Variables VII

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Editorial

La sétima edición de variables inaugura el ter-cer año de existencia de la revista y demuestrasu consolidación en el paisaje centroamericanode la enseñanza de las matemáticas. Nuevoscolaboradores aparecen, y la difusión tanto delas copias impresas como de las revistas digi-tales se ha sistematizado. En cuanto a estasúltimas, les recordamos que las pueden des-cargar en: www.franc-es.org (hacer clic en elPFEM: Proyecto Francés para la Enseñanzade las Matemáticas).

Las actividades del PFEM, destinadas a am-pliar y reforzar el enfoque de variables paradesarrollar un aprendizaje de las matemáticaslúdico, reexivo y abierto, se mantendrán en el2010 en Costa Rica. El tercer día del juegomatemático en San José tendrá lugar el sába-do 6 de noviembre al igual que en versionesanteriores se espera contar con la participaciónactiva de docentes de primaria y secundaria dediferentes zonas del país.

No duden en escribirnos a:[email protected].

Editorial

Temas y enfoques

Inventiva y Creatividaden la Solución deProblemas _________ 2Geometría por placer __ 6

Lección de Geogebra___ 7

Aportes

Cuestionamiento del dibujo _ 9Áreas de polígonos ____12Influencia del modeloepistemológico______ 15

Gotas históricas

David Hilberth ______ 20

Juegos y pasatiemposEncerrando________ 22Pequeños problemas paragrandes pensadores___ 26Los enmarcados______27

Anexos y soluciones

Consejo editorial: Jessica Arias, Dir. Departamento Matemá-ticas UAM. Francoise Guimier, IREM Rennes, Francia. Jean

Michel Le Laouenan, CNED, Francia. Jean-Pierre Escoer,Université Rennes I, Francia. Marie-Christine Petitdeman-ge, Liceo Franco Costarricense. Luis Valverde, UniversidadAmericana. William Castillo, exdirector Escuela Matemáti-cas UCR. Publicación impresa: Universidad Americana. Por-tal Digital: Embajada de Francia y Universidad Americana.Diseño y Diagramación: El hormiguero inhouse, UniversidadAmericana C.R. ISSN 1659-3391 VII Edición. Marzo 2010.




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Inventiva y Creatividad enla Solución de Problemas.

I ParteJean Michel Le LaouénanDirector del departamento de Ciencias,Coordinador de la revista « Diagonales »Instituto de Rennes del CNED – Francia.

Jean-Pierre Escoer Profesor de Universidad de Rennes 1 – Francia.

Este artículo analiza problemas matemáticos donde la solución consiste en presentar un procedimientoconcreto o un ejemplo. Ciertamente una parte importante de la actividad del matemático consiste en mezclar razonamientos deductivos apoyándose en axiomas o teoremas, no por eso debemos menospreciar laparte inventiva y creativa con la cual el matemático puede comprobar para facilitarse el arribar al desarrollode su trabajo. Los problemas que abarcaremos tienen por objetivo ilustrar modestamente esta parte poco

conocida de las matemáticas. No existen recetas totalmente elaboradas para resolver estos problemasSobre todo llamamos a su inventiva y creatividad. El mejor consejo que podríamos ofrecerle es : « dejevolar su imaginación, utilice el sentido común y haga ensayos ».

¿ Lo podrías hacer ?

Adjuntamos un posible procedimiento. Pongaa funcionar simultáneamente los dos relojes dearena. Cuando el reloj más pequeño termina depasar toda la arena, han pasado 7, usted ponelas manzanas a cocinar a fuego lento. En esemomento aún faltan 4 minutos para que naliceel otro reloj. Después de 4 minutos, cuando emayor reloj de arena ha nalizado su proceso, in-vierta el reloj para que inicie el paso de la arena.Cuando termine de pasar de nuevo la arena, lasmanzanas han estado a fuego lento exactamente15 minutos.

Se sabe que para hacer un buen puré de man-zanas, es necesario unas buenas manzanas asícomo cocinarlas exactamente 15 minutos a fuegolento. Las buenas manzanas así como el fuegolento lo tienes, pero no tienes un cronómetro. Di-chosamente disponemos de dos relojes de arena,uno mide exactamente períodos de 7 minutos, elotro mide exactamente períodos de 11 minutos.

¿Cómo puedes proceder para lograrhacer un buen puré?

Problema 1 Un buen puré




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Procedamos ahora con un problema de geometría.

El famoso arquitecto Franky Gehro ha construi-do un museo muy original. Este museo no contie-ne más que una sola sala ; ella es un polígono y,al interior de dicha sala, existe un punto desde elcual uno no se puede ver enteramente ningunapared de la exposición... ¿Curioso, no ? ¿Podríausted concebir tal plano ?

Para no inuenciar en su investigación, esperare-mos al n de este artículo para ofrecerle un plano

de la sala poligonal que posea un punto del queno se pueda ver ninguna pared completamente.

Escriba el número 458 en la pizarra. Se debetransformar el número utilizando dos operaciones:multiplicando el número por 2, quitando la últimacifra del número. El objetivo es obtener el número14 a partir de 458 realizando las operaciones ex-puestas tantas veces como considere necesario.

Seguidamente aparece una sucesión de lastransformaciones que generan el 14 :

458 45 90 9 18 36 72 7 14

Esta solución parece haber « caído del cielo ». Sepuede obtener otra solución de la siguiente mane-ra: se comienza por duplicar el número cada vez.Obtendríamos una solución cuando se determineun resultado que inicie por 14, será suciente eli-minar las últimas cifras. Tendríamos entonces:

458 916 1832 3664 7328 14656

1465 146 14

Lo que hemos hecho es buscar un método general que pueda ser útil en la búsqueda de la solución : agregando una restricción ( en este casodejar la eliminación de las cifras hasta el nal) loque hace que limite las posibilidades a explorarEl inconveniente se da en cuanto una mala esco-

gencia de restricción puede llevarnos a la imposi-bilidad de resolver el problema.

Problema 4 Suma de cuadrados

Problema 3 Del 458 al 14

¿Se pueden determinar números positivos tal que

la suma sea igual a 1 y la suma de sus cuadradossea inferior a 0,01 ?

Ciertamente se puede armar de la existencia detales números. Por ejemplo, puedo tomar mil nú-meros iguales a 0,001. La suma de dichos núme-ros es igual a 1 y la suma de sus cuadrados esigual a 1000 x 0,000001 lo cual es 0,001 que esinferior a 0,01.

La restricción que en este caso hemos estableci-do es tomar todos los números iguales. Si se tie-ne a n números iguales donde la suma es 1, cadauno de esos números valdría 1/n y la suma de loscuadrados sería igual a n × 1/n , es decir a 1/nEntonces lo que hace falta es escoger bien n.

Problema 5 Suma de cifras

¿Existen dos números enteros positivos consecutivos tales que, para cada uno de ellos, la suma desus cifras sea divisible por 7 ?

Recalquemos que si un número k no termina en9, la suma de sus cifras y la suma de las cifrasdel número k + 1 dieren en 1; en este caso las

Seguidamente aparece otro problema que al aña-dir una restricción se facilita el encontrar a la so-lución.

