correspondientes:

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CE: Axiomas L1- LB; Hiptesis O- 3C1: (D. Lewis): Axiomas Ll- L7 Y L9 - L10

Hiptesis O- 2 Y 4 - 5C2: (R. Stalnaker): Axiomas L1- L10

Hiptesis 0-5

Para ms detalles sobre C2, ver [11-12]; para C1, ver [6];y para CE, ver [15].

CKE es el sistema ms dbil, y est incluido tanto enCE como en C1; y, estos dos, se encuentran ambos inclui-dos en C2, que es el ms fuerte. Hay alguna redundanciaen la axiomatizacin: L2 y L3 son redundantes para lostres sisten1as; L7 lo es para CE y C2; Y L9 para C2. Final-mente, he ignorado un detalle en la presentacin originalque hace Stalnaker de su lgica, el cual concierne a losantecedentes "imposibles". Como ello parece ser princi-palmente un tecnicismo, lo omito aqu.

Puede advertirse que, ninguno de los principios lgicosarriba indicados, hace uso de CCHechasanidadas"CCcondicio-nales reiterados"). Si A Y B no contienen de por s ningunaflecha, las llamamossentencias de grado cero;brevemente,grado (A) = O. Entonces, definimos:

Grado (~A)=grado (A)Grado (A & B)=mximo (grado (A), grado (B))Grado (A -+ B)=1 + mximo (grado (A), grado (B)).

As pues, todos nuestros principios lgicos especiales tienengrado uno. Aunque, gramaticalmente, permitimos la for-mulacin de sentencias de grado superior, hasta ahora noha habido discusin sobre los principios que las gobiernan,excepto aquellos que pueden reestablecerse en forma deprimer grado. Sin embargo, s que constituyen una diferen-cia en relacin con la probabilidad; ver el resultado IV, msabajo.

6. Extensiones a la Teora de la Probabilidad.

Casi todos los trabajos sobre probabilidad utilizan hoylos axiomas de Kolmogorov: unamedida de probabilidad

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es una funcin P definida sobre un campo Borel de con-juntos, tal que:

P1. O=P(A) < P(X) < P(K)=1P2. P(U F)=L{P(X) : X e F} par~ cualquier fami-

lia disjuntaenumerable en el campo

donde A es el conjunto vaco, la variable X flucta sobrelos miembros del campo y K es la unin del campo (quedebe estar en ese campo, por definicin de un campo; decirque un campo es Borel significa que es tambin cerradobajo unin enumerable. En estos axiomas la probabilidadse trata como una funcin mondica; existe tambin unaprobabilidad condicional definida por:

P(XjY) =P(X n Y)jP(Y)

pero sta se define solamente para los casos P(Y) ; O.Hay una tradicin ms antigua sobre la teora de la pro-babilidad, en la cual la probabilidad condicional se defineen todo caso. Aunque sto fue discutido por Stalnaker yHarper (quienes llamanfunciones Poppera tales funcio-nes) no lo someter a consideracin.

Stalnaker fue el primero en extender el lenguaje de con-dicionales a la probabilidad [10]. En aquel tiempo, sea-lando el hecho de que"P(XjY) =r" se lee a menudo comocClaprobabilidad de que X sea el caso, si lo es Y, es igual aI", introdujo la hiptesisP(XjY) =P(Y ~ X) al menoscuando P(Y); O. Para establecer esto con precisin, debe-mos definir primero unmodelo probabilsticoque sea uncudruplo M= < K, F, ~, P > tal que < K, F, ~ > seaun modelo y P una medida de probabilidad sobre un campoBorel de subconjuntos de K que incluyen la familiaF. Todaslas hiptesis subsiguientes sern sobre modelos probabils-ticos,

Hiptesis 6. (eondicionalizacin)P(XjY) =P(Y ~ X) para todas las proposicionesX e Y tales que P(Y) ; O.


Al igual que antes, las ~~proposiciones" se referirn a la fa-milia F de proposiciones significativas en un modelo dado,y la hiptesis debe ser tomada como gobernando todos losmodelos probabilsticos del lenguaje "correcto" de condi-cionales con probabilidad.

Stalnaker ha rechazado despus esa hiptesis. Ms ade-lante veremos que no es compatible con su lgica C2; peroyo me limito a constatar los resultados en el orden en queocurrieron. La siguiente es una hiptesis con la que todoel mundo est de acuerdo como criterio de adecuacin. Sig-nifica que,cualquierasignacin de probabilidades a sen-tencias de grado cero (esto es, sin flechas), puede ser exten-dida a todas las sentencias del lenguaje.

