Variacion cuadratica

GRUPO PEDAGÓGICO CAMBIEMOS ESTUDIO DE LA VARIACIÓN

INSTITUTO GEOGEBRA TOLIMA

Guía No 2 Variación Cuadrática

OBJETIVO: Modelar, crear y resolver situaciones que involucran ecuaciones cuadráticas,

con apoyo del software dinámico GeoGebra

Primera Parte: Construcción de una Parábola con Regla y Compás

1. Ingresa a GeoGebra, oculta los ejes

2. Traza la recta a con la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos

3. Elige la herramienta Nuevo Punto y haz clic por fuera de la recta a. Este punto será

el foco de la parábola. Da clic derecho en C, elige Renombra y teclea Foco

4. Elige Nuevo Punto y esta vez da clic en algún lugar de la recta a (punto C: punto

sobre a)

5. Selecciona la herramienta Segmento entre Dos puntos, da clic en el Foco y luego

clic en C (Segmento b)

6. Selecciona la herramienta Punto medio o Centro y da clic sobre el segmento b

(punto D)

7. Selecciona la herramienta Recta Perpendicular da clic en el segmento b y luego en

el punto D (Recta c)

8. Con la misma herramienta da clic en la recta a y luego en el punto C (Recta d)

9. Halla la intersección de las dos rectas perpendiculares utilizando la herramienta

Intersección de Dos Objetos. (Punto E)

10. La parábola será el lugar geométrico generado por el punto E cuando se mueve el

punto C. Elige la Herramienta Lugar Geométrico, da clic en E y luego desplaza a C.

(También puedes dar clic derecho sobre el punto C y elegir Animación Automática)

11. Desplaza el Foco y la recta a, para observar las variaciones de la parábola.

12. Traza los segmentos CE (e) y EF (f). Compáralos (observa su medida en la vista

algebraica)

13. Borra u oculta las líneas y puntos de construcción




La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a

una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.

Segunda Parte: Construcción de una Parábola con parámetros

1. En GeoGebra, activa los ejes y deja las vistas algebraica y gráfica

2. Con la herramienta Deslizador construye tres deslizadores a, b y c, Min=-5; Max=5;

incremento=0.01

3. En la barra de entrada escribe: f(x) = a*x2+b*x+c

4. Mueve los deslizadores y observa las variaciones de la parábola

5. Escribe tus observaciones

6. El vértice de la parábola está en V = (

(

) . Para encontrar el vértice,

escribe en la barra de entrada: V = (-b/(2a),f((-b/(2a))

7. ¿Qué funciones debes escribir en la barra de entrada para obtener la recta directriz y

el eje de simetría?

8. ¿Cómo encuentras el foco de la parábola?

Tercera Parte: Planteamiento y Solución de un Problema que involucra la variación

cuadrática

Con el fin de construir un tanque para almacenamiento de agua, se dispone de láminas

metálicas de forma rectangular de 5 m x 8 m. ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que

deben recortarse en cada una de las esquinas, si después de doblar y soldar se desea

obtener tanques con el mayor volumen posible?




El siguiente gráfico esquematiza una de las láminas con los cortes en cada esquina y la

forma de los tanques después de cortar, doblar y soldar:

Con estos datos,

1. Escribe la expresión que representa el volumen del tanque en función de x

2. Simplifica esta expresión, calcula su primera derivada y luego iguala este resultado a

cero.

3. Resuelve la ecuación ¿Qué valores para x se obtienen? ¿Cuál de estos valores

resuelve el problema?

4. Halla el volumen máximo.

Cuarta Parte: Construcción Dinámica de la Solución del Problema

Ingresa a GeoGebra, activa los ejes y desplaza su centro a la esquina inferior izquierda de la

vista gráfica

1. Con la herramienta Segmento de Longitud Fija construye dos segmentos de

longitudes 5 y 8 respectivamente

2. Utiliza estos segmentos para construir un rectángulo de 5 x 8 con regla y compás

(polígono CDEF)

3. Oculta las líneas de construcción

4. Construye un deslizador h, Min=0, Max=2.5 e incremento=0.01

5. Con la herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio construye una

circunferencia en cada esquina, cuyo centro sea el vértice del rectángulo y el radio h




6. Desplazar el punto del deslizador. ¿Qué sucede? ¿Por qué crees que se definió

como 2.5 su valor máximo?