Problema 2 Una peculiar construcción

2




6

dos sumas no pueden ser divisibles por 7. Iremosentonces a buscar dos números enteros conse-cutivos, de tal forma que las sumas de las cifrassean divisible por 7, el menor de ellos terminandoen 9 y el mayor terminando en 0.

Se puede entonces intentar encontrar los dos nú-meros de la forma 69…9 y 70…0 pues, evidente-mente, la suma de las cifras de 70…0 es divisiblepor 7.

La suma 6 + 9 + … + 9 es igual a 6 + 9n (donde nes el número de veces que la cifra 9 se repite enel número 69…9). Esta suma es divisible por 7por ejemplo cuando n = 4

Los dos números 69 999 y 70 000 verican la pro-piedad planteada.

Tomar en cuenta que, para encontrar los dos nú-meros, ha sido necesario hacer un trabajo previo.Este trabajo previo consistió en eliminar toda unafamilia de números que no son convenientes.

Seguidamente ofrecemos dos ejemplos donde esrecomendado comenzar por un trabajo previo.

Problema 6 Una bella sala

Un aprendiz de construcción a cortado 10 baldo-sas rectangulares de 10 x 20 cm en 20 baldosastriangulares ( para ello ha cortado cada una delas baldosas iniciales por la diagonal). El apren-diz debe rellenar un cuadrado en el centro deuna sala utilizando precisamente las 20 baldosastriangulares obtenidas. ¿Puedes ayudarle a reali-zar lo requerido ?

El trabajo previo que debemos hacer consiste endeterminar el área a cubrir con las 20 baldosastriangulares : esta área es de 2000 cm2. Se debededucir que el cuadrado que el aprendiz debe cu-brir mide necesariamente por lado cm, esdecir cm (Teorema de Pitágoras).

Cada lado del cuadrado que el aprendiz buscacubrir es entonces probablemente compuesto pordos hipotenusas de baldosas triangulares.

Para no inuir en su trabajo de investigación, es-peraremos al nal de este artículo para plantearuna posible solución al problema.

Problema 7 El triángulo infernal

Podría colocar los números enteros de 0 a 9(cada número una sola vez) en los pequeños círcu-los de la gura 1 de tal forma que la suma de losnúmeros de cada uno de los vértices de los trián-

gulos sombreados sea igual ?

Figura 1

Seguidamente planteamos el trabajo previo quees bueno hacer antes de colocar los númerosdentro de los círculos planteados y lograr el objetivo propuesto. Para apoyarnos en nuestra expo-

sición, asignaremos una letra a cada uno de loscírculos tal y como se muestra en la gura 2.

Figura 2

Determinemos por C el número ubicado en el cen

tro (letra j), S la suma de los números colocadosen los vértices del gran triángulo (letras a, d y g) A la suma de los otros números (b, c, e, f, h, i ) ynalmente, T el valor común de las sumas de losnúmeros colocados en los vértices de cada trián-gulo sombreado.




7

Considerando los tres triángulo centrales : 1. b, c, i, j ,2. h i, j y 3. e, f, j se obtiene la relación3T = 3C + A. Considerando los tres triángulos delos vértices del triángulo total : 1. a,b,i 2. c,d,e y3. f,g,h, se obtiene : 3T = S + A. Además, la sumade A + B + C tiene el valor de la suma de los en-teros de 0 a 9, es decir 45. Estas tres relaciones,nos llevan a otros resultados:

1-De la primer igualdad, se tiene A = 3(T - C). En-tonces A es un múltiplo de 3.

2-De la diferencia miembro a miembro de las dosprimeras igualdades, se obtiene S = 3C. De don-de, S es también múltiplo de 3.

3-Finalmente, A y S son múltiplos de 3, A+ C + Svalen 45 y 45 también es un múltiplo de 3, se pue-

de concluir entonces que C es un múltiplo de 3.

Entonces los únicos valores posibles de C son: 0,3, 6 o 9. Los valores 3 y 6 ofrecen ambos solucio-nes a lo planteado.

! !

Seguidamente, para terminar esta primera partede nuestro artículo, un problema por el cual esbueno también efectuar cierto trabajo previo.

Problema 8 Una cuadrícula y su transpuesta

Los números enteros del 1 al 16 se han colocadoen las casillas de una cuadrícula de 4 x 4 comose detalla en la gura4. Se puede aumentar enuno todos los números de una la o disminuir en 1todos los números de una columna.

¿Será posible, utilizando las operaciones expuesobtener la cuadrícula se muestra la gura 5?

Figura 5Figura 4

Le daremos más el tiempo para pensar y le ofre-ceremos la solución en el próximo número de larevista Variables.

Continuaremos este artículo en la próxima edicióndonde, particularmente, analizaremos algunosproblemas sobre « pesos ».

Una curiosa construcción

Una bella sala

1- Revue Diagonales du Cned : Danielle Aubry,

Jean Philippe Baurens, Sébastien Cario, MichelCoste, Jean-Pierre Escoer, Ilia Itenberg, JeanMichel Le Laouénan, Nathalia Miasnikova, AntonZoritch CNED, 2002, cahier mathématique n°3.2- Cercles mathématiques de Léningrad de Dimi-tri Fomine, Sergueï Guenkine et Ilia Itenberg - Kirov,

Asa,1.

Bibliografía :

I

Figura 3




8

Geometría por placerEn esta oportunidad haremos una hermosa cons-trucción a partir de un hexágono regular.

Nuestro objetivo:Seguidamente aparece la gura que esperamosresulte de nuestra construcción geométrica que,como podrá notar, tiene como base de la cons-trucción un hexágono regular

Objetivo

Paso 1:

Trace un círculo de radio 4 cm (claramente la me-dida depende del tamaño que usted requiera) ydetermine un punto cualquiera P de la circunfe-rencia:

Paso 2:

Tomando el radio utilizado, en nuestro caso 4cm, y a partir de A determine 5 puntos más en lacircunferencia para generar el respectivo hexá-gono inscrito a la circunferencia:

Hay q ue e la bo ra r u na g rá f ica

aco rde a la s e spec i f icac io ne s

Paso 3:

Haciendo centro en cada uno de los vértices dehexágono generado en el paso 2, trace 6 circun-ferencias con el mismo radio utilizado (en nuestrocaso 4cm).

Sólo de be n q ueda r la s le-

t ra s A y O q ue e s el ce n t ro

de la ci rc u nfe re ncia o rigi nal




9

Paso 4.

Trace una circunferencia de centro O y radio hastaA:

Paso 5.

Haciendo los borrados respectivos en su cons-trucción y coloreando adecuadamente, según semuestra en la gura adjunta, obtiene el resultadoplanteado.

Claro está, que queda a su gusto variar la guranal usando coloreando según su creatividad.

¡Hasta la próxima edición!

Geogebra (III Parte)

En este artículo, nos proponemos utilizar geoge-bra para hacer una conjetura sobre el problemasiguiente:

Una escalera de 6 m de largo está puesta contraun muro. La parte de abajo de esta escalera sedesliza por el suelo, mientras la parte de arriba sedesliza por el muro. Determinemos por “I” el puntomedio de AB.