Hiptesis 7. (No-Trivialidad)Si F es un campoenumerable de subconjuntos de K, y P una medi-da de probabilidad sobre un campo Borel queincluye F, entonces existe un modelo probabils-tico tal que: KS KO, F e FO,p e PO.

Un criterio muy distinto, que est en litigio, fue introdu-cido por David Lewis. Ese criterio establece, en efecto,que no hay conexin esencial entre la flecha y la medida deprobabilidad. Una forma en la que podemos entender estoes la siguiente: las proposiciones establecen hechos obje-tivos, incluso aunque sean condicionales; pero la asigna-cin de probabilidad es slo una medida de nuestra igno-rancia subjetiva.

Hiptesis 8. (Objetividad).Si es unmodelo probabilstico, P(X) ~ O, Y P' est defi-nido por la ecuacin P'(Y)= P(YIX), entonces< K, F, ~, P'> es tambin un modelo probabi-lstico.

Esta hiptesis tiene que ser, desde luego, rechazada porcualquiera que vea la funcin de la flecha como intrnse-camente conectada con el conocimento, o la creencia o lacerteza. En cualquier caso, Lewis pudo probar en [7]:

2

11,

11

t.I


l. Las hiptesis O- 8 no son conjuntamente de-fendibles.

Esto significa que no podemos combinar de una forma no-trivial la lgica Cl de Stalnaker con las Hiptesis de Con-dicionalizacin y Objetividad. El resultado siguiente, pro-bado en [15] fue que

11. Las hiptesis O- 3 Y 6- 7 son conjuntamentedefendibles.

Esto significa que la lgica CE puede de hecho extenderseno-trivialmente a la teora de la probabilidad, de acuerdocon la hiptesis de Condicionalizacin. Posteriormente, Stal-naker pudo probar un resultado ms slido que 1 (convistas a ser publicado en el mismo volumen que [15]), asaber:

111. Las hiptesis O- 7 no son conjuntamente de-fendibles.

He aqu por qu haya abandonado Stalnaker la hiptesisde Condicionalizacin, ya que desea conservar la lgica Cl.Sin embargo, lo siguiente fue probado junto con 11 en [15]:

IV. Las hiptesis 0- 7 con conjuntamente defen-dibles, siempre que la ecuacin P(X/y)=P(Y ~ X)para P(Y) ~ O quede restringida a proposicionesde primergrado.

(Los grados pueden ser asignados tanto a proposicionescomo a sentencias, aunque no nicamente: Si en < K,F, ~ >, F es la clausura de G bajo las operacionesn, U, -, ~, podemos asignar grado O a los miembros deG, y as sucesivamente. La eleccin de G no es nica, y asdebe entenderse la hiptesis que hace relacin a una elec-cin previa de esa clase para cada modelo. El resultado IVno es un corolario de 11, porque las lgicas CE y Cl difie-ren en los principios lgicos para sentencias de primer


grado. El resultado negativo 111 de Stalnaker se muestra,sin embargo, en IV como dependiente de cuestiones sobrela probabilidad asignada a sentencias de mayor grado, ystas constituyen un tema casi completamente inexplorado.

En su tesis doctoral [5], William Harper ha investigadoulteriormente la teora de la probabilidad de condicionales,con referencia a una hiptesis ms dbil que la de Condi-cionalizacin:

Hiptesis 9(Certeza) P(X -+ Y) = 1 si Y slo siP(Y/X) = 1; cuando P(X) ~~ o.

Y ha demostrado que esta hiptesis puede aceptarse comocompatible con la C1 de Lewis o la C2 de Stalnaker.

La discusin filosfica subsiguiente se ha centrado en

gran parte sobre las razones a favor y en contra de la acep-tacin de la hiptesis de Condicionalizacin. Vale la penaanotar que, en el contexto usual, esta hiptesis equivale a

P(X -+ Y) = P(X -+ Y/X) = P(X -+ Y/K-X) cuandoP(X) ~ O

esto es,la independencia estocstica del condicional conrespecto a su antecedente.

7. Comparaciones y Cuestiones

Desde el principio hubo una diferencia fundamental so-bre los condicionales entre Stalnaker y David Lewis. Elprimero entendi que No es el caso que esta cerilla seencendiese si la frotsemos", significa Esta cerilla no seencendera, si la frotsemos". Lewis, por otra parte, enten-di que esa negacin significa Si esta cerilla se frotase,

d I d "po na no encen erse.Cul es la interpretacin que hace Stalnaker de podra

o no"? Comienza por considerar cuestiones tales comoSi esta cerilla se frotase, se encendera?". Las respuestasdirectasa esta cuestin sons (se encendera) yno (no se

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20 Informe sobre los condicionales11

If

I

encendera). Hay tambin otras respuestas. La respuesta"Podra o no" puede ser una puntualizacin epistmica(p. ej., ~~Nos") o una puntualizacinobjetiva.La pri-mera conduce a "Uno de los dos, o S o No, es correcto,pero no s cul". La. segunda, en cambio, implica que niS ni No son correctos: el asunto es objetivamente inde-terminado. Stalnaker sostiene que, si la respuesta esS;1entonces el enunciado condicional es verdadero; si la res-puesta es No, ese enunciado es falso; y si ni S ni No soncorrectos, entonces ese enunciado no es ni verdadero nifalso.