7. Utiliza la herramienta Intersección de Dos Objetos, para hallar los cortes entre cada

circunferencia y los lados del rectángulo

8. Para definir el centro de los ejes, escribe en la barra de entrada O = (0,0)

9. Utiliza la herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio para transferir el

valor de h al eje x. Da clic en la herramienta, luego clic en (0,0) y juego teclea h

10. Encuentra el punto de intersección entre esta circunferencia y el eje x (punto P)

11. Oculta todas las circunferencias construidas

12. Vuelve al rectángulo y traza perpendiculares a los lados que pasen por los puntos de

corte

13. Utiliza la herramienta Intersección de Dos Objetos para encontrar los cortes

internos entre las rectas perpendiculares

14. Utiliza la herramienta Polígono para trazar un cuadrado en cada esquina y oculta las

rectas perpendiculares (clic derecho sobre la recta y clic en Muestra Objeto)

15. Da clic en elige y mueve y vuelva a desplazar el deslizador ¿Qué sucede?

16. Después de hacer los cortes de las esquinas, ¿Por dónde se debe doblar? Traza

segmentos para los dobleces, da clic derecho sobre cada uno de ellos y en Estilo

elige uno punteado (segmentos QR, RT, TS y SQ)

17. Traza un segmento de longitud fija igual al segmento QR (elige la herramienta

Segmento de Longitud Fija clic debajo del rectángulo y luego teclea n_1) Sale UV

18. Para dar un efecto de profundidad (3D), mueve este segmento de manera que quede

oblicuo

19. Traza una semirrecta horizontal que comience en el punto U (semirrecta b2)

20. Transfiere a b2 la longitud del segmento QS (t1). Para ello traza una circunferencia

con centro en U y radio t_1

21. Encuentra la intersección entre la semirrecta y esta circunferencia (punto Z)

22. Traza una paralela al segmento UV que pase por el punto Z y otra paralela a la

semirrecta que pase por el punto V

23. Ubica el punto de intersección entre estas dos paralelas A1

24. Con la herramienta Polígono, traza el cuadrilátero UVA1Z. Este será la base del

tanque a construir

25. Oculta las líneas y puntos de construcción

26. Para definir la altura del tanque, debemos trasferir el valor de h a las esquinas.

Selecciona Circunferencia dados su Centro y Radio, clic en una de las esquinas y

teclea h, repite para las demás esquinas

27. Traza rectas perpendiculares al segmento UZ que pasen por U y por Z; también

perpendiculares al segmento VA1 que pasen por sus extremos

28. Señala los puntos de intersección entre las perpendiculares y las circunferencias

29. Con la herramienta polígono dibuja las cuatro caras del tanque (no es necesario

trazar la tapa). Oculta las líneas de construcción




30. Ya tenemos las marcas sobre la lámina por donde debemos cortar los cuadrados

para posteriormente doblar y soldar, construyendo así el tanque que aparece más

abajo

31. Observa que las dimensiones de este tanque son: largo z, ancho u y altura h. ¿Cuál

es la expresión para el volumen del tanque?

32. Ingresa en la Entrada la expresión z*u*h (observa que aparece el resultado en la

vista algebraica como o)

33. Debemos transferir este valor al eje y. Para ello selecciona la herramienta

Circunferencia dados su Centro y Radio, da clic en (0,0) y luego teclea o

34. Si no puedes ver el punto de corte de esta circunferencia con el eje y, puedes variar

la escala de los ejes. Para ello da clic en la herramienta Desplaza Vista Gráfica, el

cursor se convierte en una mano; acércala al eje y y cuando ésta se convierte en una

doble cruz blanca, con el botón de izquierdo del mouse sostenido, ajusta la escala del

eje; repite el procedimiento para ajustar el eje x

35. Ubica el punto de intersección entre el eje y y la circunferencia (Punto F1). Oculta la

circunferencia

36. Traza una perpendicular al eje x que pase por el punto P y otra perpendicular al eje y

que pase por el punto F1

37. Ubica el punto de intersección entre estas perpendiculares (punto G1) y ocúltalas

38. Mueve el deslizador h y trata de describir la trayectoria del punto G1. Da clic derecho

sobre éste, selecciona Propiedades de Objeto, clic en Básico, abre la pestaña de

Muestra rótulo y selecciona valor

39. Vuelve a dar clic derecho sobre G1 y esta vez elige Activa Rastro, ahora mueve el

deslizador h. ¿Qué sucede? Oculta todos los puntos de las construcciones

40. Da clic derecho sobre el deslizador h y elige Animación Automática. Describe lo que

sucede y da la solución al problema planteado.

Vea la simulación en el siguiente enlace: http://www.geogebratube.org/student/m53339

Elaborado por: LUIS RAMÓN LÓPEZ MENDOZA

http://www.geogebratube.org/student/m53339

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