¿Qué gura describe el punto I cuando el punto Ase desliza verticalmente?

Creación de la fgura con geogebra

Sea A la parte superior de la escalera y B la parteinferior.

Etapa 1

La página que aparece a la apertura del softwarecontiene los ejes.Si no es el caso, hacer clic en el menú Vista/Ejes. Etapa 2

Crear un punto en el eje de las ordenadas.

Al hacer clic en y luego en el eje (Oy),

el punto A pertenece ahora al eje (Oy).

Marie - Christine PetitdemangeProf. Liceo Franco Costarricense.




10

Etapa 3

Se puede considerar el punto B como punto deintersección del eje de las abscisas y la circun-ferencia de centro A y de radio la longitud de laescalera.

a) Hacer clic en « círculo(circunferencia,

radio) » luego escribir el radio (6) en la ventanaque se abre.

b) Hacer clic en el botón « punto » y luego colocarel cursor en la intersección de la circunferencia ydel eje de las abscisas para crear la intersección

B. También se puede usar (intersección

entre dos objetos)

Para esconder el círculo : clic derecho en el círcu-lo, luego y luego desactivar ”Muestra objeto”

Etapa 4

Crear el segmento AB con el botón yluego haciendo clic en A y B.

Etapa 5

Para desplazar A, use

Etapa 6

Crear el punto medio de AB haciendo

clic en y luego haciendo clic en el segmento. Estepunto aparece como C de forma automática. Pararenombrarlo, haga clic derecho en C, y escoger“renombra”, escribir I en la ventana que se abre.Desplazar el punto A y hacer una conjetura sobrela gura que describe el punto I.

Para obtener el rastro de I, hacer clic derecho enel punto I y luego “Activa rastro”

Desplazar el punto A.

Se puede borrar el rastro en el menú Vista/Actualiza vista gráca. Demostrar que la conjetura

hecha sobre el rastro del punto I es verdadera, oen su defecto, que es falsa.

Resuelva el problema y encontrará la soluciónen la próxima edición de Variables.




1

Cuestionamiento deldibujo

Boris BalletProf. Liceo Franco Costarricense.

La escalera de Penrose

La introducción a la demostración es una etapaimportante para los alumnos de colegio, es labase del razonamiento matemático. La utilidady la necesidad de producir pruebas para armar una propiedad o vericar una conjetura está lejosde ser evidente: en efecto, los alumnos han sidoacostumbrados en la escuela a usar su juego degeometría para medir, averiguar si tres puntos soncolineales, etc. Además, no ven la necesidad de

demostrar lo que se ve en el dibujo. Los enun-ciados siguientes tienen por objetivo ayudar a losalumnos a pasar de una geometría perceptiva auna geometría deductiva y de mostrar la utilidadde una demostración “para convencer”

Presentación

1. Objetivos

-Mostrar la utilidad de una demostraciónpara validar una armación.-El dibujo no es suciente.-Los instrumentos de geometría tienensus límites.-Usar las propiedades de las gurasplanas clásicas.

-Objetivo secundario: Controlar el usocorrecto de los instrumentos de geometría(regla, escuadra, transportador, compás)

2 .Desarrollo de la actividad

Se presentan los enunciados siguientes duranteuna sola sesión de trabajo y/o de manera aisladaen el transcurso del año. Para los alumnos, la opción de medir en la gura para armar el resultado es muy tentadora y cuesta mucho que ciertosalumnos pierdan este hábito, sobre todo si tienenproblemas de aprendizaje. Presentar a menudoeste tipo de ejercicios va a permitir eliminar estereejo que constituye un obstáculo para el aprendizaje de la demostración matemática.

Para cada enunciado, los alumnos disponen de

sus instrumentos de geometría. El docente inter-viene solamente para ayudar a los estudiantes queno logran realizar la gura. Cuando toda la claseha terminado la construcción, los alumnos se di-viden en grupos según el número de respuestasposibles a la pregunta. El debate se instala, cadagrupo tratando de convencer al otro. El profesotiene que permanecer neutro, en el centro del de-bate, no es él quien da las respuestas, son losalumnos quienes las construyen. El profesor es-cribe todas las respuestas en la pizarra (correctaso no). Solo interviene al nal, cuando los alumnos

se hayan puesto de acuerdo sobre la respuestapara redactar correctamente la demostración.




12

Enunciado 1

Construir un triángulo ABC tal que AB=8 cm, án-gulo CAB= 50° y ángulo ABC=51° .

¿Es este triángulo isósceles?

Justique su respuesta.Comentarios: El debate va a permitir que losalumnos intercambien opiniones entre los par-tidarios del sí y los otros. Entre los argumentosmencionados, se puede citar:

El triángulo es isósceles: Es evidente en la gura,medí los lados y hay dos congruentes.El triángulo no es isósceles: Medí los lados, loslados no son congruentes. Si el triángulo fueraisósceles, los ángulos CAB y BAC tendrían la

misma medida.

El profesor que ha observado las respuestas po-drá dar la palabra primero a los alumnos cuyosargumentos no son muy convincentes. Lo ideales enfrentar los alumnos que piensan que es isós-celes a los otros sin que intervenga el profesor.Todo el mundo sabe bien que solamente existeuna respuesta posible, pero el problema es sabercómo elegir entre una y otra respuesta porque losargumentos son similares y el profesor no tomaposición. Los alumnos sienten la imprecisión re-

lativa de sus herramientas para medir. El argu-mento “Si el triángulo fuera isósceles, los ángulosCAB y BAC tendrían la misma medida” permitellegar a un consenso. Los alumnos se dan cuentaahora que el uso de las propiedades inherentesa la gura es mucho más ecaz para convencer que la observación y medida en un dibujo. Eneste caso, ya no queda duda ni ambigüedad, elproblema solo tiene una respuesta: el triángulo noes isósceles en C.

Una vez que todo el mundo se ha puesto de

acuerdo, se puede preguntar si el triángulo pue-de ser isósceles en A o B, si no, es equilátero orectángulo. Esto permite recordar en A o B, si no,las propiedades características de los triángulosisósceles, rectángulos o equiláteros. En estecaso también, aún después del debate, haymuchos alumnos que arman que el triángulo

no es equilátero ni rectángulo pero no saben justicarlo y siguen diciendo que se ve en el dibujoes decir qué difícil es recurrir a la demostraciónmatemática.

Finalmente y según el nivel de los alumnos, se

puede reemplazar la pregunta dada en el problema por la siguiente “¿Cuál es la naturaleza deeste triángulo?” De un lado, la pregunta planteadade esta forma aumenta el número de alumnos quese limitan a medir en el dibujo o a observar lagura para justicar su respuesta. Por otra partecon la pregunta “¿es isósceles?”, algunos contestan “no”, solamente porque sospechan una trampa, pero carecen de argumentos para justicar surespuesta.