Para dar cumplimiento a esta parte de la teora de Stal-naker, se necesita rectificar la semntica, a fin de permitirla existencia de huecos de valor de verdad. No obstante,hay una forma general de conseguirlo, por el ~~mtododesuperevaluaciones", que no requiere ningn desarrollo tc-nico. Cuando se hace as (como en [14]), se puede tambinaadir unaconectiva de verdadT;1 de forma que siA es unenunciado, entoncesTA es el enunciado de queA es verdad.De esta forma,~~Si la cerilla se frotase, podra o no encen-derse" se traduce entonces en la forma[-T(A ~ B) & -T(A ~ -- B)]. Y existe entonces un teorema de traduccinque aplica el lenguaje de Lewis dentro del de Stalnakercomo sigue:

A es A, si A es atmico(A & B)O es (A & BO)(-A)O es _ AO(A ~ B)O es T(AO~ BO)

de modo que el condicional de Lewis puede ser parafrasea-do en trminos del de Stalnaker. Matemticamente,T escomo una conectiva-de-necesidad, de forma que existe auto-mticamente, tambin, una traduccin de la lgica de Lewisa una extensin modal de la lgica de Stalnaker; aunqueno con el mismo grado de motivacin intuitiva.

En vista de la no conclusividad de la evidencia directa

acerca del uso lingstico, diversas teoras de condicionales


han competido por medio de sus extensiones. Las tres prin-cipales teoras, CE, Cl y C2, son ya incompatibles paraenunciados de primer grado; y en sus axiomas no necesitaaparecer ningn enunciado de grado superior. Sobre losprincipios especficos de grado superior no ha habido discu-sin. Esto constituye una gran diferencia con respecto a lalgica modal ordinaria, en donde la lgica familiar M, B,S4, S5 difiere exactamente en el papel de reiteraciones talescomo D D Y() D. .

Las extensiones a condicionales de grado superior fue-ron, por tanto, automticas e indiscutidas. Las extensionesa la teora de la probabilidad ya las he discutido con de-talle; y la competicin en ese campo no es concluyente,dado que no existe acuerdo respecto a los criterios de ade-cuacin. De las ~xtensiones a las locuciones "podra o no"(a las que podramos denominar "negaciones indefinidas")he mostrado ya que son posibles tanto para Stalnakercomo para Lewis. (Y CE podra extenderse al igual que la deStalnaker). Las extensiones a la lgica de cuestiones nuncahan sido efectuadas con detalle. Todo lo que tenemos al res-pecto son las sugerencias de Stalnaker arriba mencionadas,y los debates de causalidad de Lewis. Esto ltimo me su-giere la idea de queB es una buena respuesta aPor ques que A?con toda exactitud si B~ A es verda-dera (o necesariamente verdadera, en algn modo de nece-sidad, si usamos CE o C2).

Todava existe otra rea a la cual podran extenderse lasteoras sobre condicionales, y es a la lgica de creencias.Esta ha sido investigada, hasta cierto punto, por WilliamHarper [5] y Brian Ellis [3] y, a mi entender, sus ideas sonmuy prometedoras. Expondr brevemente las ideas de Ellis,aunque slo en tanto que se ajusten al presente contexto.

La primera concepcin de una creencia que se le ocurrea cualquiera es justamente sta: una persona X tiene uncuerpo de enunciados B(X) que ella cree. Las negaciones destos constituyen los enunciados que no cree; y, respecto atodo lo dems, carece de opinin. Entonces, la lgica decreencias procede poniendo condiciones sobre B(X); por

22 Informe sobre los condicionalesII

ejemplo, que fuese consistente, o ~~defendible" (Hintikka).Adems, podramos requerir que B(X) fuese recursivamen-te enumerable, ya que una persona podra ser capaz de es-pecificar cules son sus creencias, enseadas a alguien msy as sucesivamente. Esto parece plausible si pensamosen las creencias como explcitamente adoptadas, pero no tanplausible si pensamos en ellas como posiblemente resul-tantes de procesos inconscientes.