Para profundizar este trabajo y proponer regu

larmente este tipo de actividades, se puede daenunciados del tipo siguiente:

•Traza un triángulo ABC tal que ángulo A=29° , ángulo B=62° y AB=5cm. ¿Cuál es la naturaleza detriángulo ABC? Justique su respuesta.

•Construir un rectángulo ABCD de manera que suárea sea de 35,4 cm2 y AB=6cm. ¿Es ABCD uncuadrado?

•Construir un triángulo ABC tal que AB=5cm y án

gulo B=61° y BC=5cm. ¿Cuál es la naturaleza detriángulo ABC? Justique su respuesta.•Construir en tamaño real el dibujo planteado enla gura 1:

Figura 1

¿Tienen los segmentos BD y CD la misma longitud?




1

Enunciado 2

Construir en tamaño real el dibujo planteado en lagura 2 siguiente:

Comentarios: Los métodos de trabajo con la cla-se son idénticos al caso del primer enunciado. Enla gura propuesta, se inducen a los alumnos alerror por el hecho que empiezan la gura con unarecta donde ponen los puntos M, N y P. La res-puesta parece evidente. En este caso es muy di-fícil encontrar otros argumentos diferentes a: “¡seve en el dibujo, es evidente!”, los cuales no son

muy convincentes porque los alumnos recuer-dan los ejercicios anteriores donde este tipo deargumentos habían sido descartados con muchafacilidad. Los alumnos empiezan a dudar y la evi-dencia no parece tan evidente. Se podrá pedir alos que proponen una demostración correcta elmétodo que usaron para realizar la gura, porquemuchos, a pesar de haber demostrado bien elproblema, no construyen correctamente la guray empiezan construyendo puntos colineales. Esuna buena oportunidad para reexionar con losalumnos sobre el rol y el uso de las indicaciones

que lleva una gura. Por ejemplo, en este caso,se puede armar con certeza la presencia de unángulo de 90° por el cuadrito dentro del ángulorecto. Este ejemplo muestra a los alumnos que laconstrucción de una gura, aparentemente senci-lla, requiere una reexión previa.

Figura 2

¿Son los puntos M, N y P colineales?

Justique su respuesta.

Enunciado 3

Reproducir la gura 3 que se presenta, en tamañoreal. ¿Qué puede decir de los puntos A, E, C?

Comentarios: En este último ejemplo, los estu

diantes que piensan que los puntos no están co-lineales tienen dicultades para demostrarlo. Dehecho, la evidencia está lejos de ser evidente. Pometodología, este enunciado debe ser propuestosólo después de trabajar en el cuestionamientodel dibujo durante varias sesiones. De lo contra-rio, los estudiantes responden a una gran mayoríaque los puntos están colineales y no ven el interésde redactar una demostración que les parece másdifícil. El objetivo aquí, además del cuestionamien-to del dibujo es alentar a los estudiantes a escri-bir una demostración una vez que han hecho una

conjetura. El hecho de buscar una pista, participade una manera que a veces no les permite llegar aresultado, los coloca en la situación del investigador. Esta es una oportunidad para demostrar queen la matemática no sólo se aplican los teoremaso se aprenden fórmulas de memoria ni escribir laúnica posible respuesta esperada por el profesortambién esta disciplina favorece la investigacióndonde se permite el intento, el error en n, dondehay cierta libertad en el camino hacia la soluciónEl profesor no debe interrumpir a los estudiantesque toman el camino equivocado, por el contrario

el dejarlos errar es parte del aprendizaje que seobtiene posteriormente al analizar esos erroresUna vez que la clase está de acuerdo en el hechode que el dibujo no es suciente para armar quelos puntos están o no colineales, puede propor-cionar algunas pistas de investigación si ningúnalumno tiene ideas para iniciar.

Figura 3




14

Para analizar el tema desde la perspectiva deáreas, proponga considerar, en la Figura 3, lasáreas de los triángulos ADE y ABC, así como ladel trapecio-rectángulo EDBC. En este caso, esaconsejable contar con una serie de sesiones an-teriores sobre la forma de calcular el área del tra-

pecio rectángulo, para que este cálculo no cons-tituya un obstáculo adicional.

Para analizar el tema desde el teorema de Pitágo-ras, el docente podrá proponer calcular las longi-tudes AE, CE y AC (Figura 3).

Este trabajo es a largo plazo y habrá que volvermuy a menudo en tales demostraciones para quelos estudiantes no abusen del dibujo como ele-mento de prueba.

Como actividad complementaria de refuerzo a laconfusión que podría generar un dibujo, el docen-te puede mostrar a la clase los dibujos y grabadosde Maurits Cornelis Escher que puede encontraren las direcciones adjuntas.

Área de figuras planasII parteLuis Valverde

Áreas de polígonos regulares

Nos basaremos en el hecho de que “Todo polígono regular se puede inscribir dentro de una cir-cunferencia”

Veamos el caso de un hexágono regular inscritoen una circunferencia tal y como se muestra en lagura 12 donde llamaremos “ℓ” a la longitud de loslados de hexágono.

Tracemos los segmentos (radios) que van desdeel centro de la circunferencia a cada uno de losvértices del hexágono como se muestra en la gura 13.

Figura 12

ℓ

Figura 13

a

ℓ




1

Obtenemos seis (n en el caso general) triánguloscongruentes e isósceles. En cada uno de los trián-gulos generados llamaremos con “a”(apotema) laaltura de cada uno de los triángulos.

Si “recortáramos” los triángulos podríamos formar

con ellos un rectángulo equicompuesto según semuestra en la gura 14.

Los triángulos marcados con “1” se obtienen al di-vidir uno de los triángulos originales por la apote-ma para así completar el rectángulo ABCD.

Obsérvese que hemos obtenido un rectángulode base igual a tres veces la longitud del lado delhexágono (importante notar que 3 es la mitad delnúmero de lados del hexágono, en general en unpolígono de “n” lados obtendremos un rectángulode base ( ½ n ). ℓ y de altura la longitud del apote-ma “a”. Tenemos entonces:

área del rectángulo ABCD= área del hexágono =3 ℓ.a

De lo anterior se puede generalizar que el área deun polígono regular de n lados es:

½ n.aa: apotema n: número de lados.ℓ: longitud del lado del polígono

Hemos visualizado que un polígono regular sepuede “equicomponer “ con un rectángulo apo-yándonos en eso para deducir la fórmula de suárea. Ahora vamos por el área de un círculo, ¿po-dremos utilizar una estrategia similar?

¡Será Posible!

Figura 14

Área del círculo

Si nos dedicáramos a la tarea de construir polígonos regulares inscritos dentro de un círculo deradio jo, esto nos lleva cada vez a que los ladosdel polígono serán más pequeños y el perímetro

del polígono irá tendiendo a ser más próximo aperímetro del círculo circunscrito a él. Lo anterionos puede ayudar a inducir el área de un círculocomo veremos.

Tomemos un círculo de radio r y hagamos un corte por uno de sus diámetros obteniendo así dossemicírculos como se muestra en la gura 15:

Vamos a suponer conocido el hecho de que el perímetro de la circunferencia es 2 π r.

Si suponemos un polígono regular de “n” ladoscircunscrito en la circunferencia y trazamos losrespectivos radios a cada uno de los vértices (gura 16) tendríamos una gura como la planteadapara el caso de n=10:

Figura 15

Figura 16

ℓ / 2 ℓ / 2

a11

ℓ ℓ ℓ




16

En el caso de “n” lado obtendríamos en cada se-micircunferencia ½ n sectores circulares. Podría-mos imaginar, con cortes adecuados, arribar a unaconstrucción como se muestra en la gura 17.

Si empatamos las dos guras nos queda una gu-ra como la que se muestra en la gura 18:

En cuanto la división de la circunstancia sea mayor

(número de sectores circulares) la gura genera-da se aproxima cada vez más a ser un rectángulode base πr y de altura r, de donde podemos intuir que el área del círculo tiende a:

base . altura = (π . r) . r = πr

Figura 17

2

Figura 18

Observaciones:

El método utilizado para deducir la fórmula anterior es similar al utilizado para determinar el áreade un polígono regular, a saber ( ½ nℓ )a. La diferencia, que realmente es bastante grande, estriba

en que en el caso del círculo, los “triángulos” masbien son sectores circulares.

Si tomamos el caso de un pentágono regular inscrito en una circunferencia tendríamos:El área del pentágono regular se obtendría del siguiente rectángulo:

El tema es que si tratáramos de aproximar el áreade la circunferencia por el pentágono inscrito enella tendríamos un error de cálculo equivalente aárea sombreada en la gura 20. Lo que podemosvisualizar es que entre más lados tenga el polígono inscrito, menor será el error generado dadoque la apotema tiende a ser el radio del círculo(gura 21 y 22) .

Área: ( ℓ + ℓ + ℓ /2) x a=(5 ℓ /2) x a

Figura 20

Figura 21

ℓ ℓ ℓ/2




1

Influencia del modelo epistemológico institucional sobre la prácti-ca docente en matemáticas

Dra. Andrea ArayaEscuela de Matemáticas U.C.R.

En este artículo tratamos brevemente algunas

herramientas con que cuenta la Didáctica de laMatemática para analizar las prácticas docentes.En particular, nos situamos desde una perspecti-va antropológica de lo didáctico y asumimos queuno de los factores primordiales que determina laactividad matemática, se desprende justamentedel modelo epistemológico que se privilegia encada aula (Gascón, 2001). Así, luego de abordarlos conceptos de referencia centrales, en una se-gunda parte presentamos algunos ejemplos quebuscan ilustrar nuestras armaciones.

1. Herramientas didácticas

Entender las clases de matemáticas como un dis-positivo social (Chevallard, 2003) o una colectivi-dad legitimada por la sociedad (Douglas, 1999),nos permite identicarlas bajo el nombre que brin-da la aceptación antropológica de “instituciones”;y por lo tanto, asumir que éstas permiten o impo-nen a sus miembros diversas maneras de hacer yde pensar propias¹.Este funcionamiento sutil de imposición ha sidoestudiado en didáctica gracias a la noción de con-trato didáctico (Brousseau, 1986). Así, siguiendoa Sadovsky (2005) en su descripción, el docenteva comunicando, a veces explícitamente, y muchasotras de manera implícita, a través de palabras ytambién de gestos, actitudes y silencios, aspectosvinculados al funcionamiento del asunto matemáti-co que se está tratando en la clase (p.37)

En este sentido y como lo veremos más adelan-te, es que entenderemos las descripciones de lasestrategias de enseñanza dominantes en el aula.Durante los años noventa, cuando ya convergía

la Teoría de la Transposición Didáctica hacia laTeoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), cuyopostulado principal arma que toda actividad pue-de modelizarse mediante la noción de praxeolo-gía (ver Figura adjunta, Chevallard, 1999), se

establecen los momentos didácticos como otra

herramienta que contribuye a la descripción delas actividades docentes, a través de aquellas situaciones necesariamente presentes en cualquieproceso de estudio.

Figura 1: Praxelogía matemática según TAD

Tabla 1: Momentos de estudios propuestoen la TAD

¹ Por ejemplo, la institución “fútbol” impone a sus miembros (jugadores, entrenadores, directivos, acionados,…), reconoceexcelencia de algunos jugadores, el manejo de determinadolenguaje –oral y gestual– o la defensa de ciertos espacios paraparticipar de sus actividades futbolísticas, entre otros.² Actualmente, en TAD diríamos primer encuentro con la praxeología matemática en cuestión.³ Discurso explicativo y justicativo de la técnica (ver Figura 1)




18

Como podemos suponer, los momentos de estudio no se presentan de forma cronológica ni desarro-llados en los mismos períodos de tiempo. Finalmente, la noción central que nos ocupa, modelo epis-temológico institucional, así como la incidencia de estos modelos en las prácticas docentes, han sidoampliamente expuestas por Gascón (2001, 2003) en el marco de la TAD. Su trabajo muestra cómo lasdiferentes maneras de concebir “lo que son las matemáticas” en una institución, pueden correspon-derse con ciertos tipos de organizaciones didácticas, OD (o estrategias de enseñanza) que privilegian

más un momento que otro. Éstas OD son organizadas en un espacio de tres dimensiones, dondecada eje representa uno de los momentos didácticos mencionados (Ex: exploración, T/ τ : trabajo dela técnica, Ө/Θ: entorno tecnológico-teórico); de ahí sus nombres: OD modernistas, OD tecnicistas yOD teoricistas respectivamente. Las organizaciones clásicas, empiristas y constructivistas nacen de laintegración de dos de los momentos de estudio (ver Figura 2). En la Tabla 2 resumimos las principalescaracterísticas de estas OD y del modelo epistemológico o programa epistemológico de las matemá-ticas asociado.

Figura 2: Organizaciones didácticasinstitucionales

•Privilegia el conocimiento cristaliza-do en teorías; así el proceso de en-señanza se reduce a la presentaciónde las mismas•Se ignora la actividad de resoluciónde problemas

•Se privilegia la forma rudimentariadel trabajo de la técnica•Se ignora la resolución de proble-mas, acentuando la aplicación algo-

rítmica de técnicas•Se trivializa la resolución de proble-mas; por lo que los docentes tienendicultades para motivar y justicar los nuevos temas

Euclidianismo:

“Todo conocimiento matemático sededuce de un conjunto nito de pro-posiciones trivialmente verdaderas(axiomas ) que constan de términosperfectamente conocidos. La verdadde los axiomas uye hasta los teo-remas por los canales deductivos

de transmisión de verdad (pruebas )”(Gascón, 2001, pp.131 - 132)

Teoricistas

Tecnicistas

Clásicas

OD Características de las OD

Modelo o programa epistemológico

de base

Nuestro artículo pretende ilustrar ciertos resultados de su trabajo




1

•Se privilegia la exploración de “pro-blemas no banales”•Los problemas se presentan aislada-

mente y descontextualizados•Simulan la no existencia de técnicasrudimentarias

•Consideran el aprendizaje de mate-máticas como un proceso inductivo,apoyado en la imitación y la práctica.