. Existe otra tradicin en la teora de creencias, debidaa la escuela "subjetivista" o "Bayesiana" de estadstica. Enella se considera racional a una persona si las apuestas queesa persona quiere hacer no permiten que se cruce contraella una ~~apuestadel holands". (Esto significa que, si unapersona es irracional, entonces se puede cruzar con ellauna serie de apuestas de forma que le sea imposible ganar).Ello puede expresarse brevemente diciendo que una per-sona es racional si y slo si su cuerpo de creencias esco-herente.Y entonces puede probarse que las creencias soncoherentes exactamente si en las apuestas los puntos deventaja aceptables para dicha persona reflejan una nicamedida de probabilidad.

De esta forma, no se piensa aqu en una persona quesolamente acepta o rechaza enunciados, sino que los aceptaen un grado u otro. Si se pensara en cuerpos de creenciascomo explcitamente adoptados, o enseables, se deberadecir que estos grados son calculables -algo as como losvalores de verdad. Pero, si slo se dice que los gradoshan de reflejar o constituir una medida de probabilidad,esta calculabilidad y esta enseabilidad se pierden. Desdeluego que en esta forma la lgica de creencias gana unamayor flexibilidad.

Ahora bien, Brian Ellis ha introducido varias. ideas queponen este asunto en conexin con la lgica de condicio-nales En primer lugar, dice que la funcin del condicionales ayudar a expresar los grados de la propia creencia y queotras conectivas tambin tienen esa funcin. As propone,esencialmente, por ejemplo:

11

l'1,

11

(1) X acepta,...,A hasta un grado n si y slo si Xacepta A hasta un grado 1 - n.

---


Ahora bien, la falta de calculabilidad es manifiesta si ad-vertimos que ninguna frmula similar podra funcionar parala conectiva &. Pero aqu podemos usar la idea de coheren-cia y decir que para toda persona existe una funcin deaceptacin", y la racionalidad requiere que esa funcin sea,o sea parte de, una medida de probabilidad.

(2) X es racional slamente si existe una medida deprobabilidad PX tal que X acepte A hasta ungrado n si y slo si PX(A)= n.

Esto implica que, si X es racional, entonces (1) es tambinverdadera. Y la creencia puede identificarse con la acepta-cin hasta el grado 1:

(3) Definicin:B(X) = {A : PX(A) = 1}

Entonces podemos aadir la Hiptesis de Condicionaliza-cin en una nueva forma, es decir, en tanto explica el papeldel condicional en la expresin de los grados que uno tengade creencia:

(4) X es racional slo si PX(A~B)=PX(B/ A) (cuan-do est definida)

Esto sugiere que la lgica Ielevante sera CE o C2; espec-ficamente sera CE si se admiten sobre igual base enuncia-dos de grado superior.

En este tratamiento, no se da ninguna condicin de ver-dad para las conectivas, sino slo condiciones de acepta-bilidad como las anteriormente indicadas (1) y (4). De acuer-do con esto, el correlato semntico de la consecuencia lgicano puede ser el usual. Por eso Ellis propuso, en trminossomeros:

(5) Bse sigue deAl, ..., An si y slo si, para todaslas posibles personas racionales X, si Al, ..., Anestn en B(X), tambin est B.

- - . . - - - - - - - -- - --- - - -- - - - - - -- - - . - - -- - -


Para evitar la mencin de posibles personas, Ellis exponeeste principio directamente en trminos de cuerpos cohe-rentes de creencias.

Fcilmente se ve que, dado (5), la lgica de los argu-mentos de grado cero(esdecir, de las conectivas & y.-)es la lgica proposicional usual. Pero, para el condicional,todava existe una buena dosis de libertad de accin. Ade-

ms se da una ruptura de la conexin usual entreverdadeslgicasy consecuencias lgicas(de la misma manera quesucede con las lagunas de valor de verdad tratadas consuper-evaluaciones). Pues si A es posible, entonces (A~ B)Y (A ~ .- B) deben ser incompatibles, y de aqu tenemos:

P(A ~ B .V . A ~ .- B)=P(A ~ B) + P(A~ .- B)==P(B/A) + P(.-B/A)=1

Por lo tanto, esperamos que (A~ B . V A ~ .- B) ser unteorema de la lgica. Pero no puede ser el caso que cadapersona racional crea o (A~ B) o (A~ .- B). Yesehechodebera tambin reflejarse, de algn modo, en la lgica.

La lgica de la creencia, as interpretada, es una mate-ria desafiante y relativamente inexplorada. Pueden existirconexiones tambin con los trabajos de Emest Adams [1]y Brian Skyrms [4], que no he mencionado hasta aqu.Adams propuso an una relacin de consecuencia diferen-te, la cual aqu vendra a ser: B se sigue de A sil PX(A)

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