Modernistas

Empiristas

OD Características de las OD Modelo o programa epistemológicode base

Quasi-Empírica:

“Tanto el origen como el método de lamatemática, e incluso su propia jus-ticación, ha de provenir, como en elcaso de las otras ciencias, de la expe-riencia” (Gascón, 2001, pp. 137)

Constructivista:

“Para abordar el problema epistemo-lógico es imprescindible utilizar comobase empírica, al lado de los hechosque proporciona la historia de la cien-cia, los que proporciona el estudio deldesarrollo psicogenético” (Gascón,2001, p. 144)

Constructivistas

•Consideran el aprendizaje de mate-máticas como un proceso activo deconstrucción de conocimientos a partirde los previos y bajo limitaciones de-terminadas.•Se privilegia la actividad de resoluciónde problemas.

OD Características de las OD Modelo o programa epistemológicode base

Tabla 2: Organizaciones didácticas institucionales y programasepistemológicos de referencia

mo

2. Estudio de caso en Costa Rica: Sam y Ron

En el marco de una tesis doctoral (Araya, 2008), se analizaron las OD institucionales dominantes enlas aulas de dos profesores de 10 año (Sam y Ron), a partir de varios instrumentos de recolecciónde datos , entre ellos un cuestionario orientado por las preguntas – entre otras – que presentamos enla Tabla 3:

5

5

6

Por motivos de espacio nos referiremos primordialmente a los datos recolectados a partir del cuestionario; sin embargo, elestudio comprendió observaciones de naturaleza etnográca durante 4 meses, entrevistas a docentes y estudiantes, y gruposfocales con estudiantes.

Las preguntas planteadas durante el cuestionario – y la entrevista a partir de las respuestas a éste – se formularon de manera

menos esbozada. En la Tabla se transcriben los aspectos esenciales dichos por cada profesor.

6




20

Preguntas orientadoras Respuestas

Sam Ron

Un sistema de pensamiento en

el que se expresan solucionesa situaciones “problemáticas”mediante símbolos que se rigenbajo normas preestablecidas.

Es una ciencia básica cuyo objetode estudio es mucho más abstrac-to que otras ciencias [...] El métodode trabajo de esta ciencia [...] bus-ca la construcción de una teoría apartir de la aceptación de una seriede postulados o axiomas.

¿Qué son las matemáticas?

Disposición adecuada, dedicar mu-cho tiempo al análisis de la teoría ya la solución de ejercicios [...] acti-tud analítica de constante cuestio-namiento de búsqueda de justica-ciones.

Prestando mucha atención a las ex-posiciones de los profesores [...] ha-ciendo mucho ejercicio, tratando deentender la razón de cada uno delos pasos.

A partir del planteamiento de proble-mas a los cuales se establecen conjeturas en la búsqueda de soluciones.Al tratar de probar estas conjeturasse va construyendo el concepto ma-temático nuevo.

Se requiere de disposición, dis-ciplina, práctica y habilidad in-nata; además de muchas horasde estudio.

Tratando de entender los men-sajes de los profesores [...] meesforcé por realizar prácticasrelacionadas con el tema y dedi-qué muchas horas de estudio.

Es un sistema que trae consi-go la “capacidad o habilidad”predispuesta. Con estimulaciónel niño desarrolla sus primerasbases para luego contar con lasherramientas que le permitanactuar según le indique el razo-namiento de cada situación.

¿Qué se necesita paraaprenderlas?

¿Cómo aprendió matemáti-cas?

¿Cómo se construyen lasmatemáticas?

Tabla 3: Respuestas de Sam y Ron a algunas preguntas delcuestionario

Figura 3: OD dominantes de Sam y Ron




2

De acuerdo con nuestro referente conceptual, lainformación recopilada sobre qué son las mate-máticas para estos docentes, es un factor inu-yente en sus prácticas profesionales. Los análisisrealizados sobre las OD dominantes los ubicanespacialmente en torno a las organizaciones tec-

nicistas (ver Figura 3). Tal distribución se fortaleceal poner en correspondencia algunos de los as-pectos declarados en el cuestionario con las ca-racterísticas expuestas en la primera sección. En el caso de Sam, observemos la ausencia deuna declaración directa del método axiomático,mediante el cual postula el euclidianismo se cons-truyen las matemáticas. Sin embargo, y como seindicó anteriormente, este referente epistemoló-gico fundamenta igualmente la banalización delas matemáticas como colección de técnicas para

realizar ejercicios (Sam: “para luego contar con lasherramientas”, “realizar prácticas”). Ahora bien,aún si en el discurso Sam señala la presencia de‘situaciones problemáticas’ en la génesis del cono-cimiento matemático – lo que nos acercaría a lasOD empiristas – durante las observaciones de cla-se el carácter problemático de tales situaciones setraducía como “desconocidas para el estudiante”;siendo nalmente ejercicios altamente rutinarios,que privilegian la forma rudimentaria del trabajode la técnica.

El profesor Ron visa claramente aspectos tradi-cionalmente identicados con el Euclidianismo:“construcción de una teoría a partir de la acep-tación de una serie de postulados”, declarandoabiertamente el rol primordial que tendría estudiarla teoría para aprender matemáticas. Observemosademás que los canales deductivos de transmi-sión de verdad que caracterizan a este programaepistemológico, son retomados en la declaraciónde Ron al remarcar el “cuestionamiento de bús-queda de justicaciones” y el esfuerzo que debehacerse por “entender la razón de cada [paso]”.

La apreciación de Ron sobre la construcción de unconcepto matemático, “se establecen conjeturas.Al tratar de probar estas conjeturas se va cons-truyendo el concepto”, nos acerca – en el planodiscursivo – a una apreciación del programa qua-si-empírico que, junto con su observación sobre

7

el “planteamiento de problemas” como motor deconstrucción de las matemáticas, nos llevaría asuponer rasgos de OD modernistas. Ahora bienaunque conjeturamos que para ambos docentesel referente epistemológico es primordialmente eeuclidianismo, la claridad declarativa que expresaRon, nos lleva a justicar ciertas de sus decisionesdidácticas por la inuencia más directa que podríaejercer el modelo epistemológico dominante. AsíRon cuestiona frecuentemente los “porqué” de losprocedimientos empleados, enuncia teoremas ydeniciones; y busca superar el alcance tradicio-nal de las técnicas proponiendo ejercicios fueradel programa de estudio (como por ejemplo, fac-torizar ó x – x –18 ).

3. Conclusión

El aspecto esencial que hemos procurado señalarcon esta identicación de un modelo epistemoló-gico dominante en las instituciones estudiadas, esla inuencia que éste puede ejercer sobre las posi-bles dinámicas de trabajo presentes en el aula. Bienentendido, no pretendemos armar que la relaciónentre programa epistemológico dominante y labordocente sea biunívoca. Una serie de condiciona-mientos (programas de estudio, actividades esco-lares, tipos de evaluaciones reglamentadas, librosde texto, aulas numerosas, naturaleza del tema a

abordar, conocimientos previos de los estudiantesevaluaciones nacionales, etc.) intereren en la com-plejidad didáctica de las clases de matemáticas. Sinembargo, hacemos hincapié en la relevancia deconocer nuestro propio referente sobre qué son lasmatemáticas y cómo esa concepción puede carac-terizar explícita e implícitamente algunos aspectosde las dinámicas de nuestras clases.

Araya, A. (2008). La gestion de la mémoire didactique par le professeur dans l’enseignement secondaire des mathématiques : étude du micro-cadre institutionnel en France et au Costa Rica. Tesis doctoral en Didáctica de las disciplinas cientícas y tecnológicas. Universidad Paul Sabatier, Toulouse II

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherche en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33 – 115Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologque du didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 19 (2), 221 - 266Chevallard, Y. (2003). Approche anthropologique du rapport au savoir et didactiques des mathématiques. In Maury, S. et Caillot, M., Rapport au savoir et didactiques. Paris : FABERT, pp. 81-104Douglas, M (1999). Comment pensent les institutions. Paris : La découverteGascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matem áticas sobre las prácticas docentes, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME), 4 (2), 129 - 159Gascón, J. (2003). El espacio de las organizaciones didácticas posibles en las instituciones docentes. Comunicación presentada en IX JAEM. Tenerife y Gran Canaria, 2 - 5 julioSadovsky, P. (2005). La teoría de Situaciones Didáticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la matemática. In Alagia, H., Bressan, A. and Sadovsky, P., Reexiones teóricas para la educación matemática. Buenos Aires: Libros Zorzal

-5 -10

Bibliografía

A partir de las observaciones y entrevistas principalmente.7




22

Jean Pierre Escoer, UFR Mathématiques.Campus Beaulieu. Universidad Rennes I,Francia.

David Hilbert

David Hilbert nació en Alemania en la provincia dePrusia Oriental (actualmente no existe). Es uno de los

más grandes matemáticos de todos los tiempos. Sedice que puede ser el último de los matemáticos quetuvieron una visión global de las matemáticas. Des-pués de Hilbert hubo una gran producción de teore-mas en todos los campos de la matemática, productode lo cual es prácticamente improba-ble que alguien pueda dominar lamatemática, en todos los camposdichos.Se dice que Hilbert era de compren-sión lenta, que se le tenía que ex-plicar varias veces la misma cosay que no siempre comprendía.Y luego Hilbert solicitaba si aquelloque se le explicaba no podía ser ana-lizado en una forma más simple quela que se le planteaba. Así Hilbertresolvió problemas muy difíciles!.En 1900 se realizó en Paris uncongreso de matemáticos, unode los primeros. Hilbert que yaconocía al matemático fran-cés Henri Poincaré, quería co-

municar algo que consideraba de importancia.Reexiona largamente, discute con sus amigos y ter -mina convencido que lo más interesante en este últi-mo año del siglo XIX sería proponer una lista de 23problemas que él juzgaría extremadamente difíciles ydignos de investigación por parte de los matemáticos

del siglo XX. El dió su conferencia en alemán, fren-te a poco más de una centena de congresistas (él,previamente, había hecho distribuir un resumenen francés); Wer von uns würde nicht gern denSchleier lüften, unter dem die Zukunft verborgenliegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorste-

henden Fortschritte unserer Wissenschaft und indie Geheimnisse ihrer Entwicklung während derkünftigen Jahrhunderte!, es decir : Quien de entrenosotros no desearía levantar el velo que cubre elfuturo y poder « echarle un ojo » a los desarrollosde nuestra ciencia en el próximo siglo…

Las escogencias de Hilbert se revelan justas y todoslos problemas que propuso, excepto el tercero, hanabierto la vía a nuevas teorías matemáticas. El ter-cer problema fue resuelto en los meses siguientes acongreso. Su solución es ingeniosa y responde a un

verdadero problema, sin embargo es el menos pro-fundo de los problemas planteados por Hilbert, y noabrió nuevos campos de investigación matemática.

El tercer problema de HilbertHace mucho tiempo se sabe quesi dos polígonos tienen la mismaárea, se puede descomponer unode ellos en un número nito depiezas con bordes rectos que sepueden reorganizar para obteneel otro polígono. En particular, sepuede obtener un cuadrado (ecual, obviamente, tiene igual áreaque los polígonos). Se pueden veejemplos de este problema en el artículo « Área de guras planas » enla edición 6 Variables (página 11)Se sabe que el volumen V de untetraedro es un tercio de la base Bpor la altura h :

Euclides demostró esta fórmula usando unadescomposición innita ; es el primer ejemplo decálculo integral, lo que sería, para la época, un« tour» de fuerza. Unos matemáticos chinos ha-bían logrado escogencias análogas.

1862 - 1943




2

Desde Euclides, no hubo éxito en hacer una demostración con una descomposición del tetraedro enun número innito de pequeños bloques los cuales, reorganizados de otro modo, formarían un cubo:la demostración de la fórmula de volumen de un tetraedro utilizaría siempre un número nito de piezasmás y más pequeñas. Hilbert pensó que era importante saber si era posible, o no, demostrar la fórmulacon una descomposición nita.

Algunos meses después de su famoso discurso en el congreso de Paris, Hilbert se enteró que uno desus alumnos, Max Dehn (1878-1952) había resuelto su problema: la respuesta fue que no se podrá jamás eliminar el paso a un número innito de piezas, en la demostración de la fórmula del volumen deun tetraedro. Esto tuvo, al menos, el mérito de evitar que algunos matemáticos emprendieran inves-tigaciones vanas. Por ejemplo, uno no puede descomponer el tetraedro de la izquierda abajo, en unnúmero nito de piezas para construir el tetraedro de la derecha.

Para quienes se interesan, indicamos la base de la demostración, muy especializada y técnica (veel libro de Martin Aigner y Gunter Siegler Proof from the book en su versión en inglés, Raisonnementsdivins (Razonamientos divinos) en su versión en francés). Se dene una función que toma los mismosvalores sobre un poliedro P y sobre todas las descomposiciones de P en pequeños poliedros. Si estafunción no toma el mismo valor sobre otro poliedro P’, signica que no se puede descomponer P enpequeñas piezas poliédricas para reconstruir P’.




24

Utilización de funciones simples de + N a N, eventualmente de Z a Z .

• 2 jugadores• 1 a 3 minutos.

Encerrando

Versión “fchas”

• Una pista numérica de 21 casillas numeradas de

0 a 20 ( o de -20 a +20 si se juega con númerosnegativos: en Z )

21 chas diferenciables que serán ubicadas enlas casillas.

Versión ‘lápiz - papel’ ’

•Se escribe la lista de los números del 0 al 20

(o del -20 al 20) que serán marcados durante lapartida (similarmente a la versión “chas”, estopermite visualizar bien los números que quedandisponibles para jugar.

Los jugadores escriben los números de uno enuno a medida que vayan jugando (de preferenciase escriben con lápiz de colores diferentes); estopermite fácilmente analizar el desarrollo posteriode una partida.

En una primera oportunidad del juego, se puede utilizar simultáneamente tanto el nivel de chas comoel de lápiz – papel.

Objetivo del juego: Bloquear al adversario

Reglas

1.Los jugadores (a medida que se juega) escogen al menos 2 funciones numéricas simples; ofrecemos3 ejemplos:

Materiales

1 2




2

2.El primer jugador escoge un número de la lista. Con la ayuda de una de las funciones ofrecidas, esegundo jugador opera evalúa dicho número para obtener un nuevo número que también debe serparte de la lista.

3.Por turno, cada jugador escoge una función y evalúa con el número que acaba de jugar el adversa-rio

.4.Cada número no puede ser jugado más que una sola vez.

5.Cuando un jugador no puede jugar, pierde.

6.El número inicial, escogido por el primer jugador, debe dejar al segundo jugador la posibilidad de jugar (por ejemplo, con las funciones del ejemplo c, el primer jugador no puede comenzar con 0 a noser que se esté jugando con los números enteros Z).

Ejemplo

Los números jugados por el segundo jugador aparecen escritos en letra itálica.

1. Jugando en N en utilizando las funciones del ejemplo (a):

El primer jugador no puede jugar; él ha perdido. (Observe que al utilizar el último resultado de 3 los re-sultados evaluados en las cuatro funciones del ejemplo (a) obtendrían o un número que ya se descartóde la lista pues fue utilizado o el resultado no está entre los números permitidos).

2. Jugando en N, con las funciones del ejemplo (b):

El Segundo jugador no puede jugar; ha perdido.

2. Jugando en N, con las funciones del ejemplo c:

De nuevo el segundo jugador ha perdido.




26

3. Jugando en Z, con las funciones siguientes:

En este caso, de nuevo el segundo jugador pierde la partida.

Comentarios:

1. Sería interesante al analizar las partidas cuestionarse si ¿alguno de los jugadores ha dejado pasaruna oportunidad de ganar?

En el ejemplo 3 expuesto, el segundo jugador se vio obligado a jugar 9 en el penúltimo paso. Por lotanto la jugada anterior se podría jugar 1 en vez de 20 (usando para ello la función x – 9). El primer jugador no podría jugar más que 2: el segundo tomaría entonces la escogencia entre 0 y 4: en todocaso él obtiene la victoria. Se podría ir más allá más y estudiar diferentes cierres de partidas posibles, utilizando por ejemplo unárbol de escogencia. Buscamos así todos los cierres posibles de las partidas después de que el se-gundo jugador ha jugado 3:

f: x → x + 3g: x → x-15h :x →x2




2

Se ve que jugando 1, el primer jugador está en posición de ganar: jugando 6, él deja la iniciativa a suadversario: seguidamente debe jugar 4, o incluso 12 a condición de jugar 1 en el turno siguiente.

2. Se puede también jugar en grupo de la forma siguiente: todo el grupo utiliza las mismas funcionesy el mismo número de salida. Cada uno utiliza su propia información y juega solo tratando de no serbloqueado o que dicho bloque sea lo más tarde posible. El ganador es quien ha jugado más números(para llevar un control, cada uno debe escribir la sucesión de números en el orden en que ha juga-do).

Con un número de salida dado, se puede investigar todas las partidas posibles utilizables con un árbol.El análisis puede ser largo generando a menudo un árbol complejo; pero se puede realizar un trabajoen equipo para compartir la investigación. En este caso, el árbol permite ser, al mismo tiempo, unaherramienta para el análisis de una estrategia ganadora en una partida de dos jugadores.

Si retomamos el ejemplo 3, presentado anteriormente, el análisis genera cerca de 400 partidas posi-bles a partir del número 17. La mayor cantidad de números que se pueden jugar es 19, este máximopuede ser generado de 3 formas:

Remarquemos que 19 no aparece en ninguna de las 3 soluciones:¿19 solo puede ser obtenido como punto de partida?




28

Pequeños problemas, para grandes pensadoresBuscando el nombre

Seguidamente se ofrece el recorrido que usted debe realizar, partiendo de A, para obtener un nombrecodicado. El punto indica que en la posición en ese momento es parte del nombre. El nombre está

en francés.

A

A B C D E F G H J K L M N O P Q R S T U V W X Y

I




2. Fernando, Karla y Juan tienen cada uno un ani-mal diferente en su casa. Los animales se presen-tan seguidamente. Fernando y Karla no tienen elgato. El animal de Juan no ladra. Karla no tieneel perro. Determine el animal que tiene cada unode ellos.

3. Aéreas y perímetros

El dibujo muestra una gura geométrica formadapor 5 cuadrados idénticos. El área total es de 125cm

¿Cuál es el perímetro de la gura?

2

P e r í m e

t r o,

á r e a, l o

n g i t u d,

l a d o...

Los enmarcados

Suma y diferencia de naturales inferiores a 11.

2 jugadores3 á 5 minutos.

Material

• Una pista de 20 casillas que se alternen doscolores, negro y blanco, por ejemplo.• 2 series de “peones” numerados de 1 a 10.

Pista de 20 casillas

Objetivo del juego

Encerrar el mayor número posible de peonescontrarios.

Reglas:

1. Cada jugador toma una serie de peones.Un jugador juega sobre las casillas blancas,el otro sobre las negras.

2. Cada jugador, por turno, coloca uno de suspeones sobre una casilla libre de su color.

3. Cuando todos los peones han sido colo-cados se cuentan los puntos de la siguienteforma: si 2 peones del mismo color encierranun peón contrario de tal forma que la suma oresta de ambos peones sea igual al número

encerrado, entonces el jugador gana 1 punto.

4. El ganador es quien acumule más puntos.

2




30

Ejemplo

La siguiente cuadrícula muestra una partida en lacual se observan los siguientes enmarcados logra-dos:

Los negros han encerrado 3 blancos:1-5-4, 7-2-9 y 2-8-10

Los blancos han encerrado 4 negros:5-4-9 9-7-2, 3-3-6, 7-6-1

Soluciones - Pequeños problemas para grandespensadores Página 19 Edición 6 de Variables

1. Torre de dadosRespuesta: Tomando en cuenta que en un dado lascaras opuestas suman siempre 7 tendríamos quelos tres primeros dados tienen dos caras ocultas

cada uno (21 puntos) y el último dado tiene descubierta una cara con 5 puntos de donde quedancubierta una cara con 2 puntos. Finalmente lascaras ocultas de los 4 dados son 23 puntos. Engeneral si tenemos “n” dados formando la torre y“a” es el número mostrado por la cara del últimodado (en nuestro ejemplo es 5), el número quesuman las caras ocultas serían 7 x n – a.

2. ¿Cuántos triángulos hay?

Solución:

En total se determinan 13 triángulos: 9 de base 13 de base 2 y 1 de base 3.

3. Laberinto numérico

4. El precio de los regalos

Respuesta:

El orden de precio de los regalos los ordena de lasiguiente forma: A, C, D y B, donde A es el másbarato y E el más caro.

5. ¿En qué número piensa María?

Respuesta:

El número que piensa María es el 789


Variables VII

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